Esta es la página del curso Álgebra Superior II que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Números naturales, inducción y teorema de recursión
- Unidad 2: Números enteros y divisibilidad
- Unidad 3: Números complejos
- Unidad 4: Polinomios
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por Claudia Silva, Roberto Manríquez y Leonardo Martínez. Aún faltan algunas. Se irán agregando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Unidad 1: Números naturales, inducción y teorema de recursión
- Introducción al curso y a los números naturales
- La construcción de los naturales
- Problemas de la construcción de los naturales
- Principio de inducción y teoremas de recursión
- Problemas de principio de inducción
- Definición de la suma y sus propiedades básicas
- Definición del producto y sus propiedades básicas
- Problemas de suma y producto de naturales
- Otras definiciones recursivas en los naturales (exponenciación y factorial)
- Problemas de otras definiciones recursivas
- Conjuntos transitivos
- El tamaño de $\mathbb{N}$ y de cada natural
- Problemas de concursos transitivos y cardinalidad de los naturales
- La relación de orden en $\mathbb{N}$
- El principio del buen orden
- Problemas del orden en $\mathbb{N}$
- Compatibilidad del orden con las operaciones de los naturales
- Problemas de compatibilidad del orden de los naturales con sus operaciones
Unidad 2: Números enteros y divisibilidad
- Construcción de los enteros y su suma
- El producto en los enteros
- Problemas de construcción, suma y producto de enteros
- El orden en los enteros
- La inmersión de los naturales en los enteros
- Problemas de orden de los enteros y la inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$
- Algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$
- Divisibilidad en los enteros
- Ideales en los enteros
- Problemas de algoritmo de la división, ideales y divisibilidad
- Máximo Común Divisor
- Mínimo Común Múltiplo
- Problemas de MCD y mcm
- Números primos y sus propiedades
- Teorema fundamental de la aritmética e infinidad de números primos
- Problemas de números primos
- Ecuaciones en congruencias
- Teorema chino del residuo
- Problemas de ecuaciones en congruencias y teorema chino del residuo
Unidad 3: Números complejos
- Construcción de números complejos
- Inmersión de los reales en los complejos (es la misma entrada que la anterior, pues en esa también se cubre este tema)
- Problemas de operaciones en complejos
- La norma en los complejos
- Ecuaciones cuadráticas complejas
- Problemas de norma de complejos y ecuaciones de segundo grado
- Sistemas de ecuaciones lineales complejos
- Cambio de coordenadas y forma polar de un complejo
- Problemas de sistemas de ecuaciones complejos y forma polar
- Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre
- Raíces de números complejos y raíces de la unidad
- Problemas de fórmula de De Moivre y raíces $n$-ésimas
- Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos
- Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en $\mathbb{C}$
Unidad 4: Polinomios
- Inmersión de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}[x]$, grado y evaluación
- Algoritmo de la división, teorema del factor y del residuo
- Problemas de grado, evaluación de polinomios, teorema del residuo y del factor
- Máximo común divisor de polinomios y algoritmo de Euclides
- Problemas de MCD, algoritmo de Euclides e irreducibilidad en $\mathbb{R}[x]$
- Continuidad y diferenciabilidad de polinomios reales
- Problemas de continuidad y derivadas de polinomios
- El teorema de derivadas y multiplicidad
- El criterio de la raíz racional
- Problemas de raíces múltiples y raíces racionales de polinomios
Videos del curso
Como material adicional, nos apoyaremos en videos con varios problemas resueltos. Todos ellos se pueden encontrar en el siguiente canal de YouTube:
Los videos fueron diseñados y grabados por Claudia Silva Ruiz, y están basados en ejercicios del libro de Álgebra Superior de Alejandro Bravo, Hugo Rincón y César Rincón.
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en construcción un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en el libro Álgebra Superior de Alejandro Bravo, Hugo Rincón y César Rincón. Como textos auxiliares usaremos los libros Álgebra y Teoría de Números de la Serie de Cuadernos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Semestre 2020-2: Claudia Silva Ruiz
Semestre 2021-2: Carla Abigail Anaya Montaño, Ana Ofelia Negrete Fernández, Roberto Manríquez Castillo, Edgar Sánchez Santos
Las siguientes personas han creado material para este curso en línea:
- Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
- Roberto Manríquez Castillo
- Ana Ofelia Negrete Fernández
- Claudia Silva Ruiz
Hola maestro! ¿Cómo será el formato en el cual podremos acceder a los exámenes parciales?
Hola Jorge. Claudia ya envió hoy un correo con las instrucciones y el documento del examen. Revisa tu correo. Si no lo has recibido, por favor escríbele. Recuerda que puedes ver su correo en la página de la Facultad: http://www.fciencias.unam.mx/directorio/69496
Excelente aporte.
Muy profesional … mis felicitaciones.
Ing. Israel Cantoral Fernández
Unidad de ciencias avanzadas del Departamento de Ingeniería en el Tecnológico de monterrey.
Me interesa este tema, aquí se explica muy bien felicidades .
Hola Omar. Gracias por el comentario.
Buenas tardes Dr.
Revisando literatura para impartir la materia de Calculo para la Lic. QFB en una universidad privada, encontré su blog y me gustaría tener la información de la explicación de su blog con respecto a numeros complejos, tal cual la explica en su blog.
¿Donde puedo encontrarla?
¿hay un PDF y si así es que costo tiene?
Hola Daniel. No hay PDFs del material pues la idea es que aquí en el blog la información puede estar mejorándose y actualizándose. Sin embargo, sin ningún problema puedes impartir el tema usando estas notas y citándolas para que los estudiantes también las usen en línea.
Buen día, no soy estudiante de la Unam, soy estudiante de la Universidad Nacional de Colombia y quisiera solicitar muy amablemente la posibilidad de compartirme el material de su curso ya que es muy bueno.
Hola David. Claro, en esta página podrás seguirlo consultando conforme siga saliendo. Lo puedes usar tanto paraaprender el curso, como para impartirlo. Además, subiremos material complementario en algún momento a la página de Matemáticas a Distancia (https://www.mdistancia.com). Saludos.
Buenas Tardes, doctor
No soy estudiante suya, pero me encontré este blog y me ha ayudado mucho. Quería saber si conoce alguna persona que de asesorías de esta materia que recomiende. Quedo al pendiente, gracias.
Hola Andrea. Muchas gracias por el comentario. Disculpa la gran tardanza en responder (¡más de un año!). Se nos traspapeló y no respondimos a tiempo. Con respecto a alguien que de asesorías, podrías tal vez preguntar en el grupo de Matemáticos de Facebook, pues ahí luego hay muchas personas que están dispuestas a ayudar.
gracias por compartir información sobre los números enteros
Gracias por el comentario, Diego. Saludos.