Introducción
Hemos llegado a la cima del curso. En estas últimas entradas probaremos uno de los teoremas más bellos en álgebra lineal: el teorema espectral para matrices simétricas reales. También hablaremos de varias de las consecuencias que tiene.
Hay dos formas equivalentes de enunciar el teorema.
Teorema. Sea un espacio euclideano y
una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de
que consiste de eigenvectores de
.
Teorema. Sea una matriz simétrica en
. Entonces, existe una matriz ortogonal
y una matriz diagonal
, ambas en
, tales que
Para hablar de la demostración y de las consecuencias del teorema espectral para matrices simétricas reales, necesitaremos usar teoría de todas las unidades del curso. En particular, usaremos las siguientes definiciones:
- Una matriz
en
es simétrica si es igual a su transpuesta.
- Una matriz
en
es ortogonal si es invertible y
.
- Si
es una transformación lineal de un espacio vectorial
a sí mismo y
es un subespacio de
, entonces decimos que
es estable bajo
si
.
- Un producto interior es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
- Un espacio Euclideano es un espacio vectorial de dimensión finita con un producto interior.
- Si
es un subespacio de un espacio Euclideano
, entonces
es el conjunto de todos los vectores que de
que son ortogonales a todos los vectores de
.
- Una matriz
en
es diagonalizable si existen matrices
y
en
con
invertible,
diagonal y tales que
.
Y los siguientes resultados principales:
- Los eigenvalores de una matriz en
son las raíces de su polinomio característico que estén en
.
- Una matriz «brinca a la otra entrada» de un producto interior transponiéndose. Formalmente, para cualquier matriz
en
y vectores
en
, se tiene que
- Todo espacio Euclideano tiene una base ortonormal que se puede encontrar mediante el proceso de Gram-Schmidt.
En esta entrada enunciaremos tres resultados auxiliares de interés propio. A partir de estos resultados, la demostración del teorema espectral para matrices simétricas reales y la equivalencia entre ambas versiones será mucho más limpia.
Los eigenvalores de matrices simétricas reales
El polinomio característico de una matriz en
tiene coeficientes reales. Por el teorema fundamental del álgebra, debe tener exactamente
raíces en
, contando multiplicidades. Si alguna de estas raíces
no es real, entonces
no puede ser diagonalizable en
. La razón es que
sería similar a una matriz diagonal
, y los eigenvalores de las matrices diagonales (incluso triangulares) son las entradas de la diagonal principal. Como
y
comparten eigenvalores (por ser similares), entonces
tendría que ser una entrada de
, pero entonces
ya no sería una matriz de entradas reales.
Lo primero que veremos es que las matrices simétricas reales «superan esta dificultad para poder diagonalizarse». Esta va a ser nuestra primer herramienta para demostrar el teorema espectral.
Teorema. Sea una matriz simétrica en
y
una raíz del polinomio característico de
. Entonces,
es un número real.
Demostración. El polinomio característico de es un polinomio con coeficientes reales, así que por el teorema fundamental del álgebra se tiene que
debe ser un número en
. Así, podemos escribirlo de la forma
, con
y
números reales. Lo que mostraremos es que
.
Se tiene que es un eigenvalor de
vista como matriz en
, y por lo tanto le corresponde un eigenvector
en
, es decir, un
tal que




En estos términos,
de modo que igualando partes reales e imaginarias en la expresión tenemos que
Como es simétrica, tenemos que
(1)
Estudiemos las expresiones en los extremos, reemplazando los valores de y
que encontramos arriba y usando la bilinealidad del producto interior. Se tiene que
y que
Substituyendo estos valores en la expresión (1), obtenemos la igualdad
que se simplifica a
Estamos listos para dar el argumento final. Como es un eigenvector, entonces no es nulo, de modo que no es posible que
y
sean ambos el vector
de
. Como el producto interior es positivo definido, entonces alguna de las normas
o
no es cero, de modo que
Concluimos que , y por lo tanto que
es un número real.
La demostración anterior es ejemplo de un truco que se usa mucho en las matemáticas. Aunque un problema o un teorema no hablen de los números complejos en su enunciado, se puede introducir a para usar sus propiedades y trabajar ahí. Luego, se regresa lo obtenido al contexto real. Aquí en el blog hay otra entrada en donde damos más ejemplos de «brincar a los complejos».
Un resultado auxiliar de transformaciones simétricas
A continuación damos la segunda herramienta que necesitaremos para probar el teorema espectral. Recuerda que si es un espacio Euclideano y
es una transformación lineal, entonces decimos que
es simétrica si para todo par de vectores
y
en
se tiene que
Teorema. Sea un espacio Eucideano y
una transformación lineal simétrica. Sea
un subespacio de
estable bajo
. Entonces:
también es estable bajo
y
- Las restricciones de
a
y a
son transformaciones lineales simétricas en esos espacios.
Demostración. Para el primer punto, lo que tenemos que mostrar es que si pertenece a
, entonces
también, es decir, que
es ortogonal a todo vector
en
.
Tomemos entonces un vector en
. Como
es estable bajo
, tenemos que
está en
, de modo que
. Como
es simétrica, tenemos entonces que
Para la segunda parte, si es la restricción de
a
y tomamos vectores
y
en
, tenemos que
lo cual muestra que es simétrica. La prueba para
es análoga y queda como tarea moral.
Matrices diagonalizables y bases ortonormales de eigenvectores
El tercer y último resultado enuncia una equivalencia entre que una matriz en sea diagonalizable, y que exista una base especial para
. Es lo que usaremos para probar la equivalencia entre ambas formulaciones del teorema espectral para matrices simétricas reales.
Teorema. Sea una matriz en
. Las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:
es diagonalizable, es decir, existen matrices
y
en
, con
invertible y
diagonal tales que
- Existe una base para
que consiste de eigenvectores de
.
Demostración. Antes de comenzar la demostración, recordemos que si tenemos una matriz en
de vectores columna





Comencemos la prueba del teorema. Supongamos que es diagonalizable y tomemos matrices
y
en
con
invertible y
diagonal de entradas
, tales que
. Afirmamos que los vectores columna
de
forman una base de
que consiste de eigenvectores de
.
Por un lado, como son los vectores columna de una matriz invertible, entonces son linealmente independientes. En total son , como la dimensión de
. Esto prueba que son una base.
De obtenemos la igualdad
. Por las observaciones al inicio de la prueba, tenemos al igualar columnas que para cada
se cumple





Supongamos ahora que existe una base de que consiste de eigenvectores
de
. Para cada
, llamemos
al eigenvalor correspondiente a
, y llamemos
a la matriz diagonal con entradas
.
Como son vectores linealmente independientes, la matriz
cuyas columnas son
es invertible. Además, por las observaciones al inicio de la prueba, se tiene que la columna
de la matriz
es
y la columna
de la matriz
es
. Entonces, por construcción, estas matrices son iguales columna a columna, y por lo tanto lo son iguales. De esta forma, tenemos que
, o bien, reescribiendo esta igualdad, que



Las matrices simétricas reales serán todavía más especiales que simplemente las matrices diagonalizables. Lo que asegura el teorema espectral es que podremos encontrar no sólo una base de eigenvectores, sino que además podemos garantizar que esta base sea ortonormal. En términos de diagonalización, la matriz no sólo será invertible, sino que además será ortogonal.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Encuentra un ejemplo de una matriz simétrica en
cuyos eigenvalores no sean reales.
- En el contexto del segundo teorema, muestra que la restricción de
a
es simétrica.
- Realiza la demostración de que si
y
son matrices en
y los vectores columna de
son
, entonces los vectores columna de
son
. También, prueba que si
es diagonal de entradas
, entonces las columnas de
son
.
- Encuentra una matriz
con entradas reales similar a la matriz
. Encuentra una base ortogonal de eigenvectores de
para
.
- Diagonaliza la matriz
Más adelante…
En esta entrada enunciamos dos formas del teorema espectral y hablamos de algunas consecuencias que tiene. Además, repasamos un poco de la teoría que hemos visto a lo largo del curso y vimos cómo nos ayuda a entender mejor este teorema.
En la siguiente entrada, que es la última del curso, demostraremos las dos formas del teorema espectral que enunciamos en esta entrada y haremos un pequeño comentario sobre qué hay más allá del teorema espectral en el álgebra lineal.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Problemas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico
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