Álgebra Lineal I: Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz

Introducción

Anteriormente, platicamos acerca de formas bilineales y de formas cuadráticas. Ahora veremos un tipo de formas bilineales especiales: las positivas y las positivas definidas. Las formas positivas definidas nos ayudan a definir qué es un producto interior. Esta es una noción fundamental que más adelante nos ayudará a definir distancias y ángulos.

Formas bilineales positivas y positivas definidas

Para hablar de geometría en espacios vectoriales, la siguiente noción es fundamental. Es importante notar que es una definición únicamente para formas bilineales simétricas.

Definición. Sea b:V\times V\to \mathbb{R} una forma bilineal simétrica.

  • Diremos que b es positiva si b(x,x)\geq 0 para todo vector x de V.
  • Diremos que b es positiva definida si b(x,x)>0 para todo vector x\neq 0 de v.

Tenemos una noción análoga para formas cuadráticas.

Definición. Sea q:V\to \mathbb{R} una forma cuadrática con forma polar b. Diremos que q es positiva si b lo es, y diremos que es positiva definida si b lo es.

Ejemplo. Como ya vimos antes, el producto punto de \mathbb{R}^n es una forma bilineal simétrica. También es positiva definida, pues si tenemos x=(x_1,\ldots,x_n), tenemos que

    \[x\cdot x =  x_1^2+\ldots+x_n^2\geq 0,\]

y esta es una igualdad si y sólo si x_1=\ldots=x_n=0, lo cual sucede si y sólo si x=0.

\square

Ejemplo. Considera V=\mathbb{R}_2[x] y consideremos la forma bilineal b dada por

    \[b(p,q)=p(0)q(1)+p(1)q(0).\]

Esta es una forma bilineal simétrica pues

    \begin{align*}b(p,q)&=p(0)q(1)+p(1)q(0)\\&=q(0)p(1)+q(1)p(0)\\&=b(q,p).\end{align*}

Notemos que

    \[b(p,p)=2p(0)p(1),\]

que no necesariamente es positivo. Por ejemplo, si tomamos el polinomio p(x)=x-\frac{1}{2}, tenemos que

    \begin{align*}b(p,p)&=2p(0)p(1)\\&=-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2}.\end{align*}

Así, esta es una forma bilineal simétrica, pero no es positiva (y por lo tanto tampoco es positiva definida).

\square

Problema. Considera la forma cuadrática Q en M_{2}(\mathbb{R}) que suma el cuadrado de las entradas de la diagonal de una matriz, es decir, aquella dada por

    \[Q\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}=a^2+d^2.\]

Determina su forma polar y si es positiva o positiva definida.

Solución. Para encontrar la forma polar B de Q, usamos la identidad de polarización

    \begin{align*}B&\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}\right)\\&=\frac{(a+e)^2+(d+h)^2-a^2-e^2-d^2-h^2}{2}\\&=\frac{2ae+2dh}{2}\\&=ae+dh.\end{align*}

Como Q\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a^2+d^2\geq 0, tenemos que Q (y B) son positivas. Sin embargo, Q no es positiva definida (ni B), pues por ejemplo,

    \[Q\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 0.\]

Producto interior

Estamos listos para definir aquellos espacios sobre los que podemos hacer geometría.

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R}

  • Un producto interior en V es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
  • Decimos que V es un espacio Euclideano si es de dimensión finita y está equipado con un producto interior.

Estamos siguiendo la convención del libro de Titu Andreescu, en donde es importante pedir que V sea de dimensión finita para ser Euclideano.

Cuando estamos hablando de espacios con producto interior, o de espacios Euclideanos, tenemos una forma bilineal simétrica y positiva definida b. Sin embargo, en vez de usar constantemente b(x,y), para simplificar la notación usaremos simplemente \langle x, y\rangle.

Definición. Si V es un espacio con producto interior \langle \cdot,\cdot \rangle, definimos la norma de un vector x como

    \[\Vert x \Vert =\sqrt{\langle x, x \rangle}.\]

Ejemplo. Como dijimos arriba, el producto punto en \mathbb{R}^n es una forma bilineal simétrica, así que es un producto interior. Como \mathbb{R}^n es de dimensión finita, entonces es un espacio Euclideano.

La norma de un vector x=(x_1,\ldots,x_n) está dada por \Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}, y geométricamente se interpreta como la distancia de x al origen.

Un ejemplo más concreto es \mathbb{R}^4, en donde la norma del vector (1,2,3,1) es \sqrt{1^2+2^2+3^2+1^2}=\sqrt{15}.

\square

La notación de producto interior quizás te recuerde la notación que se usa cuando hablamos de dualidad. Sin embargo, es muy importante que distingas los contextos. En el caso de dualidad, tenemos

    \[\langle \cdot, \cdot \rangle: V^\ast\times V \to \mathbb{R},\]

y en este contexto de producto interior tenemos

    \[\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V \to \mathbb{R}.\]

Más adelante, puede que te encuentres en tu preparación matemática con el teorema de representación de Riesz, a partir del cual tendrá sentido que se use la misma notación.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

A continuación presentamos un resultado fundamental es espacios con formas bilineales positivas y positivas definidas.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea b:V\times V\to \mathbb{R} una forma bilineal simétrica y q su forma cuadrática asociada.

  • Si b es positiva, entonces para todo x y y en V tenemos que

        \[b(x,y)^2\leq q(x)q(y).\]

    Si x y y son linealmente dependientes, se alcanza la igualdad.
  • Además, si b es positiva definida y x y y son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Demostración. Supongamos primero solamente que b es positiva. Consideremos la función f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} dada por f(t)=q(x+ty). Como q es forma cuadrática positiva, tenemos que f(t)\geq 0 para todo real t. Por otro lado, expandiendo y usando que b es simétrica, tenemos que

    \begin{align*}f(t)&=q(x+ty)\\&=b(x+ty,x+ty)\\&=b(x,x)+2b(x,y)\cdot t + b(y,y) \cdot t^2\\&=q(x) + 2b(x,y)\cdot t + q(y) \cdot t^2.\end{align*}

En esta expresión, q(x), 2b(x,y) y q(y) son reales, así que f(t) es un polinomio cuadrático en t. Como f(t)\geq 0 para todo t en \mathbb{R}, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras,

    \[(2b(x,y))^2-4q(x)q(y)\leq 0.\]

Sumando 4q(x)q(y) y dividiendo entre 4 ambos lados de la desigualdad, obtenemos que

    \[b(x,y)^2\leq q(x)q(y),\]

la cual es la desigualdad que queremos.

Si x y y son linealmente dependientes, podemos despejar a uno en términos del otro. Sin perder generalidad, podemos suponer que x=\alpha y. En este caso,

    \[b(\alpha y,y)^2=\alpha^2 b(y,y)=q(\alpha(y))q(y),\]

así que se da la igualdad.

Ahora, supongamos además que b es positiva definida y que se da la igualdad. Si esto sucede, el discriminante del polinomio cuadrático de arriba es igual a 0 y por lo tanto el polinomio tiene una raíz t. En otras palabras, q(x+ty)=0. Pero como q es positiva definida, esto implica que x+ty=0, de donde x y y son linealmente dependientes. Así, si x y y son linealmente independientes, tenemos que la desigualdad es estricta.

\square

El siguiente caso particular es uno de los más importantes y los más usados, por lo cual amerita que lo enunciemos separadamente.

Corolario. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R} equipado con un producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle. Para cualesquiera x,y en V se cumple |\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert.

Puede que te preguntes por qué enfatizamos los resultados de desigualdades. En varias partes de tu formación matemática trabajarás con espacios vectoriales en donde quieres hacer cálculo. Ahí, se define la convergencia y los límites en términos de una norma. Las desigualdades que probemos para espacios vectoriales son útiles para cuando se quiere demostrar la validez de ciertos límites. Más adelante mencionaremos algunas cosas adicionales al respecto.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Considera la función q(w,x,y,z)=wx+yz. Muestra que es una forma cuadrática en \mathbb{R}^4. Encuentra su forma polar y determina si es una forma cuadrática positiva y/o positiva definida.
  • Muestra que

        \[q(w,x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\]

    es una forma cuadrática en \mathbb{R}^4 y determina si es positiva y/o positiva definida.
  • Considera V=\mathcal{C}[0,1] el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo [0,1]. Muestra que

        \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\, dx\]

    define un producto interior en V. ¿Es V un espacio Euclideano? Determina la norma de la función f(x)=x^3.
  • Sea V=\mathbb{R}_2[x] el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y de grado a lo más 1. Muestra que

        \[\langle p,q\rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)\]

    hace a V un espacio Euclideano.

Más adelante…

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10 comentarios en “Álgebra Lineal I: Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz

  1. Daniel Alejandro Martinez Rios

    Buenas tardes,

    Quisiera pedirle de gran favor si me pudiera explicar sólo la parte de la desigualdad de Cauchy, ya que he buscado en varios lados está duda:
    En esta expresión, q(x), 2b(x,y) y q(y) son reales, así que f(t) es un polinomio cuadrático en t. Como f(t)\geq 0 para todo t en \mathbb{R}, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras,

    Por qué el discriminante de este polinomio es negativo? Lo estuve revisando por la fórmula general de la cuadrática y la raiz de b al cuadro es mayor que -4ac para que sean soluciones reales?

    De antemano, muchas gracias.
    Saludos

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Daniel. Claro. Imagínate que tienes una cuadrática ax^2+bx+c. Por la fórmula general, si el discriminante es < 0, no hay solución real. Si es igual que 0, entonces hay una solución real. Si es mayor que cero, entonces hay dos soluciones reales. La expresión f(t)=q(x+ty) es una forma cuadrática que es positiva definida por hipótesis. De modo que sólo existe una posible forma en la que sea cero, cuando x+ty=0. Si y es el vector cero, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es cierta. Si y no es cero, entonces a lo más hay un real t que cumple x+ty=0. Así, la ecuación cuadrática f(t)=0 tiene como mucho una solución real. De aquí es que se concluye que su determinante tiene que ser menor o igual a cero.

      Responder
      1. Daniel Alejandro Martinez Rios

        Perfecto! Muchas gracias, Doctor! Traté de buscar en varios lados el porque el discriminante era menor o igual a 0 pero no encontraba. Ya veo que desde la hipótesis, al elevar q(x+ty) al cuadrado siempre se cumple que es mayor o igual a cero y la unica forma que exista cuando mucho una solución real es cuando el determinante sea igual a 0.

        ¡Saludos!

  2. sebastian

    Hola, en el teorema de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, en el segundo punto del teorema, me parece que debería decir x,y son linealmente dependinetes, y dice “…independientes”

    Responder
  3. Daniela Torija

    Hola.
    En el ejemplo 2, ¿cómo podemos decir que la forma polar de Q es positiva? no tenemos términos al cuadrado y según yo dando un contraejemplo si a=-1, e=1, d=1, h=-1 tendríamos que ae+dh=-2
    Además,si B no es positiva, entonces por definición Q tampoco,pero aquí dado que es suma de cuadrados si es mayor o igual a cero.
    Gracias.

    Responder
    1. LeoLeo Autor

      Hola Daniela. Lo que sucede es que para ver si una forma bilineal es positiva, sólo se vale evaluarla con $x=y$, es decir, en expresiones de la forma $B(x,x)$.

      Responder
  4. JP Antuna

    Buena tarde.
    Disculpen, el último ejercicio de la tarea moral es incorrecto, ¿no?
    Pues no es producto interior, ya que no es una forma bilineal simétrica. No se cumple que =
    Más aún, ni siquiera es una forma bilineal, pues si q=0, no se cumple que b(p,q)=0. Esta es una proposición que aparece en alguna entrada anterior de formas bilineales.

    Responder
    1. JP Antuna

      Cuando uso los corchetes angulares se borra el contenido que está dentro de estos y no aparece en el comentario, no sabía eso.
      Decía que b(p,q) no es simétrica, pues b(p,q) no es igual a b(q,p)

      Responder

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