Archivo de la etiqueta: conjugación

Álgebra Superior II: Ejercicios de conjugados complejos

Aquí van los videos de hoy, en donde vemos ejemplos resueltos de conjugación compleja. Expliqué con un poco más de detalle el ejemplo 132 del libro de Bravo, Rincón y Rincón. Resolví el ejercicio 325 completo, así como otros 3 ejercicios de conjugados complejos del libro Álgebra Superior II de Antonio Lascurain. Más adelante les pondré en foto para los que no tengan facilidad para ver los videos de YouTube.

Ejemplos y ejercicios de conjugados complejos del Bravo, Rincón, Rincón

Primero, resolvemos el ejemplo 132 del libro:

Problema. Calcular $z$ si $iz+(2-i)\overline{z}=10+6i$.

Ejemplo 132 detallado

Inciso 1 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve $(1+i)z+(1-i)\overline{z}=4$.

Inciso 1 del ejercicio 325

Inciso 2 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve $z\overline{z}+3(z+\overline{z})=7$

Inciso 2 del ejercicio 325

Inciso 3 del ejercicio 325. Nota importante de este ejercicio: Alrededor del 7:09 me equivoqué en un signo, el término $6d$ de la parte imaginaria debería ser negativo. Eso puede que cambie el resultado final, pero esa es la idea de la resolución del problema.

Problema. Resuelve el sistema \begin{align*}iz+(1+i)&=3+i\\ (1+i)\overline{z}-(6+i)\overline{w}&=4\end{align*}

Ejercicios del libro de Lascurain

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Álgebra Superior II de Antonio Lascurain.

Problema. Realiza la siguiente operación de números complejos: $$\overline{\left(\frac{2-4i}{5-5i}\right)}$$.

Una división con conjugados complejos

Problema. Encuentra las parejas $u,v$ de números complejos para las cuales sucede que $u \overline{\overline{v}u}=v$.

Problema 1 de conjugación compleja

Problema. Encuentra las parejas $u,v$ de números complejos para las cuales sucede que $v+iu=-\overline{v}+i\overline{u}$.

Problema 2 de conjugación compleja

Álgebra Superior II: La conjugación compleja

Introducción

En una entrada anterior definimos el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos. Vimos que sus elementos tienen la forma $a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales. Definimos las operaciones de suma y producto, y vimos que, con estas operaciones, $\mathbb{C}$ es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.

Definición. Sea $z=a+bi$ un número complejo. El conjugado de $z$ es el número complejo $a-bi$ que denotaremos como $\overline{z}$.

Ejemplo. Sea $z=5+8i$, entonces $\overline{z}=5-8i$. Si $z=\sqrt{3}-8\pi i $, entonces $\overline{z}=\sqrt{3}+8\pi i$.

En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo $a+bi$ como el punto $(a,b)$ del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto $(a,b)$ en el punto $(a,-b)$, es decir, se comporta como una reflexión en el eje $x$.

La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x
La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje $x$

Conjugación y operaciones complejas

La conjugación compleja «se comporta bien» con las operaciones definidas en $\mathbb{C}$. Este es el contenido de la siguiente proposición.

Proposición 1. Si $w$ y $z$ son números complejos, entonces:

  • El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir, $\overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}$.
  • El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir, $\overline{wz}=\overline{w}\overline{z}$.

Demostración. Si escribimos a $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c,d$ números reales. Tenemos que
\begin{align*}
\overline{w+z}&=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\
&=(a+c)-(b+d)i\\
&=(a-bi)+(c-di)\\
&=\overline{w}+\overline{z},
\end{align*} lo cual prueba la primera parte de la proposición. Por otro lado
\begin{align*}
\overline{wz}&=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\
&=(ac-bd)-(ad+bc)i\\
&=(ac-(-b)(-d))+(a(-d)+b(-c))i\\
&=(a-bi)(c-di)\\
&=\overline{w}\overline{z},
\end{align*} lo cual prueba la segunda parte.

$\square$

Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto se deja en la tarea moral.

Ejemplo. Considera los números complejos $5+4i$, $3+2i$ y $1-i$. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo $$(5+3+1)+(4+2-1)i=9+5i,$$ cuyo conjugado es $9-5i$.

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números de manera independiente para obtener $5-4i$, $3-2i$ y $1+i$. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos $$(5+3+1)+(-4-2+1)i=9-5i.$$ En ambos casos obtenemos lo mismo.

$\square$

La conjugación compleja es autoinversa

Proposición 2. La operación «conjugar» es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.

Demostración. En efecto, si $z=a+bi$, entonces $$\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z.$$

Para ver que conjugar es suprayectivo, tomemos $z$ en $\mathbb{C}$. Tenemos que $\overline{\overline{z}}=z$, de modo que $z$ está en la imagen de la operación conjugación.

Para ver que conjugar es inyectivo, tomemos $w$ y $z$ en $\mathbb{C}$ tales que $\overline{w}=\overline{z}$. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que $w=z$.

$\square$

Operaciones de un complejo con su conjugado

Sea $z=a+bi$ un número complejo, a $a$ le llamamos la parte real de $z$ y a $b$ le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación $a=\text{Re}(z)$ y $b=\text{Im}(z)$, respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama parte imaginaria porque es la que acompaña a $i$.

Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.

Proposición 3. Sea $z$ un número complejo. Entonces:

  • $z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$
  • $z-\overline{z}=2\text{Im}(z) i$
  • $z\overline{z}=\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2$

La demostración de la Proposición 3 es sencilla y se deja como tarea moral.

Ejemplo. Si tomamos el número complejo $3+4i$ y le sumamos su conjugado $3-4i$, obtenemos el número real $6$, que es dos veces la parte real de $3+4i$.

Si hacemos la multiplicación $(3+4i)(3-4i)$, obtenemos también un número real: $$3^2-(4i)^2=9-(-16)=25.$$

$\square$

Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.

Corolario. Si $z=\overline{z}$, entonces $z$ es un número real.

Demostración. Por la primera parte de la Proposición 3, tenemos que $2z=z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$, de modo que $z=\text{Re}(z)$ y por lo tanto $z$ es un número real.

$\square$

Ejercicio. Muestra que el complejo $$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)$$ es un número real.

Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es $0$. Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma $z\overline{z}$. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.

$\square$

La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales

En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación, en $\mathbb{C}$, que hace esto sin ser la identidad.

Teorema. Si $\eta:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es una función biyectiva. tal que:

  • $\eta$ no es la identidad.
  • $\eta(a)=a$ para todo $a$ real.
  • $\eta(w+z)=\eta(w)+\eta(z)$ para todo par de complejos $w$ y $z$.
  • $\eta(wz)=\eta(w)\eta(z)$ para todo par de complejos $w$ y $z$.

Entonces $\eta$ es la conjugación compleja.

Demostración. Sea $z=a+bi$, tenemos que

\begin{align*}
\eta(a+bi)&=\eta(a)+\eta(bi)\\
&=\eta(a)+\eta(b)\eta(i)\\
&=a+b\eta(i),
\end{align*}

así que basta determinar quién es $\eta(i)$. Por otro lado, como $-1$ es real, tenemos también que
\begin{align*}
-1&=\eta(-1)\\
&=\eta(i\cdot i)\\
&=\eta(i)\eta(i)\\
&=\eta(i)^2,
\end{align*}

de modo que $\eta(i)$ es una raíz de $-1$ y por lo tanto es $i$ o $-i$. Si $\eta(i)=i$, tendríamos que $\eta$ es la identidad, lo cual contradice nuestras hipótesis. Así, $\eta(i)=-i$ y por lo tanto $\eta$ es la conjugación compleja.

$\square$

Tarea moral

  • Considera los números complejos $w_j=5+(2-j)i$, en donde $j$ es un entero en $\lbrace 0,1,2,3,4\rbrace$. Encuentra el valor de la suma $w_0+w_1+w_2+w_3+w_4$ y del producto $w_0w_1w_2w_3w_4$.
  • Toma los números complejos $w$ y $z$. Muestra que $\overline{w-z}=\overline{w}-\overline{z}$ y que si $z\neq 0$, entonces $\overline{w/z}=\overline{w}/ \overline{z}$.
  • Haz la demostración de la Proposición 3
  • ¿Cuáles números complejos satisfacen que $z^2=\overline{z}$?
  • Sea $z$ un número complejo distinto de $0$. ¿Qué obtienes cuando realizas la división $z/\overline{z}$?

En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.