Álgebra Superior II: Esbozo de construcción de los números racionales y reales

Introducción

En la unidad pasada vimos la construcción de los números enteros a partir de los números naturales. Lo que hicimos fue considerar parejas de números naturales $(a,b)$ para las que dimos la relación $\sim$ definida por $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $a+d=b+c$, vimos que esta relación es de equivalencia. Dijimos que, aunque era incorrecto formalmente, convenía pensar a la pareja $(a,b)$ como $a-b$ (es incorrecto ya que no siempre se puede restar en $\mathbb{N}$).

La relación $\sim$, así definida, genera las clases de equivalencia $$\overline{(a, b)}=\lbrace (c, d)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : a+d=b+c\rbrace$$ en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. El conjunto $\mathbb{Z}$ lo construimos como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. En él definimos las operaciones:

  • Suma: $\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}$
  • Producto: $ \overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$

Vimos que estas operaciones están bien definidas. La suma es bastante natural. El producto parece algo artificial, pero se vuelve natural si pensamos en «multiplicar $a-b$ con $c-d$», pues $(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$. Recordemos que es una justificación informal, pero ayuda a entender la intuición.

Después, nos dedicamos a probar que con estas operaciones, suma y producto, el conjunto $\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo con $1$ en donde se vale cancelar. A partir de ahí empezamos a ver a $\mathbb{Z}$ desde el punto de vista de la teoría de números. Estudiamos el máximo común divisor, la relación de divisibilidad, el anillo de enteros módulo $n$, congruencias, ecuaciones en congruencias, teorema chino del residuo y mencionamos un poco de ecuaciones diofantinas.

Con eso terminamos la unidad de enteros, correspondiente al segundo segundo parcial del curso.

Las siguientes dos unidades contempladas por el temario oficial son:

  • Números complejos.
  • Anillo de polinomios.

Vale la pena hacer una observación. Típicamente tenemos la siguiente cadena de contenciones entre sistemas numéricos $$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$$

En las primeras dos unidades del curso hablamos de $\mathbb{N}$ y de $\mathbb{Z}$. De acuerdo a las contenciones anteriores, lo siguiente sería tratar a detalle los racionales $\mathbb{Q}$ y los reales $\mathbb{R}$. Sin embargo el temario oficial «se los salta». Esto es un poco raro, pero podría estar justificado en que estos sistemas numéricos se estudian en otros cursos del plan de estudios. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ se estudia con algo de profundidad en los cursos de cálculo.

De cualquier forma nos va a ser muy útil mencionar, por lo menos por «encima», cómo hacer la construcción de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$. La construcción de los números racionales ayuda a repasar la construcción de los enteros. En la construcción de los números reales nos encontraremos con propiedades útiles que usaremos, de manera continua, cuando hablemos de la construcción de los números complejos $\mathbb{C}$. Por estas razones, aunque no vayamos a evaluar, las construcciones de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$, en el curso, las ponemos aquí para que las conozcas o las repases.

Motivación de construcción de los racionales

Los naturales no son suficientes para resolver todas las ecuaciones de la forma $$x+a=b,$$ pues si $a>b$ la ecuación no tiene solución en $\mathbb{N}$ y esta fue nuestra motivación para construir los números enteros. En $\mathbb{Z}$ todas estas ecuaciones tienen solución. Sin embargo, en $\mathbb{Z}$ la ecuación $$ax=b$$ tiene solución si y sólo si $a$ divide a $b$ (por definición se tiene que $a$ divide a $b$ si y sólo si $b$ es un múltiplo de $a$), pero no siempre sucede esto. Por ejemplo, $3x=7$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$.

Construcción de los racionales

Para la construcción de los racionales consideremos el conjunto $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ y sobre él la relación $\sim$ definida por $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $ad=bc$. Resulta que $\sim$ es relación de equivalencia, así que, para cada pareja $(a,b)$ denotaremos como $\overline{(a,b)}$ a su clase de equivalencia. En este caso $$\overline{(a, b)}=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\} : an=bm\rbrace.$$

Observa que esta construcción se parece mucho a la que hicimos para $\mathbb{Z}$, aunque ahora nos basamos en el producto en $\mathbb{Z}$ (antes era la suma en $\mathbb{N}$). De nuevo, una forma de pensar bastante intuitiva (aunque formalmente incorrecta), es pensar a cada clase $\overline{(a,b)}$ «como $\frac{a}{b}$». Nota que estamos considerando sólo aquellas parejas $(a,b)$ tales que $b\neq 0$.

De esta forma $\mathbb{Q}$ es el conjunto de clases de equivalencia de las parejas $(a,b)$ tales que $b\neq 0$, en símbolos, $$\mathbb{Q}:=\{\overline{(a,b)}: a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\}.$$

Operaciones y orden en los racionales

Vamos a definir las operaciones en $\mathbb{Q}$. Ahora el producto es «intuitivo» y la suma no tanto.

  • Suma: $\overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} = \overline{(ad+bc,bd)}$
  • Producto: $\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac,bd)}$

La suma se vuelve mucho más intuitiva si primero pensamos en nuestra interpretación (informal) de $\overline{(a,b)}$ como $\frac{a}{b}$ y luego, por lo que aprendimos en educación primaria sobre la suma de fracciones, vemos que $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Ahora, para definir el orden en $\mathbb{Q}$, tomemos la pareja $(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Tenemos que la clase $\overline{(a,b)}$ es

  • Cero si $a=0$,
  • Positiva si ambos ($a$ y $b$) son negativos o ninguno es negativo con el orden definido en $\mathbb{Z}$ y
  • Negativa si exactamente alguno ($a$ o $b$) es negativo con el orden definido en $\mathbb{Z}$.

Diremos que $\overline{(a,b)}>\overline{(c,d)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es positiva.

Se puede probar que estas operaciones suma y producto, así como el orden están bien definidas (es decir que no dependen del representante que se tome).

Antes, de continuar, consideremos lo siguiente: un campo se puede pensar como un conjunto en el que están definidas la «suma» y la «multiplicación» tales que:

  • La suma es asociativa, conmutativa, tiene un neutro (el $0$) e inversos aditivos.
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene un neutro (el $1$) y todo elemento distinto de $0$ tiene un inverso multiplicativo.
  • Se tiene la distributividad del producto sobre la suma $a(b+c)=ab+bc$.

En vista de lo anterior queremos mencionar que se puede probar lo siguiente:

Teorema. El conjunto $\mathbb{Q}$ con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado.

Retomando lo que hablamos del neutro para la multiplicación, en un campo, veamos un ejemplo.

Ejemplo. La clase $\overline{(c,c)}$ es el neutro multiplicativo en $\mathbb{Q}$, veamos:

Se tiene que $$\overline{(a, b)(c, c)} = \overline{(ac,bc)}=\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: acn=bcm\rbrace$$

y $\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: acn=bcm\rbrace=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: anc=bmc\rbrace$, pero $\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: anc=bmc\rbrace=\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: an=bm\rbrace=\overline{(a, b)}$. Por lo tanto $\overline{(a, b)(c, c)}=\overline{(a, b)}$. Nota que aquí estamos usando que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo, conmutativo y que se pueden cancelar factores distintos de cero.

En $\mathbb{Q}$, el inverso multiplicativo de la clase $\overline{(a,b)}$ es $\overline{(b,a)}$, veamos:

Su producto es $$\overline{(ab,ba)}=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: abn=bam\rbrace$$ y $\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: abn=bam\rbrace=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: m=n\rbrace=\overline{(c, c)}$.

$\square$

Notación simple de racionales y ecuaciones aún sin solución

Vamos a denotar la clase de equivalencia $\overline{(a,b)}$ por $\frac{a}{b}$, a partir de lo cual nuestra interpretación de pensarlo así ya se vuelve formal. Se puede mostrar que todo lo que aprendimos de esta notación en la primaria se deduce de las propiedades de $\mathbb{Q}$.

La ecuación $$ax=b$$ tiene solución casi siempre, el único problema es si $a=0$. Pero si $a\neq 0$, la solución es única y es $x=\frac{b}{a}$.

El conjunto $\mathbb{Q}$ es bastante bueno algebraicamente, pero le falta todavía más para ser bueno para análisis y cálculo. Todavía tiene «bastantes hoyos»: en él no podemos probar, por ejemplo, el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Así mismo, hay varias ecuaciones que todavía no tienen solución en $\mathbb{Q}$.

Ejercicio. La ecuación $x^2=3$ no tiene una solución en $\mathbb{Q}$.

Una forma de enunciar el resultado anterior es decir «$\sqrt{3}$ es irracional». Pero nota que es incorrecto enunciarlo así, pues para ponerle un nombre a $\sqrt{3}$, es necesario saber quién es, y justo el punto del ejercicio es que, tan sólo con $\mathbb{Q}$, no podemos definirlo.

Solución. Vamos a proceder por contradicción. Supongamos que la ecuación $x^2=3$ tiene una solución $p/q$ en los racionales. De esta forma,$(p/q)^2=3$. Multiplicando por $q^2$ en ambos lados, $p^2=3q^2$.

La factorización en primos del lado izquierdo tiene una cantidad par de $3$’s. La factorización en primos del lado derecho tiene una cantidad impar de $3$’s. Esto es una contradicción al teorema fundamental de la aritmética, por lo tanto, no existe $p/q$ solución racional de $x^2=3$.

$\square$

Reales y hoyos en los racionales

Para la construcción de los reales, ya no podemos proceder como le hemos estado haciendo, considerando simplemente parejas de números del sistema anterior y construyendo una relación de equivalencia sobre ellas. Lo que buscamos cuando damos el paso entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ ya no es sólo que los números tengan «inversos aditivos» o «inversos multiplicativos», sino que «todos los conjuntos acotados por abajo tengan un mejor mínimo». Esto es lo que garantiza que se «llenen los hoyos» que tienen los racionales.

Entendamos el concepto de «hoyo»:

Definición. Sea $X$ un orden total $\le$ y $S$ un subconjunto de $X$, un ínfimo de $S$, en $X$, es un $r\in X$ tal que

  • $r\leq s$ para todo $s\in S$ y
  • si $t\leq s$ para todo $t\in S$, entonces $t\leq s$.

Definición. Un conjunto $X$ con un orden total $\le$ es completo si todo subconjunto $S$ de $X$, acotado inferiormente, tiene un ínfimo.

Ejemplo. El conjunto $\mathbb{Q}$ no es completo, pues el subconjunto $$S=\{x\in \mathbb{Q}: x^2\geq 3\}$$ está acotado inferiormente, pero no tiene un ínfimo en $\mathbb{Q}$ (su ínfimo es $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ no pertenece a $\mathbb{Q}$).

$\square$

Sucesiones de Cauchy y construcción de los reales

Hay varias formas de construir un sistema numérico que extienda a $\mathbb{Q}$ y que no tenga hoyos. Se puede hacer mediante cortaduras de Dedekind, mediante expansiones decimales o mediante sucesiones de Cauchy de números racionales. Todas estas construcciones son equivalentes. Daremos las ideas generales de la última.

Definición. Una sucesión $$\{x_n\}=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$$ es de Cauchy si para todo $N$ existe un $M$ tal que si $m\geq M$ y $n\geq M$, entonces $|x_m-x_n|<\frac{1}{N}$. Denotaremos con $C(\mathbb{Q})$ al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy de números racionales.

Construiremos una relación de equivalencia $\sim$ en $C(\mathbb{Q})$. Si tenemos dos de estas sucesiones:
\begin{align*}
\{x_n\}&=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\} \quad \text{y}\\
\{y_n\}&=\{y_1,y_2,y_3,\ldots\},
\end{align*}

diremos que $\{x_n\}\sim \{y_n\}$ si para todo natural $N$ existe un natural $M$ tal que para $n\geq M$ tenemos que $$|x_n-y_n|<\frac{1}{N}.$$

Se puede probar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Para cada sucesión $\{x_n\}$ de Cauchy usamos $\overline{\{x_n\}}$ para denotar a la clase de equivalencia de $\{x_n\}$. Por definición, el conjunto $\mathbb{R}$ es el conjunto de clases de equivalencia de $\sim$, en símbolos: $$\mathbb{R}:=\{\overline{\{x_n\}}: \{x_n\} \in C(\mathbb{Q})\}.$$

Operaciones y orden en los reales

En $\mathbb{R}$ podemos definir las siguientes operaciones:

  • Suma: $\overline{\{x_n\}} + \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_n + y_n\}}$ .
  • Producto: $\overline{\{x_n\}} \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_ny_n\}}$.

También podemos definir el orden en $\mathbb{R}$. Decimos que $\overline{\{x_n\}}$ es positivo si para $n$ suficientemente grande tenemos $x_n>0$. Decimos que $\overline{\{x_n\}}>\overline{\{y_n\}}$ si $\overline{\{x_n\}}- \overline{\{y_n\}}$ es positivo.

Se puede ver que las operaciones de suma y producto, así como el orden, están bien definidos. Más aún, se puede probar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{R}$ con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado y completo.

Como antes, una vez que se prueba este teorema, se abandona la notación de sucesiones y de clases de equivalencia. En realidad se oculta, pues la construcción siempre está detrás, como un esqueleto que respalda las propiedades que encontramos.

El teorema nos dice que $\mathbb{R}$ ya no tiene hoyos, y esto es precisamente lo que necesitamos para resolver algunas ecuaciones como $x^2=3$. Un esbozo de por qué es el siguiente. Gracias a la existencia de ínfimos se puede probar el teorema del valor intermedio en $\mathbb{R}$. Se puede probar que la función $x^2$ es continua, que en $x=0$ vale $0$ y que en $x=2$ vale $4$, de modo que por el teorema del valor intermedio debe haber un real $x$ tal que $x^2=3$.

Reflexión final y motivación de números complejos

Las muchas otras importantes consecuencias de que $\mathbb{R}$ sea un campo ordenado y completo se discuten a detalle en cursos de cálculo. Si bien este es un logro enorme, aún tenemos un pequeño problema: ¡todavía no podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales! Consideremos la ecuación $$x^2+1=0.$$ Podemos mostrar que para cualquier real $x$ tenemos que $x^2\geq 0$, de modo que $x^2+1\geq 1>0$. ¡Esta ecuación no tiene solución en los números reales!

Para encontrar una solución vamos a construir los números complejos. Con ellos podremos, finalmente, resolver todas las ecuaciones polinomiales, es decir, aquellas de la forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0.$$

Hablaremos de esto en el transcurso de las siguientes dos unidades: números complejos y polinomios.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • ¿Cuál de las clases de equivalencia sería el neutro aditivo en $\mathbb{Q}$?
  • ¿Por qué la definición de orden en $\mathbb{Q}$ no depende del representante elegido?
  • ¿Cómo construirías el inverso multiplicativo de la sucesión de Cauchy $\{x_n\}$? Ten cuidado, pues algunos de sus racionales pueden ser $0$.
  • Aprovecha esta entrada de transición entre unidades para repasar las construcciones de $\mathbb{N}$ y de $\mathbb{Z}$.

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