Álgebra Lineal II: Matrices de formas bilineales

Introducción

Al principio de esta unidad, especialmente en la entrada del teorema de Gauss empezamos a hablar de una relación entre formas bilineales y matrices. Aquí formalizaremos esta relación. Veremos cómo se define la matriz asociada a una forma bilineal y cómo podemos traducir operaciones con la forma bilineal en operaciones con su matriz asociada.

Matriz asociada a una forma bilineal y una forma cuadrática

En toda esta entrada, $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita.

Definición. Sea $ e_1, \cdots , e_n$ una base de $V$ y $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma bilineal de $V$. La matriz de $b$ con respecto a la base $e_1,\ldots, e_n$ es la matriz

\begin{align*} A=[a_{ij}] \text{ con } a_{ij}=b(e_i,e_j),\end{align*}

para todo $i,j$ tal que $1 \leq i,j \leq n$.

Para definir la forma matricial de una forma cuadrática tenemos que ser un poco más cuidadosos. Hay más de una forma bilineal que puede generar a una misma forma cuadrática. Sin embargo, por la identidad de polarización tenemos que esta forma bilineal es única si pedimos adicionalmente que sea simétrica. De aquí obtenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $e_1, \cdots , e_n$ una base de $V$ y $q$ una forma cuadrática de $V$, la matriz de $q$ con respecto a la base $e_1, \ldots, e_n$ es la matriz de su forma polar en esa misma base.

Problema. Sea $V=\mathbb{R}^3$ y $q$ dada como sigue
\begin{align*} q(x)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\end{align*}

para cada $x=(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3$.

Encuentra su matriz asociada $A$ en la base canónica y su matriz asociada $B$ en la base \begin{align*}u_1&=(1,1,0),\\ u_2&=(1,0,1),\\ u_3&=(0,1,1).\end{align*}

Solución. Primero encontremos la forma polar de $q$ mediante la identidad de polarización:

\begin{align*} b(x,x’)=\frac{x’_1x_2+x’_2x_1+x’_1x_3+x’_3x_1+x’_2x_3+x’_3x_2}{2} ,\end{align*}

para $x=(x_1,x_2,x_3)$ y $x’=(x’_1,x’_2,x’_3)$.

Ahora, calculemos qué le hace esta forma bilineal a la base canónica de par en par.

\begin{align*}
&b(e_1,e_1)=b(e_2,e_2)=b(e_3,e_3)=0 \\
\text{y} \quad &b(e_1,e_2)=b(e_1,e_3)=b(e_2,e_3)=\frac{1}{2}.
\end{align*}

Por lo que su matriz asociada en la base canónica es

\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}\end{align*}

Por otro lado, calculando lo que $b$ le hace a nuestra otra base

\begin{align*}
&b(u_1,u_1)=b(u_2,u_2)=b(u_3,u_3)=1 \\
\text{y} \quad &b(u_1,u_2)=b(u_1,u_3)=b(u_2,u_3)=\frac{3}{2}
\end{align*}

Y construyendo esta otra matriz:

\begin{align*}
B=\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}

$\square$

Evaluar la forma bilineal con su matriz

En la entrada del teorema de Gauss vimos que si $b$ es una forma bilineal de $V$ y $e_1,\ldots,e_n$ es una base, entonces para cualesquiera vectores

\begin{align*}
x&=x_1e_1+\ldots+x_ne_n\\
y&=y_1e_1+\ldots+y_ne_n
\end{align*}

tenemos que $$b(x,y)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j b(e_i,e_j).$$

Por la regla del producto de matrices, la expresión de la derecha es precisamente lo que se obtiene al realizar la siguiente operación:

$$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b(e_1,e_1) & b(e_1,e_2) & \ldots & b(e_1,e_n)\\ b(e_2,e_1) & b(e_2,e_2) & \ldots & b(e_2,e_n)\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b(e_n,e_1) & b(e_n,e_2) & \ldots & b(e_n,e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}.$$

Notemos que enmedio tenemos justo la forma matricial de $b$ en la base $e_1,\ldots,e_n$. Al lado izquierdo tenemos al transpuesto del vector de coordenadas de $x$ en la base $e_1,\ldots, e_n$ y al lado derecho tenemos al vector de coordenadas de $y$ en esta misma base. Hemos demostrado lo siguiente.

Proposición. Sea $b$ una forma bilineal de $V$ y $\beta$ una base de $V$. Sea $A$ la matriz de $b$ en la base $\beta$. Sean $X$ y $Y$ los vectores de coordenadas de vectores $x$ y $y$ de $V$ en la base $\beta$, respectivamente. Entonces $$b(x,y)=\text{}^tXAY.$$

Algunas consecuencias de la proposición anterior son:

  • Una forma bilineal es simétrica si y sólo si su matriz en una base cualquiera es simétrica.
  • Si fijamos la base $\beta$ y la forma bilineal $b$, entonces la matriz que hace que $b(x,y)=\text{}^tXAY$ para todos $x,y$ es única.

La discusión anterior nos permite comenzar con una forma bilineal $b$ y una base $\beta$ y obtener una (y sólo una) matriz. Partiendo de una matriz y una base $\beta$ también podemos obtener una forma bilineal mediante la regla $$b(x,y)=\text{}^tXAY.$$

Cambios de base

En los resultados anteriores al fijar un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ y una base $\beta$ obtenemos una asociación biyectiva (de hecho un isomorfismo) entre formas bilineales de $V$ y matrices en $M_n(\mathbb{R})$.

Sin embargo, al cambiar la base de $V$, la matriz que representa a una forma bilineal puede cambiar.

Proposición. Supongamos que una forma bilineal $b$ tiene asociada una matriz $A$ con respecto a una base $\beta$ y una matriz $A’$ con respecto a otra base $\beta’$. Sea $P$ la matriz de cambio de base de $\beta$ a $\beta’$. Entonces
\begin{align*} A’=\text{ } ^tPAP.\end{align*}

Demostración. Sean $x,y \in V$ dos vectores cualesquiera. Escribamos $\beta = \{u_1, \cdots , u_n\}$ y $\beta’ = \{u’_1, \cdots , u’_n\}$. Usando $\beta$ escribamos

\begin{align*} x=x_1u_1 + \cdots + x_nu_n.\end{align*}

Definamos a $X$ como el vector columna de las coordenadas de $x$ en la base $\beta$, es decir:

$$X=\begin{pmatrix} x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix}.$$

Definimos análogamente a $X’, Y, Y’$ como los vectores columnas de coordenadas de $x$ en la base $\beta’$, de $y$ en la base $\beta$ y de $y$ en la base $\beta’$, respectivamente.

Sabemos entonces que

\begin{align*} b(x,y)= \text{ }^tXAY= \text{ }^tX’A’Y’\end{align*}

Además, sabemos que

\begin{align*}
X&=PX’\\
Y&=PY’
\end{align*}

De aquí se tiene la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
\text{ }^tX’A’Y’&= b(x,y)\\
&=\text{ }^tXAY\\
&=\text{ }^t(PX’)A(PY’)\\
&=\text{ }^tX’\text{ }^tPAPY’.
\end{align*}

Fijándonos en los extremos

\begin{align*} \text{ }^tX’A’Y’=\text{ }^tX’\text{ }^tPAPY’. \end{align*}

Por la unicidad de la matriz que representa a $b$ en la base $\beta’$, finalmente concluimos que

\begin{align*} A’=\text{ } ^tPAP.\end{align*}

$\square$

Más adelante…

Esta es una pequeña introducción a la relación entre las formas bilineales (y cuadráticas por extensión) y las matrices. Podemos ver que ésta nos dio otra manera de entender y calcular a las formas bilineales. Algo que no hemos explorado es el poder que esta relación nos entrega al aplicar todo lo que conocemos acerca de matrices a las matrices asociadas a una forma bilineal. Antes de llegar a eso, primero veremos el análogo complejo de lo que acabamos de estudiar.

Otro problema que enfrentamos es la dependencia de las matrices a su base. Aunque este no es un problema que podamos evitar, nos gustaría encontrar propiedades que se mantengan sin importar la base que sea elegida. Esto lo abordaremos un poco más adelante. De hecho, cuando lo hagamos estaremos listos para enunciar y demostrar un resultado muy interesante: la ley de inercia de Sylvester.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{R}^3$ y definamos $q: V \rightarrow \mathbb{R}$
    \begin{align*} q(x,y,z)= (x+2y+3z)^2+(y+z)^2. \end{align*}
    Prueba que $q$ es cuadrática y encuentra su forma polar. ¿Es esta forma cuadrática $q$ positiva definida? ¿Es positiva?
  2. Encuentra la matriz $A$ asociada a la forma cuadrática $q$ del ejercicio anterior con respecto a la base canónica y la matriz $B$ asociada a $q$ con respecto a la base $(1,1,1), (0,-1,-1),(0,0,2)$.
  3. Encuentra las matrices de cambio de base entre la base canónica y la base del inciso anterior. Verifica que se cumple el resultado de cambios de base.
  4. Encuentra una expresión de Gauss para $q$.
  5. Encuentra el rango de $A$ y de $B$. Encuentra el determinante de $A$ y de $B$ ¿Notas algo en particular?

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1 comentario en “Álgebra Lineal II: Matrices de formas bilineales

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