Álgebra lineal II: Formas sesquilineales y matrices

Introduccíon

Como en las entradas anteriores, una vez que estudiamos formas bilineales y cuadráticas, intentamos expandir esta definición a los números complejos con las formas sesquilineales y hermitianas cuadráticas, esta vez será lo mismo, una vez que entendemos la relación entre matrices y formas bilineales, ahora intentaremos entender la relación que existe entre matrices y formas sesquilineales.

En esta entrada veremos que gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos, si es que, agregando una condición, por lo que veremos el análogo a la gran mayoría de resultados vistos en las últimas dos entradas, por lo que te recomendamos tener a la mano las entradas sobre formas bilineales y matrices (Ambas partes) y formas sesquilineales.

Matriz asociada

De aquí en adelante, asumiremos que $V$ siempre es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ de dimensión finita y $\mathcal{B}=\{u_1, \cdots u_n\}$ una base de $V$. Tambien recordemos que $S(V)$ se definió como el espacio de formas sesquilineales en V.

Definición

Sea $\mathcal{B}$ base de $V$ y $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma sesquilineal en $V$. La matriz de $\varphi$ con respecto $\mathcal{B}$ es la matriz
\begin{align*} A=[a_{ij}] \qquad \text{con} \qquad a_{ij}=\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
Para todo $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$.

Notemos que a las formas sesquilineales no se les pidió ser simétricas. (¿por qué?)

Veamos primero como escribir $\varphi(x,y)$ en su forma matricial.

Proposición

Sea $\mathcal{B}$ base de $V$ y $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma sesquilineal en $V$. Prueba que $\forall x,y \in V$
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*AY\end{align*}
Con $X,Y$ los vectores columna con coordenadas $x_1, \cdots x_n$ y $y_1, \cdots y_n$ respectivamente tales que $x=\sum_{i=1}^nu_1x_1$ y $y=\sum_{j=1}^nu_jy_j$ y $X^*=\text{ }^t\overline{X}$.

Demostración

Calculemos $\varphi(\sum_{i=1}^nu_1x_1, \sum_{j=1}^nu_jy_j)$ como sabemos que $\varphi$ es sesquilineal, tenemos
\begin{align*}\varphi(\sum_{i=1}^nu_1x_1, \sum_{j=1}^nu_jy_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \overline{x_1} y_j\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
Donde notemos que la única diferencia con las funciones bilineales es que en la primera coordenada, las $x_i$ salen como conjugadas.

Y notemos que esto es efectivamente igual a
\begin{align*} X^*AY\end{align*}
Por lo que tenemos la igualdad buscada.

$\square$

Proposición

Con la notación de arriba, $A$ es la unica matriz que cumple
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*AY.\end{align*}

Demostración

La demostración es completamente análoga a la vista aquí, (la primera proposición bajo Preparaciones para el teorema de Sylvester) , por lo que revisemosla rápidamente

Si suponemos que existe $A’$ tal que
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^*A’Y\end{align*}
Entonces
\begin{align*} X^*A’Y=X^*AY\end{align*}
Por lo que
\begin{align*} A’=A\end{align*}
Por lo tanto $A$ es única.

$\square$

Proposición

Sea $ \mathcal{B}$ base de $V$, la función $\psi: S(V) \rightarrow M_n(\mathbb{C})$ que envía una forma sesquilineal a su matriz con respecto a $ \mathcal{B} $ establece un isomorfismo entre $\mathbb{C}$-espacios vectoriales.

Demostración

Primero revisemos que $\varphi$ y $\varphi’$ dos formas sesquilineales son iguales si y solo si para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align*} \varphi(x,y)= \varphi'(x,y)\end{align*}
dada $B$ una base, utilizando
\begin{align*}\varphi(x, y)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi(u_i,u_j)\end{align*}
tenemos que
\begin{align*}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi(u_i,u_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x_1}y_j\varphi'(u_i,u_j)\end{align*}
y notemos que la igualdad se cumple si y solo si
\begin{align*} \varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j). \end{align*}
De esta manera, hagamos otra demostración completamente análoga a la vista a entradas anteriores sean $\varphi, \varphi’$ dos formas sesquilineales, con $A $ y $A’$ sus matrices asociadas respectivamente, si suponemos que $A=A’$ entonces $\varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j)$ por lo que $\psi$ es inyectiva.

Para la suprayectividad, sea $A=[a_{ij}]$ y $x,y \in V$ tales que $x=\sum_{i=1} ^nx_iu_i$ y $y=\sum_{j=1} ^ny_ju_j$ definamos
\begin{align*} \varphi(x,y) =\sum_{i,j=1}^na_{ij}\overline{x_i}y_j \end{align*}.
También hemos visto anteriormente que esto define una forma sesquilineal.
Por lo que $b$ es tal que $\psi(b)=A$, esto implica que $\varphi$ es suprayectiva.

Finalmente, para mostrar que esto es efectivamente un isomorfismo, sea $A =\psi(\varphi+c\varphi’)$ para algún $c \in \mathbb{C}$, sabemos entonces que
\begin{align*} A=[a_{ij}] \end{align*}
Con $a_{ij}=(\varphi+c\varphi’)(u_i,u_j)=\varphi(u_i,u_j) + c \cdot \varphi'(u_i,u_j) $ así.
\begin{align*} A=[\varphi(u_i,u_j) + c \cdot \varphi'(u_i,u_j)] \end{align*}
Por los que
\begin{align*} A=[\varphi(u_i,u_j)] + c \cdot [\varphi'(u_i,u_j)] \end{align*}
y por como definimos $\psi$
\begin{align*} \psi(\varphi+c\varphi’)= \psi(\varphi) + c \cdot \psi(\varphi) \end{align*}

Por lo que $\psi$ es un isomorfismo.

$\square$

Proposición

Sea $\varphi \in S(V)$ y $A$ su matriz asociada respecto a $\mathcal{B}$. Prueba que $\varphi$ es hermitiana si y solo si $A=A^*$.

Demostración

Sea $\varphi$ hermitiana, esto pasa si y solo si
\begin{align*}\varphi(x,y)=\overline{\varphi(y,x)} \end{align*}
Para cualesquiera $x,y \in V $. Notemos que esto pasa si y solo si
\begin{align*}\varphi(u_i,u_j)=\overline{\varphi(u_j,u_i)} \end{align*}
Para todo $e_i, e_j \in \mathcal{B}$, continuando esto es equivalente a
\begin{align*} a_{ij}=\overline{a_{ji}} \end{align*}
con $a_{ij}$ las entradas de la matriz $A$, finalmente esta última igualdad sucede si y solo si
\begin{align*} A=\overline{\text{ }^tA}=A^*.\end{align*}

$\square$

Esta última equivalencia da pie a definir una matriz hermitiana.

Definición

Sea $\varphi \in S(V)$ y $A$ su matriz asociada respecto a $\mathcal{B}$. Diremos que $A$ es conjugada simétrica o hermitiana si
\begin{align*} A=A^*.\end{align*}
De esta manera una matriz es hermitiana si y solo si su forma sesquilineal asociada lo es.

Proposición

Sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{B}’$ dos bases de $V$ y $P$ la matríz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}’$, sean $X$ el vector columna con coordenadas $x_1, \cdots , x_n$ tales que $x=\sum_{i=1}^nx_iu_i$, análogamente definamos $Y,X’,Y’$. Prueba que si $A$ es la matriz correspondiente a una forma sesquilineal en la base $\mathcal{B}$, entonces
\begin{align*} A’=P^*AP.\end{align*}
Demostración

Al $P$ ser la matriz de cambio de base, tenemos las siguientes igualdades
\begin{align*} X=PX’ \qquad \text{y} \qquad Y=PY’ \end{align*}
Además
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=X^*AY\end{align*}
Sustituyendo $X,Y$ en esta igualdad
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=X^*AY=(PX’)^*A(PY’)=(X’)^*(P^*AP)Y’\end{align*}
Revisando los extremos de esta igualdad
\begin{align*} (X’)^*A’Y’=(X’)^*(P^*AP)Y’\end{align*}
Esto implica que
\begin{align*} A’=P^*AP.\end{align*}

$\square$

Finalmente, revisemos la última definición que se vio en con formas bilineales.

Definición

Una matriz hermitiana $A \in M_n(\mathbb{C})$ es positiva si $X^*AX \geq 0$ para cualquier $X \in \mathbb{C}^n$, será definida positiva si la igualdad únicamente se cumple para el $0$.

Más adelante

Tras revisar esta serie bastante larga de resultados, tanto para formas bilineales como sesquilineales, enfocaremos nuestro estudio a algo que hemos utilizado, un par de veces en la demostración de estos resultados, pero nunca hemos abundado en su utilidad, esto es la dualidad.

Más aún, veremos otro concepto igual visto anteriormente, la ortogonalidad, pero esta vez definida con respecto a una forma bilineal y probaremos varios resultados antes vistos desde un enfoque de las formas bilineales, terminaremos esta unidad haciendo un repaso de bases ortogonales y el teorema de Gram-Schmidt, así como su análogo complejo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. En la tercera proposición ¿Por qué $A=A’$ implica que $\varphi(u_i,u_j)=\varphi'(u_i,u_j)$?
  2. En esa misma proposición definimos una nueva forma que afirmamos era sesquilineal para demostrar la suprayectividad. Demuestra que $\varphi$ así definida es sesquilineal.
  3. Demuestra que para cualesquiera dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{C})$
    \begin{align*} (AB)^*=B^*A^*.\end{align*}
  4. Demuestra que para cualquier matriz $B \in M_n(\mathbb{C})$ $B^*B$ y $BB^*$ son hermitianas positivas.
  5. Demuestra que para cualquier matriz $A \in M_n(\mathbb{C})$ hermitiana positiva, esta puede ser escrita como
    \begin{align*} A=BB^*\end{align*}
    para alguna $B \in M_n(\mathbb{C})$.

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