Álgebra lineal II: Formas bilineales y matrices

Introducción

Al principio de esta unidad, especialmente en la entrada acerca de teoremas de Gauss y teorema de Sylvester empezamos a hablar de una futura relación entre formas bilineales y matrices, más aún, sabemos que cualquier función lineal se puede representar como una matriz, por lo que esperaríamos una relación similar con las formas bilineales, aquí empezaremos a estudiar esta relación.

Por otro lado, en la entrada de teorema de Sylvester enunciamos de una manera bastante vaga dicho resultado, aunque no dimos una demostración, en esta entrada comenzaremos con los pasos para la demostración de este teorema, aunque no la completaremos aún.

Matriz asociada

De aquí en adelante, asumiremos que $V$ siempre es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita.
Definición

Sea $ \{e_1, \cdots , e_n\} $ una base de $V$ y $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica en $V$. La matriz de $b$ con respecto a la base $e_1 \cdots e_n$ es la matriz
\begin{align*} A=[a_{ij}] \text{ con } a_{ij}=b(e_i,e_j)\end{align*}
Para todo $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$.

Si $q$ es una forma cuadrática en $V$, la matriz de $q$ con respecto a la base $e_1 \cdots e_n$ es la matriz de su polar.

Y para reforzar la idea de esta relación, veamos el siguiente teorema.

Teorema

Entendamos a $Sim(V)$ como el subespacio de formas bilineales simétricas y a $M_n^*(\mathbb{R})$ como el subespacio de matrices simétricas.

Sea $ \{e_1, \cdots , e_n\} $ una base de $V$, la función $\varphi: Sim(V) \rightarrow M_n^*(\mathbb{R})$ que envía una forma bilineal simétrica a su matriz con respecto a $ \{e_1, \cdots , e_n\} $ establece un isomorfismo.

Demostración

Sean $b,b’$ dos formas bilineales simétricas, con $\varphi(b)=A $ y $\varphi(b’) =A’$ respectivamente, si suponemos que $A=A’$ entonces $b(e_i,e_j)=b'(e_i,e_j)$ para cualesquiera $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$, que es suficiente para saber qué $b=b’$, por lo que esta asignación es inyectiva.

Para la suprayectividad, sea $A=[a_{ij}]$ una matriz simétrica y sean $x,y \in V$ dos vectores cualesquiera tales que $x=\sum_{i=1} ^nx_ie_i$ y $y=\sum_{j=1} ^ny_je_j$ definamos
\begin{align*} b(x,y) =\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j \end{align*}.
En esta entrada demostramos que $b$ así definida efectivamente es una forma bilineal y la simetría se sigue naturalmente de la conmutatividad del producto en $\mathbb{R}$.
Por lo que $b$ es una forma bilineal simétrica tal que $\varphi(b)=A$, a su vez, esto implica que $\varphi$ es suprayectiva.

Finalmente, para mostrar que esto es efectivamente un isomorfismo, sea $A =\varphi(b+cb’)$ para algún $c \in \mathbb{R}$, sabemos entonces que
\begin{align*} A=[a_{ij}] \end{align*}
Con $a_{ij}=(b+cb’)(e_i,e_j)=b(e_i,e_j) + c \cdot b'(e_i,e_j) $ así.
\begin{align*} A=[b(e_i,e_j) + c \cdot b'(e_i,e_j)] \end{align*}
Además, sabemos que las matrices son lineales por los que
\begin{align*} A=[b(e_i,e_j)] + c \cdot [b'(e_i,e_j)] \end{align*}
y por como definimos $\varphi$
\begin{align*} \varphi(b+cb’)=A= \varphi(b) + c \cdot \varphi(b’) \end{align*}

Por lo que $\varphi$ es un isomorfismo.

$\square$

Una pregunta natural que se sigue de este teorema es ¿Cuál es, explícitamente, la inversa de este isomorfismo? por suerte esta fue casi definida durante la demostración del teorema, así escribámosla de una manera más formal.

Sea $ \{e_1, \cdots , e_n\} $ una base de $V$, la función $\varphi^{-1}: M_n^*(\mathbb{R}) \rightarrow Sim(V) $ es tal que para todo $A \in M_n^*(\mathbb{R})$ con $A=[a_{ij}]$
\begin{align*} \varphi^{-1}(A)=b \end{align*}
Con
\begin{align*} b(x,y)= \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j \end{align*}
para cualesquiera $x,y \in V$ vectores tales que $x=\sum_{i=1} ^nx_ie_i$ y $y=\sum_{j=1} ^ny_je_j$

Preparaciones para el teorema de Sylvester

Recordemos que, en entradas anteriores, empezamos a hablar del teorema de inercia de Sylvester y dijimos que era más fácil trabajar con él una vez que tuviéramos la notación matricial, empecemos con los resultados que nos llevaran a enunciar y demostrar este teorema.

Algo que vale la pena notar de la última igualdad, en particular del lado derecho es que lo podemos expresar como una multiplicación matricial de la manera que sigue
\begin{align*} \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j= \text{ }^{t}XAY\end{align*}
Con $A=[a_{ij}]$ y $X, Y$ los vectores columna con entradas $x_i$ y $y_i$ respectivamente y $^{t}X$ el vector transpuesto de $X$. Dada esta igualdad podemos obtener otra caracterización de la matriz de $b$ con respecto a la base $e_1, \cdots e_n $.

Proposición

Sea $e_1, \cdots e_n $ una base de $V$ y $b$ una forma bilinear simétrica en $V$, la matriz de $b$ con respecto a la base $e_1, \cdots e_n $ es la única matriz simétrica $A \in M_n(\mathbb{R})$ tal que
\begin{align*} b(x,y)=\text{ } ^tXAY \end{align*}
Para cualesquiera vectores $x,y \in V$ donde $X,Y$ son los vectores columna con entradas las de $x,y$ con respecto a la base $e_1, \cdots e_n $

Demostración

Por las observaciones anteriores, sabemos que la matriz de $b$ con respecto a la base $e_1, \cdots e_n $ efectivamente cumple esta igualdad y si una matriz cumple esto efectivamente debe ser la matriz de $b$ con respecto a la base $e_1, \cdots e_n $, todo esto gracias a la función $\varphi$ y su inversa, así solo falta mostrar la unicidad, así sea $A’$ otra matriz tal que para cualesquiera vectores $x,y \in V$
\begin{align*} b(x,y)=\text{ } ^tXA’Y \end{align*}
Entonces se debe tener que
\begin{align*} \text{ } ^tXAY =\text{ } ^tXA’Y \end{align*}
Que a su vez implica que
\begin{align*} A=A’\end{align*}

$\square$

Ejemplo

Sea
\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}\end{align*}
Encuentra su forma cuadrática asociada.

Solución

Utilizando lo revisado arriba tenemos que su forma bilineal asociada es
\begin{align*} b(x,y)= \sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j \end{align*}
de esta manera, en este caso sabemos que $a_{11}=a_{22}=0$ y $a_{12}=a_{21}=1$, por lo que explícitamente, $b$ se puede escribir como
\begin{align*} b(x,y)= 0x_1y_1+1x_1y_2+1x_2y_1+0x_2y_2=x_1y_2+y_1x_2 \end{align*}
Con $x_1,x_2,y_1,y_2$ las coordenadas de $x,y$ respectivamente, para encontrar la forma cuadrática basta solo calcular $b(x,x)$
\begin{align*} q(x)=b(x,x)=x_1x_2+x_1x_2=2x_1x_2. \end{align*}

Ejemplo

Sea $V=\mathbb{R}^3$ y $q$ dada como sigue
\begin{align*} q(x)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 \end{align*}
Encuentra su matriz asociada en la base canónica y en $\{u_1=(1,1,0), u_2=(1,0,1), u_3=(0,1,1) \}$.

Solución

Primero encontremos su polar
\begin{align*} b(x,x’)=\frac{x’_1x_2+x’_2x_1+x’_1x_3+x’_3x_1+x’_2x_3+x’_3x_2}{2} \end{align*}
Así calculemos que le hace esta forma bilineal a la base canónica de par en par.
\begin{align*} b(e_1,e_1)=b(e_2,e_2)=b(e_3,e_3)=0 \qquad \text{y} \qquad b(e_1,e_2)=b(e_1,e_3)=b(e_2,e_3)=\frac{1}{2}\end{align*}
Por lo que su matriz asociada en la base canónica es
\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}\end{align*}
Por otro lado, calculando lo que $b$ le hace a nuestra otra base
\begin{align*} b(u_1,u_1)=b(u_2,u_2)=b(u_3,u_3)=1 \qquad \text{y} \qquad b(u_1,u_2)=b(u_1,u_3)=b(u_2,u_3)=\frac{3}{2}\end{align*}
Y construyendo esta otra matriz
\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}\end{align*}

En estos resultados y ejemplos podemos ver que la matriz asociada a una forma bilineal es completamente dependiente de la base que elijamos, y obtenerla en bases distintas puede resultar en cálculos muy grandes, por ello no te debe de sorprender que se buscara una manera de encontrar matrices en bases distintas sin tener que recurrir a la forma bilineal cada vez, con esta motivación revisemos este último teorema.

Proposición

Supongamos que una forma bilineal $b$ tiene asociada una matriz $A$ con respecto a una base $\beta$ y una matriz $A’$ con respecto a otra base $\beta’$, sea $P$ la matriz de cambio de base de $\beta$ a $\beta’$, entonces
\begin{align*} A’=\text{ } ^tPAP.\end{align*}
Demostración

Sean $x,y \in V$ dos vectores cualesquiera, si $\beta = \{u_1, \cdots , u_n\}$ y $\beta’ = \{u’_1, \cdots , u’_n\}$ entonces
\begin{align*} x=u_1x_1 + \cdots + u_nx_n=u’_1x’_1 + \cdots + u’_nx’_n\end{align*}
Definamos al vector columna $X$ como sigue
\begin{pmatrix} x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix}
Y definamos análogamente a $X’,Y,Y’$, sabemos entonces que
\begin{align*} b(x,y)= \text{ }^tXAY= \text{ }^tX’A’Y’\end{align*}
Además, sabemos que
\begin{align*} X=PX’ \qquad \text{y} \qquad Y=PY’\end{align*}
De donde se sigue la siguiente cadena
\begin{align*} \text{ }^tX’A’Y’= b(x,y)=\text{ }^tXAY=\text{ }^t(PX’)A(PY’)=\text{ }^tX’\text{ }^tPAPY’ \end{align*}
Fijándonos en los extremos
\begin{align*} \text{ }^tX’A’Y’=\text{ }^tX’\text{ }^tPAPY’ \end{align*}
De donde finalmente concluimos que
\begin{align*} A’=\text{ } ^tPAP.\end{align*}

$\square$

Más adelante

Esta es una pequeña introducción a la relación entre las formas bilineales (y cuadráticas por extensión) y las matrices, podemos ver que esta nos otorgó otra manera de entender las formas bilineales y otra forma de calcularlas, algo que no hemos explorado es el poder que esta relación nos entrega al aplicar todo lo que conocemos acerca de matrices a las matrices asociadas a una forma bilineal.

Otro problema que enfrentamos es la dependencia de las matrices a su base, aunque este no es un problema que podamos evitar, nos gustaría encontrar propiedades que se mantengan sin importar la base que sea elegida o alguna relación entre todas las matrices de una misma forma bilineal, esto lo abordaremos en la siguiente entrada y cumpliremos lo antes prometido de enunciar y demostrar la ley de Inercia de Sylvester.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{R}^3$ y definamos $q: V \rightarrow \mathbb{R}$
    \begin{align*} q(x,y,z)= (x+2y+3z)^2+(y+z)^2-(y-z)^2. \end{align*}
    Prueba que $q$ es cuadrática y encuentra su polar.
  2. ¿Es q positiva? ¿Es definida positiva?
  3. Encuentra la matriz asociada a $q$ con respecto a la base canónica.
  4. Sean los vectores
    \begin{align*} |v_1=(2,0,0), \; v_2=(-5,1,1), \; v_3=(1,1,-1).\end{align*}
    Prueba que son una base de $V$ y encuentra la matriz asociada a b respecto a ellos.
  5. Encuentra el rango y signatura de $q$ y encuentra el rango y discriminante de cada una de sus matrices, ¿Qué puedes decir acerca de ellos?

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1 comentario en “Álgebra lineal II: Formas bilineales y matrices

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