Para esta entrada haremos uso de las definiciones y propiedades básicas de eigenvalores y polinomio característico vistas en las clases del miércoles y viernes de la semana pasada.
Problema 1. Encuentra los valores propios de la matriz.
Solución. Consideremos a como una matriz con entradas complejas. Sea
un eigenvalor y
un vector no nulo tal que
. Si
son las coordenadas de
, la condición
es equivalente a las ecuaciones
Sustituyendo en la primera ecuación se sigue que
Si , entonces
, lo cual es imposible. Por lo tanto
y necesariamente
, entonces
. Conversamente,
y
son ambos eigenvalores, ya que podemos escoger
y
como solución del sistema anterior. Así que vista como matriz compleja,
tiene dos valores propios
.
Por otro lado, si vemos a como matriz con entradas reales, y
es un eigenvalor y
un eigenvector como arriba, entonces
Como es real,
es distinto de cero y así
, luego
y
. Así que, en conclusión, vista como matriz con entradas reales,
no tiene eigenvalores.
Problema 2. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz
Solución. (pues
en
).
La igualdad anterior se obtiene de sumar la segunda columna a la primera y la tercera columna a la segunda.
Ahora vemos que
Por lo tanto, , y así el único eigenvalor es
.
Problema 3. Sean y sea
Demuestra que
Demostración. Sea . Considera la matriz
Sumando a la primera fila de la segunda fila multiplicada por
, la tercera fila multiplicada por
,
, la
ésima fila multiplicada por
obtenemos la matriz.
Tenemos que y, desarrollando
con respecto a la primera fila, obtenemos
Problema 4. Sea una matriz con polinomio característico
Demuestra que



Demostración. Es fácil ver que , ya que
es el término independiente. Por otro lado, recordamos que
, entonces
. se sigue que
, y por la última igualdad sabemos que
es invertible si y sólo si
.
Problema 5. Demuestra que cualquier matriz es suma de dos matrices invertibles.
Demostración. Veamos que existen tales que
.
Definimos la matriz como:
si
y
si
,
si
y
si
.
Similarmente definimos la matriz como:
si
,
si
,
si
y
si
.
Por construcción y
son matrices triangulares con todas sus entradas diagonales distintas de cero. Por lo tanto
, es decir,
y
son invertibles. Además por la manera en la que construimos las matrices
y
se tiene que
.
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hola, una pregunta, en el problema 3 , ¿ que no deben ser negativos todos los 1?
Hola Vale,
Tienes razón, ya hice la corrección, Gracias por la observación.
¿La construcción para las matrices en el problema 5 no daría que para todo $ i \in {1,…,n} $, si $ a_{i,i} \neq 0 $, entonces $ (A)_{i,i} = a_{i,i} = 2a_{i,i} = (B+C)_{i,i} $?
Creo que Rodrigo también se refiere a lo que diré…
Así construidas B y C, no se tiene que A=B+C pues si tenemos que a_ii es distinto de cero, b_ii=c_ii=a_ii y al hacer la suma de las matrices B+C obtenemos en las diagonales 2a_ii (cuando a_ii es distinto de cero) en lugar de a_ii que es lo que queremos.
Toda la demás construcción sí nos dan las entradas de A.
Poniendo que b_ii y c_ii sean a_ii/2 cuando a_ii es distinto de cero ya quedaría.
Gracias a ambos. Tienen razón, ya quedó la corrección.
En el primer problema, cuando se dan las ecuaciones de x_1, x_2…
x_1= \lambda x_2 (faltó poner la lambda)