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Cálculo Diferencial e Integral I: Repaso. Inducción matemática.

Introducción

En el curso de Álgebra Superior I se presenta al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$). Posteriormente, en el curso de Álgebra Superior II se habla mucho más de ellos: se construyen a partir de teoría de conjuntos y se muestran desde los fundamentos muchas de sus propiedades.

Nosotros no nos enfocaremos en los aspectos anteriores, pero sí aprovecharemos que dicho conjunto posee una propiedad muy importante: el principio de inducción matemática. Como mencionamos en la entrada pasada, este método de demostración es aplicado frecuentemente en las pruebas en las que se desea probar que alguna propiedad se satisface para todos los números naturales.

En Cálculo Diferencial e Integral I haremos uso de la Inducción matemática constantemente, por lo que en esta entrada daremos una visita a lo necesario para nuestro curso.

Efecto dominó

Imagina que te han regalado una cantidad infinita de fichas de dominó y que has decidido acomodadas en una fila, una tras otra. Tu propósito al terminar de acomodarlas es el dejar caer todas las fichas, por ello consideras empujar la primer ficha para que al caer esta choque con la segunda provocando su caída y así sucesivamente.

El riesgo del Efecto Dominó: Micro triangulaciones y sus ventajas en  Trabajos de Investigación

Una vez que has decidido poner en marcha tu plan y empujas la ficha 1, te comienzas a preguntar: ¿Cómo puedo asegurar que la ficha 1,000 caerá si sólo he visto caer las primeras 50 fichas? ¿Y que hay de la ficha 1,000,000?

El Principio de Inducción es el que daría respuesta a tu pregunta. El razonamiento de este principio sustenta que si sabes que el procedimiento se ha cumplido para las primeras 50 fichas, en consecuencia cada ficha irá cayendo al final para cualquier ficha que consideres.

Ahora que tenemos una noción de su comportamiento, veremos la definición formal.

Principio de Inducción matemática

Definición: Sea $P$ una propiedad y $n\in \mathbb{N}$. Decimos que la propiedad $P$ es válida para todos los naturales si tenemos que:

  1. La propiedad $P$ se cumple para 0.
  2. Si la propiedad $P$ se cumple para $n \Rightarrow$ la propiedad también se cumple para $n + 1$.

El punto número 1 es conocido como Base de Inducción. El antecedente del punto número 2 es llamado Hipótesis de Inducción y su consecuente Paso Inductivo. En algunos problemas basta con demostrar la afirmación únicamente cuando $n\geq 1$. En estos casos, la base de inducción

A continuación veremos un par de ejemplos para ver cómo funciona dicho principio.

Ejemplo: Demuestra utilizando Inducción matemática la siguiente fórmula.

$$1+2+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N}$$
Demostración: Haremos inducción sobre $n$.
Base de Inducción.- Verificamos que la fórmula se cumple cuando $n=1$

\begin{align*}
\frac{1(1+1)}{2}&= \frac{1(2)}{2}\\
&=\frac{2}{2}\\
&= 1
\end{align*}
Lo cuál es cierto.

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que la fórmula se cumple para cualquier $k\in \mathbb{N}$ así:
$$1+2+ \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

Paso Inductivo.- Queremos probar que la fórmula se cumple para $k+1$, por lo que bastará probar la siguiente igualdad:
$$1+2+ \ldots + k+ (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$ es decir, $$1+2+ \ldots + k+ (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Desarrollaremos el lado izquierdo de la igualdad sustituyendo lo que tenemos en la Hipótesis de Inducción, así queda lo siguiente:
\begin{align*}
1+2+ \ldots + k+ (k+1) &= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\\
&= \frac{k(k+1)}{2}+ \frac{2(k+1)}{2}\\
&=\frac{k(k+1)+ 2(k+1)}{2}\\
&=\frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{align*}


$$\therefore 1+2+ \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N}$$

$\square$

Observación: $\therefore$ se lee «por lo tanto» y $\forall$ significa «para todo».

Ejemplo: Demuestra que $$2^{n} < n!$$ si $n > 4$.
Demostración: Aplicando inducción sobre $n$. Vemos que dada la condición de $n > 4$, bastaría probar que:
$$2^{n+3} < (n+3)!, \forall n \in \mathbb{N}$$

Y recordemos que $n!$ es llamado $n$ factorial que está definido como: $n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1)(n)$ por lo que $4!= 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 =24$.

Base de Inducción.- Verificamos que la desigualdad se cumpla para $n=1$. Así sustituyendo vemos:
$$2^{1+3} = 2^{4}=16$$ y que $$(1+3)! = 4! =24$$.
Por lo que se cumple la desigualdad: $$2^{1+3} < (1+3)!$$.

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que la desigualdad se cumple para cualquier $k \in \mathbb{N}$.
$$2^{k+3} < (k+3)!$$

Paso Inductivo.- Queremos probar que la desigualdad se cumple para $k+1$, esto sería:
$$2^{(k+1)+3} < ((k+1)+3)!$$ que es lo mismo que, $$2^{k+4} < (k+4)!$$.

Vemos que al reescribir la desigualdad anterior tenemos:
$$2\cdot 2^{k+3} < (k+3)! (k+4)$$.
Por hipótesis de inducción sabemos se cumple $2^{k+3} < (k+3)!$, por lo que si se cumple la desigualdad $2< k+4$ terminamos.

$P.d:$ $$2< k+4, \forall k\in \mathbb{N}$$
Demostración: Utilizaremos inducción sobre $k$.
Base Inducción.- Vemos para $k=1$ que $$2< 1+4 = 5$$ se cumple.

Hipótesis de Inducción.- Suponemos que es cierta la desigualdad $2< k+4$ para cualquier $k$.

Paso Inductivo.- Queremos probar que para $k+1$ se cumple la desigualdad $2< (k+1)+4$.
Observemos que $(k+1)+4= (k+4)+1$ que es el sucesor de $k+4$ por lo que cumple $k+4 < (k + 4)+1$.
Así haciendo uso de lo anterior y de la Hipótesis de Inducción se tiene lo siguiente:
$$2< k+4 < (k+4)+1 \Rightarrow 2 < (k+4)+1$$.
$$\therefore 2 < (k+1)+4$$
$$\therefore 2 < k+4 , \forall k\in \mathbb{N}$$

$\square$

Por lo que ya podemos afirmar que $$2\cdot 2^{k+3} < (k+3)! (k+4)$$.
Así concluimos: $$2^{n+3} < (n+3)!, \forall n \in \mathbb{N}$$

$\square$


Observación: $P.d.$ es una abreviación de «Por demostrar».

Principio de Inducción Fuerte

Existe otra forma de inducción que debemos recordar por su utilidad conocida cómo: Inducción Fuerte, que es consecuencia del Principio de Inducción que vimos al principio.

Definición (Principio de Inducción fuerte): Consideremos $P$ una propiedad y $n , l \in \mathbb{N}$. Decimos que la propiedad $P$ es válida para todos los naturales si tenemos que:

  1. $P$ se cumple para $0$.
  2. Si $P$ se cumple para cualquier $l \leq n \Rightarrow P$ se cumple para $n+1$.

Ejemplo: Todos los números positivos $n >1$ son producto de primos.

Demostración: Utilizaremos Inducción fuerte sobre $n$.
Base de Inducción.- Como tenemos la condición $n>1$ consideraremos $n=2$.
Observamos que $2 = 2$ es un producto de primos ( 2 cumple la definición de ser primo).

Hipótesis de Inducción.- Supongamos que todos los números desde 2 hasta $k$ cumplen ser producto de números primos.

Paso Inductivo.- Queremos probar que $k+1$ es producto de números primos.
Recordemos que todo número es primo ó compuesto, por lo que tenemos que considerar los siguientes casos.

Caso 1: $k+1$ es primo.
Como $k+1 = k+1$ se sigue que es producto de números primos y se cumple lo que queremos.

Caso 2: $k+1$ es compuesto.
Esto quiere decir que podemos expresar a $k+1$ como un producto de la siguiente manera:
$$k+1= a\cdot b$$ donde $k+1 > a$ y $b > 1$.
Observemos que las últimas desigualdades implican que $k \geq a,b \geq 2$, así por Hipótesis de Inducción $a$ y $b$ cumplen ser producto de números primos.
$\therefore k+1$ es producto de primos.
$\therefore$ Todos los números positivos $n >1$ son producto de primos.

$\square$

Tarea moral

A continuación encontrarás ejercicios en los que pondrás en practica el Principio de Inducción matemática:

  1. Probar que: $n^{3} – n$ es un múltiplo de 6, $\forall n\in \mathbb{N}$.
  2. Utiliza inducción para probar la siguiente igualdad:
    $$1^{2}+2^{2}+\ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \forall n\in \mathbb{N}$$
  3. Demuestra que:
    $$1+3+5+7+\ldots +2n-1 = n^{2}, \forall n\in \mathbb{N}$$
  4. Demuestra por inducción sobre $n$, con $r \neq 1$:
    $$1+r+r^{2}+ \ldots +r^{n} = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$
  5. Utiliza inducción para probar la siguiente igualdad:
    $$2+5+8+ \ldots+ (3n-1)= \frac{n(3n+1)}{2}$$

Más adelante

Ahora que hemos terminado con el repaso de Inducción matemática. En la siguiente entrada comenzaremos a ver un conjunto de números de suma importancia para el Cálculo: los reales.

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Álgebra Superior II: La relación de orden en los naturales

Introducción

Seguramente desde que construimos de forma intuitiva el conjunto de números naturales, te diste cuenta de que nuestra forma de generar nuevos números a través de la función sucesor, nos daba una jerarquía de qué número natural iba primero, y quien era el que inmediatamente le seguía. Así, el primer natural debería de ser el $0$, el cual debería ser menor a todos los demás. Después, seguiría $\sigma(0)=1$ el cual debería ser menor al sucesor de cualquier otro número. Este razonamiento podría seguir de forma inductiva para los demás números.

En esta entrada abordaremos el problema de cómo organizar el conjunto de naturales. Hay varias formas de definir esta relación. Pero el trabajo que realizamos en las dos entradas pasadas nos permitirá atacar dos problemas de manera sencilla: el de definir el orden en $\mathbb{N}$ y el de demostrar sus propiedades.

El orden parcial en $\mathbb{N}$

Recordemos que si $n$ es un número natural distinto de cero, entonces $n=\{0,1,…,n-1\}$. Entonces de forma intuitiva podemos afirmar que cada número natural tienen por elementos a todos los naturales «menores» a él. Usando esta idea, podemos dar las siguientes dos definiciones.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor que $m$, en símbolos, $n<m$ si $n\in m$.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor o igual que $m$, en símbolos $n\leq m$ si $n\in m$ o $n=m$.

Antes de lanzarnos a probar propiedades de estas relaciones, comenzaremos con verificar la segunda de ellas define un orden parcial.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$.

Demostración. Recordemos que según la definición de orden parcial, debemos probar que $\leq$ es reflexiva, transitiva y antisimétrica, hagamos esto por pasos.

$\leq$ es reflexiva: Si $m$ es un natural, tenemos que $m=m$, por lo que por nuestra definición, podemos escribir que $m\leq m$.

$\leq$ es transitiva: Sean $n,m,l$ naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq l$. Debemos demostrar que $n\leq l$. Si $n=m$ o $m=l$ la conclusión es inmediata de las hipótesis. En otro caso, tenemos que que $n\in m$ y $m\in l$. Como $l$ es un número natural, es un conjunto transitivo, entonces $n\in l$, por lo que $n\leq l$.

$\leq$ es antisimétrica: Si $n,m$ son naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq n$, debemos demostrar que $n=m$. Para ver esto, procedamos por contradicción. Supongamos que no son iguales, entonces $n\in m$ y $m\in n$. Pero como ya hemos mencionado anteriormente, el hecho de que dos conjuntos pertenezcan mutuamente al otro es contradictorio con el axioma de regularidad. Entonces debe suceder que $n=m$ como queríamos.

$\square$

Propiedades del orden en los naturales

Ya mostramos que $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$. Probemos otras propiedades que esperamos que satisfaga. Empezamos con la que mencionamos en la introducción de la entrada.

Teorema. $0\leq n$ para todo natural $n$

Demostración. Si $n=0$, el resultado se sigue de manera automática. Si $n\neq 0$, el resultado se sigue de que ya demostramos que $0$ está en cada natural distinto de $0$.

$\square$

La siguiente propiedad que probaremos es que la función sucesor sí preserva el orden que definimos.

Teorema. Si $n,m\in\mathbb{N}$ y $n<m$, entonces $\sigma(n)<\sigma(m)$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $m$. Para el caso base debemos probar que la afirmación $n<0\Rightarrow\sigma(n)<0$, es verdadera. Sin embargo, el antecedente siempre es falso, ya que $n<0$ quiere decir que $n\in\emptyset$ lo cual es absurdo. Como el antecedente siempre es falso, entonces la base de inducción es verdadera.

Supongamos que para alguna $m$ se tiene que si $n<m$, entonces $\sigma(n)< \sigma(m)$. Debemos probar que el resultado es cierto para $\sigma(m)$. Supongamos entonces que $n<\sigma(m)$. Debemos probar que $\sigma(n)<\sigma( \sigma(m))$.

Como $n<\sigma(m)$, tenemos que $n\in \sigma(m)=m\cup \{m\}$, así que tenemos dos casos: $n\in m$ o $n\in\{m\}$.

Si $n\in m$, por hipótesis inductiva $\sigma(n)\in \sigma(m)$. Como $\sigma(m)\in \sigma(\sigma(m))$ y los naturales son transitivos, tenemos $\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, es decir, $\sigma(n)< \sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

Finalmente, si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$, pero así $\sigma(n)=\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, de modo que $\sigma(n)<\sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

$\square$

El orden en los naturales es total

De entre los órdenes parciales hay un tipo de órdenes especiales: aquellos en los que cualesquiera dos elementos se pueden comparar. A estos se les conoce como órdenes totales. Los resultados de esta sección muestran que la relación $\leq$ en $\mathbb{N}$ es un orden total.

Un paso intermedio para demostrar esto es ver que si un número natural es menor que otro, entonces la función sucesor «no nos puede llevar muy lejos».

Teorema. Si $n,m$ son naturales tales que $m<n$, entonces se tiene que $\sigma(m)\leq n$

Demostración. La hipótesis es imposible cuando $n=0$, pues no hay ningún natural menor a cero. Así, $n$ debe ser sucesor de algún otro natural, digamos $n=\sigma(k)$.

De $m<\sigma(k)$ tenemos que $m\in k\cup \{k\}$, así que $m\in k$, o $m=k$. Si $m\in k$, entonces $m<k$ y por el teorema anterior tenemos que $\sigma(m)<\sigma(k)=n$. Si $m=k$, entonces $\sigma(m)=\sigma(k)=n$. En cualquier caso tenemos $\sigma(m)\leq n$.

$\square$

El anterior teorema es equivalente a la afirmación siguiente

Corolario. Si $n,m\in\mathbb{N}$, son tales que $m<n$ pero es falso que $\sigma(m)< n$, entonces $\sigma(m)=n$.

En estos momentos es conveniente regresar a leer las dos pruebas de los teoremas anteriores, y notar que en las demostraciones, cuando suponíamos que era falso que $n<m$ nunca supusimos que $n\geq m$. Sólo apelábamos directamente a la negación de la definición. Haber usado $n\geq m$ hubiera sido un error. En primer lugar, porque aún no hemos definido el símbolo $\geq$. Y en segundo lugar, porque aún no hemos descartado una cuarta posibilidad: que $n$ y $m$ no sean comparables. En realidad esto es imposible, pero hay que demostrarlo. En $\mathbb{N}$ el orden es total y de hecho satisface la propiedad de tricotomía que enunciamos a continuación.

Teorema. Para cualesquiera $n$ y $m$ naturales se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

  • $n=m$
  • $n< m$
  • $m< n$

Demostración. Ya hemos demostrado mediante el axioma de regularidad que estas proposiciones son mutuamente excluyentes. Sólo queda demostrar que siempre sucede por lo menos una de ellas. Demostraremos esto por inducción sobre $n$.

El caso base se reduce a probar que para cualquier $m$, se tiene que $0=m$, $0\in m$ o $m\in 0$. El primer teorema que probamos muestra que siempre se da la primera o la segunda opción.

Supongamos ahora que el resultado es cierto para alguna $n$. Debemos probarlo para $\sigma(n)$. Entonces sea $m\in\mathbb{N}$ arbitrario. Por hipótesis de inducción, $m$ es comparable con $n$, entonces podemos considerar tres casos:

$m=n$. Este caso es trivial porque entonces $m\in\sigma(n)$.

$m< n$. De nuevo tenemos que $m\in n\in \sigma(n)$, y por transitividad (del orden o de los conjuntos), tenemos que $m\in\sigma(n)$.

$n< m$. Por el teorema anterior, tenemos que en este caso, $\sigma(n)<m$ ó $\sigma(n)=m$.

De cualquier forma $\sigma(n)$ y $m$ son comparables. Esto termina la demostración.

$\square$

Para finalizar, hacemos la observación de que definir los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{N}$ es sencillo. Simplemente, diremos que $n\geq m$ cuando $m\leq n$. Así mismo, diremos que $n>m$ cuando $m<n$.

Tarea moral

  • Demuestra que si $n\leq m$, entonces $n<\sigma(m)$.
  • Prueba que $n\leq m$ si y sólo si $n\subseteq m$.
  • Generaliza el teorema de que $\in$ define un orden en $\mathbb{N}$, a que $\in$ define un orden en cualquier conjunto transitivo.
  • Demuestra que $\leq$, restringido a $n \times n$ es un orden total en el conjunto $n$.
  • Encuentra un conjunto $A$ con tantos elementos como números naturales y una forma de ordenarlo linealmente, tal que $A$ tiene elemento máximo.

Más adelante

Ya empezamos a probar las propiedades del orden en $\mathbb{N}$. Sin embargo, falta ver una de las más importantes: el principio del buen orden. Esta lo veremos en la entrada siguiente. También veremos que, en cierto sentido, es equivalente al principio de inducción.

Otra cosa más que falta es ver que el orden que definimos «se comporta bien» con las operaciones de suma y producto en $\mathbb{N}$. Esto resultará de suma importancia para entradas posteriores.

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Álgebra Superior II: Otras definiciones recursivas en los naturales (exponenciación y factorial)

Introducción

En las entradas pasadas hemos dado la definición recursiva de la suma y del producto usando el teorema de la recursión débil y probamos las propiedades elementales de estas operaciones usando el principio de inducción.

Continuando con esta línea de pensamiento, en esta entrada definiremos las funciones exponenciales usando las funciones producto; sin embargo, para definir estas funciones, también ocuparemos el teorema de recursión débil. Para ver que no enunciamos en vano la versión fuerte de este teorema, daremos como aplicación la definición de la función factorial, y de la misma forma a como lo hicimos antes, probaremos algunas de sus propiedades haciendo uso del principio de Inducción. Sin embargo, dejaremos algunas de las propiedades como ejercicio para que puedas practicar este tipo de pruebas una vez más.

Exponenciación en los naturales

Desde la educación elemental nos enseñan que «multiplicar es sumar repetidas veces» y que «exponenciar es multiplicar repetidas veces». Formalicemos esta intuición mediante el teorema de recursión.

Definición: Sea $m\in \mathbb{N}$. Definimos $\eta_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb(N),$ como la función que satisface las siguientes propiedades:

  1. $\eta_{m}(0)=1$
  2. $\eta_m(\sigma(n))=p_{m}(\eta_{m}(n)) $

Así como lo hemos hecho con la definición de producto y de suma, introduciremos la «notación usual» para hablar de esta función. En este caso, definimos $m^n:=\eta_m(n)$.

De este modo, en términos de las notaciones usuales, podemos suplir la propiedad (2) de la definición anterior como $m^{n+1}=m\cdot m^n$.

Las potencias de $0$ y de $1$

Así como lo hicimos con la suma y el producto, analizaremos de forma especial a las funciones $\eta_{0}$ y $\eta_{1}$.

Teorema: Tenemos que $\eta_{0}(0)=1$ y si $n\neq 0$, entonces $\eta_{0}(n)=0$.

La demostración queda como un ejercicio moral. La buena noticia es que hemos trabajado lo suficiente como para no tener que realizar una prueba por inducción. Cuando intentes demostrar esto por tu cuenta, recuerda qué sucede cuando multiplicamos por $0$.

Notemos que así como lo definimos, $0^0$ es $1$ en los números naturales. Sin embargo, como veremos más adelante y como posiblemente lo sabrás ya, la expresión $0^0$ no estará definida en otros sistemas numéricos como los números reales. Al igual que «$0$ es un natural», la definición de $0^0$ frecuentemente varía dependiendo del contexto.

Teorema: Tenemos que $\eta_{1}(n) =1$ para todo $n$ en los naturales.

Demostración. Para este resultado sí procederemos por inducción sobre $n$. Por la parte (1) de la definición de $\eta_{1}$, tenemos que $\eta_{1}(0)=1$. Esta es nuestra base de inducción.

Supongamos que $\eta_{1}(n)=1$. Queda demostrar que $\eta_{1}(\sigma(n))=1.$ Sin embargo esto se sigue ya que por definición, $\eta_{1}(\sigma(n))=1\cdot\eta_{1}(n)=1\cdot 1=1$. Te invitamos a identificar los argumentos que se ocuparon en cada paso

$\square$

La exponencial no conmuta ni asocia

Como la notación que ocupamos para las funciones $\eta_{m}$ no es tan simétrica como la que ocupamos para el producto o para la suma, uno puede esperar que esta operación no sea en general conmutativa. En efecto esto es cierto, solo basta notar que

$0^1\neq1^0$

Así mismo la exponenciación no es en general asociativa, es decir que existen casos en que

$(n^m)^l\neq n^{(m^l)}$

Encontrar un contraejemplo queda como un ejercicio moral.

Le exponenciación y otras operaciones.

Cuando estudiamos el producto de números naturales, vimos que esta operación se distribuye sobre la suma, entonces una buena pregunta es preguntarnos qué pasa cuando mezclamos la exponenciación con el producto y la suma. Quedará como ejercicio dar contraejemplos a todas las siguientes proposiciones:

  1. $n^{(l\cdot m)}=n^l\cdot n^l$
  2. $(l+m)^n=l^n+m^n$
  3. $n^{l+m}=n^l+n^m$

Sin embargo, probaremos dos teoremas conocidos usualmente como las leyes de los exponentes. El primero de ellos dice que por la izquierda, la exponenciación sí se distribuye sobre el producto.

Teorema: Si $a,b,n\in\mathbb{N}$, entonces $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$. De la definición de exponencial, tenemos que $(a\cdot b)^0=1=1\cdot 1= a^0\cdot b^0$, por lo que la base de inducción es cierta.

Supongamos que para algún $n$ se tiene que $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ y probemos que $(a\cdot b)^{\sigma(n)}=a^{\sigma(n)}\cdot b^{\sigma(n)}$. Esto es cierto ya que

\begin{align*}
(a\cdot b)^{\sigma(n)}&=(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)^n\\
&=(a\cdot b)\cdot (a^n\cdot b^n)\\
&=(a\cdot a^n)\cdot (b\cdot b^n)\\
&=a^{\sigma(n)}\cdot b^{\sigma(n)}
\end{align*}

A diferencia de las entradas anteriores ya ocupamos sin mención las propiedades ya demostradas o la hipótesis de inducción; sin embargo, sería bueno que detallaras las pruebas.

$\square$

Aunque vimos que en general no podemos hablar de que la exponencial se distribuya, sí hay importantes relaciones que notaremos en los siguientes dos teoremas.

Teorema: Si $a,b,n\in\mathbb{N}$, entonces $a^{b+n}=a^b\cdot a^n$

Demostración. De nuevo procederemos por inducción sobre $n$. Si $n=0$, entonces $a^{b+0}=a^b =a ^b \cdot 1=a^b \cdot a^0$, con lo que probamos la base de inducción.

Supongamos entonces que para algún $n$ se tiene que $a^{b+n}=a^b\cdot a^n$, y demostremos el caso para $\sigma(n)$. Sabemos que

\begin{align*}
a^{b+ \sigma(n)}=&a^{\sigma(b+n)}\\
=&a\cdot a^{b+n}\\
=&a\cdot (a^b\cdot a^n)\\
=&a^b\cdot (a \cdot a^n)\\
=&a^b\cdot a^{\sigma(n)}
\end{align*}

Con esto termina la prueba.

$\square$

El siguiente teorema queda como ejercicio de la tarea moral, para que puedas practicar.

Teorema: Si $a,b,n\in\mathbb{N}$, entoces $(a^b)^n=a^{b\cdot n}$.

El factorial

Hasta ahora, sólo hemos ocupado el teorema de recursión débil a la hora de definir las operaciones. A pesar de que antes demostramos que ambas versiones del teorema son equivalentes, la siguiente definición mostrará la naturalidad que tiene el ocupar el teorema de Recursión Fuerte para algunas cosas.

Definición: Se define la función factorial, $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, como la única función dada por el teorema de recursión fuerte que cumple que

  • $f(0)=1$
  • $f(\sigma(n))=p_{\sigma(n)}(f(n))$

Usaremos la notación $n!:=f(n)$. Así, la primer parte de la definición dice que $0!=1$ y la segunda dice que $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$.

Notemos que en la definición anterior es necesario ocupar el teorema de Recursión Fuerte ya que en cada paso damos una función distinta. En concreto, para dar la definición en $\sigma(n)$ usamos a la función $p_{\sigma(n)}$.

El factorial es una función que jugará un papel importante en varios temas que verás en la facultad. Tiene una fuerte relación con contar cosas, el cual es un tema que posiblemente hayas estudiado en Álgebra Superior II. Aparece al contar las permutaciones de objetos, pero también como parte de la fórmula para los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}$. También, lo encontraremos en este curso a la hora de enunciar el teorema de Wilson de teoría de números, pero necesitamos definir más cosas antes de llegar ahí.

Sin embargo, algo que sí podemos hacer ahora es demostrar una propiedad interesante que satisface el factorial.

Proposición: Para todo $n\in \mathbb{N}$, se tiene que $0\cdot 0!+1\cdot 1!+2\cdot 2!+…+n\cdot n!+1=(n+1)!$

Demostración. Procederemos por inducción, el caso base es claro ya que $0\cdot 0!+1= 0+1=1!.$

Supongamos que el resultado es cierto para alguna $n$ y con esta suposición probemos que

$0\cdot 0!+1\cdot 1!+2\cdot 2!+…+n\cdot n!+(n+1)\cdot(n+1)!+1=(n+2)!$.

Sabemos por nuestra hipótesis de inducción que

\begin{align*}
&0\cdot 0!+1\cdot 1!+2\cdot 2!+…+n\cdot n!+(n+1)\cdot(n+1)!+1\\
=&(0\cdot 0!+1\cdot 1!+2\cdot 2!+…+n\cdot n!+1)+(n+1)\cdot(n+1)! \\
=&(n+1)!+ (n+1)\cdot(n+1)!\\
=&(n+1)!(1+n+1)\\
=&(n+1)!(n+2)\\
=&(n+2)!
\end{align*}

En la primer igualdad estamos usando la conmutatividad y asociatividad de la suma. En la segunda igualdad, la hipótesis de inducción. Para la tercer igualdad estamos factorizando el término $(n+1)!$. El resto de igualdades se siguen de las definiciones.

$\square$

Resumen de las propiedades de los exponentes

Para finalizar con la entrada, hacemos un repaso de las propiedades que demostramos, posiblemente las conozcas como las leyes de los exponentes

  • Para todo $n$ número natural, se tiene que $n^0=1$
  • Si $n\neq 0$,entonces $0^n=0$
  • Para todo $n$ número natural, se tiene que $n^1=n$
  • Para todo $n$ número natural, se tiene que $1^n=1$
  • Para $l,m,n$ naturales, se tiene que $(l\cdot m)^n=l\n\cdot m^n$
  • Para $l,m,n$ naturales, se tiene que $n^{l+m}=n^l\cdot n^m$
  • Para $l,m,n$ naturales, se tiene que $n^{l\cdot m}=(n^l)^m$

Tarea moral

  1. Encuentra los contraejemplos que faltaron en la entrada
  2. Da la demostración de que $0^n=0$, para toda $n$
  3. Prueba que para todos los naturales $a,b,n$, se tiene que $(a^b)^n=a^{b\cdot n}$
  4. El factorial consiste en «multiplicar los primeros enteros». ¿Qué pasa si queremos hacer algo análogo para sumar los primeros enteros? Da una definición recursiva de una función $S(n)=0+1+2+…+n$, ¿por qué en realidad no es necesario dar una definición recursiva de esta función?
  5. Demuestra que si $n,m$ son naturales tales que existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $n\cdot k=n^k=m$, entonces $n^m=m^n$. El regreso de esta afirmación es también verdadero, pero para verlo formalmente, necesitamos desarrollar más teoría

Más adelante…

Con esta entrada, acabamos con las definiciones de operaciones a través de los teoremas de Recursión; sin embargo, no podemos decir que no ocuparemos este teorema en futuras ocasiones, al menos de forma implícita, mucho menos nos olvidaremos del principio de Inducción, el cuál irá siempre adherido al concepto de número natural.

En las siguientes entradas, estudiaremos otro tipo de propiedades de los naturales, relacionadas con el orden y el tamaño que estos tienen. Sin embargo, aún ocuparemos las operaciones que definimos y las relacionaremos; por ejemplo, con el orden que les daremos.

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Álgebra Superior II: Definición del producto y sus propiedades básicas

Introducción

En la entrada anterior, nos dedicamos a buscar una definición apropiada para la suma de números naturales, y después nos dedicamos a probar las propiedades más elementales que esta operación satisface.

Ahora es el turno de la multiplicación o producto, que se definirá de forma similar a la suma, ya que ocuparemos el teorema de Recursión Débil, y para probar sus propiedades ocuparemos el principio de Inducción.

Te motivamos a releer la entrada anterior y pensar unos momentos en el ejercicio 5 de la entrada anterior.

Definición del producto.

Así como con la suma, recurriremos a una definición recursiva, la cual existe en virtud del teorema de Recursión.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$, defnimos la función $p_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $p_{m}(0)=0$
  2. $p_{m}(\sigma(n))=s_{m}((p_{m}(n))$.

Denotaremos a $p_{m}(n)$ como $m\cdot n$, o simplemente como $mn$

Ejemplo: Para aclarar la definición anterior, consideremos $p_{7}$ y realicemos el diagrama conmutativo correspondiente a su definición recursiva.

Recordemos que las flechas indican a donde es mandado cada elemento bajo cada función, entonces las flechas verticales, justamente son las que nos indican los valores de $p_{7}$ en cada número natural, observemos que estos valores coinciden con la conocida tabla del $7$.

Aprendiendo a multiplicar por uno

En este momento, demostraremos las propiedades más importantes del producto. Tenemos la fortuna de que contamos con una buena cantidad de propiedades de las funciones $s_{n}$, las cuales ya podremos usar sin ningún problema, más aún, para simplificar la notación haremos uso de la notación $m+n$, en vez de la notación $s_{m}(n)$, cada vez que se pueda.

Siguiendo la idea anterior, mencionamos la siguiente identidad, que es solo una reformulación del punto (2) de la definición del producto, pero que nos servirá para esclarecer la mayor parte de las pruebas.

Observación: $a\cdot\sigma(n)=a+(a\cdot n)$

Para referir a esta observación en una demostración ocuparemos el símbolo $\overset{*}{=}$

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{1}(n)=n$, es decir, $1\cdot n=n$

Demostración. Como se esperaba, la prueba es por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por la definición de $p_{1}$, tenemos que $p_{1}(0)=0$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, se tiene que $p_{1}(n)=n$

Paso inductivo: Debemos demostrar que $p_{1}(\sigma(n))=\sigma(n)$, esto se sigue por las siguientes igualdades

\begin{align*}
p_{1}(\sigma(n))&\overset{*}{=}1+(p_{1}(n))\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}1+n=\sigma(n).
\end{align*}

Donde la última igualdad se da recordando que en la entrad a anterior probamos que $s_{1}(n)=\sigma(n)$

$\square$

Con esto hemos aprendido a multiplicar por $1$.

Aprendiendo a multiplicar por cero

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{0}(n)=n$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$, la base inductiva es directa de la definición, ya que $p_{0}(0)=0$.

Nuestra hipótesis de inducción consiste en suponer que para alguna $n$ se tiene que $p_{0}(n)=0$. Entonces queda demostrar que $p_{0}(\sigma(n))=0$. Esto se sigue de las siguientes igualdades.

\begin{align*}
p_{0}(\sigma(n))&\overset{*}{=}0+p_{0}(n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}0+0=0
\end{align*}

$\square$

La propiedad distributiva izquierda

La siguiente propiedad es una de las más famosas, ya que nos permitirá relacionar la suma y el producto, además jugará un papel importante en la demostración de las siguientes propiedades.

Proposición (propiedad distributiva izquierda): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $p_{s_{a}(b)}(n)=s_{p_{a}(n)}(p_{b}(n))$, u ocupando la notación familiar $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Demostración: Procedamos por inducción, como podrás notar con todas estas demostraciones, la inducción será sobre la variable que aparezca más a la derecha de nuestras expresiones, es decir, la inducción será sobre $n$

Base inductiva: Por la definición del producto tenemos que, $(a+b)\cdot 0=0$, y por las propiedades que demostramos para la suma, concluimos que $0=0+0$, sin embargo; de nuevo por la definición del producto, $0=(a\cdot n)$ y $0=(b\cdot n)$, uniendo todas estas igualdades concluimos que $(a+b)\cdot 0=(a\cdot n)+(b\cdot n)$, justo como queremos.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$ se tiene que $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Paso inductivo: Debemos probar que $(a+b)\cdot\sigma(n)=(a\cdot\sigma(n))+(b\cdot\sigma(n))$. Por la observación que hicimos, tenemos

\begin{align*}
(a+b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a+b)+((a+b)\cdot n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))
\end{align}

A partir de aquí, el resultado se seguirá usando la asociatividad y la conmutatividad de la suma, en la siguiente cadena de igualades detallamos la demostración paso a paso ¿Puedes identificar cómo ocupamos las propiedades de la suma?.

\begin{align*}
(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))&=a+(b+((a\cdot n)+(b\cdot n)))\\
&=a+((b+(a\cdot n))+(b\cdot n))\\
&=a+(((a\cdot n)+b)+(b\cdot n))\\
&=a+((a\cdot n)+(b+(b\cdot n)))\\
&=(a+(a\cdot n))+(b+(b\cdot n))\\
&\overset{*}{=}(a\cdot \sigma (n))+(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

$\square$

Aunque la prueba anterior fue un poco más confusa que las anteriores, las consecuencias que tendrá esta proposición serán sumamente importantes.

El producto es conmutativo

Como mencionamos, la asociatividad y la conmutatividad, serán una consecuencia de las propiedades distributivas, por el momento veamos que en efecto la suma conmuta.

Proposición (conmutativiad): Si $m,n\in \mathbb{N}$, entonces $m\cdot n=n\cdot m$

Demostración. Una vez más hagamos la prueba por inducción sobre $n$

Base inductiva: Por definición tenemos que $m\cdot 0 =0$, además $p_{0}(m)=0$ por lo demostrado antes, es decir que $m\cdot 0=0=0\cdot m$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para alguna $n$, se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$

Paso inductivo: Debemos probar que $m\cdot\sigma(n)=\sigma(n)\cdot m$. Esto se sigue ya que

\begin{align*}
m\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}m+(m\cdot n)\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}m+(n\cdot m)
\end{align*}

Pero ya demostramos que $m=1\cdot m$, usando esto y la propiedad ditributiva, podemos concluir que

\begin{align*}
m+(n\cdot m)&=(1\cdot m )+(n\cdot m)\\
&=(1+n)\cdot m=\sigma(n)\cdot m
\end{align*}

$\square$

Con la conmutatividad, podemos probar de manera inmediata el siguiente resultado

Corolario (propiedad distributiva derecha): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $a\cdot(b+ n)=(a\cdot b)+(a\cdot n)$.

La prueba queda como un ejercicio moral, en parte porque su prueba no requiere Inducción. Con este resultado, podemos probar la propiedad asociativa del producto.

El producto es asociativo

Con la propiedad asociativa derecha , podemos dar la demostración de la propiedad asociativa del producto

Proposición (asociatividad): Si $a,b,n$ son números naturales, se tiene que $a\cdot(b\cdot n)=(a\cdot b)\cdot n$.

Demostración. De nuevo procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Notemos que por definición, para cualquier número natural $m$ se tiene que $0=p_{m}(0)=m\cdot 0$. Con esto en mente tenemos que, $(a\cdot b)\cdot(0)=0=a\cdot 0=a\cdot(b\cdot 0)$ que es justo la base de inducción.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que para alguna $n\in \mathbb{N}$, tenemos que $(a\cdot b)\cdot n=a\cdot(b\cdot n)$

Paso Inductivo: Demostremos que $(a\cdot b)\cdot\sigma(n)=a\cdot(b\cdot \sigma(n))$. Como

\begin{align*}
a\cdot b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a\cdot b)+(a\cdot b)\cdot n\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}(a\cdot{b})+a\cdot(b\cdot n)\\
&=a\cdot (b+b\cdot n)\\
&\overset{*}{=}a\cdot(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

la igualdad que no está justificada es la aplicación de la propiedad distributiva.

$\square$

Ley de la cancelación

Para concluir con las propiedades del producto, enunciamos la propiedad de la cancelación del producto, recordemos que esta propiedad también es válida para la suma. Para hacer esta prueba necesitamos trabajar un poco.

Recordemos el ejercicio 2 de la Tarea moral de la entrada Principio de inducción y teoremas de recursión, el cual ya hemos ocupado anteriormente:

Si $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$ tal que $n=\sigma(a)$

De la misma forma, el ejercicio 1 de la Tarea moral de la entrada pasada dice que:

Si $a,b\in\mathbb{N}$ son tales que $a+b=0$, entonces $a=b=0$

Con estos resultados en mente probamos el siguiente lema.

Lema: Si $n\neq 0$ y $m\in \mathbb{N}$ es tal que $m\cdot n=0$, entonces $m=0$.

Demostración. Como $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$, tal que $n=\sigma(a)$, entonces tenemos que

\begin{align*}
0&=m\cdot n\\
&=m\cdot\sigma(a)\\
\overset{*}{=}m+(m\cdot a).
\end{align*}

Entonces tenemos que $m\cdot a=0$ y que $m=0$ que es lo que debíamos probar

$\square$

Es común usar una equivalencia lógica del enunciado anterior, la cual dice:

Si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$

Proposición (ley de cancelación): Si $m,n$ son números naturales y $a\neq0$ y cunplen que $a\cdot n=a\cdot m$, entonces, $n=m$

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Supongamos que $n=0$ y $a\neq0$, entonces $a\cdot m=a\cdot n=a\cdot0 =0,$ por el Lema tenemos que $m=0=n$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, tenemos que si $a\neq0$ y $a\cdot n=a\cdot m$, entonces $n=m$

Paso inductivo: Probemos para $\sigma(n)$, sea $a\neq 0$ y supongamos que $a\cdot\sigma(n)=a\cdot m$

Como $\sigma(n)\neq 0$, y por hipótesis, $a\neq0$, entonces por la equivalencia del lema, concluimos que $a\cdot\sigma(n)\neq 0$, de donde $a\cdot m\neq 0$, esto implica que $m\neq 0$, por lo que existe $b$ tal que $m=\sigma(b)$, entonces podemos escribir

\begin{align*}
a+a\cdot n& \overset{*}{=}a\cdot\sigma(n)\\
&=a\cdot m\\
&=a\cdot\sigma(b)\\
&\overset{*}{=}a+a\cdot b
\end{align*}

Ocupando la ley de cancelación de la suma, tenemos que $a\cdot n=a\cdot b$

Pero por hipótesis de inducción debemos de tener que $n=b$, esto quiere decir que $\sigma(n)=\sigma(b)=m$, justo como debíamos probar.

$\square$

Con esta prueba concluimos las propiedades más fundamentales del producto.

Resumen de las propiedades del producto

Para finalizar con la entrada, haremos un compendio de las propiedades que demostramos

  • Para todo $n$ natural, se tiene que $1\cdot n=n=n \cdot 1$
  • Para todo $n$ natural, se tiene que $0\cdot n=0=n \cdot 0$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l+m)\cdot n=(l\cdot n)+(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $l\cdot(m+n)=(l\cdot m)+(l\cdot n)$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l\cdot m)\cdot n=l\cdot(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales con $m\neq 0$, si $m\cdot n=0$, entonces $n=0$
  • Para $l,m,n$ naturales con $l\neq 0$, si $l\cdot n=l\cdot m$, entonces $n=m$

Tarea moral

  1. Prueba la Propiedad distributiva derecha
  2. Usando únicamente la ley de cancelación el producto, demuestra el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación
  3. ¿Qué pasa si en el enunciado de la ley de la cancelación, no asumimos que $a\neq 0$?
  4. Demuestra usando el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación que si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$
  5. Da una definición recursiva de las funciones $\eta_{m} (n)=m^n$ y prueba las leyes de los exponentes.

Más adelante…

Con las propiedades de la suma y del producto en nuestra bolsa de herramientas, tenemos ya una rica teoría que desarrollar; nos falta aún definir una relación muy familiar en el conjunto $\mathbb{N}$, el orden, al cual ya hemos apelado en la demostración del teorema de la Recursión Débil.

Por el momento estudiaremos con mayor detalle los conjuntos infinitos, donde veremos la importancia de los naturales dentro de esta clase de conjuntos.

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Álgebra Superior II: Definición de la suma y sus propiedades básicas

Introducción

Para continuar con nuestra tarea de construir las operaciones más elementales de los números naturales, en esta entrada definimos la conocida operación suma. Un buen ejercicio antes de empezar con el contenido de la entrada, es pensar ¿Cómo podemos definir la suma de dos números enteros? De nuevo nos encontramos con el problema de intentar definir formalmente algo que ha sido intuitivo para nosotros durante la mayor parte de nuestra vida.

Sin embargo, todo el trabajo que hicimos en las entradas anteriores, especialmente en la demostración del teorema de Recursión, nos servirán para poder dar una definición precisa de qué es la suma. Además, usando el principio de Inducción, podremos demostrar las propiedades que nos han sido tan familiares desde hace mucho tiempo.

La idea intuitiva de la suma

La primera forma en la que aprendimos a sumar, al menos de manera intuitiva y tal vez limitada, fue usando nuestros dedos. Ocuparemos esta idea como hilo conductor, para poder llegar a la definición recursiva de la suma. Con esta forma de pensar, si queríamos sumar $3+4$, poníamos frente a nosotros nuestras manos con los dedos abajo, e instantáneamente mencionábamos la palabra «tres«. Después estirábamos un primer dedo y al mismo tiempo, mencionábamos la palabra «cuatro» (a quien ahora conocemos como el sucesor de $3$), después alzábamos un segundo dedo y decíamos «cinco» (el sucesor de $4$) , y continuábamos de la misma manera hasta que tuviéramos cuatro dedos totalmente extendidos; momento en el cual, decíamos el resultado: «siete«.

Analicemos un poco qué es lo que queremos decir con «continuábamos de la misma manera«. Entre cada número que contábamos, varias cosas pasaban por nuestra mente. Al mencionar un número, lo primero que hacíamos era cerciorarnos que aún tuviéramos extendidos menos dedos de los que queríamos añadir. Si esta condición se satisfacía, teníamos que grabarnos el número que habíamos mencionado justo en ese instante (el olvidar dicho número, tenía como consecuencia empezar el procedimiento desde el inicio), después alzábamos el siguiente dedo, y mencionábamos el sucesor del número memorizado (es por esto que recordar ese número era tan importante). Muy a grandes rasgos esto es lo mismo que lo que haremos de manera formal.

Definición de la suma

Esperamos que en los párrafos anteriores puedas encontrar una analogía entre el algoritmo que usábamos para sumar cotidianamente, y el método recursivo que describiremos a continuación. Antes de precisar la definición de la suma, hay que aclarar que no definiremos «de golpe» qué quiere decir «sumar dos números». Más bien, lo que haremos es, para cada natural, decir qué quiere decir «sumarle otro». Lo haremos de esta manera pues esto es lo que nos permite hacer el teorema de Recursión. Así, para cada número natural $m$ (fijo) obtendremos una función que nos sume a ese número fijo, una cantidad arbitraria.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$. Definimos la función $s_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la única función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $s_{m}(0)=m$
  2. $s_{m}(\sigma(n))=\sigma(s_{m}(n))$.

Denotaremos $s_{m}(n)$ como $m+n$.

Vale la pena hacer un par de comentarios de la definición anterior. Primero mencionamos que esta definición depende totalmente del teorema de Recursión Débil. Si regresas al enunciado del teorema, podemos notar que la función $s_m$ se obtiene tomando $X=\mathbb{N}$, $x_{0}=m$, $f=\sigma$ y $g=s_{m}$.

En segundo lugar, hay que remarcar que a pesar de nuestra intuición, los papeles de $m$ y $n$ en la expresión $m+n$, no son intercambiables. Por definición $m+n=s_{m}(n)$, mientras que $n+m=s_{n}(m)$. A primera vista, estos valores no tienen por qué coincidir. Veremos que en efecto esta y otras propiedades sí son válidas, para que posteriormente podamos utilizarlas de manera directa.

Aprender a sumar cero

De aquí en adelante probaremos varias propiedades de la suma. Debido a la definición recursiva de esta función, la mayor herramienta que ocuparemos es el principio de Inducción.

Antes de lanzarnos a demostrar la primer propiedad, nota que directamente de las definiciones de las funciones $s_{m}$ y de la notación que estamos usando, se tiene que $m+0=s_m(0)=m$. Ahora nos gustaría ver que también $0+m=m$, pero como aún no sabemos que la suma sea conmutativa, tendremos que probarlo por inducción.

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{0}(n)=n$, es decir, $0+n=n$

Demostración. Como se mencionó, procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por el punto (1) de la definición de $s_0$, tenemos que s_{0}(0)=0.

Hipótesis inductiva: Supongamos que para algún $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $s_{0}(n)=n$

Paso inductivo: Demostremos que $s_{0}(\sigma(n))=\sigma(n)$.

La demostración se sigue de la siguiente cadena de igualdades, las cuales justificamos una a una abajo:

\begin{align*}
s_{0}(\sigma(n))&=\sigma(s_{0}(n)) \\&\overset{\text{H.I.}}{=}\sigma(n).
\end{align*}

La primera igualdad sucede por el punto (2) de la definición de $s_0$. La segunda igualdad sucede por la hipótesis inductiva, lo cual estamos indicando con un «H.I.» sobre el símbolo de igualdad.

Esto termina el paso inductivo y entonces la proposición se vale para todos los naturales.

$\square$

Así, ya sabemos «sumar cero».

Aprender a sumar uno

Veamos ahora que nuestra intuición de «sumar uno» en efecto coincide de manera formal con «ir al sucesor».

Observación: Tenemos la siguiente cadena de igualdades \[n+1=s_{n}(1)=s_{n}(\sigma(0))=\sigma(s_{n}(0))=\sigma(n).\]

La primera es por nuestra elección de notación. La segunda por la definición del símbolo 1, pues simplemente es el sucesor de 0. La tercera es por el punto (2) de la definición de $s_n$. Finalmente, la última es por el punto (1) de la definición de $s_n$.

$\square$

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{1}(n)=\sigma(n)$, es decir, que al juntarlo con la observación anterior obtenemos $1+n=\sigma(n)=n+1$.

Demostración. Demostremos que $s_1(n)=\sigma(n)$ por inducción sobre $n$. Tenemos que $s_{1}(0)=1=\sigma(0)$ por el punto (1) de la definición de $s_1$ y por la definición de 1. Esto muestra que la igualdad se cumple en el caso base $n=0$.

Nuestra hipótesis de inducción es suponer que $s_{1}(n)=\sigma(n)$ y a partir de ella debemos demostrar que $s_{1}(\sigma(n))=\sigma(\sigma(n))$. Esto lo logramos mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
s_{1}(\sigma(n))&=\sigma(s_{1}(n))\\ &\overset{\text{H.I.}}{=} \sigma(\sigma(n))
\end{align*}

La primera igualdad se debe al punto (2) de la definición de $s_1$.

$\square$

La suma es asociativa

Con los resultados probados en las dos secciones anteriores, continuamos ahora probando propiedades más interesantes de la suma. Aunque las aprendimos desde la educación básica, ahora será momento de justificar por qué se deducen de lo que hemos construido. Empezamos por la asociatividad.

Proposición (asociatividad): Si $a, b, n$, son naturales arbitrarios, entonces $(a+b)+n=a+(b+n)$.

Como es usual, aquí los paréntesis significan «hacer esa operación primero». Si quisiéramos usar la notación formal, tendríamos que enunciar la asociatividad como $$s_{a+b}(n)=s_a(s_b(n)),$$ y cuando hagamos la demostración aprovecharemos la definición de estas funciones $s_{a+b}$, $s_a$ y $s_b$.

Demostración. Procedamos por inducción. Tenemos tres variables naturales. ¿Sobre cuál hacemos inducción? Esto es una decisión importante y el hacer una elección incorrecta puede dificultar la prueba o impedir concluirla. Haremos inducción sobre $n$, pero te recomendamos que intentes hacerlo sobre las otras variables para detectar las dificultades que pueden surgir.

Base inductiva: $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$. En el primer paso usamos el punto (1) de la definición de $s_{a+b}$ y en el segundo usamos el punto (1) de la definición de $s_b$.

Hipótesis inductiva: Supongamos que $(a+b)+n=a+(b+n)$. Recuerda que en una prueba inductiva sólo se hace la hipótesis inductiva para un valor fijo de $n$, pero lo que se quiere suponer es que se vale para todo valor de $n$. Así, no estamos suponiendo que cualquier $n$ pueda asociarse con cualesquiera dos números, solo estamos suponiendo que una $n$ fija puede asociarse con los valores fijos de $a$ y de $b$; más aún, el orden de $a$ y $b$ importa, ya que no hemos demostrado aún la conmutatividad.

Paso inductivo: Demostremos que $(a+b)+\sigma(n)=a+(b+\sigma(n))$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
(a+b)+\sigma(n)&=\sigma((a+b)+n)\\
&\overset{\text{H.I}}{=}\sigma(a+(b+n))^\\
&=a+\sigma(b+n)\\
&=a+(b+\sigma(n)).
\end{align*}

Aquí las igualdades se siguen, respectivamente, de la definición de $s_{a+b}$, de la hipótesis inductiva, de la definición de $s_a$ y de la definición de $s_b$. Con esto, concluimos la prueba del paso inductivo y con ello la prueba por inducción.

$\square$

En la demostración anterior ya no estamos siendo tan específicos con exactamente qué parte de la definición de las funciones estamos usando. Sin embargo, te sugerimos completar estos detalles pues te ayudarán a entender mucho mejor por qué cada uno de los pasos tiene su justificación.

La suma es conmutativa

Otra de las propiedades de la suma que nos enseñan en educación básica es que «el orden de los factores no afecta el resultado». Esto tiene un nombre en matemáticas formales: conmutatividad. El objetivo de la siguiente proposición es demostrar que en efecto la suma es conmutativa.

Proposición (conmutatividad): Si, $n, m$ son naturales, entonces $n+m=m+n$.

En términos de las funciones que construimos mediante el teorema de recursión esto se ve como $s_n(m)=s_m(n)$.

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$, por la misma razón remarcamos que entonces $m$ es un número arbitrario pero fijo.

Base inductiva. Por la primer proposición que probamos, tenemos que $0+m=m=m+0$.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que $n$ cumple que $n+m=m+n$.

Paso inductivo: Demostremos que $\sigma(n)+m=m+\sigma(n)$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
m+\sigma(n)&=\sigma(m+n)\\
&\overset{H.I.}{=}\sigma(n+m)\\
&=n+\sigma(m)\\
&=n+(1+m)\\
&=(n+1)+m\\
&=\sigma(n)+m.
\end{align*}

Como siempre, es importante justificar cada igualdad. Pero ahora es tu turno. ¿Cuáles son las justificaciones de cada una de estas igualdades? Nota que algunas serán las definiciones, algunas serán la notación que estamos usando y finalmente otras se deducen de propiedades que ya demostramos (como la asociatividad).

$\square$

La suma se cancela

Imagina por un momento que tenemos una igualdad del estilo $x+8=y+8$ en los números naturales. Nos gustaría poder concluir que $x=y$. Sin embargo, no podemos hacer el «truco tradicional» de «restar 8» en cada lado de la igualdad para cancelar al 8, pues en los naturales no existe la operación de resta. Nos encontraremos con ella más adelante, hasta que trabajemos con los números enteros.

Aunque no podamos restar, de cualquier forma podemos realizar cancelaciones de este estilo. La siguiente proposición formaliza este hecho.

Proposición (cancelación por la derecha): Si, $a, b, n$ son naturales, tales que $a+n=b+n$, entonces $a=b$.

Demostración. Como ya esperábamos, sean $a$ y $b$ arbitrarios, y procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva. Si $a+0=b+0$, por definición de $s_a$ y $s_b$ obtenemos $a=b$.

Hipótesis inductiva. Supongamos que $n$ es tal que cada vez que tengamos $a+n=b+n$, obtenemos que $a=b$.

Paso inductivo. Demostremos que si $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$, entonces $a=b$.

Entonces supongamos que $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$. Por definición $a+\sigma(n)=\sigma(a+n)$ y $b+\sigma(n)=\sigma(b+n)$. Por nuestra hipótesis tendríamos entonces que $\sigma(a+n)=\sigma(b+n)$. Usando el cuarto axioma de Peano, obtendríamos entonces que $a+n=b+n$. Finalmente, la hipótesis inductiva nos garantiza que entonces $a=b$, como buscábamos.

$\square$

Podemos enunciar el resultado anterior en una forma un poco más «funcional».

Corolario: Las funciones $s_{m}$ con $m\in \mathbb{N}$ son inyectivas.

Demostración: Con todas las herramientas que hemos desarrollado, ya no será necesario ocupar la inducción.

Si $s_{m}(a)=s_{m}(b)$, por la conmutatividad de la suma, tenemos que $s_{m}(a)=s_{a}(m)$ y $s_{m}(b)=s_{b}(m)$. Esto quiere decir que $a+m=b+m$, y por la proposición anterior, $a=b$.

$\square$

Con esto hemos demostrado las propiedades más fundamentales de la suma, a partir de las cuales podremos probar muchas más.

Resumen de propiedades de la suma

Para recapitular, en esta entrada demostramos las siguientes propiedades de la suma y por lo tanto podremos usarlas directamente de aquí en adelante:

  • Para todo $n$ natural, se tiene $0+n=n=n+0$.
  • Para todo $n$ natural, se tiene $1+n=\sigma(n)=n+1$.
  • Para $m$ y $n$ naturales cualesquiera, se tiene $m+n=n+m$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, se tiene que $l+(m+n)=(l+m)+n$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, si $m+l=n+l$, entonces $m=n$.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $a, b\in \mathbb{N}$, y $a+b=0$, entonces $a=b=0$.
  2. Demuestra que si $a+a=b+b$, entonces $a=b$. ¡Ten cuidado! En los números naturales no se vale «dividir», así que más bien tendrás que hacer una prueba inductiva.
  3. Sean $m,n,l$ naturales cualesquiera. Demuestra, usando sólo las propiedades que ya mostramos (ya sin inducción), que todas las siguientes expresiones son iguales:
    \begin{align*}
    m+(n+l)\\
    (l+m)+n\\
    n+(m+l)\\
    (n+l)+m\\
    \end{align*}
  4. ¿Cuáles de las funciones $s_{m}$ tienen inversa? ¿Qué significa esto?
  5. Antes de dominar las tablas de multiplicar de memoria, ¿Cómo multiplicabas? Ocupa esta idea para motivar una definición recursiva del producto de números naturales.

Más adelante…

Ya que conocemos las propiedades de la suma, podemos pasar a definir el producto, y análogamente, a como lo hicimos antes, estudiaremos sus propiedades usando el principio de Inducción.

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