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Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\square$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\square$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\square$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\square$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\square$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\square$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

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