Introducción
Anteriormente, platicamos acerca de formas bilineales y de formas cuadráticas. Ahora veremos un tipo de formas bilineales especiales: las positivas y las positivas definidas. Las formas positivas definidas nos ayudan a definir qué es un producto interior. Esta es una noción fundamental que más adelante nos ayudará a definir distancias y ángulos.
Formas bilineales positivas y positivas definidas
Para hablar de geometría en espacios vectoriales, la siguiente noción es fundamental. Es importante notar que es una definición únicamente para formas bilineales simétricas.
Definición. Sea una forma bilineal simétrica.
- Diremos que
es positiva si
para todo vector
de
.
- Diremos que
es positiva definida si
para todo vector
de
.
Tenemos una noción análoga para formas cuadráticas.
Definición. Sea una forma cuadrática con forma polar
. Diremos que
es positiva si
lo es, y diremos que es positiva definida si
lo es.
Ejemplo. Como ya vimos antes, el producto punto de es una forma bilineal simétrica. También es positiva definida, pues si tenemos
, tenemos que


Ejemplo. Considera y consideremos la forma bilineal
dada por

Problema. Considera la forma cuadrática en
que suma el cuadrado de las entradas de la diagonal de una matriz, es decir, aquella dada por
Solución. Para encontrar la forma polar de
, usamos la identidad de polarización
Como , tenemos que
(y
) son positivas. Sin embargo,
no es positiva definida (ni
), pues por ejemplo,
Producto interior
Estamos listos para definir aquellos espacios sobre los que podemos hacer geometría.
Definición. Sea un espacio vectorial sobre
- Un producto interior en
es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
- Decimos que
es un espacio Euclideano si es de dimensión finita y está equipado con un producto interior.
Estamos siguiendo la convención del libro de Titu Andreescu, en donde es importante pedir que sea de dimensión finita para ser Euclideano.
Cuando estamos hablando de espacios con producto interior, o de espacios Euclideanos, tenemos una forma bilineal simétrica y positiva definida . Sin embargo, en vez de usar constantemente
, para simplificar la notación usaremos simplemente
.
Definición. Si es un espacio con producto interior
, definimos la norma de un vector
como
Ejemplo. Como dijimos arriba, el producto punto en es una forma bilineal simétrica, así que es un producto interior. Como
es de dimensión finita, entonces es un espacio Euclideano.
La norma de un vector está dada por
y geométricamente se interpreta como la distancia de
al origen.
Un ejemplo más concreto es , en donde la norma del vector
es
.
La notación de producto interior quizás te recuerde la notación que se usa cuando hablamos de dualidad. Sin embargo, es muy importante que distingas los contextos. En el caso de dualidad, tenemos
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
A continuación presentamos un resultado fundamental es espacios con formas bilineales positivas y positivas definidas.
Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea una forma bilineal simétrica y
su forma cuadrática asociada.
- Si
es positiva, entonces para todo
y
en
tenemos que
y
son linealmente dependientes, se alcanza la igualdad.
- Además, si
es positiva definida y
y
son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.
Demostración. Supongamos primero solamente que es positiva. Consideremos la función
dada por
. Como
es forma cuadrática positiva, tenemos que
para todo real
. Por otro lado, expandiendo y usando que
es simétrica, tenemos que
En esta expresión, ,
y
son reales, así que
es un polinomio cuadrático en
. Como
para todo
en
, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras,
Sumando y dividiendo entre
ambos lados de la desigualdad, obtenemos que
Si y
son linealmente dependientes, podemos despejar a uno en términos del otro. Sin perder generalidad, podemos suponer que
. En este caso,
Ahora, supongamos además que es positiva definida y que se da la igualdad. Si esto sucede, el discriminante del polinomio cuadrático de arriba es igual a
y por lo tanto el polinomio tiene una raíz
. En otras palabras,
. Pero como
es positiva definida, esto implica que
, de donde
y
son linealmente dependientes. Así, si
y
son linealmente independientes, tenemos que la desigualdad es estricta.
El siguiente caso particular es uno de los más importantes y los más usados, por lo cual amerita que lo enunciemos separadamente.
Corolario. Sea un espacio vectorial sobre
equipado con un producto interior
. Para cualesquiera
en
se cumple
.
Puede que te preguntes por qué enfatizamos los resultados de desigualdades. En varias partes de tu formación matemática trabajarás con espacios vectoriales en donde quieres hacer cálculo. Ahí, se define la convergencia y los límites en términos de una norma. Las desigualdades que probemos para espacios vectoriales son útiles para cuando se quiere demostrar la validez de ciertos límites. Más adelante mencionaremos algunas cosas adicionales al respecto.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Considera la función
. Muestra que es una forma cuadrática en
. Encuentra su forma polar y determina si es una forma cuadrática positiva y/o positiva definida.
- Muestra que
y determina si es positiva y/o positiva definida.
- Considera
el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo
. Muestra que
. ¿Es
un espacio Euclideano? Determina la norma de la función
.
- Sea
el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y de grado a lo más
. Muestra que
un espacio Euclideano.
Más adelante…
En esta entrada definimos el concepto de producto interior y vimos cómo el producto interior induce una norma en el espacio vectorial. El concepto de norma nos permite generalizar la noción de distancia y esto nos permitirá ver cómo se puede hacer cálculo en espacios vectoriales.
En las siguientes entradas veremos cómo se define esta norma para diferentes espacios vectoriales con diferentes productos interiores. Podremos ver entonces cómo se generalizan otras nociones que ya hemos visto en cursos anteriores; como el concepto de ángulo.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss
- Siguiente entrada del curso: Problemas de formas cuadráticas y producto interior
Buenas tardes,
Quisiera pedirle de gran favor si me pudiera explicar sólo la parte de la desigualdad de Cauchy, ya que he buscado en varios lados está duda:
En esta expresión, q(x), 2b(x,y) y q(y) son reales, así que f(t) es un polinomio cuadrático en t. Como f(t)\geq 0 para todo t en \mathbb{R}, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras,
Por qué el discriminante de este polinomio es negativo? Lo estuve revisando por la fórmula general de la cuadrática y la raiz de b al cuadro es mayor que -4ac para que sean soluciones reales?
De antemano, muchas gracias.
Saludos
Hola Daniel. Claro. Imagínate que tienes una cuadrática ax^2+bx+c. Por la fórmula general, si el discriminante es < 0, no hay solución real. Si es igual que 0, entonces hay una solución real. Si es mayor que cero, entonces hay dos soluciones reales. La expresión f(t)=q(x+ty) es una forma cuadrática que es positiva definida por hipótesis. De modo que sólo existe una posible forma en la que sea cero, cuando x+ty=0. Si y es el vector cero, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es cierta. Si y no es cero, entonces a lo más hay un real t que cumple x+ty=0. Así, la ecuación cuadrática f(t)=0 tiene como mucho una solución real. De aquí es que se concluye que su determinante tiene que ser menor o igual a cero.
Perfecto! Muchas gracias, Doctor! Traté de buscar en varios lados el porque el discriminante era menor o igual a 0 pero no encontraba. Ya veo que desde la hipótesis, al elevar q(x+ty) al cuadrado siempre se cumple que es mayor o igual a cero y la unica forma que exista cuando mucho una solución real es cuando el determinante sea igual a 0.
¡Saludos!
Hola, en el teorema de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, en el segundo punto del teorema, me parece que debería decir x,y son linealmente dependinetes, y dice «…independientes»
jajaja, ya vi que es por contradicción
Hola.
En el ejemplo 2, ¿cómo podemos decir que la forma polar de Q es positiva? no tenemos términos al cuadrado y según yo dando un contraejemplo si a=-1, e=1, d=1, h=-1 tendríamos que ae+dh=-2
Además,si B no es positiva, entonces por definición Q tampoco,pero aquí dado que es suma de cuadrados si es mayor o igual a cero.
Gracias.
Hola Daniela. Lo que sucede es que para ver si una forma bilineal es positiva, sólo se vale evaluarla con $x=y$, es decir, en expresiones de la forma $B(x,x)$.
Buena tarde.
Disculpen, el último ejercicio de la tarea moral es incorrecto, ¿no?
Pues no es producto interior, ya que no es una forma bilineal simétrica. No se cumple que =
Cuando uso los corchetes angulares se borra el contenido que está dentro de estos y no aparece en el comentario, no sabía eso.
Decía que b(p,q) no es simétrica, pues b(p,q) no es igual a b(q,p)
De acuerdo. Ya está la corrección. Gracias por el aviso.