Introducción

En esta entrada demostramos el teorema espectral para matrices simétricas reales en sus dos formas. Como recordatorio, lo que probaremos es lo siguiente.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $T:V\to V$ una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de $V$ que consiste de eigenvectores de $T$.

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica en $\mathbb{R}^n$. Entonces, existe una matriz ortogonal $P$ y una matriz diagonal $D$, ambas en $\mathbb{R}^n$, tales que $$A=P^{-1}DP.$$

Para ello, usaremos los tres resultados auxiliares que demostramos en la entrada de eigenvalores de matrices simétricas reales. Los enunciados precisos están en ese enlace. Los resumimos aquí de manera un poco informal.

• Los eigenvalores complejos de matrices simétricas reales son números reales.
• Si una transformación $T$ es simétrica y $W$ es un subespacio estable bajo $T$, entonces $W^\bot$ también lo es. Además, $T$ restringida a $W$ o a $W^\bot$ también es simétrica.
• Es lo mismo que una matriz sea diagonalizable, a que exista una base formada eigenvectores de la matriz.

Además de demostrar el teorema espectral, al final de la entrada probaremos una de sus consecuencias más importantes. Veremos una clasificación de las matrices que inducen formas bilineales positivas.

Demostración de la primera versión del teorema espectral

Comenzamos mostrando la siguiente versión del teorema espectral.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $T:V\to V$ una transformación simétrica. Entonces, existe una base ortonormal de $V$ que consiste de eigenvectores de $T$.

Demostración. Como $V$ es espacio Euclideano, entonces tiene cierta dimensión finita $n$. Haremos inducción fuerte sobre $n$. Si $n=1$, el polinomio característico de $T$ es de grado $1$ y con coeficientes reales, así que tiene una raíz $\lambda$ real. Si $v$ es un eigenvector de $T$ para $\lambda$, entonces $\frac{v}{\norm{v}}$ también es eigenvector de $T$ y conforma una base ortonormal para $V$.

Supongamos que el resultado es cierto para todo espacio Euclideano de dimensión menor a $n$ y tomemos $V$ espacio Euclideano de dimensión $n$. Por el teorema fundamental del álgebra, el polinomio característico de $T$ tiene por lo menos una raíz $\lambda$ en $\mathbb{C}$. Como $T$ es simétrica, cualquier matriz $A$ que represente a $T$ también, y $\lambda$ sería una raíz del polinomio característico de $A$. Por el resultado que vimos en la entrada anterior, $\lambda$ es real.

Consideremos el kernel $W$ de la transformación $\lambda \text{id} – T$. Si $W$ es de dimensión $n$, entonces $W=V$, y por lo tanto $T(v)=\lambda v$ para todo vector $v$ en $V$, es decir, todo vector no cero de $V$ es eigenvector de $T$. De esta forma, cualquier base ortonormal de $V$ satisface la conclusión. De esta forma, podemos suponer que $W\neq V$ y que por lo tanto $1\leq \dim W \leq n-1$, y como $$V=W\oplus W^\bot,$$ se obtiene que $1\leq \dim W^\bot \leq n-1$. Sea $B$ una base ortonormal de $W$, que por lo tanto está formada por eigenvectores de $T$ con eigenvalor $\lambda$.

Como la restricción $T_1$ de $T$ a $W^\bot$ es una transformación simétrica, podemos aplicar la hipótesis inductiva y encontrar una base ortonormal $B’$ de eigenvectores de $T_1$ (y por lo tanto de $T$) para $W^\bot$.

Usando de nuevo que $$V=W\oplus W^\bot,$$ tenemos que $B\cup B’$ es una base de $V$ formada por eigenvectores de $T$.

El producto interior de dos elementos distintos de $B$, o de dos elementos distintos de $B’$ es cero, pues individualmente son bases ortonormales. El producto de un elemento de $B$ y uno de $B’$ es cero pues un elemento está en $W$ y el otro en $W^\bot$. Además, todos los elementos de $B\cup B’$ tiene norma $1$, pues vienen de bases ortogonales. Esto muestra que $B\cup B’$ es una base ortonormal de $V$ que consiste de eigenvectores de $T$.

$\square$

Demostración de la segunda versión del teorema espectral

Veamos ahora la demostración del teorema espectral en su enunciado con matrices.

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica en $M_n(\mathbb{R})$. Entonces, existe una matriz ortogonal $P$ y una matriz diagonal $D$, ambas en $M_n(\mathbb{R})$, tales que $$A=P^{-1}DP.$$

Demostración. Como $A$ es una matriz simétrica, la transformación $T:F^n\to F^n$ dada por $T(X)=AX$ es simétrica. Aplicando la primer versión del teorema espectral, existe una base ortonormal de $F^n$ que consiste de eigenvectores de $T$. Digamos que estos eigenvectores son $C_1,\ldots,C_n$. Por definición de $T$, estos eigenvectores de $T$ son exactamente eigenvectores de $A$.

Anteriormente demostramos que si construimos a una matriz $B$ usando a $C_1,\ldots,C_n$ como columnas y tomamos la matriz diagonal $D$ cuyas entradas son los eigenvalores correspondientes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, entonces $$A=BDB^{-1}.$$

Afirmamos que la matriz $B$ es ortogonal. En efecto, la fila $j$ de la matriz $^t B$ es precisamente $C_j$. De esta forma, la entrada $(i,j)$ del producto ${^tB} B$ es precisamente el producto punto de $C_i$ con $C_j$. Como la familia $C_1,\ldots,C_n$ es ortonormal, tenemos que dicho producto punto es uno si $i=j$ y cero en otro caso. De aquí, se concluye que ${^tB} B=I_n$.

Si una matriz es ortogonal, entonces su inversa también. Esto es sencillo de demostrar y queda como tarea moral. Así, definiendo $P=B^{-1}$, tenemos la igualdad $$A=P^{-1}DP,$$ con $D$ diagonal y $P$ ortogonal, justo como lo afirma el teorema.

$\square$

Matrices positivas y positivas definidas

Una matriz $A$ simétrica en $M_n(\mathbb{R})$ induce una forma bilineal simétrica en $\mathbb{R}^n$ mediante la asignación $$(x,y) \mapsto {^t x} A y,$$ con forma cuadrática correspondiente $$x \mapsto {^t x} A x.$$

Definición. Una matriz $A$ en $M_n(\mathbb{R})$ es positiva o positiva definida si su forma bilineal asociada es positiva o positiva definida respectivamente.

Una de las aplicaciones del teorema espectral es que nos permite dar una clasificación de las matrices simétricas positivas.

Teorema. Sea $A$ una matriz simétrica. Entonces todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es positiva.
2. Todos los eigenvalores de $A$ son no negativos.
3. $A=B^2$ para alguna matriz simétrica $B$ en $M_n(\mathbb{R})$.
4. $A= {^tC} C$ para alguna matriz $C$ en $M_n(\mathbb{R})$.

Demostración. (1) implica (2). Supongamos que $A$ es positiva y tomemos $\lambda$ un eigenvalor de $A$. Tomemos $v$ un eigenvector de eigenvalor $\lambda$. Tenemos que:
\begin{align*}
\lambda \norm{v}^2 &=\lambda {^tv} v\\
&= {^t v} (\lambda v)\\
&={^t v} Av\\
&\geq 0.
\end{align*}

Como $\norm{v}^2\geq 0$, debemos tener $\lambda \geq 0$.

(2) implica (3). Como $A$ es matriz simétrica, por el teorema espectral tiene una diagonalización $A=P^{-1}DP$ con $P$ una matriz invertible y $D$ una matriz diagonal cuyas entradas son los eigenvalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ de $A$. Como los eigenvalores son no negativos, podemos considerar la matriz diagonal $E$ cuyas entradas son los reales $\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n}.$ Notemos que $E^2=D$, así que si definimos a la matriz $B=P^{-1}EP$, tenemos que $$B^2=P^{-1}E^2 P = P^{-1}DP = A.$$

Además, $B$ es simétrica pues como $E$ es diagonal y $P$ es ortogonal, tenemos que
\begin{align*}
{^tB} &= {^t P} {^t E} {^t (P^{-1})}\\
&= P^{-1} E P\\
&= B.
\end{align*}

(3) implica (4). Es inmediato, tomando $C=B$ y usando que $B$ es simétrica.

(4) implica (1). Si $A= {^tC} C$ y tomamos un vector $v$ en $\mathbb{R}^n$, tenemos que

\begin{align*}
{^t v} A v &= {^tv} {^tC} C v\\
&= {^t(Cv)} (Cv)\\
&=\norm{Cv}^2\\
&\geq 0,
\end{align*}

lo cual muestra que $A$ es positiva.

$\square$

También hay una versión de este teorema para matrices simétricas positivas definidas. Enunciarlo y demostrarlo queda como tarea moral.

En una entrada final, se verá otra consecuencia linda del teorema espectral: el teorema de descomposición polar. Dice que cualquier matriz con entradas reales se puede escribir como el producto de una matriz ortogonal y una matriz simétrica positiva.

Más allá del teorema espectral

Durante el curso introdujimos varias de las nociones fundamentales de álgebra lineal. Con ellas logramos llegar a uno de los teoremas más bellos: el teorema espectral. Sin embargo, la teoría de álgebra lineal no termina aquí. Si en tu formación matemática profundizas en el área, verás otros temas y resultados fundamentales como los siguientes:

• El teorema de Cayley-Hamiltón: toda matriz se anula en su polinomio característico.
• La clasificación de matrices diagonalizables: una matriz es diagonalizable si y sólo si su polinomio característico se factoriza en el campo de la matriz, y la multiplicidad algebraica de sus eigenvalores corresponde con la multiplicidad geométrica.
• El teorema de la forma canónica de Jordan: aunque una matriz no se pueda diagonalizar, siempre puede ser llevada a una forma estándar «bonita».
• Productos interiores con imágenes en $\mathbb{C}$, a los que también se les conoce como formas hermitianas.
• Los polinomios mínimos de matrices y transformaciones, que comparten varias propiedades con el polinomio característico, pero dan información un poco más detallada.

Tarea moral

• Muestra que la inversa de una matriz ortogonal es ortogonal.
• Encuentra una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ conformada por eigenvectores de la matriz $\begin{pmatrix}10 & 0 & -7\\ 0 & 3 & 0 \\ -7 & 0 & 10\end{pmatrix}.$
• Determina si la matriz anterior es positiva y/o positiva definida.
• Enuncia y demuestra un teorema de clasificación de matrices simétricas positivas definidas.
• Muestra que la matriz $$\begin{pmatrix}5 & 1 & 7\\1 & 10 & -7\\7 & -7 & 18\end{pmatrix}$$ es positiva.

Más adelante…

En esta entrada discutimos dos demostraciones del teorema espectral. Sólo nos falta discutir cómo podemos aplicarlo. En la siguiente entrada trabajaremos con algunos problemas, por ejemplo, ver cómo se usa para demostrar que una matriz simétrica no es diagonalizable.

Finalmente, discutiremos cómo podemos pensar en las nociones de continuidad y acotamiento en el álgebra lineal.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Matrices simétricas reales y sus eigenvalores
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