Geometría Moderna I: Teorema de Varignon

Introducción

Con esta entrada damos inicio a la segunda unidad que tratará sobre cuadriláteros y algunos resultados básicos de trigonometría. A lo largo de la primera unidad definimos y vimos, ya sea en la teoría o como tarea moral, algunas proposiciones sobre cuadriláteros.

Empezamos presentando un resumen de definiciones y resultados sobre cuadriláteros convexos para dar paso al Teorema de Varignon y finalizar con la ley del paralelogramo.

Cuadriláteros

Definición 1. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Decimos que los lados de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos de acuerdo a si tienen o no un vértice en común. Similarmente diremos que los vértices de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos si son extremos de un mismo lado o no. Los segmentos que unen vértices opuestos son las diagonales del cuadrillero.

En esta unidad consideraremos como cuadrilátero $\square ABCD$ únicamente a la figura acotada por los segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$.

A partir de la ubicación de las diagonales de un cuadrilátero podemos establecer una clasificación de estos. Un cuadrilátero es convexo si sus dos diagonales se encuentran dentro de él, es cóncavo si tiene una diagonal dentro y otra fuera de él y es cruzado si las dos diagonales se ubican fuera del cuadrilátero.

Definición 2. Un cuadrilátero es:

  • Paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos.
  • Rectángulo si tienen cuatro ángulos rectos.
  • Cuadrado si tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
  • Rombo si tiene cuatro lados iguales.
  • Romboide si dos pares de lados adyacentes son iguales.
  • Trapecio si un par de lados opuestos son paralelos, a los lados paralelos les llamamos bases del trapecio.
  • Trapecio isósceles si un par de lados son paralelos y el otro par tienen la misma longitud.

Proposiciones:

  1. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ sus diagonales se intersecan en su punto medio.
  2. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ tiene un par de lados paralelos e iguales.
  3. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ los lados opuestos son iguales.
  4. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ los ángulos interiores adyacentes son suplementarios.
  5. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos congruentes.
  6. Un paralelogramo es un rectángulo $\Leftrightarrow$ sus diagonales tienen la misma longitud.
  7. Un paralelogramo es un rombo $\Leftrightarrow$ sus diagonales son perpendiculares.
  8. La recta media del trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados que no son paralelos. La recta media del trapecio es paralela a las bases del trapecio y su longitud es igual a la semisuma de las bases.
  9. En un trapecio si una recta es paralela a las bases de un trapecio y pasa por el punto medio de uno de los lados entonces pasa por el punto medio del lado opuesto.

Teorema de Varignon

Como el teorema de Varignon nos habla sobre el área de un cuadrilátero en general y ya que no es tan intuitivo definir el área de un cuadrilátero cruzado es necesario introducir el concepto de área orientada. Consideraremos el área de un polígono como positiva si recorremos sus vértices en el sentido opuesto a las manecillas del reloj y como negativa en caso contrario.

De esta manera tenemos que para un triángulo $\triangle ABC$, $(\triangle ABC) = (\triangle BCA) = (\triangle CAB) = – (\triangle CBA) = – (\triangle ACB) = – (\triangle BAC)$.

Definición 3. Definimos el área de un cuadrilátero $\square ABCD$ como la suma de las áreas de los triángulos que se forman al considerar una de sus diagonales, esto es, $(\square ABCD) = (\triangle ABC) + (\triangle CDA)$.

Notemos que como resultado de esta definición el área del cuadrilátero cruzado resulta ser la diferencia de las áreas de los triángulos que se forman al considerar la «intersección cruzada» de los lados.

Teorema 1. De Varignon. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero y su perímetro es la suma de las diagonales del cuadrilátero.

Demostración. Para la prueba nos referiremos a un cuadrilátero convexo, queda como ejercicio verificar que el teorema se cumple para los casos cóncavo y cruzado.

Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respetivamente como en la imagen.

Notemos que $\overline{EF}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ por lo que $\overline{EF}$ es paralelo a $\overline{CA}$ y $EF = \dfrac{CA}{2}$, similarmente $\overline{GH}$ es un segmento medio de $\triangle CDA$ y así $\overline{GH} \parallel \overline{CA}$ y $GH = \dfrac{CA}{2}$.

De manera análoga y considerando los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle BCD$ podemos ver $\overline{HE} \parallel \overline{DB} \parallel \overline{FG}$ y $HE = \dfrac{BD}{2} = FG$.

Por lo tanto los lados opuestos de $\square EFGH$ son paralelos y $EF + FG + GH + HE = \dfrac{CA + BD + CA +BD}{2} = CA + BD$.

Para calcular el área de  $\square EFGH$ primero notemos que $\triangle HAE$ y $\triangle DAB$ son semejantes pues $\overline{HE} \parallel \overline{DB}$, además sabemos que $HE = \dfrac{DB}{2}$ por lo que las alturas $h$ y $h’$ de $\triangle HAE$  y $\triangle DAB$ respectivamente trazadas desde $A$ también cumplirán que $h = \dfrac{h’}{2}$.

Por lo tanto $(\triangle HAE) = \dfrac{HE \times h}{2} = \dfrac{\frac{1}{2}DB \times \frac{1}{2}h’}{2} = \dfrac{1}{4} \dfrac{DB \times h’}{2} = \dfrac{1}{4} (\triangle DAB)$
de manera similar podemos encontrar el área de $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ y $\triangle GDH$.

  Por lo tanto $(\square EFGH) = (\square ABCD) – (\triangle HAE) – (\triangle EBF) – (\triangle FCG) – (\triangle GDH)$ $= (\square ABCD) – \dfrac{1}{4} ((\triangle DAB) + (\triangle ABC) + (\triangle BCD) + (\triangle CDA))$ $= (\square ABCD) – \dfrac{2}{4}(\square ABCD) = \dfrac{(\square ABDC)}{2}$.

$\blacksquare$

Aplicaciones del Teorema

Teorema 2. En un cuadrilátero las rectas que unen los puntos medios de los dos pares de lados opuestos y la recta que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y se bisecan entre sí.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $E$, $F$, $G$, $H$, $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$, $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente. Entonces $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son las diagonales del paralelogramo de Varignon y por la proposición 1 se intersecan en $J$ su punto medio.

Ahora veamos que $\square HUFV$ es un paralelogramo, $\overline{HV}$ es un segmento medio de $\triangle ABD$ por lo que $\overline{HV} \parallel \overline{AB}$ y $\overline{UF}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ por lo tanto $\overline{UF} \parallel \overline{AB}$  y así $\overline{HV} \parallel \overline{UF}$.

Análogamente considerando los triángulos $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ se ve que $\overline{HU} \parallel \overline{FV}$, por lo tanto $\square HUFV$ es un paralelogramo y así las diagonales $\overline{FH}$ y $\overline{UV}$ se intersecan en $J$ su punto medio.

Por lo tanto, $\overline{EG}$, $\overline{FH}$ y $\overline{UV}$ concurren en $J$.

$\blacksquare$

Definición 4. El punto $J$ mencionado en el teorema 2 será referido como el centroide de $\square ABCD$.

Problema. Construye un cuadrilátero $\square ABCD$ conociendo $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ y $FH$ donde $F$ y $H$ son los puntos medios de $\overline{BC}$ y $\overline{DA}$ respectivamente.

Solución. Con la información disponible podemos construir el paralelogramo $\square HUFV$, donde $U$ y $V$ son los puntos medios de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente, como el del Teorema 2.

De la demostración del teorema 2 sabemos que $HU = FV = \dfrac{AB}{2}$ y $VH = UF = \dfrac{AD}{2}$, además por la proposición 5 sabemos que la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes, por lo que basta construir un triángulo de lados $HF$, $\dfrac{AB}{2}$  y $\dfrac{AD}{2}$ y luego trazar paralelas por $H$ y $F$ a los lados del triángulo construido completando así el paralelogramo.

Con $U$ y $V$ construidos ahora construimos de manera similar el paralelogramo $\square EUGV$ donde $E$ y $G$ serían los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ respectivamente.

Sabemos también que $HV \parallel AB$ por lo que trazamos la paralela $\overline{AB}$ a $\overline{HV}$ por $E$ tal que $AE = EB = \dfrac{AB}{2}$.

Con $A$ y $B$ construidos, por $H$ trazamos $\overline{AD}$ tal que $AH = HD = \dfrac{AD}{2}$, de manera similar construimos $C$ y finalmente trazamos $CD$.

$\blacksquare$

Teorema 3. Las cuatro rectas que se obtienen de unir cada vértice de un cuadrilátero con el centroide del triángulo formado por los tres vértices restantes son concurrentes.

Demostración. Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero y $E$, $F$, $G$, y $H$ los puntos medio de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respectivamente y sean $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ los centroides de $\triangle BCD$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ respectivamente.

Entonces sabemos que el centroide triseca a las medianas por lo tanto $\dfrac{HB’}{HC} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{HC’}{HB}$ así que por el reciproco del Teorema de Thales tenemos que $\overline{B’C’} \parallel \overline{BC}$. Análogamente se puede ver que $\overline{C’D’} \parallel \overline{CD}$, $\overline{D’A’} \parallel \overline{DA}$ y $\overline{A’B’} \parallel \overline{AB}$.

Así los lados correspondientes de los cuadrilateros $\square A’B’C’D’$ y $\square ABCD$ son paralelos, es decir los dos cuadriláteros son homotéticos y por lo tanto $\overline{AA’}$, $\overline{BB’}$, $\overline{CC’}$ y $\overline{DD’}$ son concurrentes.

$\blacksquare$

Ley del paralelogramo

Lema. La suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilátero es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Demostración. Sean $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente.

En la entrada lugar geométrico encontramos una fórmula para las medianas en función de los lados del triángulo, aplicando esto a los triángulos $\triangle DAC$, $\triangle BAC$ y $\triangle UDB$ tenemos que:

$2DU^2 = DA^2 + CD^2 – \dfrac{AC^2}{2}$
$2BU^2 = AB^2 + BC^2 – \dfrac{AC^2}{2}$
$2UV^2 = DU^2 + BU^2 – \dfrac{BD^2}{2}$

Multiplicamos la última igualdad por dos y sustituimos las primeras dos en el resultado.

$4UV^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 – AC^2 – BD^2$ $\Leftrightarrow$ $4UV^2 + AC^2 + BD^2= AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$.

$\blacksquare$

Corolario. Ley del paralelogramo. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

Demostración. Por la proposición 1 sabemos que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio por lo que $UV = 0$ en el lema anterior.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Hasta ahora no se habían mencionado las proposiciones 5, 6 y 7, demuéstralas.
  2. Muestra que un cuadrilátero es dividido por una de sus diagonales en dos triángulos de igual área si y solo si la diagonal biseca a la otra diagonal.
  3.  Verifica que el Teorema de Varignon se cumple para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
  4. ¿Bajo que condiciones el paralelogramo de Varignon es un rectángulo, un rombo, un cuadrado?
  5. Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente y $T$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$. Prueba que $(\triangle TUV) = \dfrac{(\square ABCD)}{4}$.
    Sugerencia. Considera $H$ y $F$ los puntos medios de $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ y los cuadriláteros $\square ACBD$, $\square CUFT$ y $\square BVFT$ para calcular el área de los triángulos $\triangle UVF$, $\triangle UFT$ y $\triangle VFT$.
  1. En el Teorema 3 demuestra que el centroide de $\square ABDC$ es el centro de homotecia de $\square ABCD$ y $\square A’B’C’D’$ y encuentra la razón de homotecia.
  2. Construye un cuadrilátero dados dos ángulos opuestos, la longitud de las diagonales y el ángulo entre las diagonales.
  3. Muestra que la suma de los cuadrados de las diagonales de un cuadrilátero es igual a dos veces la suma de los cuadrados de los dos segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos del cuadrilátero.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas condiciones bajo las cuales un cuadrilátero es cíclico es decir sus cuatro vértices están en una misma circunferencia.

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