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Álgebra Lineal II: Matrices de formas sesquilineales

Introducción

En la entrada anterior dimos una relación entre matrices y formas bilineales. Como hemos hecho anteriormente, extenderemos este conocimiento para el caso de espacios vectoriales complejos. En esta entrada daremos una relación entre formas sesquilineales, formas cuadráticas hermitianas y matrices. Daremos la definición y veremos sus propiedades.

Gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos. Las demostraciones en la mayoría de los casos son análogas, así que la mayoría de ellas quedarán como tarea moral. Sin embargo, haremos énfasis en las partes que hacen que el caso real y el complejo sean distintos. Te recomendamos tener a la mano las entradas sobre formas bilineales y matrices y formas sesquilineales.

Matriz asociada a una forma sesquilineal y una forma cuadrática hermitiana

A partir de aquí, en esta entrada, asumiremos que $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ de dimensión finita. Recordemos que $S(V)$ se definió como el espacio de formas sesquilineales de $V$.

Definición. Sea $u_1, \ldots, u_n$ una base de $V$ y $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma sesquilineal de $V$. La matriz de $\varphi$ con respecto a la base $u_1, \ldots, u_n$ es la matriz
\begin{align*} A=[a_{ij}] \qquad \text{con} \qquad a_{ij}=\varphi(u_i,u_j),\end{align*}
para todo $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$.

Veamos primero como escribir $\varphi(x,y)$ en su forma matricial. Así como en el caso real, también podemos definir la matriz de una forma cuadrática usando su forma polar.

Definición. Sea $u_1, \cdots , u_n$ una base de $V$ y $q$ una forma cuadrática hermitiana de $V$, la matriz de $q$ con respecto a la base $u_1, \ldots, u_n$ es la matriz de su forma polar en esa misma base.

Hasta ahora todo es muy parecido al caso real.

Evaluar la forma sesquilineal con su matriz

Como en el caso real, podemos la matriz de una forma sesquilineal para evaluarla. Sin embargo, hay que ser cuidadosos pues por la sesquilinealidad debemos conjugar el vector de coordenadas de la primer entrada de la forma sesquilineal.

Proposición. Sea $\varphi$ una forma sesquilineal de $V$ y $\mathcal{B}$ una base de $V$. Sea $A$ la matriz de $\varphi$ en la base $\mathcal{B}$. Sean $X$ y $Y$ los vectores de coordenadas de vectores $x$ y $y$ de $V$ en la base $\mathcal{B}$, respectivamente. Entonces: $$\varphi(x,y)=X^\ast AY.$$

La demostración es análoga al caso real, cuidando en que en la primer entrada de una forma sesquilineal los escalares salen conjugados. Por ello, queda como ejercicio.

Tenemos dos consecuencias importantes de la proposición anterior:

  • La matriz $A$ que hace $$\varphi(x,y)=X^\ast AY$$ para cualesquiera $x,y$, es única.
  • Se tiene que $\varphi$ es hermitiana si y sólo si su matriz $A$ cumple $A=A^\ast$.

En el caso real no vimos las demostraciones de las afirmaciones análogas, así que ahora sí veremos las demostraciones de estas.

Proposición. Con la notación de arriba, $A$ es la unica matriz que cumple
\begin{align*} \varphi(x,y)=X^ \ast AY.\end{align*}

Demostración. Supongamos que tenemos otra matriz $A’=[a’_{ij}]$ tal que \begin{align*} \varphi(x,y)=X^*A’Y.\end{align*} Tomando elementos $u_i$ y $u_j$ de la base $\mathcal{B}$, obtenemos que el vector de coordenadas $U_i$ (resp. $U_j$) de $u_i$ (resp. $u_j$) es el vector con $1$ en la entrada $i$ (resp. $j$) y cero en las demás. De este modo:

\begin{align*}
a’_{ij}&=U_i^*A’U_j\\
&=b(u_i,u_j)\\
&=a_{ij}.
\end{align*}

Esto muestra que las matrices $A$ y $A’$ son iguales entrada a entrada, de modo que $A$ es única.

$\square$

Proposición. Con la notación de arriba, $\varphi$ es hermitiana si y sólo si $A=A^*$.

Demostración. Supongamos primero que $\varphi$ es hermitiana. En particular, para $u_i$ y $u_j$ elementos de la base obtenemos que $\varphi(u_i,u_j)=\overline{\varphi(u_j,u_i)}.$ En términos de las entradas de la matriz $A$ obtenemos entonces que:

\begin{align*}
a_{ij}&=\varphi(u_i,u_j)\\
&= \overline{\varphi(u_j,u_i)}\\
&=\overline{a_{ji}}.
\end{align*}

Esto nos dice que $A=A^\ast$.

Ahora, suponiendo que $A=A^ \ast $ se tiene directamente que $\varphi(u_i,u_j)=\overline{\varphi(u_j,u_i)}$ para cualquier par de elementos $u_i$ y $u_j$ de la base. De este modo, la forma sesquilineal es hermitiana en parejas de elementos de la base. Si tenemos ahora cualesquiera dos vectores $x$ y $y$ en $V$, basta con escribirlos en términos de la base $x=\sum_{i=1}^n x_iu_i$, $y=\sum_{j=1}^n y_ju_j$ y usar la proposición de la entrada de formas sesquilineales para obtener

\begin{align*}
\varphi(x,y)&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i}y_j \varphi(u_i,u_j)\\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{x_i \overline{y_j}\varphi(u_j,u_i)}\\
&=\overline{\varphi(y,x)},
\end{align*}

tal y como queríamos.

$\square$

Esta última equivalencia da pie a definir una matriz hermitiana.

Definición. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$. Diremos que $A$ es conjugada simétrica o hermitiana si $A=A^*.$

Cambios de base

En el caso real, dos matrices que representan a una misma matriz difieren en un producto dado por una matriz de cambio de base y su transpuesta. En el caso complejo sucede algo parecido, pero debemos usar una matriz de cambio de base y su transpuesta conjugada.

Proposición. Supongamos que una forma sesquilineal $\varphi$ tiene asociada una matriz $A$ con respecto a una base $\mathcal{B}$ y una matriz $A’$ con respecto a otra base $\mathcal{B}’$ . Sea $P$ la matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}’$ . Entonces

\begin{align*} A’=P^\ast AP.\end{align*}

La demostración es análoga al caso real, cuidando la conjugación de los escalares que salen de la primera entrada de una forma sesquilineal.

Más adelante…

Hasta ahora ya hemos hablado de formas bilineales, sesquilineales y sus formas matriciales. También platicamos de algunos conceptos que surgen de estas ideas, como las formas cuadráticas y las cuadráticas hermitianas. La importancia de estos conceptos es que nos permiten hacer geometría en espacios vectoriales reales o complejos.

En la siguiente entrada explicaremos esto más a detalle. Un poco más adelante veremos cómo en espacios «con geometría» podemos definir conceptos de dualidad y ortogonalidad.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Considera la matriz $\begin{pmatrix}1+i & 0 \\ 5 & 1+2i \end{pmatrix}$. ¿Con cuál forma sesquilineal de $\mathbb{C}^2$ está asociada bajo la base canónica? ¿Y con forma sesquilineal de $\mathbb{C}^2$ está asociada bajo la base $(1+i,1)$, $(1,2+i)$?
  2. Prueba la proposición que dice cómo evaluar una forma sesquilineal usando su forma matricial y los vectores coordenada de vectores en cierta base dada.
  3. Prueba la proposición de cambios de base para la forma matricial de una forma sesquilineal.
  4. Demuestra que para cualesquiera dos matrices $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ se tiene que
    \begin{align*} (AB)^*=B^*A^*.\end{align*}
  5. Demuestra que para cualquier matriz $B \in M_n(\mathbb{C})$ se tiene que las matrices $B^*B$ y $BB^*$ son hermitianas.

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