Álgebra Lineal I: Eigenvalores y eigenvectores de transformaciones y matrices

Introducción

En entradas anteriores ya establecimos los fundamentos para hablar de determinantes. Dimos su definición para el caso de vectores y el caso de matrices/transformaciones lineales. Enunciamos y demostramos varias de sus propiedades. Luego dedicamos toda una entrada a ver formas de calcularlos. Finalmente, vimos que nos pueden ayudar para entender mucho mejor a los sistemas de ecuaciones lineales. Entender bien estos conceptos te será de gran utilidad en tu formación matemática.

Además, los determinantes son un paso natural en uno de nuestros objetivos del curso: entender por qué las matrices simétricas reales son diagonalizables. Recuerda que una matriz A en M_n(F) es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz invertible P, ambas en M_n(F), de modo que

    \[A=P^{-1}DP.\]

Lo que haremos en esta entrada es hablar de esos valores que aparecen en la matriz diagonal D en el caso de que A sea diagonalizable. Resulta que estos valores están relacionados con una pregunta muy natural en términos de lo que le hace la matriz a ciertos vectores. Y mejor aún, como veremos, hay un método para encontrar estos valores por medio de un determinante. Vamos poco a poco.

Eigenvalores y eigenvectores para transformaciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea T:V\to V una transformación lineal. Para fijar ideas, pensemos en \mathbb{R}^n por el momento. A veces, T simplemente la cambia la magnitud a un vector, sin cambiarle la dirección. Es decir, hay algunos vectores para los cuales T se comporta simplemente como la multiplicación por un escalar. En símbolos, hay vectores v tales que existe un valor \lambda tal que T(v)=\lambda v.

Por supuesto, al vector 0 siempre le pasa esto, pues como T es lineal, se tiene que T(0)=0=\lambda\cdot 0 para cualquier escalar \lambda. Resulta que cuando se estudian estos vectores y escalares especiales, lo más conveniente es quitar al vector 0 de la discusión. Estas ideas llevan a la siguiente definición.

Definición. Un eigenvalor de una transformación lineal T:V\to V es un escalar \lambda tal que \lambda \text{id} - T no es invertible. En otras palabras, \lambda es un escalar tal que existe un vector no cero en el kernel de \lambda \text{id} - T. A un vector v\neq 0 en V tal que

    \[(\lambda \text{id} - T)v=0,\]

se le conoce como un eigenvector de T.

En otras palabras, v es un eigenvector correspondiente a T si v no es cero y T(v)=\lambda v. A los eigenvalores y eigenvectores de T también se les conoce en la bibliografía como valores propios y vectores propios de T.

Observa que si al conjunto de eigenvectores para un eigenvalor \lambda le agregamos el vector 0, entonces obtenemos el kernel de una transformación lineal, que sabemos que es un subespacio vectorial.

Veamos un par de ejemplos para que queden más claras las ideas.

Ejemplo. Consideremos a la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 dada por

    \[T(x,y,z)=(-2x+15y+18z,3y+10z,z).\]

Observa que

    \begin{align*}T(1,0,0)&=(-2,0,0)\\&=-2(1,0,0),\end{align*}

que

    \begin{align*}T(-19,-5,1)&=((-2)(-19)+15(-5)+18,3(-5)+10, 1)\\&=(28+75-18,-15+10,1)\\&=(-19,-5,1),\end{align*}

y que

    \begin{align*}T(3,1,0)&=(-6+15,3,0)\\&=(9,3,0)\\&=3(3,1,0).\end{align*}

Estas igualdades muestran que (1,0,0) es un eigenvector de T con eigenvalor -2, que (-19,-5,1) es un eigenvector de T con eigenvalor 1 y (3,1,0) es un eigenvector de T con eigenvalor 3.

\square

Ejemplo. Consideremos al espacio vectorial \mathbb{R}[x] de polinomios con coeficientes reales. Tomemos la transformación lineal T que manda a un polinomio a su segunda derivada. ¿Quiénes son los eigenvalores y eigenvectores de T?

Para que p sea un eigenvector con eigenvalor \lambda, tiene que suceder que

    \[p''=T(p)=\lambda p.\]

Como p no es el vector cero, tiene un cierto grado. Si \lambda \neq 0, entonces la igualdad anterior no puede suceder, pues si p es de grado mayor o igual a 2, entonces el grado de p'' es menor al de \lambda p, y si el grado de p es 0 ó 1, su segunda derivada es 0, y no puede pasar \lambda p = 0. Así, el único eigenvalor que puede tener T es \lambda = 0. Observa que sí es válido que los eigenvalores sean cero (los eigenvectores no).

Cuando \lambda = 0, tiene que pasar que p'' sea 0\cdot p, es decir, el polinomio cero. Los únicos polinomios tales que su derivada es cero son los constantes y los lineales. Pero el polinomio cero por definición no es eigenvector.

Así, la respuesta final es que el único eigenvalor de T es 0, y sus eigenvectores correspondientes son los polinomios constantes distintos de cero, y los polinomios lineales.

\square

Eigenvalores y eigenvectores para matrices

Tenemos una definición similar para matrices. Sea A una matriz en M_n(F).

Definición. Un escalar \lambda en F es un eigenvalor de A si la matriz \lambda I_n - A no es invertible. En otras palabras, si existe un vector no cero X en F^n tal que AX=\lambda X. A un tal vector X se le conoce como un eigenvector correspondiente al eigenvalor \lambda.

En otras palabras, los eigenvalores y eigenvectores de A son exactamente los eigenvalores y eigenvectores de la transformación T_A:\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n dada por T_A(v)=Av.

Además, si elegimos cualquier base B de un espacio de dimensión finita V y A es la matriz de T con respecto a la base B, entonces para cualquier escalar \lambda se tiene que \lambda I_n - A es la matriz de \lambda \text{id} - T con respecto a esta misma base. De aquí se deduce que los eigenvalores de T son los mismos que los eigenvalores de A. Dos matrices que representan a T difieren sólo en un cambio de base, así que obtenemos el siguiente resultado fundamental.

Proposición. Si A es una matriz en M_n(F) y P es una matriz invertible, entonces A y P^{-1}AP tienen los mismos eigenvalores. En otras palabras, matrices similares tienen los mismos eigenvalores.

En el primer ejemplo tomamos la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 tal que

    \[T(x,y,z)=(-2x+15y+18z,3y+10z,z).\]

Su matriz en la base canónica de \mathbb{R}^3 es

    \[A=\begin{pmatrix} -2 & 15 & 18\\ 0 & 3 & 10\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

En el ejemplo vimos que los eigenvalores eran -2, 1 y 3, que precisamente conciden con las entradas en la diagonal de A. Esto no es casualidad. El siguiente resultado muestra esto, y es una primer evidencia de la importancia de los determinantes para encontrar los eigenvalores de una matriz.

Proposición. Si A es una matriz triangular (superior o inferior) en M_n(F), entonces sus eigenvalores son exactamente las entradas en su diagonal principal.

Demostración. Haremos el caso para cuando A es triangular superior. El otro caso queda de tarea moral.

Queremos encontrar los valores \lambda para los cuales la matriz \lambda I_n - A no sea invertible. La matriz A es triangular superior, así que la matriz \lambda I_n - A también, pues las entradas de A se vuelven negativas, y luego sólo se altera la diagonal principal.

Si las entradas diagonales de A son a_{11},\ldots,a_{nn}, entonces las entradas diagonales de \lambda I_n -A son

    \[\lambda - a_{11},\ldots,\lambda-a_{nn}.\]

La matriz \lambda I_n - A no es invertible si y sólo si su determinante es igual a cero. Como es una matriz triangular superior, su determinante es el producto de sus entradas diagonales, es decir,

    \[\det(\lambda I_n - A) = (\lambda - a_{11})\cdot\ldots\cdot(\lambda - a_{nn}).\]

Este producto es 0 si y sólo si \lambda es igual a alguna entrada a_{ii}. De esta forma, los únicos eigenvalores de A son las entradas en su diagonal.

\square

Si A es una matriz diagonalizable, entonces es semejante a una matriz diagonal D. Por la proposición anterior, los eigenvalores de A serían entonces las entradas en la diagonal principal de D. Esto nos da una intuición muy importante: si acaso pudiéramos encontrar todos los eigenvalores de A, entonces eso podría ser un paso parcial hacia diagonalizarla.

Encontrar eigenvalores es encontrar las raíces de un polinomio

La siguiente proposición conecta eigenvalores, polinomios y determinantes.

Proposición. Sea A una matriz en M_n(F). Entonces la expresión

    \[\det(\lambda I_n - A)\]

está en F[\lambda], es decir, es un polinomio en la variable \lambda con coeficientes en F. Además, es de grado exactamente n.

Demostración. La fórmula para el determinante

    \begin{align*}\begin{vmatrix}\lambda - a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n}\\-a_{21} & \lambda - a_{22} & \ldots & -a_{1n}\\\vdots & & \ddots & \\-a_{n1} & -a_{n2} & \ldots & \lambda - a_{nn}\end{vmatrix}\end{align*}

en términos de permutaciones nos dice que el determinante es sumas de productos de entradas de A. Cada una de las entradas es un polinomio en F[\lambda], ya sea constante, o lineal. Como F[\lambda] es cerrado bajo sumas y productos, esto prueba la primer parte de la afirmación.

Para probar que el grado es exactamente n, notemos que cada sumando de la expresión multiplica exactamente n entradas. Como las entradas a lo mucho son de grado uno en F[\lambda], entonces cada sumando es un polinomio de grado a lo más n. Hay una única forma que el grado sea n: cuando se elige la permutación identidad y entonces se obtiene el sumando

    \[(\lambda-a_{11})\cdot\ldots\cdot(\lambda-a_{nn}).\]

Esto termina la prueba.

\square

La proposición anterior nos asegura entonces que la siguiente definición tiene sentido.

Definición. Para A una matriz en M_n(F), el polinomio característico de A es el polinomio \chi_A(\lambda) en F[\lambda] dado por

    \[\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A).\]

De esta forma, \lambda es un eigenvalor de A si y sólo si es una raíz del polinomio \chi_A(\lambda). Esto son buenas y malas noticias. Por un lado, nos cambia un problema de álgebra lineal a uno de polinomios, en donde a veces tenemos herramientas algebraicas que nos ayudan a encontrar raíces. Sin embargo, como se ve en cursos anteriores, también hay otros polinomios para los cuales es muy difícil encontrar sus raíces de manera exacta. Lo que salva un poco esa situación es que sí existen métodos para aproximar raíces numéricamente de manera computacional.

A pesar de la dificultad de encontrar raíces, sin duda tenemos consecuencias interesantes de esta conexión. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Una matriz A en M_n(F) tiene a lo más n eigenvalores distintos. Lo mismo es cierto para una transformación lineal T:V\to V para V un espacio vectorial de dimensión n.

Demostración. La matriz A tiene tantos eigenvalores como raíces en F tiene su polinomio característico. Como el polinomio característico es de grado exactamente n, tiene a lo más n raíces en F.

La parte de transformaciones queda de tarea moral.

\square

Ya que encontramos los eigenvalores de una matriz o transformación, es posible que queramos encontrar uno o más eigenvectores correspondientes a ese eigenvalor. Observa que eso corresponde a encontrar una solución no trivial al sistema lineal de ecuaciones homogéneo de la forma

    \[(I_n-A) X = 0.\]

Para ello ya tenemos muchas herramientas, como hacer reducción Gaussiana.

Terminamos esta entrada con un ejemplo de cómo encontrar los valores propios y vectores propios en un caso concreto.

Problema. Encuentra los eigenvalores de la matriz

    \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

considerándola como:

  • Una matriz en M_3(\mathbb{R})
  • Una matriz en M_3(\mathbb{C}).

En el caso de M_n(\mathbb{R}), encuentra un eigenvector para cada eigenvalor.

Solución. Para encontrar los eigenvalores, tenemos que encontrar el determinante

    \[\begin{vmatrix}\lambda - 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{vmatrix}.\]

Usando expansión de Laplace en la primer columna y haciendo las operaciones, obtenemos que el determinante de \lambda I_3 - A es el polinomio

    \[(\lambda-1)(\lambda^2+1).\]

Aquí es importante la distinción de saber en qué campo estamos trabajando. Si estamos en M_3(\mathbb{R}), la única raíz del polinomio es 1. Si estamos en M_3(\mathbb{C}), obtenemos otras dos raíces: i y -i.

Ahora, para cuando A es matriz en M_3(\mathbb{R}), necesitamos encontrar un eigenvector para el eigenvalor 1. Esto equivale a encontrar una solución al sistema de ecuaciones

    \[(I_3-A)X=0,\]

es decir, a

    \[\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}X=0.\]

Una solución para este sistema es X=(1,0,0). Y en efecto, (1,0,0) es eigenvector de A para el eigenvalor 1 pues no es el vector cero y

    \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]

\square

Observa que la matriz anterior no es diagonalizable en M_n(\mathbb{R}), pues si lo fuera tendría que ser semejante a una matriz diagonal D con entradas i y -i en la diagonal, pero entonces D no sería una matriz en M_n(\mathbb{R}). Esto nos da otra intuición con respecto a la diagonalización de una matriz: si acaso una matriz en M_n(F) es diagonalizable, entonces su polinomio característico debe tener puras raíces en F. Esta es una condición necesaria, pero aún no es suficiente.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • En la entrada vimos que los eigenvalores de una transformación T son los eigenvalores de cualquier matriz que la represente. ¿Es cierto que los eigenvectores de T son los eigenvectores de cualquier matriz que lo represente?
  • Muestra que una transformación lineal T:V\to V para V un espacio vectorial de dimensión n tiene a lo más n eigenvalores distintos.
  • Encuentra los eigenvalores de las matrices de permutación.
  • Para un real \theta\in[0,2\pi) se define la matriz

        \[A(\theta):=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.\]

    Muestra que A(\theta) tiene eigenvalores reales si y sólo si \theta=0 \o \theta=\pi. Sugerencia: Encuentra el polinomio característico (que es cuadrático) y calcula su discrimintante. Si es negativo, no tiene soluciones reales.
  • Sea A una matriz en M_n(F). Muestra que la matriz transpuesta ^t A tiene los mismos eigenvalores que A, y de hecho, el mismo polinomio característico que A. Sugerencia. Recuerda que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante.

Más adelante…

En esta entrada definimos el concepto de eigenvalor y eigenvector para una transformación lineal y para una matriz; y vimos algunas de las propiedades que cumplen. En la siguiente entrada estudiaremos el concepto de polinomio característico utilizando los conceptos que hemos visto en esta entrada y enunciaremos (sin demostración) dos teoremas muy importantes. Luego, pondremos en práctica lo que hemos estudiado resolviendo algunos ejercicios.

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8 comentarios en “Álgebra Lineal I: Eigenvalores y eigenvectores de transformaciones y matrices

    1. LeoLeo Autor

      Hola Lorena. Por definición, para cualquier matriz A, cualquier escalar lambda y el vector 0, se tiene que A0 = 0 = lambda 0, que es la igualdad que pide la definición de eigenvectores. Sin embargo, por definición, el vector cero _nunca_ es eigenvector. En otras palabras, un eigenvector tiene que ser un vector _no nulo_, que esté en el kernel de (lambda I) – A.

      Los mismos comentarios aplican para eigenvectores de transformaciones.

      Responder
  1. Arreola Maldonado Francisco Daniel

    disculpe, sabe que quiere decir una transformacion lineal de R2 a R2 sin eigenvectores? me pudiera proporcionar un ejemplo?

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola. Quiere decir que no existe ningún vector v de entradas reales distinto del vector 0 tal que para algún real r se cumpla que Tv=rv. En esta y otras entradas se explica la teoría para poder construir lo que buscas. Una forma de hacerlo es construir una matriz de 2×2 cuyo polinomio característico no tenga raíces reales.

      Responder
  2. Daniela Torija

    Hola profesor.
    Disculpe en el segundo ejemplo ¿no tendría que ser que los eigenvectores son los polinomios de grado a lo más 1? ya que su primer derivada es una constante y su segunda derivada es el cero y además 0p=0

    Responder
    1. Ayax Calderón

      Hola Daniela,

      Un polinomio de grado uno no puede ser eigenvector porque su segunda derivada es cero, por definición un eigenvector p con eigenvalor a satisfce T(p)=ap, pero la igualdad anterior es imposible ya que T(p) tiene grado cero y ap tiene grado 1. Por lo tanto los únicos eigenvectores de T son los polinomios constantes distintos de cero.

      Responder
  3. JP Antuna

    Buenas noches.
    En esta parte:
    Ya que encontramos los eigenvalores de una matriz o transformación, es posible que queramos encontrar uno o más eigenvectores correspondientes a ese eigenvalor. Observa que eso corresponde a encontrar una solución no trivial al sistema lineal de ecuaciones homogéneo de la forma (I_n-A)X=0
    … creo que hizo falta generalizarlo, como:
    Ya que encontramos los eigenvalores de una matriz o transformación, es posible que queramos encontrar uno o más eigenvectores correspondientes a ese eigenvalor, digamos k. Observa que eso corresponde a encontrar una solución no trivial al sistema lineal de ecuaciones homogéneo de la forma (kI_n-A)X=0
    … pues, según yo, la primera parte solo encuentra eigenvectores cuando el eigenvalor aociado es 1

    Responder

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