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Álgebra Lineal I: Matrices simétricas reales y sus eigenvalores

Introducción

Hemos llegado a la cima del curso. En estas últimas entradas probaremos uno de los teoremas más bellos en álgebra lineal: el teorema espectral para matrices simétricas reales. También hablaremos de varias de las consecuencias que tiene.

Hay dos formas equivalentes de enunciar el teorema.

Teorema. Sea V un espacio euclideano y T:V\to V una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de V que consiste de eigenvectores de T.

Teorema. Sea A una matriz simétrica en \mathbb{R}^n. Entonces, existe una matriz ortogonal P y una matriz diagonal D, ambas en \mathbb{R}^n, tales que

    \[A=P^{-1}DP.\]

Para hablar de la demostración y de las consecuencias del teorema espectral para matrices simétricas reales, necesitaremos usar teoría de todas las unidades del curso. En particular, usaremos las siguientes definiciones:

  • Una matriz A en M_n(F) es simétrica si es igual a su transpuesta.
  • Una matriz A en M_n(F) es ortogonal si es invertible y A^{-1}= {^tA}.
  • Si T:V\to V es una transformación lineal de un espacio vectorial V a sí mismo y W es un subespacio de V, entonces decimos que W es estable bajo T si T(W)\subseteq W.
  • Un producto interior es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
  • Un espacio Euclideano es un espacio vectorial de dimensión finita con un producto interior.
  • Si W es un subespacio de un espacio Euclideano V, entonces W^\bot es el conjunto de todos los vectores que de V que son ortogonales a todos los vectores de W.
  • Una matriz A en M_n(F) es diagonalizable si existen matrices P y D en M_n(F) con P invertible, D diagonal y tales que A=P^{-1}DP.

Y los siguientes resultados principales:

En esta entrada enunciaremos tres resultados auxiliares de interés propio. A partir de estos resultados, la demostración del teorema espectral para matrices simétricas reales y la equivalencia entre ambas versiones será mucho más limpia.

Los eigenvalores de matrices simétricas reales

El polinomio característico de una matriz A en M_n(\mathbb{R}) tiene coeficientes reales. Por el teorema fundamental del álgebra, debe tener exactamente n raíces en \mathbb{C}, contando multiplicidades. Si alguna de estas raíces r no es real, entonces A no puede ser diagonalizable en M_n(\mathbb{R}). La razón es que A sería similar a una matriz diagonal D, y los eigenvalores de las matrices diagonales (incluso triangulares) son las entradas de la diagonal principal. Como A y D comparten eigenvalores (por ser similares), entonces r tendría que ser una entrada de D, pero entonces D ya no sería una matriz de entradas reales.

Lo primero que veremos es que las matrices simétricas reales «superan esta dificultad para poder diagonalizarse». Esta va a ser nuestra primer herramienta para demostrar el teorema espectral.

Teorema. Sea A una matriz simétrica en M_n(\mathbb{R}) y \lambda una raíz del polinomio característico de A. Entonces, \lambda es un número real.

Demostración. El polinomio característico de A es un polinomio con coeficientes reales, así que por el teorema fundamental del álgebra se tiene que \lambda debe ser un número en \mathbb{C}. Así, podemos escribirlo de la forma \lambda = a+ib, con a y b números reales. Lo que mostraremos es que b=0.

Se tiene que \lambda es un eigenvalor de A vista como matriz en M_n(\mathbb{C}), y por lo tanto le corresponde un eigenvector U en \mathbb{C}^n, es decir, un U\neq 0 tal que

    \[AU=\lambda U.\]

Este vector U lo podemos separar en partes reales e imaginarias con vectores V y W en \mathbb{R}^n tales que

    \[U=V+iW.\]

En estos términos,

    \begin{align*}AU&=A(V+iW)=AV+iAW \quad\text{y}\\\lambda U &= (a+ib)(V+iW)\\&=(aV-bW) + i (aW+bV),\end{align*}

de modo que igualando partes reales e imaginarias en la expresión AU=\lambda U tenemos que

    \begin{align*}AV&=aV-bW\quad\text{y}\\AW&=aW+bV.\end{align*}

Como A es simétrica, tenemos que

(1)   \begin{equation*}\langle AV,W \rangle=\langle {^tA}V,W \rangle= \langle V, AW\rangle.\end{equation*}

Estudiemos las expresiones en los extremos, reemplazando los valores de AV y AW que encontramos arriba y usando la bilinealidad del producto interior. Se tiene que

    \begin{align*}\langle AV,W \rangle &= \langle aV-bW,W \rangle\\&=a\langle V,W \rangle - b \langle W,W \rangle\\&=a \langle V,W \rangle - b \norm{W}^2,\end{align*}

y que

    \begin{align*}\langle V,AW \rangle &= \langle V,aW+bV \rangle\\&=a\langle V,W \rangle + b \langle V,V \rangle\\&=a \langle V,W \rangle + b \norm{V}^2.\end{align*}

Substituyendo estos valores en la expresión (1), obtenemos la igualdad

    \[a \langle V,W \rangle - b \norm{W}^2 = a \langle V,W \rangle + b \norm{V}^2,\]

que se simplifica a

    \[b(\norm{V}^2+\norm{W}^2)=0.\]

Estamos listos para dar el argumento final. Como U=V+iW es un eigenvector, entonces no es nulo, de modo que no es posible que V y W sean ambos el vector 0 de \mathbb{R}^n. Como el producto interior es positivo definido, entonces alguna de las normas \norm{V} o \norm{W} no es cero, de modo que

    \[\norm{V}^2+\norm{W}^2\neq 0.\]

Concluimos que b=0, y por lo tanto que \lambda es un número real.

\square

La demostración anterior es ejemplo de un truco que se usa mucho en las matemáticas. Aunque un problema o un teorema no hablen de los números complejos en su enunciado, se puede introducir a \mathbb{C} para usar sus propiedades y trabajar ahí. Luego, se regresa lo obtenido al contexto real. Aquí en el blog hay otra entrada en donde damos más ejemplos de «brincar a los complejos».

Un resultado auxiliar de transformaciones simétricas

A continuación damos la segunda herramienta que necesitaremos para probar el teorema espectral. Recuerda que si V es un espacio Euclideano y T:V\to V es una transformación lineal, entonces decimos que T es simétrica si para todo par de vectores u y v en V se tiene que

    \[\langle T(u),v\rangle = \langle u, T(v) \rangle.\]

Enunciamos el resultado en términos de transformaciones, pero también es válido para las matrices simétricas asociadas.

Teorema. Sea V un espacio Eucideano y T:V\to V una transformación lineal simétrica. Sea W un subespacio de V estable bajo T. Entonces:

  • W^\bot también es estable bajo T y
  • Las restricciones de T a W y a W^\bot son transformaciones lineales simétricas en esos espacios.

Demostración. Para el primer punto, lo que tenemos que mostrar es que si w pertenece a W^\bot, entonces T(w) también, es decir, que T(w) es ortogonal a todo vector v en W.

Tomemos entonces un vector v en W. Como W es estable bajo T, tenemos que T(v) está en W, de modo que \langle w, T(v) \rangle =0. Como T es simétrica, tenemos entonces que

    \[\langle T(w),v \rangle = \langle w, T(v) \rangle = 0.\]

Esto es lo que queríamos probar.

Para la segunda parte, si T_1 es la restricción de T_1 a W y tomamos vectores u y v en W, tenemos que

    \begin{align*}\langle T_1(u), v \rangle &= \langle T(u), v \rangle\\&=\langle u, T(v) \rangle \\&=\langle u, T_1(v) \rangle,\end{align*}

lo cual muestra que T_1 es simétrica. La prueba para W^\bot es análoga y queda como tarea moral.

\square

Matrices diagonalizables y bases ortonormales de eigenvectores

El tercer y último resultado enuncia una equivalencia entre que una matriz en M_n(F) sea diagonalizable, y que exista una base especial para F^n. Es lo que usaremos para probar la equivalencia entre ambas formulaciones del teorema espectral para matrices simétricas reales.

Teorema. Sea A una matriz en M_n(F). Las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:

  • A es diagonalizable, es decir, existen matrices P y D en M_n(F), con P invertible y D diagonal tales que A=P^{-1}DP.
  • Existe una base para F^n que consiste de eigenvectores de A.

Demostración. Antes de comenzar la demostración, recordemos que si tenemos una matriz B en M_n(F) de vectores columna

    \[C_1,\ldots,C_n,\]

entonces los vectores columna del producto AB son

    \[AC_1,\ldots AC_n.\]

Además, si D es una matriz diagonal en M_n(F) con entradas en la diagonal d_1,\ldots,d_n, entonces los vectores columna de BD son

    \[d_1C_1,\ldots,d_nC_n.\]

Comencemos la prueba del teorema. Supongamos que A es diagonalizable y tomemos matrices P y D en M_n(F) con P invertible y D diagonal de entradas d_1,\ldots,d_n, tales que A=P^{-1}DP. Afirmamos que los vectores columna C_1,\ldots,C_n de P^{-1} forman una base de F^n que consiste de eigenvectores de A.

Por un lado, como son los vectores columna de una matriz invertible, entonces son linealmente independientes. En total son n, como la dimensión de F^n. Esto prueba que son una base.

De A=P^{-1}DP obtenemos la igualdad AP^{-1}=P^{-1}D. Por las observaciones al inicio de la prueba, tenemos al igualar columnas que para cada j=1,\ldots,n se cumple

    \[AC_j = d_j C_j.\]

Como C_j forma parte de un conjunto linealmente independiente, no es el vector 0. Así, C_j es un eigenvector de A con eigenvalor d_j. Con esto terminamos una de las implicaciones.

Supongamos ahora que existe una base de F^n que consiste de eigenvectores C_1,\ldots,C_n de A. Para cada j=1,\ldots,n, llamemos \lambda_j al eigenvalor correspondiente a C_j, y llamemos D a la matriz diagonal con entradas \lambda_1,\ldots,\lambda_n.

Como C_1,\ldots,C_n son vectores linealmente independientes, la matriz B cuyas columnas son C_1,\ldots, C_n es invertible. Además, por las observaciones al inicio de la prueba, se tiene que la columna j de la matrizAB es AC_j y la columna j de la matriz BD es \lambda_j C_j. Entonces, por construcción, estas matrices son iguales columna a columna, y por lo tanto lo son iguales. De esta forma, tenemos que AB=BD, o bien, reescribiendo esta igualdad, que

    \[A=BDB^{-1}.\]

Así, la matriz invertible P=B^{-1} y la matriz diagonal D diagonalizan a A.

\square

Las matrices simétricas reales serán todavía más especiales que simplemente las matrices diagonalizables. Lo que asegura el teorema espectral es que podremos encontrar no sólo una base de eigenvectores, sino que además podemos garantizar que esta base sea ortonormal. En términos de diagonalización, la matriz P no sólo será invertible, sino que además será ortogonal.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra un ejemplo de una matriz simétrica en M_n(\mathbb{C}) cuyos eigenvalores no sean reales.
  • En el contexto del segundo teorema, muestra que la restricción de T a W^\bot es simétrica.
  • Realiza la demostración de que si A y B son matrices en M_n(F) y los vectores columna de B son C_1,\ldots,C_n, entonces los vectores columna de AB son AC_1,\ldots,AC_n. También, prueba que si D es diagonal de entradas d_1,\ldots,d_n, entonces las columnas de BD son d_1C_1,\ldots,d_nC_n.
  • Encuentra una matriz A con entradas reales similar a la matriz

        \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix},\]

    tal que ninguna de sus entradas sea igual a 0. Encuentra una base ortogonal de eigenvectores de A para \mathbb{R}^3.
  • Diagonaliza la matriz

        \[\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 0\\ \frac{19}{7} & \frac{30}{7} & \frac{65}{7} & \frac{24}{7}\\ \frac{6}{7} & - \frac{20}{7} & - \frac{48}{7} & - \frac{23}{7}\end{pmatrix}.\]

Más adelante…

En esta entrada enunciamos dos formas del teorema espectral y hablamos de algunas consecuencias que tiene. Además, repasamos un poco de la teoría que hemos visto a lo largo del curso y vimos cómo nos ayuda a entender mejor este teorema.

En la siguiente entrada, que es la última del curso, demostraremos las dos formas del teorema espectral que enunciamos en esta entrada y haremos un pequeño comentario sobre qué hay más allá del teorema espectral en el álgebra lineal.

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Álgebra Lineal I: Proyecciones, simetrías y subespacios estables

Introducción

Anteriormente introdujimos el concepto de transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales. Vimos diversas propiedades que toda transformación lineal debe satisfacer. Finalmente, se presentaron las definiciones de kernel e imagen. Lo que haremos ahora es hablar de algunos tipos especiales de transformaciones lineales: las proyecciones y las simetrías. Para ello, aprovecharemos lo que ya estudiamos de suma y suma directas de subespacios.

Además, hablaremos del concepto de subespacios estables. Intuitivamente, un subespacio es estable para una transformación lineal si al aplicarla en elementos del subespacio, «no nos salimos del subespacio».

Proyecciones

Hablemos de una clase fundamental de transformaciones lineales: las proyecciones sobre subespacios. Para ellas, se comienza expresando a un espacio vectorial como una suma directa V=W_1\oplus W_2. Recuerda que, a grandes rasgos, esto quiere decir que cada vector v de V se puede expresar de manera única como v=w_1+w_2, donde w_1 está en W_1 y w_2 está en W_2.

Definición. Sea V un espacio vectorial y sean W_1 y W_2 dos subespacios de V tales que V=W_1\oplus W_2. La proyección sobre W_1 es la función \pi_1:V\rightarrow W_1 definido como: para cada v\in V, se tiene que \pi_1(v) es el único vector en W_1 tal que v-\pi_1(v) está en W_2.

De manera similar podemos definir la proyección sobre W_2, llamada \pi_2:V\rightarrow W_2.

Hay otra forma de decir esto. Dado que V=W_1\oplus W_2, para todo v\in V existen únicos vectores v_1\in W_1 y v_2\in W_2 tales que v=v_1+v_2. Entonces \pi_1(v)=v_1 y \pi_2(v)=v_2.

Ejemplo. Sea V=\mathbb{R}^2, y sean W_1=\{(a,0): a\in\mathbb{R}\} y W_2=\{(0,b):b\in\mathbb{R}\}. Sabemos que W_1 y W_2 son subespacios y que V=W_1\oplus W_2. Entonces, si (a,b)\in V, se tiene que \pi_1((a,b))=(a,0) y \pi_2((a,b))=(0,b).

\square

Cuando hablamos de una proyección \pi de un espacio vectorial V, sin indicar el subespacio, de manera implícita nos referimos a una función para la cual existe una descomposición V=W_1\oplus W_2 tal que \pi es la proyección sobre W_1.

Problema. Muestra que la transformación lineal \pi:M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}) tal que

    \[\pi\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & 0 \\ c  & 0 \end{pmatrix}\]

es una proyección.

Solución. Para resolver el problema, tenemos que mostrar que se puede escribir M_2(\mathbb{R})=W_1\oplus W_2, de modo que \pi sea una proyección sobre W_1.

Proponemos

    \[W_1=\left\{\begin{pmatrix} r & 0 \\ s & 0\end{pmatrix}: r,s, \in \mathbb{R}\right\}\]

y W_2 como

    \[W_2=\left\{\begin{pmatrix} -r & r \\ 0 & s\end{pmatrix}: r,s, \in \mathbb{R}\right\}.\]

Si una matriz está simultánteamente en W_1 y W_2, es sencillo mostrar que únicamente puede ser la matriz cero, es decir O_2. Esto lo puedes verificar por tu cuenta. Además, cualquier matriz en M_2(\mathbb{R}) se puede escribir como suma de elementos en W_1 y W_2 como sigue:

    \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a +b & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -b & b \\ 0 & d \end{pmatrix}.\]

Justo \pi es la primer matriz. Esto muestra que \pi es una proyección, pues es la proyección sobre W_1 en la descomposición V=W_1\oplus W_2.

\square

Aún no hemos mostrado que las proyecciones son transformaciones lineales. Hacemos esto a continuación.

Proposición. Sea V un espacio vectorial y W_1 y un subespacio de V. Sea \pi:V\to W_1 una proyección de V sobre W_1. Entonces \pi es una transformación lineal.

Demostración. Sean v,v' \in V. Sean w=\pi(v) y w'=\pi(v'), ambos en W_1. Por definición, tenemos v-w,v'-w' \in W_2. Como W_1, W_2 son subespacios vectoriales, w+w'\in W_1 y

    \[(v+v')-(w+w')=(v-w)+(v'-w')\in W_2,\]

deducimos que \pi(v+v')=w+w'=\pi(v)+\pi(v').

Ahora sea c\in F. Notemos que cw=c\pi(v). También dado que v=w+(v-w), tenemos que cv=cw+c(v-w). Por propiedades de subespacios vectoriales, cw\in W_1 y c(v-w)\in W_2. Esto implica que \pi(cv)=cw. Entonces, \pi(cv)=cw=c\pi(v). Por lo tanto, las proyecciones son transformaciones lineales.

\square

Finalmente, notemos que \pi(v)=v para todo v\in W_1 pero \pi(v)=0 si v\in W_2.

Simetrías

Una segunda clase importante de trasnformaciones lineales son las simetrías.

Definición. Sea una descomposición V=W_1\oplus W_2, con W_1, W_2 dos subespacios de V. Decimos que s:V\rightarrow V es una simetría con respecto a W_1 a lo largo de W_2 si para todo v\in V, escrito como v=v_1+v_2 con v_1\in W_1 y v_2 \in W_2, tenemos que

    \[s(v)=v_1-v_2.\]

Al igual que con las proyecciones, no es dificil ver que las simetrías son transformaciones lineales.

Proposición. Sea s:V\rightarrow V una simetría con respecto a W_1 a lo largo de W_2. Entonces, s es una transformación lineal.

Demostración. Sean v,v' \in V. Sean v_1,v'_1\in W_1 y v_2,v'_2 \in W_2 tales que v=v_1+v_2 y v'=v'_1+v'_2. Eso implica que v+v'=(v_1+v'_1)+(v_2+v'_2) con v_1+v'_1 \in W_1 y v_2+v'_2 \in W_2. Entonces

    \[s(v)+s(v')=(v_1-v_2)+(v'_1-v'_2) =(v_1+v'_1)-(v_2+v'_2)= s(v+v').\]


Ahora sea a\in F, entonces as(v)=a(v_1-v_2)=av_1-av_2=s(av_1+av_2)=s(av). Por lo tanto, s es una transformación lineal.

\square

Notemos que si v\in W_1, entonces s(v)=v-0=v, y si v\in W_2, entonces s(v)=0-v=-v.

Subespacios estables

Observemos que las proyecciones y las simetrías satisfacen que \pi(W_1)=W_1 y s(W_1)=W_1. Esta es una propiedad muy linda, pero en general, si T:V\rightarrow V es una transformación lineal cualquiera y W un subespacio de V, no siempre tenemos que T(W)=W, o ni siquiera que T(W)\subset W. Es decir, aunque tomemos un vector w en W, puede pasar que T(w) ya «esté fuera» de W.

Los subespacios W que sí satisfacen esta última propiedad son cruciales en el estudio de este curso, y por ello, merecen un nombre especial.

Definición. Sea V un espacio vectorial y T:V\rightarrow V una transformación lineal. Si W es un subespacio de V tal que T(W)\subset W, decimos que W es un subespacio estable bajo T.

En otras palabras, W es estable bajo T si para todo v en W se tiene que T(v) también está en W. Un ejemplo trivial es la transformación identidad con cualquier subespacio W. Otro ejemplo trivial es que V y \{0\} son dos subespacios estables bajo cualquier transformación lineal T:V\rightarrow V. Otros ejemplos son los ya mencionados: las proyecciones y las simetrías.

En el siguiente ejemplo encontraremos todos los subespacios estables para una cierta transformación.

Ejemplo. Consideremos el mapeo T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 con T(x,y)=(y,-x). Claramente T es lineal. Sea W un subespacio estable de \mathbb{R}^2 bajo T. Supongamos que W no es ni \mathbb{R}^2, ni el subespacio trivial \{ (0,0) \}.

Veremos que no hay ningún otro subespacio estable. Procedamos por contradicción. Suponiendo que hay otro subespacio estable W, su dimensión tendría que ser exactamente 1. Eso implica que W está generado por un vector no cero, digamos v=(x,y). Es decir, cada w\in W lo podemos escribir como w=av donde a es un escalar. En particular v\in W.

Como W es estable bajo T, entonces T(v)\in W, esto es T(v)=cv para algún c. Así,

    \begin{align*}(y,-x)&=T((x,y))\\&=T(v)\\&=cv\\&=c(x,y)\\&=(cx,cy).\end{align*}

Igualando ambos extremos, obtenemos quey=cx y -x=cy, lo cual implica que (c^2+1)x=0. Como c es real, esto implica x=0 y por lo tanto y=0. Concluimos que v=(0,0), lo cual es una contradicción.

Esto demuestra que los únicos subespacios estables bajo T son \mathbb{R}^2 y \{(0,0)\}.

\square

El siguiente problema estudia un problema inverso. En ella se encuentran todas las transformaciones lineales que dejan fijas «todas las rectas por el vector 0«.

Problema. Sea V un espacio vectorial y T:V\rightarrow V una transformación lineal tal que, para todo v\in V, se tiene que \text{span}(v) es un subespacio estable bajo T. Entonces existe un escalar c\in F tal que T(x)=cx para todo x\in V.

Demostración. Sea x\in V un vector distinto de 0. Si L=\text{span}(x), tenemos que T(L)\subset L por hipótesis. En particular T(x)\in L y por lo tanto existe c_x tal que T(x)=c_x x. Queremos probar que esa constante realmente no depende de x.

Sea y\in V. Hay dos opciones: x,y son linealmente independientes o no. Supongamos primero que x,y son linealmente independientes. Entonces x+y \neq 0 y la igualdad T(x+y)=T(x)+T(y) puede ser escrita como c_{x+y} (x+y)=c_x x+c_y y, esto es equivalente a (c_{x+y}-c_x)x+(c_{x+y}-c_y) y=0. Por independencia lineal, c_{x+y}-c_x=c_{x+y}-c_y=0 y por lo tanto. c_x=c_{x+y}=c_y.

Ahora si x,y no son linealmente independientes, es porque y=0 (en cuyo caso cualquier c_y funciona, en particular c_x) o bien porque y=ax para algún escalar a no cero. Entonces la igualdad T(y)=T(ax)=aT(x) puede ser escrita como c_y y=ac_x x=c_x y, y esto implica que c_y=c_x.

En cualquier caso, hemos mostrado que para todo y\in V, se tiene que c_x=c_y. Definiendo c=c_x, se satisface la afirmación de la proposición.

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Las imágenes y kernels son estables

Otros ejemplos importantes de subespacios estables son las imágenes y los kernels. Esto únicamente funciona para cuando tenemos una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo.

Proposición. Sea T:V\to V una transformación lineal. Entonces \ker(T) e \Ima(T) son subespacios estables bajo T.

Demostración. En la entrada anterior ya vimos que \ker(T) e \Ima(T) son subespacios de V. Veamos que son estables bajo T.

Tomemos v\in \ker(T). Tenemos que mostrar que T(v)\in \ker(T). Pero esto es cierto pues

    \[T(T(v))=T(0)=0.\]

Así T(\ker(T))\subset \ker(T) y por lo tanto \ker(T) es estable bajo T.

Ahora tomemos v\in \Ima(T). De manera inmediata, T(v)\in \Ima(T). Así, \Ima(T) es estable bajo T.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea Y es el subespacio Y=\{(0,r,0): r\in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^3. Argumenta por qué la transformación \pi:\mathbb{R}^3\to Y dada por \pi(x,y,z)=(0,y,0) es una proyección sobre Y. Para ello tendrás que encontrar un subespacio W de \mathbb{R}^3 tal que \mathbb{R}^3=Y\oplus W y con el cual \pi(x,y,z) satisface la definición.
  • Sea X el subespacio X=\{(r,0,0): r\in \mathbb{R} \}. ¿Es posible ver a la transformación T:\mathbb{R}^3 \to X dada por T(x,y,z)=(x+y+z,0,0) como una proyección sobre X? Si tu respuesta es sí, tendrás que dar un espacio W bajo el cual se satisfaga la definición. Si tu respuesta es no, tendrás que mostrar que ningún subespacio W funciona.
  • En el ejemplo de la sección de subespacios estables, ¿qué sucede si trabajamos en \mathbb{C}^2 en vez de en \mathbb{R}^2? ¿Quienes serían todos los subespacios estables?
  • Sea B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} una base para un espacio vectorial V sobre un campo F. Sea V_i el espacio vectorial generado por v_i, es decir, el conjunto de vectores de la forma cv_i con c\in F. Como B es base, cada vector v\in V puede escribirse de la forma

        \[a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n\]

    de manera única. Muestra que para toda i\in\{1,2,\ldots,n\} la función \pi_i(v)=a_iv_i es una proyección sobre V_i.
  • Para cada entero n, muestra que \mathbb{R}_n[x] es un subespacio de \mathbb{R}[x] que es estable bajo la transformación lineal T que manda a cada polinomio p(x) a su derivada T(p(x))=p'(x).

Más adelante…

Las proyecciones y simetrías son dos ejemplos de transformaciones lineales que tienen propiedades específicas. Más adelante, cuando hablemos de geometría de espacios vectoriales y del proceso de Gram-Schmidt, veremos que las proyecciones satisfacen propiedades interesantes en términos de ciertas distancias.

La teoría de subespacios estables es muy útil a la hora de construir bases de subespacios vectoriales de manera inductiva. De hecho, los resultados en esta dirección son uno de los ingredientes que usaremos en la demostración del teorema estelar del curso: el teorema espectral.

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