Para esta entrada haremos uso de las definiciones y propiedades básicas de eigenvalores y polinomio característico vistas en las clases del miércoles y viernes de la semana pasada.

Problema 1. Encuentra los valores propios de la matriz.
$$A=\begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0\end{pmatrix}$$

Solución. Consideremos a $A$ como una matriz con entradas complejas. Sea $\lambda$ un eigenvalor y $x$ un vector no nulo tal que $Ax=\lambda x$. Si $x_1,x_2$ son las coordenadas de $x$, la condición $Ax=\lambda x$ es equivalente a las ecuaciones

$$-x_2=\lambda x_1, \hspace{0.5cm} x_1=\lambda x_2.$$

Sustituyendo $x_1$ en la primera ecuación se sigue que $-x_2=\lambda ^2 x_2.$
Si $x_2=0$, entonces $x_1=0$, lo cual es imposible. Por lo tanto $x_2\neq 0$ y necesariamente $\lambda ^2 =-1$, entonces $\lambda\in \{-i,i\}$. Conversamente, $i$ y $-i$ son ambos eigenvalores, ya que podemos escoger $x_2=1$ y $x_1=\lambda$ como solución del sistema anterior. Así que vista como matriz compleja, $A$ tiene dos valores propios $\pm i$.

Por otro lado, si vemos a $A$ como matriz con entradas reales, y $\lambda\in \mathbb{R}$ es un eigenvalor y $x$ un eigenvector como arriba, entonces

$$(\lambda^2 +1)x_2=0.$$

Como $\lambda$ es real, $\lambda^2 +1$ es distinto de cero y así $x_2=0$, luego $x_1=0$ y $x=0$. Así que, en conclusión, vista como matriz con entradas reales, $A$ no tiene eigenvalores.

Problema 2. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz

$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1\end{pmatrix} \in M_3(F_2).$$

Solución. $\chi_A(\lambda)= \det (\lambda I_3 -A)= \det (\lambda I_3 +A)$ (pues $-1=1$ en $F_2$).

$\begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1\\
1 & \lambda & 1\\
1 & 1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1+ \lambda & 0 & 1\\
1 + \lambda & 1+ \lambda & 1\\
0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix}$

La igualdad anterior se obtiene de sumar la segunda columna a la primera y la tercera columna a la segunda.

Ahora vemos que

$\begin{vmatrix}
\lambda +1 & 0 & 1\\
1+ \lambda & 1+ \lambda & 1\\
0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix} = (\lambda +1)\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & 1+ \lambda & 1\\
0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix}$

$=(\lambda +1)(\lambda +1)^2=(\lambda +1)^3.$

Por lo tanto, $\chi_A(\lambda)=(\lambda +1)^3$, y así el único eigenvalor es $1$.

$\square$

Problema 3. Sean $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}\in F$ y sea

$A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_0\\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_1\\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & a_2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n-1}\end{pmatrix}.$

Demuestra que

$$\chi_A=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\dots – a_0.$$

Demostración. Sea $P=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\dots -a_1x- a_0$. Considera la matriz

$$B=xI_n-A=\begin{pmatrix}
x & 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\
-1 & x & 0 & \dots & 0 & -a_1\\
0 & -1 & x & \dots & 0 & -a_2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \dots & -1 & x -a_{n-1}\end{pmatrix}.$$

Sumando a la primera fila de $B$ la segunda fila multiplicada por $x$, la tercera fila multiplicada por $x^2$, $\dots$, la $n-$ésima fila multiplicada por $x^{n-1}$ obtenemos la matriz.

$$C=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & P\\
-1 & x & 0 & \dots & 0 & -a_1\\
0 & -1 & x & \dots & 0 & -a_2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \dots & -1 & x -a_{n-1}\end{pmatrix}.$$

Tenemos que $\chi_A=\det B = \det C$ y, desarrollando $\det C$ con respecto a la primera fila, obtenemos

$$\det C = (-1)^{n+1}P\cdot \begin{vmatrix}
-1 & x & \dots & 0\\
0 & -1 & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & -1\end{vmatrix} = (-1)^{n+1}P(-1)^{n-1}=P. $$

$\square$

Problema 4. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz con polinomio característico
$$\chi_A(t)=(-1)^nt^n+\dots +a_1t+a_0.$$
Demuestra que$\chi_A(0)=a_0$. Deduce que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\neq 0$.

Demostración. Es fácil ver que $\chi_A(0)=a_0$, ya que $a_0$ es el término independiente. Por otro lado, recordamos que $\chi_A(t)=\det(A-tI_n)$, entonces $\chi_A(0)=\det A$. se sigue que $\chi_A(0)=a_0= \det A$, y por la última igualdad sabemos que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\neq 0$.

$\square$

Problema 5. Demuestra que cualquier matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es suma de dos matrices invertibles.

Demostración. Veamos que existen $B,C\in M_n(\mathbb{R})$ tales que $A=B+C$.
Definimos la matriz $B$ como: $b_{ii}=-1$ si $a_{ii}=0$ y $b_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\neq 0$,$ b_{ij}=a_{ij}$ si $i>j$ y $b_{ij}=0$ si $i<j$.

Similarmente definimos la matriz $C$ como: $c_{ii}=1$ si $a_{ii}=0$, $c_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\neq 0$, $ c_{ij}=a_{ij}$ si $i<j$ y $c_{ij}=0$ si $i>j$.

Por construcción $B$ y $C$ son matrices triangulares con todas sus entradas diagonales distintas de cero. Por lo tanto $0\not\in\{\det B, \det C\}$, es decir, $B$ y $C$ son invertibles. Además por la manera en la que construimos las matrices $B$ y $C$ se tiene que $A=B+C$.

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»