La naturaleza está escrita en lenguaje matemático.
– Galileo Galilei

Introducción

En las dos últimas entradas hemos desarrollado métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables. El primer caso fue cuando $x_{0} = 0$ es un punto ordinario y en el segundo caso cuando $x_{0} = 0$ es un punto singular regular. En esta y la siguiente entrada aplicaremos estos métodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales especiales, tan especiales que cada una de ellas tiene su propio nombre y son de bastante utilidad en otras áreas del conocimiento como la física e ingeniería.

A continuación presentamos las ecuaciones diferenciales que resolveremos:

• Ecuación de Hermite.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0$$

• Ecuación de Laguerre.

$$x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1 -x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0$$

• Ecuación de Legendre.

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda(\lambda + 1) y = 0$$

• Ecuación de Bessel.

$$x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \dfrac{dy}{dx} + (x^{2} -\lambda^{2}) y = 0$$

• Ecuación de Chebyshev.

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -x \dfrac{dy}{dx} + \lambda^{2} y = 0$$

• Ecuación Hipergeométrica de Gauss.

$$x(1 -x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + [\gamma -(\alpha + \beta + 1)x] \dfrac{dy}{dx} -\alpha \beta y = 0$$

• Ecuación de Airy.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -xy = 0$$

Algunos ejemplos en los que aparecen este tipo de ecuaciones son en el estudio de potenciales en campos conservativos y no conservativos, esfuerzos de torsión, distribución de temperaturas, propagación de calor, vibraciones de cuerdas y membranas, propagación de ondas sonoras, luminosas, de radio entre muchas otras aplicaciones.

Es importante aclarar que todas estas ecuaciones, y las soluciones de cada una, tienen importantes propiedades matemáticas que no serán expuestas en este curso, nuestro propósito es el de sólo dar con la solución aplicando los métodos ya mencionados. Sin embargo, estos resultados seguramente serán de bastante utilidad más adelante cuando en semestres posteriores se estudien con mayor detalle. Por supuesto, si en estos momentos se desea conocer más acerca de estas ecuaciones diferenciales se puede consultar bibliografía existente para cada una de ellas.

Comencemos con la ecuación de Hermite.

Ecuación de Hermite

La ecuación de Hermite es

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0 \label{1} \tag{1}$$

Con $x \in \mathbb{R}$ y $\lambda$ una constante.

Esta ecuación diferencial es llamada así en honor al matemático francés Charles Hermite (1822 – 1901), quien realizó investigaciones sobre teoría de números, formas cuadráticas, teoría de invariantes, polinomios ortogonales y funciones elípticas entre otros. Varias entidades matemáticas se llaman hermitianas en su honor.

La ecuación de Hermite se encuentra en forma estándar lo que nos permite notar que el punto $x_{0} = 0$ es un punto ordinario, esto nos indica que su solución es de la forma

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} \label{2} \tag{2}$$

Cuyas derivadas son

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2} \label{3} \tag{3}$$

Sustituyamos en la ecuación de Hermite.

$$\left[ \sum_{n = 2}^{\infty }n(n -1)c_{n}x^{n -2} \right] -2x \left[ \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \right] + \lambda \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n}\right] = 0$$

Introducimos la $x$ en la segunda serie.

$$\sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2} -2 \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n} + \lambda \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} = 0$$

En la primer serie hacemos la sustitución $k = n -2$ y en las otras dos hacemos $k = n$.

$$\sum_{k = 0}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -2 \sum_{k = 1}^{\infty}kc_{k}x^{k} + \lambda \sum_{k = 0}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0$$

Extraemos el primer término de la primera y última serie para que todas comiencen en $k = 1$.

$$2c_{2} + \lambda c_{0} = 0 \label{4} \tag{4}$$

de donde,

$$c_{2} = -\dfrac{\lambda }{2}c_{0}$$

Ahora tenemos la ecuación

$$\sum_{k = 1}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -2 \sum_{k = 1}^{\infty}kc_{k}x^{k} + \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0 \label{5} \tag{5}$$

Ahora que todas las series comienzan con el mismo índice y tienen la misma potencia en la variable $x$, podemos juntar todo en una sola serie.

$$\sum_{k = 1}^{\infty}[(k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -2kc_{k} + \lambda c_{k}]x^{k} = 0$$

De donde necesariamente debe de ocurrir que

$$(k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -(2k -\lambda)c_{k} = 0 \label{6} \tag{6}$$

Despejando a $c_{k}$ obtenemos la relación de recurrencia.

$$c_{k + 2} = \dfrac{2k -\lambda}{(k + 2)(k + 1)}c_{k}, \hspace{1cm} k = 0, 1, 2, 3 \cdots \label{7} \tag{7}$$

Determinemos los coeficientes. Ya vimos que para $k = 0$,

$c_{2} = -\dfrac{\lambda }{2!}c_{0}$

$k = 1$.

$$c_{3} = \dfrac{2(1) -\lambda}{(3)(2)}c_{1} = \dfrac{2 -\lambda}{3!}c_{1}$$

$k = 2$.

$$c_{4} = \dfrac{2(2) -\lambda}{(4)(3)}c_{2} = \dfrac{4-\lambda}{(4)(3)} \left( -\dfrac{\lambda}{2}c_{0} \right) = -\dfrac{\lambda(4 -\lambda)}{4!}c_{0}$$

$k = 3$.

$$c_{5} = \dfrac{2(3) -\lambda}{(5)(4)}c_{3} = \dfrac{6 -\lambda}{(5)(4)} \left( \dfrac{2 -\lambda}{(3)(2)}c_{1} \right) = \dfrac{(6 -\lambda)(2 -\lambda)}{5!}c_{1}$$

$k = 4$.

$$c_{6} = \dfrac{2(4) -\lambda}{(6)(5)}c_{4} = \dfrac{8 -\lambda}{(6)(5)} \left( -\dfrac{\lambda(4 -\lambda)}{4!}c_{0} \right) = -\dfrac{\lambda(4 -\lambda)(8 -\lambda)}{6!}c_{0}$$

$k = 5$.

$$c_{7} = \dfrac{2(5) -\lambda}{(7)(6)}c_{5} = \dfrac{10 -\lambda}{(7)(6)} \left( \dfrac{(6 -\lambda)(2 -\lambda)}{5!}c_{1} \right) = \dfrac{(2 -\lambda)(6 -\lambda)(10 -\lambda)}{7!}c_{1}$$

Etcétera, si tomamos como factores comunes a $C_{1} = c_{0}$ y $C_{2} = c_{1}$, entonces podemos escribir a la solución general de la ecuación de Hermite como

\begin{align*}
y(x) &= C_{1} \left[ 1 -\dfrac{\lambda}{2!}x^{2} -\dfrac{\lambda(4 -\lambda)}{4!}x^{4} -\dfrac{\lambda(4 -\lambda)(8 -\lambda)}{6!}x^{6} – \cdots \right] \\
&+ C_{2} \left[ x + \dfrac{(2 -\lambda)}{3!}x^{3} + \dfrac{(2 -\lambda)(6 -\lambda)}{5!}x^{5} + \dfrac{(2 -\lambda)(6 -\lambda)(10 -\lambda)}{7!} + \cdots \right] \label{8} \tag{8}
\end{align*}

Un caso interesante ocurre cuando el parámetro $\lambda$ es positivo y es par, es decir de la forma $\lambda = 2k$, en este caso la relación de recurrencia muestra que

$$c_{k + 2} = c_{k + 4} = \cdots = 0$$

Notemos que si $\lambda = 2k$ y además $k$ es par y se toma $C_{2} = 0$, entonces la solución se reduce a un polinomio de grado $k$, lo mismo ocurre si $k$ es impar y se toma $C_{1} = 0$, la solución se reduce a otro polinomio de grado $k$.

Con una adecuada elección de $C_{1}$ y $C_{2}$, de tal manera que el coeficiente de $x^{k}$ sea $2^{k}$, resultan los denominados polinomios de Hermite.

\begin{align*}
H_{0}(x) &= 1\\
H_{1}(x) &= 2x \\
H_{2}(x) &= 4x^{2} -2 \\
H_{3}(x) &= 8x^{3} -12x\\
H_{4}(x) &= 16x^{4} -48x^{2} + 12\\
H_{5}(x) &= 32x^{5} -160x^{3} + 120x \\
\vdots
\end{align*}

Cada polinomio de Hermite es solución particular de la ecuación de Hermite con $\lambda = 0, 2, 4, 6 \cdots$, respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Hermite es solución particular de la ecuación de Hermite con $\lambda = 2n$.

Los polinomios de Hermite aparecen en la resolución del problema del oscilador armónico unidimensional en Mecánica Cuántica.

Pasemos a resolver la ecuación de Laguerre.

Ecuación de Laguerre

La ecuación de Laguerre es

$$x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1 -x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0 \label{9} \tag{9}$$

Con $\lambda$ una constante.

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales que surgen de examinar las soluciones de la ecuación diferencial (\ref{9}). Edmond Nicolás Laguerre (1834 – 1886) fue un matemático francés conocido principalmente por la introducción de los polinomios que llevan su nombre.

Resolvamos la ecuación, para ello dividimos todo por $x$ para obtener la forma estándar.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{1 -x}{x} \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{\lambda}{x} y = 0 \label{10} \tag{10}$$

Identificamos que

$$P(x) = \dfrac{1 -x}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{\lambda}{x}$$

Es claro que ambas funciones no están definidas en $x = 0$, de manera que este punto es un punto singular. Si definimos las funciones

$$p(x) = xP(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} q(x) = x^{2}Q(x)$$

obtenemos que

$$p(x) = 1 -x \hspace{1cm} y \hspace{1cm} q(x) = \lambda x$$

Si calculamos los límites se obtiene lo siguiente.

$$\lim_{x \to 0}p(x) = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lim_{x \to 0}q(x) = 0$$

Los límites existen, esto nos indica que el punto $x_{0} = 0$ es un punto singular regular. La solución para este caso es de la forma

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} \label{11} \tag{11}$$

Las derivadas son

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} \label{12} \tag{12}$$

Sustituyamos en la ecuación de Laguerre.

$$x \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} \right] + (1 -x) \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \right] + \lambda \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} \right] = 0$$

Expandiendo y simplificando se tiene

$$\sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -1} + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} -\sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r} + \lambda \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} = 0$$

En las dos primeras series hacemos $k = n$ y en las dos últimas series hacemos $n = k -1$.

$$\sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r -1} + \sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r -1} -\sum_{k = 1}^{\infty}(k -1 + r)c_{k -1}x^{k + r -1} + \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}c_{k -1}x^{k + r -1} = 0$$

Extraemos los términos para $k = 0$ y así hacer que todas las series comiencen en $k = 1$.

\begin{align*}
r(r -1)c_{0}x^{r -1} + rc_{0}x^{r -1} &= 0 \\
c_{0}x^{r -1}[r(r -1) + r] &= 0 \\
r(r -1) + r &= 0
\end{align*}

La ecuación indicial es

$$r^{2} = 0 \label{13} \tag{13}$$

de donde $r_{1} = r_{2} = r = 0$. Como las raíces indiciales son iguales, la forma de las soluciones es

$$y_{1}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n}, \hspace{1cm} c_{0} \neq 0 \label{14} \tag{14}$$

y

$$y_{2}(x) = \ln(x) \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty}\hat{c}_{n}x^{n} \label{15} \tag{15}$$

Continuemos con la ecuación que teníamos.

$$\sum_{k = 1}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r -1} + \sum_{k = 1}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r -1} -\sum_{k = 1}^{\infty}(k -1 + r)c_{k -1}x^{k + r -1} + \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}c_{k -1}x^{k + r -1} = 0$$

Ahora que todas inician en $k = 1$ y tienen la misma potencia podemos agruparlas en una sola serie.

$$\sum_{k = 1}^{\infty} [(k + r)(k + r -1)c_{k} + (k + r)c_{k} -(k -1 + r)c_{k -1} + \lambda c_{k -1}] x^{k + r -1} = 0$$

De donde es necesario que

\begin{align*}
(k + r)(k + r -1)c_{k} + (k + r)c_{k} -(k -1 + r)c_{k -1} + \lambda c_{k -1} &= 0 \\
c_{k}[(k + r)(k + r -1) + (k + r)] + c_{k -1}[\lambda -(k -1 + r)] &= 0 \\
\end{align*}

Despejando a $c_{k}$ obtenemos la relación de recurrencia.

$$c_{k} = \dfrac{(k -1 + r) -\lambda}{(k + r)(k + r -1) + (k + r)}c_{k -1} \label{16} \tag{16}$$

De tarea moral muestra que la relación de recurrencia se puede reescribir como

$$c_{k} = \dfrac{(k + r) -(\lambda + 1)}{(k + r)^{2}}c_{k -1} \label{17} \tag{17}$$

Sabemos que la raíz indicial es $r = 0$, entonces la relación de recurrencia se reduce a

$$c_{k} = \dfrac{k -(\lambda + 1)}{k^{2}}c_{k -1}, \hspace{1cm} k = 1, 2, 3, \cdots \label{18} \tag{18}$$

Determinemos los coeficientes.

$k = 1$.

$$c_{1} = \dfrac{1 -(\lambda + 1)}{1^{2}}c_{0} = -\lambda c_{0}$$

$k = 2$.

$$c_{2} = \dfrac{2 -(\lambda + 1)}{2^{2}}c_{1} = \dfrac{1 -\lambda}{4}c_{1} = \dfrac{\lambda(\lambda -1)}{4}c_{0}$$

$k = 3$.

$$c_{3} = \dfrac{3 -(\lambda + 1)}{3^{2}}c_{2} = \dfrac{2 -\lambda}{9}c_{2} = -\dfrac{\lambda(\lambda -1)(\lambda -2)}{36}c_{0}$$

Continuando es posible encontrar el patrón y establecer que

$$c_{k} = (-1)^{k} \dfrac{\lambda(\lambda -1)(\lambda -2) \cdots (\lambda -k + 1)}{(k!)^{2}}c_{0} \label{19} \tag{19}$$

De tarea moral demuestra por inducción el resultado anterior.

Entonces la solución de la ecuación de Laguerre es

\begin{align*}
y(x) &= c_{0} \left( 1 -\dfrac{\lambda}{(1!)^{2}} x + \dfrac{\lambda(\lambda -1)}{(2!)^{2}}x^{2} -\dfrac{\lambda(\lambda -1)(\lambda -2)}{(3!)^{2}}x^{3} + \cdots + (-1)^{k} \dfrac{\lambda(\lambda -1)(\lambda -2) \cdots (\lambda -k + 1)}{(k!)^{2}}x^{k} + \cdots \right) \label{20} \tag{20}
\end{align*}

Recordemos que el método de Frobenius nos dice que existe una segunda solución de la forma

$$y_{2}(x) = y_{1}(x) \ln(x) + \sum_{n = 0}^{\infty}\hat{c}_{n}x^{n}$$

Obtener la segunda solución resulta ser una tarea muy complicada debido a la enorme cantidad de cálculos que se deben realizar, en el video correspondiente se hace notar esta dificultad, sin embargo la solución obtenida suele ser suficiente para trabajar y es la que se utiliza en las aplicaciones que aparecen principalmente en Física.

Observemos que si $\lambda \in \mathbb{Z}^{+}$, entonces la serie solución se hace finita, ya que cada coeficiente de la serie contiene un término $(\lambda -m)$ con $m \in \mathbb{Z}^{+}$ que se repite cada vez que aparece por primera vez, por ejemplo el término $(\lambda -2)$ aparece por primera vez en el coeficiente de $x^{3}$ y a partir de ahí aparece en el resto de coeficientes de la serie, de manera que si $\lambda = 2$, entonces todos los coeficientes que contengan el término $(\lambda -2)$ se anularán y sólo nos quedará un polinomio de grado $n = 2$. Estos polinomios resultantes son los llamados polinomios de Laguerre.

Para $\lambda = 0, 1, 2, 3, \cdots$ y con el valor adecuado de $c_{0}$ se obtienen los siguientes polinomios de Laguerre.

\begin{align*}
L_{0}(x) &= 1 \\
L_{1}(x) &= 1 -x \\
L_{2}(x) &= 1 -2x + \dfrac{1}{2}x^{2} \\
L_{3}(x) &= 1 -3x + \dfrac{3}{2}x^{2} -\dfrac{1}{6}x^{3} \\
\vdots
\end{align*}

En general, el $n$-ésimo polinomio de Laguerre será solución particular de la ecuación de Laguerre cuando $\lambda = n$.

Finalicemos esta entrada con la ecuación de Legendre.

Ecuación de Legendre

La ecuación de Legendre es

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda(\lambda + 1) y = 0 \label{21} \tag{21}$$

Con $\lambda$ una constante.

Esta ecuación lleva este nombre en honor al matemático francés Adrien – Marie Legendre (1752 – 1833). Legendre hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático.

Resolvamos la ecuación, dividimos todo por el coeficiente de la segunda derivada de $y$.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{2x}{1 -x^{2}} \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{\lambda(\lambda + 1)}{1 -x^{2}} y = 0 \label{22} \tag{22}$$

Identificamos que

$$P(x) = -\dfrac{2x}{1 -x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{\lambda(\lambda + 1)}{1 -x^{2}}$$

Vemos que ambas funciones no están definidas en $x = 1$ ni $x = -1$, pero si en en el punto $x_{0} = 0$, de manera que dicho punto es un punto ordinario, entonces la forma de la solución de la ecuación de Legendre es

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

Con primera y segunda derivada dadas como

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2}$$

Sustituyamos en la ecuación de Legendre.

$$(1 -x^{2}) \left[ \sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n-2} \right] -2x \left[ \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \right] + \lambda(\lambda + 1) \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} \right] = 0$$

Expandiendo y simplificando, se tiene

$$\sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2} -\sum_{n = 2}^{\infty }n(n -1)c_{n}x^{n} -2\sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n} + \lambda(\lambda + 1) \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} = 0$$

En la primer serie hacemos $k = n -2$ y en el resto $k = n$.

$$\sum_{k = 0}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -\sum_{k = 2}^{\infty }k(k -1)c_{k}x^{k} -2\sum_{k = 1}^{\infty}kc_{k}x^{k} + \lambda(\lambda + 1) \sum_{k = 0}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0$$

Extraemos los términos para $k = 0$ y $k = 1$ y con ello lograr que todas las series comiencen en $k = 2$.

Por un lado, para $k = 0$,

$$2c_{2} + \lambda(\lambda + 1) c_{0} = 0$$

De donde

$$c_{2} = -\dfrac{\lambda(\lambda + 1)}{2}c_{0}$$

Por otro lado, para $k = 1$,

\begin{align*}
3(2)c_{3}x -2c_{1}x + \lambda(\lambda + 1) c_{1}x &= 0 \\
\left[6c_{3} -2c_{1} + \lambda(\lambda + 1) c_{1} \right]x &= 0 \\
6c_{3} -2c_{1} + \lambda(\lambda + 1) c_{1} &= 0
\end{align*}

De donde

$$c_{3} = \dfrac{2 -\lambda(\lambda + 1)}{6}c_{1}$$

Veremos más adelante que es conveniente escribir este resultado como

$$c_{3} = -\dfrac{(\lambda -1)(\lambda + 2)}{6}c_{1}$$

Ahora tenemos la ecuación

$$\sum_{k = 2}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -\sum_{k = 2}^{\infty }k(k -1)c_{k}x^{k} -2\sum_{k = 2}^{\infty}kc_{k}x^{k} + \lambda(\lambda + 1) \sum_{k = 2}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0 \label{23} \tag{23}$$

Juntemos todo en una sola serie.

$$\sum_{k = 2}^{\infty} \left[ (k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -k(k -1)c_{k} -2kc_{k} + \lambda(\lambda + 1)c_{k} \right] x^{k} = 0$$

De donde es necesario que

$$(k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -\left[ k(k -1) + 2k -\lambda(\lambda + 1)\right]c_{k} = 0 \label{24} \tag{24}$$

Despejando a $c_{k + 2}$ obtenemos la relación de recurrencia.

$$c_{k + 2} = \dfrac{k(k -1) + 2k -\lambda(\lambda + 1)}{(k + 2)(k + 1)}c_{k}, \hspace{1cm} k = 0, 1, 2, \cdots \label{25} \tag{25}$$

Es conveniente reescribir a la ecuación de recurrencia de la siguiente manera.

$$c_{k + 2} = -\dfrac{(\lambda -k)(\lambda + k + 1)}{(k + 2)(k + 1)}c_{k}, \hspace{1cm} k = 0, 1, 2, \cdots \label{26} \tag{26}$$

Determinemos los coeficientes. Ya vimos que para $k = 0$,

$$c_{2} = -\dfrac{\lambda(\lambda + 1)}{2!}c_{0}$$

y para $k = 1$,

$$c_{3} = -\dfrac{(\lambda -1)(\lambda + 2)}{3!}c_{1}$$

$k = 2$.

$$c_{4} = -\dfrac{(\lambda -2)(\lambda + 3)}{(4)(3)}c_{2} = \dfrac{(\lambda -2)\lambda(\lambda + 1)(\lambda + 3)}{4!}c_{0}$$

$k = 3$.

$$c_{5} = -\dfrac{(\lambda -3)(\lambda + 4)}{(5)(4)}c_{3} = \dfrac{(\lambda -3)(\lambda -1)(\lambda + 2)(\lambda + 4)}{5!}c_{1}$$

$k = 4$.

$$c_{6} = -\dfrac{(\lambda -4)(\lambda + 5)}{(6)(5)}c_{4} = -\dfrac{(\lambda -4)(\lambda -2)\lambda(\lambda + 1)(\lambda + 3)(\lambda + 5)}{6!}c_{0}$$

$k = 5$.

$$c_{7} = -\dfrac{(\lambda -5)(\lambda + 6)}{(7)(6)}c_{5} = -\dfrac{(\lambda -5)(\lambda -3)(\lambda -1)(\lambda + 2)(\lambda + 4)(\lambda + 6)}{7!}c_{1}$$

Etcétera, si tomamos como factores comunes a $C_{1} = c_{0}$ y $C_{2} = c_{1}$, entonces podemos escribir a la solución general de la ecuación de Legendre como

$$y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) \label{27} \tag{27}$$

Donde,

\begin{align*}
y_{1}(x) &= 1 -\dfrac{\lambda(\lambda + 1)}{2!}x^{2} + \dfrac{(\lambda -2)\lambda(\lambda + 1)(\lambda + 3)}{4!}x^{4} \\
&-\dfrac{(\lambda -4)(\lambda -2)\lambda(\lambda + 1)(\lambda + 3)(\lambda + 5)}{6!}x^{6} + \cdots \label{28} \tag{28}
\end{align*}

y

\begin{align*}
y_{2}(x) &= x -\dfrac{(\lambda -1)(\lambda + 2)}{3!}x^{3} + \dfrac{(\lambda -3)(\lambda -1)(\lambda + 2)(\lambda + 4)}{5!}x^{5} \\
&-\dfrac{(\lambda -5)(\lambda -3)(\lambda -1)(\lambda + 2)(\lambda + 4)(\lambda + 6)}{7!}x^{7} + \cdots \label{29} \tag{29}
\end{align*}

Para $\lambda = 0, 1, 2, 3, \cdots$ y con el valor adecuado de $C_{1}$ y de $C_{2}$ se obtienen los conocidos polinomios de Legendre:

\begin{align*}
P_{0}(x) &= 1 \\
P_{1}(x) &= x \\
P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^{2} -1) \\
P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^{3} -3x) \\
P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^{4} -30x^{2} + 3) \\
P_{5}(x) &= \dfrac{1}{8}(63x^{5} -70x^{3} + 15x) \\
\vdots
\end{align*}

En general, el $n$-ésimo polinomio de Legendre será solución particular de la ecuación de Legendre cuando $\lambda = n$.

La ecuación de Legendre aparece con mucha frecuencia en problemas de Física, en particular en electromagnetismo en problemas de valor límite en esferas.

Los polinomios de Legendre aparecen cuando se resuelve la ecuación de Helmholtz (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el método de separación de variables.

Hasta aquí concluimos esta primer entrada sobre la resolución de algunas ecuaciones diferenciales especiales de segundo orden, en la siguiente entrada continuaremos resolviendo el resto de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

1. Los primeros 6 polinomios de Hermite son solución de la ecuación de Hermite para $\lambda = 0, 2, 4, 6, 8, 10$ respectivamente. Determinar el valor de las constantes $C_{1}$ y $C_{2}$, tal que se obtengan los primeros 6 polinomios de Hermite.

2. Resolver la siguiente ecuación de Hermite realizando todo el procedimiento del método.

• $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$

3. Los primeros 4 polinomios de Laguerre son solución de la ecuación de Laguerre para $\lambda = 0, 1, 2, 3$ respectivamente. Determinar el valor del coeficiente $c_{0}$, tal que se obtengan los primeros 4 polinomios de Laguerre.

4. Resolver la siguiente ecuación de Laguerre realizando todo el procedimiento del método.

• $x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1 -x) \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$

5. Los primeros 6 polinomios de Legendre son solución de la ecuación de Legendre para $\lambda = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ respectivamente. Determinar el valor correspondiente de $C_{1}$ y $C_{2}$, tal que se obtengan los primeros 6 polinomios de Legendre.

6. Los puntos $x_{0} = 1$ y $x_{0} =- 1$ son puntos singulares de la ecuación de Legendre. Usando el método de Frobenius determinar la solución de la ecuación de Legendre con respecto al punto singular $x_{0} = 1$.
   Hint: Usar el cambio de variable $t = x -x_{0}$ y la regla de la cadena.

Más adelante…

Hemos resuelto 3 de las 7 ecuaciones diferenciales especiales que deseamos resolver, en la siguiente entrada concluiremos con el resto de ecuaciones y así mismo estaremos concluyendo con la unidad 2 del curso.

Entradas relacionadas

• Página principal del curso: Ecuaciones Diferenciales I
• Entrada anterior del curso: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares
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• Video relacionado al tema: Ecuaciones de Bessel y Legendre

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»