Introducción
En las últimas cuatro entradas hemos visto al conjunto de números naturales como elementos del conjunto . Sin embargo, no debemos olvidar que, como casi todo lo que construimos en matemáticas, los números son también conjuntos. Y al ser conjuntos, cada uno de los naturales tiene unos ciertos elementos que los caracterizan de forma unívoca.
Pensando en esto, recordemos el ejercicio 5 de la Tarea moral de las notas sobre la Construcción de los naturales:
Problema. Muestra que si , entonces
.
En otras palabras, como conjunto, cada natural consiste exactamente de los números naturales anteriores. Antes de empezar a leer esta entrada, y si aún no lo has hecho, te invitamos a intentar este problema. Aunque comenzaremos la siguiente sección dando una prueba, es bueno que intentes familiarizarte por tu cuenta con lo que será necesario hacer pues dicho resultado será importante para la teoría que veremos en esta entrada.
Dos propiedades de los números naturales
Para empezar, y por la importancia de la aseveración, probamos justo el ejercicio comentado en la introducción. Primero, notemos que como en la hipótesis, se pide que , tiene sentido hablar del número
. Aunque no hemos definido a la resta en los números naturales, podemos definir a esta expresión como el único número
tal que
Teorema. Si , entonces
.
Demostración. Procedamos por inducción sobre . Como el resultado es a partir de
, la base inductiva corresponde al caso
. Este caso es claro, ya que por definición,
Supongamos que para alguna , se tiene que
, y probemos que el resultado también es cierto para
. Para ello, se usa la siguiente cadena de igualdades, en la cual te invitamos a pensar por qué se da cada igualdad:
Esto termina el paso inductivo y por lo tanto la demostración.
Consideremos un número natural y ocupemos este resultado para examinarlo como conjunto. Para no hacer la notación muy larga ocuparemos el . Por el teorema anterior, tenemos que
Analizando cada elemento del conjunto , podemos ver que cada uno de los elementos (ya expandidos) de nuestro conjunto, es a su vez un subconjunto del
. Por ejemplo, uno de los elementos de
es el conjunto
, que claramente es un subconjunto de
. Pensando de forma similar, no debe ser difícil convencerse, al menos de forma intuitiva, que esta propiedad será satisfecha de manera más general en los naturales.
Motivados por lo anterior, enunciamos el teorema siguiente, y damos una prueba formal usando el principio de Inducción.
Teorema. Si es un número natural y se tiene que
, entonces
.
En este punto es muy importante recordar que significa que
es un elemento de
, mientras que
significa que
es un subconjunto de
, es decir, que todo elemento de
también es elemento de
. Pasemos a la demostración.
Demostración. De nuevo procedamos por inducción, si , la proposición
es falsa, ya que
, como el antecedente es falso, la proposición
, es verdadera, y así probamos el caso base (como
, a esto también se le conoce como una prueba por vacuidad).
Supongamos que el resultado es cierto para alguna , es decir que si
, entonces
. Probemos que también es cierta la afirmación al substituir
por
.
Sea . Por la definición de la unión hay dos casos: o bien
, o bien
.
Tratemos el primer caso. Si , entonces por la hipótesis de inducción, tenemos que
, pero por definición de
tenemos que
. Como la contención de conjuntos es transitiva, concluimos que
.
El caso restante es . En este caso, el único elemento en el conjunto del lado derecho es
, así que debe suceder que
. De aquí es inmediata la contención buscada, pues
. En cualquier caso, obtenemos lo que que queremos. Así la inducción y la prueba concluyen.
Conjuntos transitivos y un ejemplo
Nota que la propiedad de un conjunto de que si
, es equivalente a la propiedad de que si
. También, en general, esta propiedad no se satisface para cualquier conjunto. Es así que motivamos la siguiente definición.
Definición. Se dice que un conjunto es transitivo, si
implica que
.
Los conjuntos transitivos son de suma importancia en la teoría de conjuntos, y probablemente conocerás más de ellos si llevas algún curso de esa materia. Un estudio profundo de estos conjuntos se sale de los fines de nuestro curso, pero podemos decir unas pocas cosas más. Con esta nueva definición podemos reformular el teorema de la sección anterior como sigue.
Teorema. Cada uno de los números naturales es un conjunto transitivo.
Como mencionamos, los conjuntos transitivos parecen ser una clase muy particular de conjuntos. Sin embargo, podemos mencionar otro conjunto transitivo de suma importancia: el conjunto . Esperamos que así como hicimos con los números naturales, puedas formarte una intuición de por qué esta afirmación es cierta, usando el teorema inicial.
Antes de dar la prueba, consideramos pertinente hacer mención de los límites del principio de inducción. En el teorema anterior, probamos que cada número natural es transitivo, nunca se probó que , fuese transitivo. De la misma forma, si en algún momento pruebas que una afirmación es cierta para cualquier número natural, esa misma afirmación podría dejar de ser cierta al considerar el caso de todo el conjunto
. Encontraremos ejemplos de esto en entradas posteriores. Ahora sí, enunciamos el teorema.
Teorema: El conjunto de números naturales es transitivo.
Demostración. Debemos probar que si , entonces
. Es decir, que todo número natural es un subconjunto de
Para esto, usaremos inducción sobre
.
Evidentemente la base es cierta ya que es un subconjunto de todo conjunto, en particular del de los naturales.
Supongamos que para un natural fijo sucede que
y a partir de ello probemos que
también es un subconjunto de los naturales.
Para ver que esto es cierto, usamos que . Esta es una unión de conjuntos, así que basta ver que cada uno está contenido en
Por un lado,
está contenido en los naturales, ya que su único elemento es el número
, que está en
. Por otro, por hipótesis de inducción,
. Concluimos entonces, como queríamos, que
.
Nota que el teorema inicial de la sección es un refinamiento de este teorema, ya que no solo nos dice que los números naturales están contenidos en , sino que nos dice específicamente, quienes son los elementos de
.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Demuestra que
no es un conjunto transitivo ¿Quién es el mínimo conjunto transitivo que lo contiene?
- Prueba que si
y
son transitivos, entonces
es transitivo.
- Demuestra que si
es transitivo, entonces
también es un conjunto transitivo.
- Prueba que en general que si
es transitivo, entonces
también es transitivo.
- Demuestra que un conjunto es transitivo si y solo si
.
Más adelante
El teorema que demostramos al inicio de la entrada tendrá de nuevo mucha importancia en el siguiente tema, aunque demostramos que cada número es el conjunto de los
elementos menores que el, necesitamos definir qué significa que un conjunto tenga
elementos. Motivados por esta idea, y por las características de los números naturales, definiremos también la idea de que un conjunto tenga una cantidad infinita de elemento. Veremos que, como podrás intuir, el conjunto
de todos los números naturales es en verdad un conjunto infinito y que en cierto sentido formal es el «más pequeño» de todos estos conjuntos.
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- Ir a: Álgebra Superior II
- Entrada anterior del curso: Otras definiciones recursivas