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Álgebra lineal II: Espacios hermitianos y bases ortogonales complejas

En la entrada anterior nos dedicamos a revisar una serie de resultados relacionados con bases ortogonales, ortonormales y el proceso de Gram-Schmidt, como ya habrás notado la forma de operar de este curso indica que terminemos revisando estos conceptos aplicados a espacios vectoriales complejos, veremos rápidamente las demostraciones que sean idénticas al caso real para enfocarnos un poco más a las que tengan cambios importantes.

Como es de esperarse de la entrada final, juntaremos la gran parte de los conceptos vistos en esta unidad y los resultados vistos en las últimas dos entradas, pero ahora enfocándonos en espacios hermitianos, de los que daremos también su definición.

Bases ortonormales complejas

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial complejo, diremos que $V$ es un espacio hermitiano si $V$ es de dimensión finita y con un producto interno hermitiano $\langle , \rangle$, es decir, una forma sesquilineal hermitiana $\langle , \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\langle x, x \rangle > 0$ para cualquier vector $x$ no cero.

Con esto diremos que dos vectores son ortogonales en $V$ si $\langle x, y \rangle =0$-

Las definiciones de familia y base ortogonal/ortonormal son análogas al caso real.

En adelante consideremos a $V$ un espacio hermitiano.

Ejemplo

Si $V= \mathbb{C}^n$ su base canónica $\{ e_1, \cdots , e_n \}$ es una base ortonormal y $\{ 2e_1, \cdots , 2e_n \}$ es una base ortogonal. Además, con el producto interno canónico
\begin{align*} \langle x, y \rangle= \sum_{i=1}^n\overline{x_i}y_i\end{align*}
V es un espacio hermitiano.

Como en la entrada anterior, nuestra primera proposición será:

Proposición

Sea $V$, cualquier familia ortogonal $(v_i)_{i \in I} \subseteq V$ de vectores no cero es linealmente independiente.

Demostración

Sean $\{v_1, \cdots , v_n\}$ y $\{\alpha_1, \cdots , \alpha_n\}$ tal que
\begin{align*} 0=v=\sum_{i=1}^n \alpha_nv_n\end{align*}
Tomando $j$ tal que $1 \leq j \leq n$, calculando $\langle v, v_j \rangle$ tenemos que esto es $0$ ya que $v=0$ además utilizando la linealidad conjugada en la primera entrada
tenemos que
\begin{align*}0=\langle v, v_j \rangle=\sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i}\langle v_i, v_j \rangle \end{align*}
Notemos que por la ortogonalidad $\langle v_i, v_j \rangle=0$ excepto cuando $i=j$, utilizando esto
\begin{align*}0=\langle v, v_j \rangle= \overline{\alpha_j}\langle v_j, v_j \rangle \end{align*}
Además, sabemos que $\langle v_j, v_j \rangle > 0$ por como definimos el producto interno, en particular esto implica que $\langle v_j, v_j \rangle \neq 0$ por lo que
\begin{align*} \overline{\alpha_j} = 0 \end{align*}
Lo que implica a su vez que $\alpha_j=0$, repitiendo este proceso para cada $\alpha_i$ obtendremos la independencia lineal.

$\square$

Más aún, si $n=dim(V)$ y tenemos $\beta$ una familia ortonormal de $n$ vectores no nulos contenida en $V$ esta es linealmente independiente, lo que a su vez implica que es una base de $V$, incluso más, como $\beta$ ya era ortonormal tenemos que $\beta$ es una base ortonormal.

Un par de detalles que es importante notar, este resultado no nos asegura la existencia de una base ortonormal en algún espacio, simplemente nos brinda un camino para encontrarla (encontrar un conjunto de vectores ortonormales con $dim(V)$ elementos).

Proposición

Sea $V$, $\beta = \{u_1, \cdots , u_n\} $ una base ortonormal y $x=\sum_{i=1}^nu_ix_i$, $y=\sum_{i=1}^nu_iy_i$ dos vectores en $V$, prueba que
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\sum_{i=1}^n\overline{x_i}y_i. \end{align*}
Demostración
Calculemos directamente $\langle x,y \rangle$,
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\langle \sum_{i=1}^n x_iu_i, y \rangle \end{align*}
Utilizando que $\langle , \rangle$ es lineal conjugada en la primera entrada
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\sum_{i=1}^n \overline{x_i} \langle u_i, y \rangle \end{align*}
Haciendo un proceso análogo en la segunda entrada
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\sum_{i,j=1}^n \overline{x_i}y_j \langle u_i, u_j \rangle \end{align*}
Ahora, utilizando la ortogonalidad, el producto $\langle u_i, u_j \rangle$ será cero excepto cuando $i=j$ por lo que
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i \langle u_i, u_i \rangle \end{align*}
Finalmente, utilizando la normalidad, tenemos que $\langle u_i, u_i \rangle=||u_i||^2=1 $ por lo tanto
\begin{align*} \langle x,y \rangle =\sum_{i=1}^n \overline{x_i}y_i. \end{align*}

$\square$

Este último resultado es una motivación más para encontrar bases ortonormales, así enfoquémonos en esa búsqueda, siguiendo el camino del caso real, demos un análogo al teorema de Gram-Schmidt.

Proposición (Teorema de Gram-Schmidt)

Sean $v_1,v_2,\cdots,v_d$ vectores linealmente independientes en $V$ un espacio vectorial complejo (no necesariamente de dimensión finita), con producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Existe una única familia de vectores ortonormales $e_1,e_2,\ldots,e_d$ en $V$ tales que para todo $k=1,2, \ldots, d$
\begin{align*} span(e_1,e_2,\cdots,e_k)&=span(v_1,v_2,\cdots,v_k). \end{align*}
La demostración detallada la puedes encontrar aquí (Proceso de Gram-Schmidt) por lo que no la revisaremos, algo que si vale la pena observar es que el teorema tiene dos diferencias con la versión anterior.

Primero, nuestra versión está escrita para un espacio vectorial complejo, pero para nuestra suerte la demostración anterior no requiere ninguna propiedad de los números reales que no posean los complejos, también una gran diferencia es que nuestra versión puede parecer un tanto más débil al remover que $\langle e_k,v_k \rangle > 0$ para cualquier $k \in \{1, \cdots, d\}$, esto sucede debido a que no podemos traspasar el mismo orden que teníamos en los reales al conjunto de los complejos que recordemos es el contradominio de $\langle , \rangle$.

Mencionando esto vale la pena preguntar, ¿Por qué cuando se definió espacio hermitiano hablamos de orden entonces? ¿Podrías dar una versión de este teorema únicamente para espacios hermitianos donde aún tengamos que $\langle e_k,v_k \rangle > 0$ para cualquier $k \in \{1, \cdots, d\}$?

Concluyamos esta sección con uno de los resultados más importantes y que curiosamente será nada más que un corolario.

Proposición

Todo espacio hermitiano tiene una base ortonormal.

Bases ortonormales y ortogonalidad

Empecemos revisando que si tomamos un conjunto ortonormal podemos obtener una base ortonormal a partir de este.

Proposición

Sea $\beta$ una familia ortonormal del $V$ esta puede ser completada a una base ortonormal de $V$.

Demostración

Ya que $\beta$ es una familia ortonormal, en particular es ortogonal, esto nos asegura por la primer proposición de esta entrada que es linealmente independiente, sabemos que $span(\beta) \subset V$ (si fueran iguales entonces $\beta$ ya sería una base ortonormal por lo que no sería necesario completarla) de esta manera sabemos que existe $x \in V$ tal que $x \in V \setminus span(\beta)$ a su vez esto sucede si y solo si $\beta_1= \{x\} \cup \beta$ es linealmente independiente.

Nuevamente, si $V \setminus \beta_1 = \emptyset$ tenemos entonces que $\beta_1$ ya es una base, finalmente el proceso de Gram-Schmidt nos arroja una base ortonormal $\beta_1’$y eligiendo a $x$ como el último vector a ortonormalizar nos asegura que el proceso no afectará a los vectores de $\beta$ ya que estos ya eran ortonormales desde el principio, con esto $\beta_1’$ es la completación que buscábamos.

Si en cambio tenemos que existe $y \in V \setminus \beta_1$ ortonormalicemos como arriba y repitamos el proceso, nombrando $\beta_2=\{y\} \cup \beta_1$.

Notemos que este proceso es finito, ya que lo tendremos que repetir a lo más $dim(V)-|\beta|$ veces, ya que al hacerlo terminaríamos encontrando un conjunto ortonormal con $dim(V)$ vectores, lo que sabemos que es una base de $V$.

De esta manera, repitiendo este proceso la cantidad necesaria de veces, tenemos que $\beta_k’$ es la completación buscada (con $k=dim(V)-|\beta|$).

$\square$

Cabe observar que, con un par de argumentos extra (como garantizar la existencia de algún conjunto ortonormal), esta proposición sirve para probar el corolario previo.

Finalicemos con un resultado acerca de ortogonalidad.

Proposición

Sea $W$ un subespacio de $V$ y $\{w_1, \cdots, w_k \}$ una base ortonormal de este entonces
\begin{align*} W \oplus W^{\perp} =V. \end{align*}
Demostración

Comencemos tomando a $\{w_1, \cdots, w_k \}$ que sabemos es un conjunto ortonormal, por la proposición anterior tenemos que este puede ser completado a una base ortonormal de $V$ sea esta $\{w_1, \cdots, w_k, \cdots w_n \}$ y dada esta tenemos que para cualquier $v \in V$
\begin{align*} v= \sum_{i=1}^nv_iw_i.\end{align*}
Por otro lado, definamos la siguiente función $P: V \rightarrow V$ como sigue
\begin{align*} P(v)= \sum_{j=1}^k\langle v, w_j \rangle w_j \end{align*}
Primero probemos que $P(v) \in W$ para todo $v \in V$, para esto fijemos a $j$ y veamos que pasa con $\langle v, w_j \rangle w_j$. Por lo discutido en el párrafo anterior sabemos que $v= \sum_{i=1}^nv_iw_i$ así
\begin{align*}\langle v, w_j \rangle w_j = \langle \sum_{i=1}^nv_iw_i , w_j \rangle w_j \end{align*}
Utilizando la linealidad en la primer entrada tenemos que
\begin{align*}\langle v, w_j \rangle w_j = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} \langle w_i , w_j \rangle w_j \end{align*}
Más aún recordar que $\{w_1, \cdots, w_k, \cdots w_n \}$ es ortonormal nos arroja que $\langle w_i, w_j \rangle =0 $ si $i \neq j$ y $\langle w_i, w_j \rangle =1 $ en caso contrario, por lo que
\begin{align*}\langle v, w_j \rangle w_j = \overline{v_j} w_j \end{align*}
Con esto, sustituyendo en $P(v)$
\begin{align*} P(v)= \sum_{j=1}^k v_j w_j \end{align*}
Que notemos es una combinación lineal de $\{w_1, \cdots, w_k \}$ por lo que es un elemento de $W$-

Continuando un poco aparte, veamos que sucede con $\langle w_j, v-P(v)\rangle $ para cualquier $w_j \in \{w_1, \cdots, w_k \}$ y cualquier $v \in V$
\begin{align*} \langle w_j, v-P(v)\rangle = \langle w_j, v \rangle – \langle w_j, P(v)\rangle \end{align*}
Utilizando lo hecho arriba, tenemos que
\begin{align*} \langle w_j, v-P(v)\rangle = \langle w_j, \sum_{i=1}^nw_iv_i \rangle – \langle w_j, \sum_{j=1}^kw_jv_j\rangle \end{align*}
De nuevo utilizando la ortonormalidad en ambos productos concluimos que
\begin{align*} \langle w_j, v-P(v)\rangle = v_j – v_j =0. \end{align*}
Por lo que $v-P(v)$ es ortogonal a cada $w_j \in \{w_1, \cdots, w_k \}$ lo que a su vez nos arroja que $v-P(v) \in W^{\perp}$ ya que al ser ortogonal a toto $w_j \in \{w_1, \cdots, w_k \}$, entonces $v-P(v)$ es ortogonal a todo elemento de $W$.
Finalmente, tenemos que para cualquier $v \in V$
\begin{align*} v= P(v) + ( v- P(v) )\end{align*}
Con $P(v) \in W $ y $v- P(v) \in W^{\perp}$ de donde se sigue que
\begin{align*} V = W + W^{\perp}. \end{align*}
Más aún en entradas anteriores hemos mostrado que $W \cap W^{\perp} = \{0\}$.

Por lo tanto
\begin{align*} V = W \oplus W^{\perp}. \end{align*}

$\square$

Más adelante

Finalmente con esta entrada concluimos la segunda unidad de nuestro curso, podemos ver que el análisis de formas bilineales y cuadráticas y sus análogos complejos, formas sesquilineales y hermitianas dio paso a una gran cantidad de teoría bastante interesante y en particular da origen a un tema sumamente importante que es el producto interno y esto a su vez nos permitió generalizar propiedades que ya teníamos esta vez a espacios vectoriales complejos.

Sin embargo, algo en lo que no abundamos fue el comportamiento de matrices adjuntas ( transpuestas conjugadas ) ni en el comportamiento de sus matrices asociadas, de esto nos encargaremos en la siguiente entrada, que a su vez es el inicio de la siguiente unidad en este curso.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Con la notación de la segunda proposición, demuestra que
    \begin{align*} ||x||^2 = \sum_{i=1}^n |x_i|^2.\end{align*}
  2. Por que al definir espacio hermitiano mencionamos $\langle x,x \rangle >0$ si aunque $\langle x,x \rangle \in \mathbb{C}$.
  3. Escribe con todo detalle la prueba del teorema de Gram-Schmidt y el algoritmo para espacios vectoriales complejos.
  4. Sea $\mathbb{C}^3$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ con el producto interno canónico, prueba que es un espacio hermitiano y aplica el proceso de Gram-Schmidt al conjunto $\{ (i, 0, 1), (-1, i, 1), (0, -1, i+1) \}$.
  5. En otra literatura podrías encontrar forma sesquilineal definida de manera que la primera entrada es lineal y la segunda debe ser lineal conjugada, ¿Esto afecta los resultados obtenidos en esta unidad? ¿Podrías desarrollar la misma teoría utilizando esta definición alterna?

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Álgebra lineal II: Formas sesquilineales y matrices

Introduccíon

Como en las entradas anteriores, una vez que estudiamos formas bilineales y cuadráticas, intentamos expandir esta definición a los números complejos con las formas sesquilineales y hermitianas cuadráticas, esta vez será lo mismo, una vez que entendemos la relación entre matrices y formas bilineales, ahora intentaremos entender la relación que existe entre matrices y formas sesquilineales.

En esta entrada veremos que gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos, si es que, agregando una condición, por lo que veremos el análogo a la gran mayoría de resultados vistos en las últimas dos entradas, por lo que te recomendamos tener a la mano las entradas sobre formas bilineales y matrices (Ambas partes) y formas sesquilineales.

Matriz asociada

De aquí en adelante, asumiremos que $V$ siempre es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ de dimensión finita y $\mathcal{B}=\{u_1, \cdots u_n\}$ una base de $V$. Tambien recordemos que $S(V)$ se definió como el espacio de formas sesquilineales en V.

Definición

Sea $\mathcal{B}$ base de $V$ y $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma sesquilineal en $V$. La matriz de $\varphi$ con respecto $\mathcal{B}$ es la matriz
\begin{align*} A=[a_{ij}] \qquad \text{con} \qquad a_{ij}=\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
Para todo $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$.

Notemos que a las formas sesquilineales no se les pidió ser simétricas. (¿por qué?)

Veamos primero como escribir $\varphi(x,y)$ en su forma matricial.

Proposición

Sea $\mathcal{B}$ base de $V$ y $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma sesquilineal en $V$. Prueba que $\forall x,y \in V$
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*AY\end{align*}
Con $X,Y$ los vectores columna con coordenadas $x_1, \cdots x_n$ y $y_1, \cdots y_n$ respectivamente tales que $x=\sum_{i=1}^nu_1x_1$ y $y=\sum_{j=1}^nu_jy_j$ y $X^*=\text{ }^t\overline{X}$.

Demostración

Calculemos $\varphi(\sum_{i=1}^nu_1x_1, \sum_{j=1}^nu_jy_j)$ como sabemos que $\varphi$ es sesquilineal, tenemos
\begin{align*}\varphi(\sum_{i=1}^nu_1x_1, \sum_{j=1}^nu_jy_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \overline{x_1} y_j\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
Donde notemos que la única diferencia con las funciones bilineales es que en la primera coordenada, las $x_i$ salen como conjugadas.

Y notemos que esto es efectivamente igual a
\begin{align*} X^*AY\end{align*}
Por lo que tenemos la igualdad buscada.

$\square$

Proposición

Con la notación de arriba, $A$ es la unica matriz que cumple
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*AY.\end{align*}

Demostración

La demostración es completamente análoga a la vista aquí, (la primera proposición bajo Preparaciones para el teorema de Sylvester) , por lo que revisemosla rápidamente

Si suponemos que existe $A’$ tal que
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*A’Y\end{align*}
Entonces
\begin{align*} X^*A’Y=X^*AY\end{align*}
Por lo que
\begin{align*} A’=A\end{align*}
Por lo tanto $A$ es única.

$\square$

Proposición

Sea $ \mathcal{B}$ base de $V$, la función $\psi: S(V) \rightarrow M_n(\mathbb{C})$ que envía una forma sesquilineal a su matriz con respecto a $ \mathcal{B} $ establece un isomorfismo entre $\mathbb{C}$-espacios vectoriales.

Demostración

Primero revisemos que $\varphi$ y $\varphi’$ dos formas sesquilineales son iguales si y solo si para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align*} \varphi(x,y)= \varphi'(x,y)\end{align*}
dada $B$ una base, utilizando
\begin{align*}\varphi(x, y)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
tenemos que
\begin{align*}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi(u_i,u_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi'(u_i,u_j)\end{align*}
y notemos que la igualdad se cumple si y solo si
\begin{align*} \varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j). \end{align*}
De esta manera, hagamos otra demostración completamente análoga a la vista a entradas anteriores sean $\varphi, \varphi’$ dos formas sesquilineales, con $A $ y $A’$ sus matrices asociadas respectivamente, si suponemos que $A=A’$ entonces $\varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j)$ por lo que $\psi$ es inyectiva.

Para la suprayectividad, sea $A=[a_{ij}]$ y $x,y \in V$ tales que $x=\sum_{i=1} ^nx_iu_i$ y $y=\sum_{j=1} ^ny_ju_j$ definamos
\begin{align*} \varphi(x,y) =\sum_{i,j=1}^na_{ij}\overline{x_i}y_j \end{align*}.
También hemos visto anteriormente que esto define una forma sesquilineal.
Por lo que $b$ es tal que $\psi(b)=A$, esto implica que $\varphi$ es suprayectiva.

Finalmente, para mostrar que esto es efectivamente un isomorfismo, sea $A =\psi(\varphi+c\varphi’)$ para algún $c \in \mathbb{C}$, sabemos entonces que
\begin{align*} A=[a_{ij}] \end{align*}
Con $a_{ij}=(\varphi+c\varphi’)(u_i,u_j)=\varphi(u_i,u_j) + c \cdot \varphi'(u_i,u_j) $ así.
\begin{align*} A=[\varphi(u_i,u_j) + c \cdot \varphi'(u_i,u_j)] \end{align*}
Por los que
\begin{align*} A=[\varphi(u_i,u_j)] + c \cdot [\varphi'(u_i,u_j)] \end{align*}
y por como definimos $\psi$
\begin{align*} \psi(\varphi+c\varphi’)= \psi(\varphi) + c \cdot \psi(\varphi) \end{align*}

Por lo que $\psi$ es un isomorfismo.

$\square$

Proposición

Sea $\varphi \in S(V)$ y $A$ su matriz asociada respecto a $\mathcal{B}$. Prueba que $\varphi$ es hermitiana si y solo si $A=A^*$.

Demostración

Sea $\varphi$ hermitiana, esto pasa si y solo si
\begin{align*}\varphi(x,y)=\overline{\varphi(y,x)} \end{align*}
Para cualesquiera $x,y \in V $. Notemos que esto pasa si y solo si
\begin{align*}\varphi(u_i,u_j)=\overline{\varphi(u_j,u_i)} \end{align*}
Para todo $e_i, e_j \in \mathcal{B}$, continuando esto es equivalente a
\begin{align*} a_{ij}=\overline{a_{ji}} \end{align*}
con $a_{ij}$ las entradas de la matriz $A$, finalmente esta última igualdad sucede si y solo si
\begin{align*} A=\overline{\text{ }^tA}=A^*.\end{align*}

$\square$

Esta última equivalencia da pie a definir una matriz hermitiana.

Definición

Sea $\varphi \in S(V)$ y $A$ su matriz asociada respecto a $\mathcal{B}$. Diremos que $A$ es conjugada simétrica o hermitiana si
\begin{align*} A=A^*.\end{align*}
De esta manera una matriz es hermitiana si y solo si su forma sesquilineal asociada lo es.

Proposición

Sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{B}’$ dos bases de $V$ y $P$ la matríz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}’$, sean $X$ el vector columna con coordenadas $x_1, \cdots , x_n$ tales que $x=\sum_{i=1}^nx_iu_i$, análogamente definamos $Y,X’,Y’$. Prueba que si $A$ es la matriz correspondiente a una forma sesquilineal en la base $\mathcal{B}$, entonces
\begin{align*} A’=P^*AP.\end{align*}
Demostración

Al $P$ ser la matriz de cambio de base, tenemos las siguientes igualdades
\begin{align*} X=PX’ \qquad \text{y} \qquad Y=PY’ \end{align*}
Además
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=X^*AY\end{align*}
Sustituyendo $X,Y$ en esta igualdad
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=X^*AY=(PX’)^*A(PY’)=(X’)^*(P^*AP)Y’\end{align*}
Revisando los extremos de esta igualdad
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=(X’)^*(P^*AP)Y’\end{align*}
Esto implica que
\begin{align*} A’=P^*AP.\end{align*}

$\square$

Finalmente, revisemos la última definición que se vio en con formas bilineales.

Definición

Una matriz hermitiana $A \in M_n(\mathbb{C})$ es positiva si $X^*AX \geq 0$ para cualquier $X \in \mathbb{C}^n$, será definida positiva si la igualdad únicamente se cumple para el $0$.

Más adelante

Tras revisar esta serie bastante larga de resultados, tanto para formas bilineales como sesquilineales, enfocaremos nuestro estudio a algo que hemos utilizado, un par de veces en la demostración de estos resultados, pero nunca hemos abundado en su utilidad, esto es la dualidad.

Más aún, veremos otro concepto igual visto anteriormente, la ortogonalidad, pero esta vez definida con respecto a una forma bilineal y probaremos varios resultados antes vistos desde un enfoque de las formas bilineales, terminaremos esta unidad haciendo un repaso de bases ortogonales y el teorema de Gram-Schmidt, así como su análogo complejo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. En la tercera proposición ¿Por qué $A=A’$ implica que $\varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j)$?
  2. En esa misma proposición definimos una nueva forma que afirmamos era sesquilineal para demostrar la suprayectividad. Demuestra que $\varphi$ así definida es sesquilineal.
  3. Demuestra que para cualesquiera dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{C})$
    \begin{align*} (AB)^*=B^*A^*.\end{align*}
  4. Demuestra que para cualquier matriz $B \in M_n(\mathbb{C})$ $B^*B$ y $BB^*$ son hermitianas positivas.
  5. Demuestra que para cualquier matriz $A \in M_n(\mathbb{C})$ hermitiana positiva, esta puede ser escrita como
    \begin{align*} A=BB^*\end{align*}
    para alguna $B \in M_n(\mathbb{C})$.

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Álgebra lineal II: Formas hermitianas cuadráticas

Introducción

Continuando con la entrada anterior, revisaremos las formas hermitianas cuadráticas siendo estas el equivalente a las formas cuadráticas, para números complejos, así como algunas de sus propiedades.

Análogamente a lo que vimos con formas cuadráticas y bilineales, definiremos también una forma polar y terminaremos enunciando un análogo al teorema de Gauss.

Formas hermitianas cuadráticas

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\varphi$ una forma sesquilineal en $V$ hermitiana.

Llamaremos forma hermitiana cuadrática a la función $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que para cualquier $x \in V$
\begin{align*} \Phi(x)=\varphi (x,x) \end{align*}
Llamaremos a la función $\varphi $ la forma polar de $\Phi$.

Ejemplo

Sea $V=\mathbb{C}^n$ y $\Phi : V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(x_1 \cdots x_n)= |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2 \end{align*}
Para cualquier $(x_1, \cdots x_n) \in V$.

Solución

En este caso, recordando un poco la definición de norma en el campo de los complejos nos puede dar una buena idea, recordemos que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ se tiene $|z|^2=z \overline{z}$.
Así propongamos $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(x,y)= (\overline{x_1})(y_1) + \cdots + (\overline{x_n})(y_n) \end{align*}
Para cualquier par $x,y \in V$ con $x=(x_1, \cdots x_n)$ y $y=(y_1, \cdots y_n)$.

Ejemplo

Sea $V$ el espacio de funciones continuas $f: [ 0, 1] \rightarrow \mathbb{C}$ y $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(f)= \int_0^1|f(t)|^2 dt \end{align*}
Para cualquier $f \in V$.

Solución

Para este caso la solución es bastante análoga
Porpongamos $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt \end{align*}
Para cualquier par $f_1,f_2 \in V$.

Cabe aclarar que para terminar de demostrar que estos ejemplos son formas hermitianas cuadráticas, habría que demostrar que $\varphi$ definida en cada uno es sesquilineal hermitiana.

Así, para demostrar que una función es una forma hermitiana cuadrática necesitamos encontrar su forma polar, veremos una forma para hacerlo en la siguiente proposición.

Proposición (Identidad de polarización)

Sea $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma hermitiana cuadrática, existe una única forma sesquilineal hermitiana $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, esta se puede encontrar de la siguiente manera:
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ \Phi (y+x) – \Phi (y-x) + i [ \Phi(y+xi) – \Phi(y-ix)]}{4}.\end{align*}.

Demostración

Por definición, como $\Phi$ es una forma hermitiana cuadrática, existe $s$ una forma sesquilineal hermitiana tal que $s(x,x)=\Phi(x)$ así, definamos una función
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ \Phi (y+x) – \Phi (y-x) + i [ \Phi(y+xi) – \Phi(y-ix)]}{4} \end{align*}
Además, como $\Phi(x)=s(x,x)$ podemos calcular $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ s(y+x,y+x) – s(y-x,y-x) + i [ s(y+xi,y+xi) – s(y-ix,y-xi)]}{4} \end{align*}
Desarrollando los primeros dos sumandos tenemos que
\begin{align*} s(y+x,y+x) – s(y-x,y-x) =2s(y,x) + 2s(x,y)\end{align*}
Por otro lado, desarrollemos los últimos dos sumandos
\begin{align*} i [ s(y+xi,y+xi) – s(y-ix,y-xi)]= 2s(x,y) – 2s(y,x) \end{align*}
Sustituyendo esto en la función original tenemos que
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{ 2s(y,x) + 2s(x,y) + 2s(x,y) – 2s(y,x) }{4}=s(x,y). \end{align*}

De esta igualdad podemos concluir varias cosas.

Primero, $\varphi = s$ por lo que $\varphi$ es efectivamente la forma polar de $\Phi$.

La forma polar en única ya que si existiera otra función $s’$ tal que $s'(x,x)=\Phi(x)$ para toda $x \in V$ sustituyendo en la identidad de polarización y repitiendo los pasos llegariamos a que $s’=\varphi$.

$\square$

Propiedades de formas hermitianas cuadráticas

Veamos algunas otras propiedades que nos pueden resultar útiles en entradas siguientes.

En las siguientes tres proposiciones, sea $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, $\Phi$ una forma hermitiana cuadrática con $\varphi$ su polar y $x,y \in V$ elementos cualesquiera.

Proposición

$\Phi(x) \in \mathbb{R}$.

Demostración

Sabemos que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ y como $\varphi$ es hermitiana por definición, tenemos que \begin{align*} \varphi(x,x)=\overline{\varphi(x,x)} \end{align*}
Y sabemos que esto pasa si y solo si $\Phi(x)=\varphi(x,x) \in \mathbb{R}$.

$\square$

Proposición

Sea $a \in \mathbb{C}$, entonces $\Phi(ax)=|a|^2\Phi(x)$.

Demostración

Utilizando de nuevo que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$
\begin{align*} \varphi(ax,ax)=\overline{a}a\varphi(x,x)=|a|^2 \Phi(x). \end{align*}

$\square$

Proposición

$\Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y) +2Re(x,y)$.

Demostración

Como en las anteriores usemos que $\Phi(x+y)=\varphi(x+y,x+y)$
\begin{align*} \varphi(x+y,x+y)=\varphi(x,x)+\varphi(x,y)+ \varphi(y,x)+ \varphi(y,y) \end{align*}
como $\varphi$ es hermitiana, tenemos que $\varphi(y,x)=\overline{\varphi(x,y)}$ por lo que
\begin{align*} \varphi(x+y,x+y)=\Phi(x)+\varphi(x,y)+ \overline{\varphi(x,y)}+ \Phi(y) \end{align*}
Y recordemos que
\begin{align*} \varphi(x,y)+ \overline{\varphi(x,y)} = 2 Re(\varphi (x,y)) \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y) +2Re(x,y). \end{align*}

$\square$

Para concluir, también enunciaremos el análogo de el teorema de Gauss para formas cuadráticas.

Teorema de Gauss

Sea $\Phi$ una función hermitiana cuadrática en $\mathbb{C}^n$, existen $\alpha_1, \cdots , \alpha_r \in \{ -1, 1 \}$ y funciones linealmente independientes $l_1, \cdots l_r$ en $\mathbb{C}^n$ tal que, $\forall x \in \mathbb{C}^n$
\begin{align*} \Phi(x_1, \cdots , x_n ) = \sum_{i=1}^r \alpha_i |l_i(x)|^2. \end{align*}

Más adelante

Con esto concluimos nuestro pequeño repaso de formas bilineales y sesquilineales, basándonos en esto, veremos una aplicación de estas que te puede resultar bastante más familiar, los productos internos.

Al repasar productos internos concluiremos revisando dos desigualdades sumamente importantes para cualquier teoría en donde se utilicen espacios con producto interno (no abundaremos en este curso sobre este concepto, pero seguro conoces un par de espacios vectoriales que tienen definido un producto interno) siendo estas las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski, cuyas aplicaciones se extienden desde la geometría, el análisis e incluso la mecánica cuántica.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{C}^n$ y definamos $\varphi$
    \begin{align*} \varphi(x,y)= (\overline{x_1})(y_1) + \cdots + (\overline{x_n})(y_n) \end{align*}
    para cualquier par $x,y \in V$ con $x=(x_1, \cdots x_n)$ y $y=(y_1, \cdots y_n)$.
    Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  2. Sea $V$ el espacio de funciones continuas $f: [ 0, 1] \rightarrow \mathbb{C}$ y $\varphi$ definida como sigue $\varphi$ como sigue
    \begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt \end{align*}
    Para cualquier par $f_1, f_2 \in V$.
    Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\Phi$ una forma hermitiana cuadrática, prueba la siguiente identidad (identidad del paralelogramo)
    \begin{align*} \Phi(x+y) + \Phi(x-y) = 2(\Phi(x) + \Phi(y)) \end{align*}.
  4. ¿Como definirías el concepto de producto interno en $\mathbb{R}$ utilizando formas cuadráticas o hermitianas cuadráticas?
  5. Demuestra el Teorema de Gauss para formas hermitianas cuadráticas.

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Álgebra Lineal I: Matrices simétricas reales y sus eigenvalores

Introducción

Hemos llegado a la cima del curso. En estas últimas entradas probaremos uno de los teoremas más bellos en álgebra lineal: el teorema espectral para matrices simétricas reales. También hablaremos de varias de las consecuencias que tiene.

Hay dos formas equivalentes de enunciar el teorema.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $T:V\to V$ una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de $V$ que consiste de eigenvectores de $T$.

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica en $\mathbb{R}^n$. Entonces, existe una matriz ortogonal $P$ y una matriz diagonal $D$, ambas en $\mathbb{R}^n$, tales que $$A=P^{-1}DP.$$

Para hablar de la demostración y de las consecuencias del teorema espectral para matrices simétricas reales, necesitaremos usar teoría de todas las unidades del curso. En particular, usaremos las siguientes definiciones:

  • Una matriz $A$ en $M_n(F)$ es simétrica si es igual a su transpuesta.
  • Una matriz $A$ en $M_n(F)$ es ortogonal si es invertible y $A^{-1}= {^tA}$.
  • Si $T:V\to V$ es una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ a sí mismo y $W$ es un subespacio de $V$, entonces decimos que $W$ es estable bajo $T$ si $T(W)\subseteq W$.
  • Un producto interior es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
  • Un espacio Euclideano es un espacio vectorial de dimensión finita con un producto interior.
  • Si $W$ es un subespacio de un espacio Euclideano $V$, entonces $W^\bot$ es el conjunto de todos los vectores que de $V$ que son ortogonales a todos los vectores de $W$.
  • Una matriz $A$ en $M_n(F)$ es diagonalizable si existen matrices $P$ y $D$ en $M_n(F)$ con $P$ invertible, $D$ diagonal y tales que $A=P^{-1}DP$.

Y los siguientes resultados principales:

En esta entrada enunciaremos tres resultados auxiliares de interés propio. A partir de estos resultados, la demostración del teorema espectral para matrices simétricas reales y la equivalencia entre ambas versiones será mucho más limpia.

Los eigenvalores de matrices simétricas reales

El polinomio característico de una matriz $A$ en $M_n(\mathbb{R})$ tiene coeficientes reales. Por el teorema fundamental del álgebra, debe tener exactamente $n$ raíces en $\mathbb{C}$, contando multiplicidades. Si alguna de estas raíces $r$ no es real, entonces $A$ no puede ser diagonalizable en $M_n(\mathbb{R})$. La razón es que $A$ sería similar a una matriz diagonal $D$, y los eigenvalores de las matrices diagonales (incluso triangulares) son las entradas de la diagonal principal. Como $A$ y $D$ comparten eigenvalores (por ser similares), entonces $r$ tendría que ser una entrada de $D$, pero entonces $D$ ya no sería una matriz de entradas reales.

Lo primero que veremos es que las matrices simétricas reales «superan esta dificultad para poder diagonalizarse». Esta va a ser nuestra primer herramienta para demostrar el teorema espectral.

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica en $M_n(\mathbb{R})$ y $\lambda$ una raíz del polinomio característico de $A$. Entonces, $\lambda$ es un número real.

Demostración. El polinomio característico de $A$ es un polinomio con coeficientes reales, así que por el teorema fundamental del álgebra se tiene que $\lambda$ debe ser un número en $\mathbb{C}$. Así, podemos escribirlo de la forma $\lambda = a+ib$, con $a$ y $b$ números reales. Lo que mostraremos es que $b=0$.

Se tiene que $\lambda$ es un eigenvalor de $A$ vista como matriz en $M_n(\mathbb{C})$, y por lo tanto le corresponde un eigenvector $U$ en $\mathbb{C}^n$, es decir, un $U\neq 0$ tal que $$AU=\lambda U.$$ Este vector $U$ lo podemos separar en partes reales e imaginarias con vectores $V$ y $W$ en $\mathbb{R}^n$ tales que $$U=V+iW.$$

En estos términos,
\begin{align*}
AU&=A(V+iW)=AV+iAW \quad\text{y}\\
\lambda U &= (a+ib)(V+iW)\\
&=(aV-bW) + i (aW+bV),
\end{align*}

de modo que igualando partes reales e imaginarias en la expresión $AU=\lambda U$ tenemos que
\begin{align*}
AV&=aV-bW\quad\text{y}\\
AW&=aW+bV.
\end{align*}

Como $A$ es simétrica, tenemos que

\begin{equation}
\langle AV,W \rangle=\langle {^tA}V,W \rangle= \langle V, AW\rangle.
\end{equation}

Estudiemos las expresiones en los extremos, reemplazando los valores de $AV$ y $AW$ que encontramos arriba y usando la bilinealidad del producto interior. Se tiene que

\begin{align*}
\langle AV,W \rangle &= \langle aV-bW,W \rangle\\
&=a\langle V,W \rangle – b \langle W,W \rangle\\
&=a \langle V,W \rangle – b \norm{W}^2,
\end{align*}

y que

\begin{align*}
\langle V,AW \rangle &= \langle V,aW+bV \rangle\\
&=a\langle V,W \rangle + b \langle V,V \rangle\\
&=a \langle V,W \rangle + b \norm{V}^2.
\end{align*}

Substituyendo estos valores en la expresión (1), obtenemos la igualdad

$$a \langle V,W \rangle – b \norm{W}^2 = a \langle V,W \rangle + b \norm{V}^2,$$

que se simplifica a $$b(\norm{V}^2+\norm{W}^2)=0.$$

Estamos listos para dar el argumento final. Como $U=V+iW$ es un eigenvector, entonces no es nulo, de modo que no es posible que $V$ y $W$ sean ambos el vector $0$ de $\mathbb{R}^n$. Como el producto interior es positivo definido, entonces alguna de las normas $\norm{V}$ o $\norm{W}$ no es cero, de modo que $$\norm{V}^2+\norm{W}^2\neq 0.$$

Concluimos que $b=0$, y por lo tanto que $\lambda$ es un número real.

$\square$

La demostración anterior es ejemplo de un truco que se usa mucho en las matemáticas. Aunque un problema o un teorema no hablen de los números complejos en su enunciado, se puede introducir a $\mathbb{C}$ para usar sus propiedades y trabajar ahí. Luego, se regresa lo obtenido al contexto real. Aquí en el blog hay otra entrada en donde damos más ejemplos de «brincar a los complejos».

Un resultado auxiliar de transformaciones simétricas

A continuación damos la segunda herramienta que necesitaremos para probar el teorema espectral. Recuerda que si $V$ es un espacio Euclideano y $T:V\to V$ es una transformación lineal, entonces decimos que $T$ es simétrica si para todo par de vectores $u$ y $v$ en $V$ se tiene que $$\langle T(u),v\rangle = \langle u, T(v) \rangle.$$ Enunciamos el resultado en términos de transformaciones, pero también es válido para las matrices simétricas asociadas.

Teorema. Sea $V$ un espacio Eucideano y $T:V\to V$ una transformación lineal simétrica. Sea $W$ un subespacio de $V$ estable bajo $T$. Entonces:

  • $W^\bot$ también es estable bajo $T$ y
  • Las restricciones de $T$ a $W$ y a $W^\bot$ son transformaciones lineales simétricas en esos espacios.

Demostración. Para el primer punto, lo que tenemos que mostrar es que si $w$ pertenece a $W^\bot$, entonces $T(w)$ también, es decir, que $T(w)$ es ortogonal a todo vector $v$ en $W$.

Tomemos entonces un vector $v$ en $W$. Como $W$ es estable bajo $T$, tenemos que $T(v)$ está en $W$, de modo que $\langle w, T(v) \rangle =0$. Como $T$ es simétrica, tenemos entonces que $$\langle T(w),v \rangle = \langle w, T(v) \rangle = 0.$$ Esto es lo que queríamos probar.

Para la segunda parte, si $T_1$ es la restricción de $T_1$ a $W$ y tomamos vectores $u$ y $v$ en $W$, tenemos que
\begin{align*}
\langle T_1(u), v \rangle &= \langle T(u), v \rangle\\
&=\langle u, T(v) \rangle \\
&=\langle u, T_1(v) \rangle,
\end{align*}

lo cual muestra que $T_1$ es simétrica. La prueba para $W^\bot $ es análoga y queda como tarea moral.

$\square$

Matrices diagonalizables y bases ortonormales de eigenvectores

El tercer y último resultado enuncia una equivalencia entre que una matriz en $M_n(F)$ sea diagonalizable, y que exista una base especial para $F^n$. Es lo que usaremos para probar la equivalencia entre ambas formulaciones del teorema espectral para matrices simétricas reales.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:

  • $A$ es diagonalizable, es decir, existen matrices $P$ y $D$ en $M_n(F)$, con $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $A=P^{-1}DP.$
  • Existe una base para $F^n$ que consiste de eigenvectores de $A$.

Demostración. Antes de comenzar la demostración, recordemos que si tenemos una matriz $B$ en $M_n(F)$ de vectores columna $$C_1,\ldots,C_n,$$ entonces los vectores columna del producto $AB$ son $$AC_1,\ldots AC_n.$$ Además, si $D$ es una matriz diagonal en $M_n(F)$ con entradas en la diagonal $d_1,\ldots,d_n$, entonces los vectores columna de $BD$ son $$d_1C_1,\ldots,d_nC_n.$$

Comencemos la prueba del teorema. Supongamos que $A$ es diagonalizable y tomemos matrices $P$ y $D$ en $M_n(F)$ con $P$ invertible y $D$ diagonal de entradas $d_1,\ldots,d_n$, tales que $A=P^{-1}DP$. Afirmamos que los vectores columna $C_1,\ldots,C_n$ de $P^{-1}$ forman una base de $F^n$ que consiste de eigenvectores de $A$.

Por un lado, como son los vectores columna de una matriz invertible, entonces son linealmente independientes. En total son $n$, como la dimensión de $F^n$. Esto prueba que son una base.

De $A=P^{-1}DP$ obtenemos la igualdad $AP^{-1}=P^{-1}D$. Por las observaciones al inicio de la prueba, tenemos al igualar columnas que para cada $j=1,\ldots,n$ se cumple $$AC_j = d_j C_j.$$ Como $C_j$ forma parte de un conjunto linealmente independiente, no es el vector $0$. Así, $C_j$ es un eigenvector de $A$ con eigenvalor $d_j$. Con esto terminamos una de las implicaciones.

Supongamos ahora que existe una base de $F^n$ que consiste de eigenvectores $C_1,\ldots,C_n$ de $A$. Para cada $j=1,\ldots,n$, llamemos $\lambda_j$ al eigenvalor correspondiente a $C_j$, y llamemos $D$ a la matriz diagonal con entradas $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.

Como $C_1,\ldots,C_n$ son vectores linealmente independientes, la matriz $B$ cuyas columnas son $C_1,\ldots, C_n$ es invertible. Además, por las observaciones al inicio de la prueba, se tiene que la columna $j$ de la matriz$AB$ es $AC_j$ y la columna $j$ de la matriz $BD$ es $\lambda_j C_j$. Entonces, por construcción, estas matrices son iguales columna a columna, y por lo tanto lo son iguales. De esta forma, tenemos que $AB=BD$, o bien, reescribiendo esta igualdad, que $$A=BDB^{-1}.$$ Así, la matriz invertible $P=B^{-1}$ y la matriz diagonal $D$ diagonalizan a $A$.

$\square$

Las matrices simétricas reales serán todavía más especiales que simplemente las matrices diagonalizables. Lo que asegura el teorema espectral es que podremos encontrar no sólo una base de eigenvectores, sino que además podemos garantizar que esta base sea ortonormal. En términos de diagonalización, la matriz $P$ no sólo será invertible, sino que además será ortogonal.

Tarea moral

  • Encuentra un ejemplo de una matriz simétrica en $M_n(\mathbb{C})$ cuyos eigenvalores no sean reales.
  • En el contexto del segundo teorema, muestra que la restricción de $T$ a $W^\bot$ es simétrica.
  • Realiza la demostración de que si $A$ y $B$ son matrices en $M_n(F)$ y los vectores columna de $B$ son $C_1,\ldots,C_n$, entonces los vectores columna de $AB$ son $AC_1,\ldots,AC_n$. También, prueba que si $D$ es diagonal de entradas $d_1,\ldots,d_n$, entonces las columnas de $BD$ son $d_1C_1,\ldots,d_nC_n$.
  • Encuentra una matriz $A$ con entradas reales similar a la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix},$$ tal que ninguna de sus entradas sea igual a $0$. Encuentra una base ortogonal de eigenvectores de $A$ para $\mathbb{R}^3$.
  • Diagonaliza la matriz $$\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\ \frac{19}{7} & \frac{30}{7} & \frac{65}{7} & \frac{24}{7}\\ \frac{6}{7} & – \frac{20}{7} & – \frac{48}{7} & – \frac{23}{7}\end{pmatrix}.$$

Más adelante…

En esta entrada enunciamos dos formas del teorema espectral y hablamos de algunas consecuencias que tiene. Además, repasamos un poco de la teoría que hemos visto a lo largo del curso y vimos cómo nos ayuda a entender mejor este teorema.

En la siguiente entrada, que es la última del curso, demostraremos las dos formas del teorema espectral que enunciamos en esta entrada y haremos un pequeño comentario sobre qué hay más allá del teorema espectral en el álgebra lineal.

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Álgebra Superior II: Ejercicios de conjugados complejos

Aquí van los videos de hoy, en donde vemos ejemplos resueltos de conjugación compleja. Expliqué con un poco más de detalle el ejemplo 132 del libro de Bravo, Rincón y Rincón. Resolví el ejercicio 325 completo, así como otros 3 ejercicios de conjugados complejos del libro Álgebra Superior II de Antonio Lascurain. Más adelante les pondré en foto para los que no tengan facilidad para ver los videos de YouTube.

Ejemplos y ejercicios de conjugados complejos del Bravo, Rincón, Rincón

Primero, resolvemos el ejemplo 132 del libro:

Problema. Calcular $z$ si $iz+(2-i)\overline{z}=10+6i$.

Ejemplo 132 detallado

Inciso 1 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve $(1+i)z+(1-i)\overline{z}=4$.

Inciso 1 del ejercicio 325

Inciso 2 del ejercicio 325:

Problema. Resuelve $z\overline{z}+3(z+\overline{z})=7$

Inciso 2 del ejercicio 325

Inciso 3 del ejercicio 325. Nota importante de este ejercicio: Alrededor del 7:09 me equivoqué en un signo, el término $6d$ de la parte imaginaria debería ser negativo. Eso puede que cambie el resultado final, pero esa es la idea de la resolución del problema.

Problema. Resuelve el sistema \begin{align*}iz+(1+i)&=3+i\\ (1+i)\overline{z}-(6+i)\overline{w}&=4\end{align*}

Ejercicios del libro de Lascurain

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Álgebra Superior II de Antonio Lascurain.

Problema. Realiza la siguiente operación de números complejos: $$\overline{\left(\frac{2-4i}{5-5i}\right)}$$.

Una división con conjugados complejos

Problema. Encuentra las parejas $u,v$ de números complejos para las cuales sucede que $u \overline{\overline{v}u}=v$.

Problema 1 de conjugación compleja

Problema. Encuentra las parejas $u,v$ de números complejos para las cuales sucede que $v+iu=-\overline{v}+i\overline{u}$.

Problema 2 de conjugación compleja