Álgebra Lineal I: Problemas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico.

Para esta entrada haremos uso de las definiciones y propiedades básicas de eigenvalores y polinomio característico vistas en las clases del miércoles y viernes de la semana pasada.

Problema 1. Encuentra los valores propios de la matriz.

$A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$

Solución. Consideremos a $A$ como una matriz con entradas complejas. Sea $\lambda$ un eigenvalor y $x$ un vector no nulo tal que $Ax=\lambda x$ . Si $x_1,x_2$ son las coordenadas de $x$ , la condición $Ax=\lambda x$ es equivalente a las ecuaciones

$-x_2=\lambda x_1, \hspace{0.5cm} x_1=\lambda x_2.$

Sustituyendo $x_1$ en la primera ecuación se sigue que $-x_2=\lambda ^2 x_2.$
Si $x_2=0$ , entonces $x_1=0$ , lo cual es imposible. Por lo tanto $x_2\neq 0$ y necesariamente $\lambda ^2 =-1$ , entonces $\lambda\in \{-i,i\}$ . Conversamente, $i$ y $-i$ son ambos eigenvalores, ya que podemos escoger $x_2=1$ y $x_1=\lambda$ como solución del sistema anterior. Así que vista como matriz compleja, $A$ tiene dos valores propios $\pm i$ .

Por otro lado, si vemos a $A$ como matriz con entradas reales, y $\lambda\in \mathbb{R}$ es un eigenvalor y $x$ un eigenvector como arriba, entonces

$(\lambda^2 +1)x_2=0.$

Como $\lambda$ es real, $\lambda^2 +1$ es distinto de cero y así $x_2=0$ , luego $x_1=0$ y $x=0$ . Así que, en conclusión, vista como matriz con entradas reales, $A$ no tiene eigenvalores.

Problema 2. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz

$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix} \in M_3(F_2).$

Solución. $\chi_A(\lambda)= \det (\lambda I_3 -A)= \det (\lambda I_3 +A)$ (pues $-1=1$ en $F_2$ ).

$\begin{vmatrix}\lambda & 1 & 1\\1 & \lambda & 1\\1 & 1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1+ \lambda & 0 & 1\\1 + \lambda & 1+ \lambda & 1\\0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix}$

La igualdad anterior se obtiene de sumar la segunda columna a la primera y la tercera columna a la segunda.

Ahora vemos que

$\begin{vmatrix}\lambda +1 & 0 & 1\\1+ \lambda & 1+ \lambda & 1\\0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix} = (\lambda +1)\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1+ \lambda & 1\\0 & \lambda & \lambda + 1 \end{vmatrix}$

$=(\lambda +1)(\lambda +1)^2=(\lambda +1)^3.$

Por lo tanto, $\chi_A(\lambda)=(\lambda +1)^3$ , y así el único eigenvalor es $1$ .

$\square$

Problema 3. Sean $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}\in F$ y sea

$A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_0\\1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_1\\0 & 1 & 0 & \dots & 0 & a_2\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n-1}\end{pmatrix}.$

Demuestra que

$\chi_A=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\dots - a_0.$

Demostración. Sea $P=x^n-a_{n-1}x^{n-1}-\dots -a_1x- a_0$ . Considera la matriz

$B=xI_n-A=\begin{pmatrix}x & 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\-1 & x & 0 & \dots & 0 & -a_1\\0 & -1 & x & \dots & 0 & -a_2\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \dots & -1 & x -a_{n-1}\end{pmatrix}.$

Sumando a la primera fila de $B$ la segunda fila multiplicada por $x$ , la tercera fila multiplicada por $x^2$ , $\dots$ , la $n-$ ésima fila multiplicada por $x^{n-1}$ obtenemos la matriz.

$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & \dots & 0 & P\\-1 & x & 0 & \dots & 0 & -a_1\\0 & -1 & x & \dots & 0 & -a_2\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \dots & -1 & x -a_{n-1}\end{pmatrix}.$

Tenemos que $\chi_A=\det B = \det C$ y, desarrollando $\det C$ con respecto a la primera fila, obtenemos

$\det C = (-1)^{n+1}P\cdot \begin{vmatrix} -1 & x & \dots & 0\\0 & -1 & \dots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \dots & -1\end{vmatrix} = (-1)^{n+1}P(-1)^{n-1}=P.$

$\square$

Problema 4. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz con polinomio característico

$\chi_A(t)=(-1)^nt^n+\dots +a_1t+a_0.$

Demuestra que $\chi_A(0)=a_0$ . Deduce que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\neq 0$ .

Demostración. Es fácil ver que $\chi_A(0)=a_0$ , ya que $a_0$ es el término independiente. Por otro lado, recordamos que $\chi_A(t)=\det(A-tI_n)$ , entonces $\chi_A(0)=\det A$ . se sigue que $\chi_A(0)=a_0= \det A$ , y por la última igualdad sabemos que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\neq 0$ .

$\square$

Problema 5. Demuestra que cualquier matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es suma de dos matrices invertibles.

Demostración. Veamos que existen $B,C\in M_n(\mathbb{R})$ tales que $A=B+C$ .
Definimos la matriz $B$ como: $b_{ii}=-1$ si $a_{ii}=0$ y $b_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\neq 0$ , $b_{ij}=a_{ij}$ si $i>j$ y $b_{ij}=0$ si $i<j$ .

Similarmente definimos la matriz $C$ como: $c_{ii}=1$ si $a_{ii}=0$ , $c_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\neq 0$ , $c_{ij}=a_{ij}$ si $i<j$ y $c_{ij}=0$ si $i>j$ .

Por construcción $B$ y $C$ son matrices triangulares con todas sus entradas diagonales distintas de cero. Por lo tanto $0\not\in\{\det B, \det C\}$ , es decir, $B$ y $C$ son invertibles. Además por la manera en la que construimos las matrices $B$ y $C$ se tiene que $A=B+C$ .

$\square$

6 comentarios en “Álgebra Lineal I: Problemas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico.”

Vale Sauz septiembre 8, 2020 a las 2:28 pm

hola, una pregunta, en el problema 3 , ¿ que no deben ser negativos todos los 1?

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1. Ayax Calderón Autorseptiembre 8, 2020 a las 3:38 pm
  
  Hola Vale,
  
  Tienes razón, ya hice la corrección, Gracias por la observación.
  
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Rodrigo García septiembre 9, 2020 a las 8:01 pm

¿La construcción para las matrices en el problema 5 no daría que para todo $ i \in {1,…,n} $, si $ a_{i,i} \neq 0 $, entonces $ (A)_{i,i} = a_{i,i} = 2a_{i,i} = (B+C)_{i,i} $?

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JP Antuna septiembre 10, 2020 a las 12:52 pm

Creo que Rodrigo también se refiere a lo que diré…
Así construidas B y C, no se tiene que A=B+C pues si tenemos que a_ii es distinto de cero, b_ii=c_ii=a_ii y al hacer la suma de las matrices B+C obtenemos en las diagonales 2a_ii (cuando a_ii es distinto de cero) en lugar de a_ii que es lo que queremos.
Toda la demás construcción sí nos dan las entradas de A.
Poniendo que b_ii y c_ii sean a_ii/2 cuando a_ii es distinto de cero ya quedaría.

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1. Ayax Calderón Autorseptiembre 10, 2020 a las 9:08 pm
  
  Gracias a ambos. Tienen razón, ya quedó la corrección.
  
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JP Antuna septiembre 10, 2020 a las 1:30 pm

En el primer problema, cuando se dan las ecuaciones de x_1, x_2…
x_1= \lambda x_2 (faltó poner la lambda)

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