Introducción
En esta entrada continuamos con el estudio de eigenvalores y eigenvectores de matrices y trasformaciones lineales. Para ello, estudiaremos más a profundidad el polinomio característico.
Como recordatorio, en una entrada pasada demostramos que si es una matriz en
, entonces la expresión
es un polinomio en
de grado
con coeficientes en
. A partir de ello, definimos el polinomio característico de
como
En esta entrada probaremos algunas propiedades importantes del polinomio característico de matrices. Además, hablaremos de la multiplicidad algebraica de los eigenvalores. Finalmente enunciaremos sin demostración dos teoremas fundamentales en álgebra lineal: el teorema de caracterización de matrices diagonalizables y el teorema de Cayley-Hamilton.
Las raíces del polinomio característico son los eigenvalores
Ya vimos que las raíces del polinomio característico son los eigenvalores. Pero hay que tener cuidado. Deben ser las raíces que estén en el campo en el cual la matriz esté definida. Veamos un ejemplo más.
Problema. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz
Solución. Debemos encontrar las raíces del polinomio dado por el siguiente determinante:
Haciendo expansión de Laplace en la primer columna, tenemos que este determinante es igual a
Para calcular los determinantes de cada una de las matrices de podemos aplicar la fórmula por diagonales para obtener:
y
Concluimos que el polinomio característico es
De esta factorización, las raíces del polinomio (y por lo tanto los eigenvalores que buscamos) son .
Si quisiéramos encontrar un eigenvector para, por ejemplo, el eigenvalor , tenemos que encontrar una solución no trivial al sistema lineal de ecuaciones homogéneo
Propiedades del polinomio característico
Veamos ahora algunas propiedades importantes del polinomio característico. El primer resultado habla del polinomio característico de matrices triangulares superiores. Un resultado análogo se cumple para matrices inferiores, y su enunciado y demostración quedan como tarea moral.
Proposición. Si es una matriz triangular superior en
, entonces su polinomio característico es
Demostración. Como es triangular superior, entonces
también, y sus entradas diagonales son precisamente
para
. Como el determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal, tenemos que
Como el polinomio característico es un determinante, podemos aprovechar otras propiedades de determinantes para obtener otros resultados.
Proposición. Una matriz y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.
Demostración. Sea una matriz en
. Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante. Además, transponer es una transformación lineal. De este modo:
Ya antes habíamos mostrado que matrices similares tienen los mismos eigenvalores, pero que dos polinomios tengan las mismas raíces no necesariamente implica que sean iguales. Por ejemplo, los polinomios
De esta forma, el siguiente resultado es más fuerte de lo que ya habíamos demostrado antes.
Proposición. Sean y
matrices en
con
invertible. Entonces
y
tienen el mismo polinomio característico.
Demostración. El resultado se sigue de la siguiente cadena de igualdades, en donde usamos que y que el determinante es multiplicativo:
Ten cuidado. El determinante es multiplicativo, pero el polinomio característico no es multiplicativo. Esto es evidente por el siguiente argumento. Si y
son matrices en
, entonces
y
son cada uno polinomios de grado
, así que su producto es un polinomio de grado
, que por lo tanto no puede ser igual al polinomio característico
pues este es de grado
. Así mismo,
no es
.
Una última propiedad que nos interesa es mostrar que el determinante de una matriz y su traza aparecen en los coeficientes del polinomio característico.
Teorema. Sea una matriz en
y
su polinomio característico. Entonces
es de la forma
Demostración. Tenemos que mostrar tres cosas:
- El polinomio
es mónico, es decir, tiene coeficiente principal
,
- que el coeficiente del término de grado
es
y
- el coeficiente libre es
.
El coeficiente libre de un polinomio es su evaluación en cero. Usando la homogeneidad del determinante, dicho coeficiente es:
Esto muestra el tercer punto.
Para el coeficiente del término de grado y el coeficiente principal analicemos con más detalle la fórmula del determinante
en términos de permutaciones.
Como discutimos anteriormente, la única forma de obtener un término de grado es cuando elegimos a la permutación identidad. Pero esto también es cierto para términos de grado
, pues si no elegimos a la identidad, entonces la permutación elige por lo menos dos entradas fuera de la diagonal, y entonces el grado del producto de entradas correspondiente es a lo más
.
De este modo, los únicos términos de grado y
vienen del producto
El único término de grado viene de elegir
en todos los factores, y se obtiene el sumando
, lo cual muestra que el polinomio es mónico.
Los únicos términos de grado se obtienen de elegir
en
factores y un término del estilo
. Al considerar todas las opciones, el término de grado
es
Ejemplo. El teorema anterior muestra que si es una matriz en
, es decir, de
, entonces

Como ejemplo, si , entonces su polinomio característico es

Suma y producto de eigenvalores de matrices complejas
A veces queremos referirnos al conjunto de todos los eigenvalores de una matriz.
Definición. Para una matriz en
, el espectro de
es el conjunto de eigenvalores de
. Lo denotamos por
Tenemos una definición análoga para el espectro de una transformación lineal. Esa definición da un poco de intuición de por qué los teoremas de diagonalización de matrices se llaman teoremas espectrales. La siguiente definición habla de un sentido en el cual un eigenvalor «se repite».
Definición. Sea una matriz en
y
un eigenvalor de
. La multiplicidad algebraica de
es el mayor entero
tal que
divide a
.
Cuando estamos en , por el teorema fundamental del álgebra todo polinomio de grado
se puede factorizar en exactamente
términos lineales. Además, los polinomios característicos son mónicos. De este modo, si tenemos una matriz
en
, su polinomio característico se puede factorizar como sigue:
en donde son eigenvalores de
, no necesariamente distintos, pero en donde cada eigenvalor aparece en tantos términos como su multiplicidad algebraica.
Desarrollando parcialmente el producto del lado derecho, tenemos que el coeficiente de es
Teorema. Sea una matriz en
- La traza
es igual a la suma de los eigenvalores, contando multiplicidades algebraicas, es decir:
- El determinante de
es igual al producto de los eigenvalores, contando multiplicidades algebraicas, es decir:
Veamos un problema en donde se usa este teorema.
Problema. Sea una matriz en
tal que
. Muestra que el determinante de
es una potencia de
.
Solución. Sea un eigenvalor de
y
un eigenvector para
. Tenemos que
Como no es el vector
, debe suceder que
. Como
, entonces
ó
. Con esto concluimos que los únicos posibles eigenvectores de
son
y
.
Como es una matriz en
, tenemos entonces que su polinomio característico es de la forma
con
y
enteros no negativos tales que
. Pero entonces por el teorema de producto de eigenvalores, tenemos que el determinante es
, con lo que queda demostrado que es una potencia de
.
Dos teoremas fundamentales de álgebra lineal (opcional)
Tenemos todo lo necesario para enunciar dos resultados de álgebra lineal. Sin embargo, las demostraciones de estos resultados requieren de más teoría, y se ven en un siguiente curso. No los demostraremos ni los usaremos en el resto de este curso, pero te pueden servir para anticipar el tipo de resultados que verás al continuar tu formación en álgebra lineal.
El primer resultado fundamental es una caracterización de las matrices que pueden diagonalizarse. Para ello necesitamos una definición adicional. Hay otro sentido en el cual un eigenvalor de una matriz
puede repetirse.
Definición. Sea una matriz en
y
un eigenvalor de
. La multiplicidad geométrica de
es la dimensión del kernel de la matriz
pensada como transformación lineal.
En estos términos, el primer teorema al que nos referimos queda enunciado como sigue.
Teorema. Una matriz en
es diagonalizable si y sólo si su polinomio característico
se puede factorizar en términos lineales en
y además, para cada eigenvalor, su multiplicidad algebraica es igual a su multiplicidad geométrica.
Ejemplo. La matriz

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Sin embargo, en tenemos la factorización en términos lineales
que dice que
y
son eigenvalores de multiplicidad algebraica
. Se puede mostrar que la multiplicidad geométrica también es
. Así,
sí es diagonalizable con matrices de entradas complejas.
El segundo resultado fundamental dice que «cualquier matriz se anula en su polinomio característico». Para definir correctamente esto, tenemos que decir qué quiere decir evaluar un polinomio en una matriz. La definición es más o menos natural.
Definición. Si es una matriz en
y
es un polinomio en
de la forma

En estos términos, el resultado queda enunciado como sigue.
Teorema (Cayley-Hamilton). Si es una matriz en
y
es su polinomio característico, entonces
Ejemplo. Tomemos de nuevo a la matriz

Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Enuncia y demuestra cómo es el polinomio característico de una matriz triangular inferior.
- Completa los detalles de la demostración del teorema de suma y producto de eigenvalores. Úsalo para encontrar la suma y producto (con multiplicidades) de los eigenvalores de la matriz
- Sea
una matriz en
. ¿Cómo es el polinomio característico de
en términos del polinomio característico de
?
- Tomemos
una matriz en
y
un entero positivo. Muestra que si
es un eigenvalor de la matriz
, entonces
es un eigenvalor de la matriz
.
De la sección opcional:
- Demuestra, haciendo todas las cuentas, el caso particular del teorema de Cayley-Hamilton para matrices de
.
- Ya sabemos calcular el polinomio característico de matrices diagonales. Muestra el teorema de Cayley-Hamilton en este caso particular.
- Las matrices diagonales trivialmente son diagonalizables. Muestra que la multiplicidad algebraica de sus eigenvalores en efecto coincide con la multiplicidad geométrica.
Más adelante…
En esta entrada estudiamos algunas propiedades de los eigenvalores y eigenvectores de transformaciones lineales y matrices; vimos cómo obtener eigenvalores de una matriz a partir del polinomio característico y enunciamos dos teoremas muy importantes como parte opcional del curso.
En la siguiente entrada haremos varios ejercicios para desarrollar un poco de práctica al obtener los eigenvalores y eigenvectores de una transformación lineal y de una matriz.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Eigenvectores y eigenvalores de transformaciones y matrices
- Siguiente entrada del curso: Problemas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico
¡Hola!
Según yo, el polinomio característico de la primer proposición queda exactamente igual tanto para matrices triangulares inferiores como para matrices diagonales ¿estoy en lo correcto?
Gracias por su atención y respuestas.
Hola Lorna. Así es, estás en lo correcto.
Complementando la acotación de Lorna sobre esa preposición… en la demostración de esta, usan el hecho de que el determinante de una matriz diagonal es el producto de sus entradas en la diagonal, pero debería haberse usado el hecho de que esto también es cierto para matrices triangulares (específicamente triangular superior), pues esto es lo que se buscaba demostrar.
De hecho el que se valga para matrices triangulares implica que se vale para matrices diagonales, pues la matrices diagonales son en particular triangulares.
Cuando vemos los tres puntos que se deben mostrar para demostrar el primer teorema de esta entrada… el segundo punto dice que el coeficiente del término de grado n-1 es trA, creo que hace falta añadir el signo (-), es decir, -trA
Vale, ya está el cambio.
Hola, podríamos hacer algunos ejercicios no triviales de propiedades de polinomio característico mañana por favor? como el ejercicio de la matriz de la segunda pregunta de la tarea moral de la entrada.