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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales exactas

Los matemáticos han alcanzado lo más alto del pensamiento humano.
– Havelock Ellis

Introducción

Ahora sabemos que método aplicar si nos encontramos con ecuaciones diferenciales no lineales con variables separables u homogéneas.

Esta entrada la dedicaremos a un tipo de ecuaciones diferenciales no lineales conocidas como ecuaciones exactas. Estas ecuaciones suelen ser más complejas e interesantes que las anteriores y su método de resolución involucra un mayor número de pasos a seguir.

Ecuaciones diferenciales exactas

Existe un caso especial en el que $f(x, y) = c$, donde $c$ es una constante, en este caso la diferencial, de acuerdo a la ecuación (\ref{1}), es

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 0 \label{2} \tag{2}$$

Esto significa que dada una familia de curvas $f(x, y) = c$ es posible generar una ecuación diferencial de primer orden si se calcula la diferencial de ambos lados de la igualdad.

Ejemplo: Sea

$$f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2} = c$$

una familia de curvas, calcular su diferencial.

Solución: De acuerdo a la definición de diferencial de una función de dos variables (\ref{1}), necesitamos calcular $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$. Por un lado,

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 16xy -3x^{2}$$

Por otro lado,

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 8x^{2} + 2y$$

Por lo tanto, la diferencial de la función dada es

$$(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy = 0$$

$\square$

En el ejemplo anterior vimos que

$$(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$$

corresponde a la diferencial de la función

$$f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2}$$

Por lo tanto, $(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$ es una diferencial exacta.

No todas las ecuaciones de primer orden escritas en la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \label{3} \tag{3}$$

corresponden a la diferencial de alguna función $f(x, y) = c$, pero en caso de serlo, entonces la función $f(x, y) = c$ sería una solución implícita de (\ref{3}). Este tipo de ecuaciones tienen un nombre particular.

Ejemplo: Sea la función

$$f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$$

una familia de curvas. Mostrar que la ecuación diferencial

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$$

es una ecuación exacta con respecto a la función $f(x, y)$.

Solución: Para verificar que es una ecuación exacta debemos verificar que el término

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$$

sea una diferencial exacta.

Consideremos la función dada

$$f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$$

Por un lado,

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^{x} + y$$

Por otro lado,

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = e^{y} + x$$

Por lo tanto, la diferencial de la función $f(x, y)$ es

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$$

esto nos indica que el término

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$$

es una diferencial exacta ya que corresponde a la diferencial de la función $f(x, y)$. Por lo tanto, la ecuación

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$$

es una ecuación exacta. No sólo hemos mostrado que es una ecuación exacta, sino que incluso ahora podemos decir que la ecuación

$$e^{x} + xy + e^{y} = c$$

es una solución implícita de la ecuación diferencial.

$\square$

En este ejemplo nos han dado la función $f(x, y) = c$, pero es claro que dada una ecuación diferencial exacta resolverla implica hallar dicha función $f$. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación diferencial es exacta si previamente no conocemos la función $f$? y en caso de que de alguna manera seamos capaces de mostrar que la ecuación diferencial es exacta, ¿cómo podemos hallar a la función $f$?.

Antes de aprender a resolver las ecuaciones diferenciales exactas veamos un teorema que nos permite saber si la ecuación diferencial es exacta o no. Si la ecuación es exacta, entonces tenemos garantizado la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$, dicha función será la solución de la ecuación exacta.

Demostración: Supongamos que $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ es exacta, entonces por definición existe alguna función $f$ tal que para toda $x$ en $U$ se satisface lo siguiente.

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y} dy$$

Esta relación sólo se cumple si

$$M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial y} \label{5} \tag{5}$$

Si derivamos parcialmente la expresión

$$M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$$

con respecto a $y$ en ambos lados, obtenemos

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}
= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)
= \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Donde

$$\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$$

se cumple debido a que las primeras derivadas parciales de $M(x, y)$ y $N(x, y)$ son continuas en $U$.

Si es posible encontrar una función $f$ tal que se cumple (\ref{5}), entonces la condición

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

es necesaria y suficiente. Encontrar la función $f$ en realidad corresponde a un método de resolución de ecuaciones exactas y lo desarrollaremos a continuación.

$\square$

Solución a las ecuaciones exactas

La ecuación diferencial que queremos resolver es de la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Por el teorema anterior sabemos que siempre y cuando se cumpla que

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

entonces debe existir una función $f$ para la que

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$$

Para obtener la función $f(x, y)$ debemos integrar la primer ecuación con respecto a $x$ manteniendo a $y$ constante o integrar la segunda ecuación con respecto a $y$ manteniendo a $x$ constante, vamos a hacer el primer caso y como tarea moral realiza el siguiente procedimiento tomando el segundo caso, notarás que el resultado es equivalente.

Tomando el primer caso, integremos la primer ecuación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{\partial f}{\partial x} dx} &= \int{M(x, y) dx} \\
f(x, y) &= \int{M(x, y) dx} + g(y) \label{6} \tag{6} \\
\end{align*}

Hemos hecho uso del teorema fundamental del cálculo y la función $g(y)$ corresponde a la constante de integración, es constante en $x$, pero sí puede variar en $y$ ya que en este caso la estamos considerando como una constante al hacer la integral.

Ahora derivemos a (\ref{6}) con respecto a $y$.

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx} + g(y) \right) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx} \right) + \dfrac{dg}{dy}
\end{align*}

Pero,

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$$

Entonces,

$$\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx} \right) + \dfrac{dg}{dy} = N(x, y)$$

Despejemos a

$$\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$$

Se tiene,

$$g^{\prime}(y) = N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \label{7} \tag{7}$$

Lo que nos interesa en obtener la función $f(x, y)$, así que podemos integrar la ecuación (\ref{7}) con respecto a $y$ y sustituir $g(y)$ en la ecuación (\ref{6}). Como sabemos, la solución implícita es $f(x, y) = c$. Integremos la ecuación (\ref{7}).

$$g(y) = \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} \label{8} \tag{8}$$

Sustituimos el resultado (\ref{8}) en la ecuación (\ref{6}) e igualamos el resultado a la constante $c$.

$$f(x, y) = \int{M(x, y) dx} + \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} = c \label{9} \tag{9}$$

De esta manera habremos encontrado una solución implícita de la ecuación diferencial exacta.

Una observación interesante es que la función $g^{\prime}(y)$ es independiente de $x$, la manera de comprobarlo es con el siguiente resultado.

\begin{align*}
\dfrac{\partial g}{\partial x} &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx}\right) \right] \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial}{\partial y}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \\
&= 0
\end{align*}

Ya que

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Las ecuaciones (\ref{6}), (\ref{8}) y (\ref{9}) son el resultado de tomar el primer caso. Si realizas el segundo caso en el que a la ecuación

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$$

se integra con respecto a $y$ y al resultado se deriva con respecto a $x$ obtendremos las expresiones análogas, dichas expresiones son, respectivamente

$$f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + h(x) \label{10} \tag{10}$$

$$h(x) = \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \int{N(x, y) dy} \right) \right] dx} \label{11} \tag{11}$$

y

$$f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \int{N(x, y) dy} \right) \right] dx} = c \label{12} \tag{12}$$

Método de solución de ecuaciones diferenciales exactas

Hemos desarrollado la teoría sobre cómo obtener la solución $f(x, y)$ de las ecuaciones diferenciales exactas. Debido a que no se recomienda memorizar los resultados, presentamos a continuación la siguiente serie de pasos o algoritmo que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial exacta.

  1. El primer paso es verificar que la ecuación diferencial
    $$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$ sea exacta para garantizar la existencia de la función $f$ tal que $f(x, y) = c$. Para verificar este hecho usamos el criterio para una diferencial exacta que consiste en verificar que se cumple la relación $$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$
  1. Una vez que verificamos que la ecuación es exacta tenemos garantizado que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es una solución implícita de la ecuación diferencial. Para determinar dicha función definimos $$\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$$
  1. El siguiente paso es integrar alguna de las ecuaciones anteriores en su respectiva variable, se recomienda integrar la que sea más sencilla de resolver, de esta manera obtendremos $$f(x, y) = \int{M(x, y) dx} + g(y) \hspace{1cm} o \hspace{1cm} f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + h(x)$$
  1. Después derivamos parcialmente a la función $f(x, y)$ con respecto a la variable $y$ o $x$ según la elección hecha en el paso anterior, de manera que obtendremos el resultado $$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) + \dfrac{dg}{dy} = N(x, y)$$ o bien, $$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) + \dfrac{dh}{dx} = M(x, y)$$
  1. De los resultados anteriores obtendremos una expresión para $\dfrac{dg}{dy}$, o para $\dfrac{dh}{dx}$, debemos integrar estas expresiones para obtener las funciones $g(y)$ o $h(x)$.
  1. El último paso es sustituir las funciones $g(y)$ o $h(x)$ en la ecuación $f(x, y) = c$ lo que nos devolverá, en general, una solución implícita de la ecuación diferencial exacta.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este método para que todo quede más claro.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

$$(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$$

Solución: La ecuación diferencial es de la forma (\ref{3}), de manera que podemos definir

$$M(x, y) = 4 x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Ambas funciones son continuas y tienen derivadas parciales continuas en cualquier región $U \in \mathbb{R}^{2}$, entonces podemos aplicar el criterio para una diferencial exacta. Verifiquemos que se satisface la relación (\ref{4}).

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = -8xy + 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x}= -8xy +1$$

En efecto,

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Por lo tanto, la ecuación diferencial sí es exacta, esto nos garantiza la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución, entonces podemos definir

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) = 4x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

El tercer paso nos indica que debemos integrar una de las ecuaciones anteriores, en este caso elegiremos integrar la ecuación

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 4x^{3} -4xy^{2} + y$$

con respecto a la variable $x$.

$$\int{ \dfrac{\partial f}{\partial x} dx} = \int{ ( 4x^{3} -4xy^{2} + y) dx}$$

Del lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y del lado derecho resolvemos la integrar, el resultado es

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + g(y)$$

La función $g(y)$ es la constante que considera a todas las constantes que aparecen al integrar y decimos que es constante porque no depende de la variable $x$, pero es posible que pueda depender de la variable $y$.

El cuarto paso es derivar la última ecuación con respecto a la variable $y$ ya que deseamos conocer a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$.

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -4x^{2}y + x + \frac{dg}{dy}$$

Y sabíamos que

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Igualando ambas ecuaciones, obtenemos

$$-4x^{2}y + x + \dfrac{dg}{dy} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Para que esta igualdad se cumpla es necesario que

$$\dfrac{dg}{dy} = 4y^{3}$$

Ahora que ya conocemos a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$, la integramos con respecto a $y$. Esto corresponde al penúltimo paso.

\begin{align*}
\int {\dfrac{dg}{dy} dy} &= {\int 4y^{3} dy} \\
g(y) &= y^{4}
\end{align*}

El último paso es sustituir el resultado $g(y)$ en la función $f(x, y) = c$. En la integración anterior omitimos a las constantes porque podemos englobarlas en la constante $c$.

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + y^{4} = c$$

de donde

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$

Por lo tanto, la solución (implícita) de la ecuación diferencial exacta

$$(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$$

es

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$

$\square$

Por su puesto que hay ecuaciones diferenciales de la forma (\ref{3}) que no cumplen con la condición (\ref{4}), es decir, que no son exactas, en estos casos es posible apoyarnos de una función auxiliar tal que si multiplicamos a la ecuación diferencial por esta función se volverá exacta, si esto ocurre a dicha función la llamamos factor integrante. Así es, usaremos un método similar al método por factor integrante de las ecuaciones lineales, pero esta vez es para convertir a una ecuación diferencial no exacta en exacta.

Factores integrantes

En entradas anteriores vimos que multiplicar la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \label{13} \tag{13}$$

por un factor integrante $\mu(x)$ hace que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a la derivada del producto de $\mu(x)$ con $y(x)$ permitiendo resolver la ecuación con sólo integrar, esta idea de multiplicar por un factor integrante también nos será de ayuda al trabajar con ecuaciones diferenciales de la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

que no son exactas. Lo que se espera es que multiplicando por un factor integrante $\mu (x, y)$ a la ecuación no exacta ésta se vuelva una ecuación exacta.

Consideremos la ecuación

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

pero que no es exacta, esto significa que el lado izquierdo de la ecuación no corresponde a la diferencial de alguna función $f(x, y)$. Supongamos que existe una función $\mu (x, y)$ tal que al multiplicar la ecuación diferencial por esta función se vuelve una ecuación diferencial exacta. Es decir, la ecuación

$$\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0 \label{14} \tag{14}$$

ahora es exacta y se puede resolver con el método que ya conocemos. Lo que veremos ahora es un método para determinar el factor integrante $\mu (x, y)$.

Por el criterio de diferencial exacta, la ecuación diferencial (\ref{14}) es exacta si

$$\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x} \label{15} \tag{15}$$

Usando la regla del producto, la ecuación anterior se puede escribir como

$$\mu \dfrac{\partial M}{\partial y} + \dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \mu \dfrac{\partial N}{\partial x} + \dfrac{\partial \mu}{\partial x} N$$

Reordenando los términos obtenemos la siguiente expresión.

$$\dfrac{\partial \mu}{\partial x} N -\dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{16} \tag{16}$$

Para determinar la función $\mu(x, y)$ debemos resolver esta ecuación diferencial parcial, sin embargo no estamos en condiciones de hacerlo, pues no sabemos resolver ecuaciones diferenciales parciales. Para simplificar el problema vamos a considerar la hipótesis de que la función $\mu$ depende sólo de una variable, consideremos por ejemplo que $\mu$ depende sólo de $x$, así se cumple que

$$\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = \dfrac{d \mu}{dx} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial \mu}{\partial y} = 0$$

Con estas hipótesis la ecuación (\ref{16}) se puede escribir de la siguiente forma.

$$\dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{17} \tag{17}$$

Seguimos en problemas si el cociente de la derecha depende tanto de $x$ como de $y$. En el caso en el que dicho cociente sólo depende de $x$, entonces la ecuación será separable así como lineal.

Supongamos que la ecuación (\ref{17}) sólo depende de la variable $x$, entonces dividimos toda la ecuación por $\mu$ para separar las variables.

$$\dfrac{1}{\mu} \dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$$

Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$.

\begin{align*}
\int{ \dfrac{1}{\mu}\dfrac{d \mu}{dx} dx} &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \\
\ln|\mu (x)| &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx
\end{align*}

Finalmente apliquemos la exponencial en ambos lados de la ecuación.

$$\mu (x) = \exp \left[ \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \right] \label{18} \tag{18}$$

Es totalmente análogo el caso en el que el factor integrante es sólo función de la variable $y$, en este caso se cumple

$$\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial \mu}{\partial y} = \dfrac{d \mu}{dy}$$

Es así que la ecuación (\ref{16}) queda de la siguiente forma.

$$\dfrac{d \mu}{dy} = \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) \mu \label{19} \tag{19}$$

Si el cociente de la derecha sólo depende de la variable $y$, entonces se puede resolver la ecuación (\ref{19}), obteniendo

$$\mu (y) = \exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right] \label{20} \tag{20}$$

Las funciones (\ref{18}) y (\ref{20}) corresponden a la forma del factor integrante que vuelven a la ecuación no exacta en exacta, según las condiciones que se presenten.

A manera de resumen, para el caso en el que la ecuación diferencial

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

no es exacta probamos los siguientes dos casos:

  • Si $$\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$$ es una función sólo de $x$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{14}) es: $$\mu (x) = \exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$
  • Si $$\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$$ es una función sólo de $y$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{14}) es: $$\mu (y) = \exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right]$$

Realicemos un ejemplo para aclarar dudas.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial no exacta.

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x} \right) dx + e^{y/x} dy = 0$$

Solución: Verifiquemos que no es una ecuación exacta, definamos

$$M(x, y) = 1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = e^{y/x}$$

Calculemos las derivadas parciales correspondientes.

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = -\dfrac{1}{x} e^{y/x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x}$$

Como

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

entonces la ecuación diferencial no es exacta. Para hacerla exacta debemos encontrar un factor integrante que dependa de $x$ o de $y$, para ello primero debemos ver si el cociente

$$\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$$

es una función sólo de $x$ o si el cociente

$$\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$$

es una función sólo de $y$. Calculemos ambos cocientes usando los resultados anteriores.

$$\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) = \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x} \right)^{-1} \left( -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} + \dfrac{1}{x} e^{y/x} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \right) = \dfrac{\dfrac{1}{x} e^{y/x}}{1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x}}$$

y

$$\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) = e^{-y/x} \left( -\dfrac{1}{x} e^{y/x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \right) = -\dfrac{1}{x}$$

Este último cociente es el que nos sirve ya que sólo depende de la variable $x$. Calculemos el factor integrante, en este caso corresponde a la expresión (\ref{18}).

\begin{align*}
\mu (x) &= \exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right] \\
&= \exp \left[\int{-\dfrac{1}{x}} dx \right] \\
&= -e^{\ln |x|} \\
&= x^{-1}
\end{align*}

Por lo tanto, el factor integrante es

$$\mu (x)= \dfrac{1}{x}$$

Multipliquemos ambos lados de la ecuación original por el factor integrante.

\begin{align*}
\dfrac{1}{x} \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x} \right) dx + \dfrac{1}{x} e^{y/x} dy &= 0 \\
\left( \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \right) dx +\dfrac{1}{x} e^{y/x} dy &= 0
\end{align*}

Verifiquemos que la última expresión corresponde a una ecuación diferencial exacta. Definamos

$$\hat{M}(x, y) = \mu(x) M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \hat{N}(x, y) = \mu(x) N(x, y)$$

Entonces,

$$\hat{M}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \hat{N}(x, y) = \dfrac{1}{x} e^{y/x}$$

Calculemos las derivadas parciales correspondientes.

\begin{align*}
\dfrac{\partial \hat{M}}{\partial y} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{y/x} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{y/x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial \hat{N}}{\partial x} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{y/x} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{y/x}
\end{align*}

En efecto,

$$\dfrac{\partial \hat{M}}{\partial y} = \dfrac{\partial \hat{N}}{\partial x}$$

La nueva ecuación sí es exacta, esto nos garantiza que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución de la ecuación exacta, dicha función debe satisfacer que

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \hat{M}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = \hat{N}(x, y) = \dfrac{1}{x} e^{y/x}$$

Es nuestra elección que ecuación integrar, sin embargo notamos que la función $\hat{N}(x, y)$ es la más sencilla de integrar, así que integremos esta ecuación con respecto a $y$.

\begin{align*}
\int{ \dfrac{\partial f}{\partial y} dy} &= \int{ \dfrac{1}{x} e^{y/x} dy} \\
f(x, y) &= e^{y/x} + h(x)
\end{align*}

Derivemos parcialmente este resultado con respecto a la variable $x$.

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} + \dfrac{dh}{dx}$$

Pero sabemos que

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \hat{M}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x}$$

Igualemos ambas ecuaciones.

$$\dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{y/x} + \dfrac{dh}{dx}$$

Para que se cumpla esta igualdad es necesario que

$$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

Integremos esta ecuación con respecto a $x$ omitiendo las constantes.

\begin{align*}
\int{ \dfrac{dh}{dx} dx} &= \int {\dfrac{1}{x} dx} \\
h(x) &= \ln |x|
\end{align*}

Sustituimos la función $h(x)$ en la función $f(x, y)$ e igualamos a una constante $c$.

$$f(x, y) = e^{y/x} + \ln |x|= c$$

Apliquemos la función exponencial

\begin{align*}
e^{\left( e^{y/x} + \ln (x) \right)} &= e^{c} \\
e^{e^{y/x}} e^{\ln (x)} &= k \\
e^{e^{y/x}} x &= k
\end{align*}

Donde $k = e^{c}$. Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{y/x} \right) dx + e^{y/x} dy = 0$$

es

$$x e^{e^{y/x}} = k$$

$\square$

Aquí concluimos nuestro estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas (verificar que son exactas).
  • $(2x -5y + 2)dx + (1- 6y -5x)dy = 0$
  • $\left( y -\dfrac{y}{x^{2}}e^{y/x} \right) dx + \left( x + \dfrac{1}{x}e^{y/x} \right) dy = 0$
  • $\left[ \sin(y) + \dfrac{y}{x^{2}} \sin \left( \dfrac{y}{x} \right) \right] dx + \left[ x \cos(y) -\dfrac{1}{x} \sin \left( \dfrac{y}{x} \right) \right] dy = 0$
  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales no exactas.
  • $[e^{x} \cos(y)] dx + [-xe^{x} \sin(y)] dy = 0$
  • $[2x \sin(y) + ye^{xy}] dx + [x \cos(y) + e^{xy}] dy = 0$
  1. En el procedimiento realizado para resolver ecuaciones diferenciales exactas vimos que hay dos posibilidades para llegar a resultados equivalentes. Desarrolla el otro camino y deduce las expresiones (\ref{10}), (\ref{11}) y (\ref{12}).

Más adelante…

Para concluir con nuestro estudio sobre ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, en la siguiente entrada presentaremos la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati, así como sus respectivos métodos de resolución.

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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden – Método por factor integrante

Las matemáticas son el arte de la explicación.
– Paul Lockhart

Introducción

Hasta ahora sólo hemos hecho un análisis cualitativo de las soluciones a distintas ecuaciones diferenciales, esto nos ha permitido tener un panorama general sobre el comportamiento de dichas soluciones y su implicación al tratarse de la descripción de un fenómeno real ya que recordemos que para alguna ecuación diferencial ordinaria de la forma

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \label{1} \tag{1}$$

podemos obtener su campo de pendientes y a través de él trazar una infinidad de funciones que satisfacen la ecuación.

Ahora comenzaremos a desarrollar métodos analíticos para obtener explícitamente las funciones solución de una ecuación diferencial ordinaria. Cabe mencionar que no siempre será posible resolver de manera analítica una ecuación diferencial por lo que el análisis cualitativo siempre será una herramienta alterna que puede ayudar en esos casos.

Sabemos que hay diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, en esta entrada vamos a comenzar con unas de las ecuaciones más sencillas que podemos encontrar, las ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

En la primer entrada hicimos una clasificación por linealidad de las ecuaciones diferenciales. Vimos que una ecuación diferencial de $n$-ésimo orden es lineal si:

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n -1}(x) \dfrac{d^{n -1}y}{dx^{n -1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \label{2} \tag{2}$$

Con las propiedades de que la variable dependiente $y$, así como todas sus derivadas $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}$ son de primer grado y los coeficientes $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$, así como la función $g(x)$ dependen a lo sumo de la variable independiente $x$. Una ecuación que no satisface estas propiedades es una ecuación no lineal.

Las primeras ecuaciones que estudiaremos son las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, reduciendo la ecuación (\ref{2}) a primer orden tenemos la siguiente definición.

Como $a_{1}(x) \neq 0$ (ya que si lo es ya no tendríamos una ecuación diferencial), podemos dividir toda la ecuación por este coeficiente.

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)}$$

Si definimos

$$P(x) = \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} \label{4} \tag{4}$$

podemos reescribir la ecuación (\ref{3}) como

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{5} \tag{5}$$

A esta ecuación se le conoce como la forma canónica y es la definición de ecuación lineal que también encontraremos en la literatura.

Lo que buscamos es una solución de la ecuación diferencial (\ref{5}) en un intervalo $\delta$ donde $P$ y $Q$ sean continuas.

En la forma canónica (\ref{5}), decimos que la ecuación

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \tag{6} \label{6}$$

es la ecuación homogénea, ya que si $g(x) = 0$, entonces $Q(x) = 0$.

Nuestro objetivo es encontrar la forma explícita de la solución $y(x)$ de la ecuación diferencial lineal (\ref{5}). Esta ecuación tiene la propiedad de que la solución general $y(x)$ es la suma de la solución de la ecuación homogénea (\ref{6}) que denotaremos como $y_{h}(x)$ y llamaremos solución homogénea, más la solución de la ecuación no homogénea (\ref{5}) que denotaremos como $y_{p}(x)$ y que llamaremos solución particular, esto es

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) \label{7} \tag{7}$$

Para mostrar este hecho observemos lo siguiente.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x)y &= \dfrac{d}{dx} (y_{h} + y_{p}) + P(x) (y_{h} + y_{p}) \\
&= \left( \dfrac{d y_{h}}{dx} + P(x) y_{h} \right) + \left( \dfrac{d y_{p}}{dx} + P(x) y_{p} \right) \\
&= 0 + Q(x) \\
&= Q(x)
\end{align*}

Ya que

$$\dfrac{d y_{h}}{dx} + P(x) y_{h} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d y_{p}}{dx} + P(x) y_{p} = Q(x)$$

Así, para hallar la forma explícita de $y(x)$ debemos hallar la forma explícita de la solución homogénea $y_{h}(x)$ y la forma explícita de la solución particular $y_{p}(x)$ para finalmente sumar ambos resultados.

Solución a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de primer orden

Comencemos por resolver la ecuación diferencial homogénea (\ref{6}) para obtener la solución homogénea $y_{h}(x)$. La ecuación que queremos resolver es

$$a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0$$

O bien,

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0$$

Realicemos un poco de algebra y cálculo.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= 0 \\
\dfrac{dy}{dx} &= -P(x) y \\
\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} &= -P(x)
\end{align*}

De la última expresión identificamos que

$$\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) = \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx}$$

Sustituimos.

$$\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) = -P(x)$$

Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$.

\begin{align*}
\int \left( \dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) \right) dx &= \int -P(x) dx \\
\ln{|y|} + c &= -\int P(x) dx
\end{align*}

Donde hemos hecho uso del teorema fundamental del cálculo y $c$ es la constante de integración. Apliquemos la exponencial en ambos lados de la ecuación.

\begin{align*}
e^{(\ln{|y|} + c)} &= e^{-\int P(x) dx} \\
e^{\ln{|y|}}e^{c} &= e^{-\int P(x) dx} \\
|y| e^{c} &= e^{-\int P(x) dx} \\
|y| &= e^{-c} e^{-\int P(x) dx} \\
y &= e^{-c} e^{-\int P(x) dx}
\end{align*}

Definimos la constante $k = e^{-c}$, obtenemos finalmente

$$y(x) = k e^{-\int P(x) dx} \label{8} \tag{8}$$

La función (\ref{8}) es solución de la ecuación diferencial homogénea (\ref{6}).

Recordemos que si lo que estamos resolviendo es una ecuación de la forma (\ref{5}), entonces $y(x) = y_{h}(x)$ es la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

Realicemos un ejemplo.

Es buen momento para aconsejar no memorizar los resultados de los métodos de resolución que estudiemos en el curso y en su lugar aplicar el procedimiento para obtener la solución de una ecuación diferencial. Esto, además de ser una buena práctica, nos ayudará a desarrollar la habilidad de identificar y aplicar los distintos métodos que existen para resolver las distintas ecuaciones diferenciales que se nos puedan presentar. Por supuesto, en ocasiones el método se vuelve demasiado extenso y lo conveniente es hacer uso de resultados intermedios para avanzar más rápido.

¡Resolvamos nuestra primer ecuación diferencial!.

Ejemplo: Obtener la solución de la ecuación diferencial homogénea

$$x \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0$$

dada la condición inicial $y(3) = 1$.

Solución: A simple vista verificamos que efectivamente se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea, así que podemos aplicar la teoría desarrollada y no sólo eso, además se trata de un problema de valores iniciales.

Comencemos por dividir la ecuación por $x \neq 0$ para obtener la forma (\ref{6}). El resultado es

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{2}{x} y = 0$$

Identificamos que $P(x) = \dfrac{2}{x}$.

Como dijimos antes, podemos aplicar directamente el resultado (\ref{8}) y listo, sin embargo haremos todo el desarrollo para comprender bien el método.

La ecuación diferencial la podemos reescribir como

$$\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2}{x}$$

Recordando que

$$\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) = \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx}$$

podemos escribir

$$\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) = -\dfrac{2}{x}$$

Integremos ambos lados de la ecuación.

$$\int {\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) dx} = -\int {\dfrac{2}{x} dx}$$

Por un lado tenemos

$$\int {\dfrac{d}{dx} (\ln{|y|}) dx} = \ln{|y|} + c_{1}$$

Por otro lado,

\begin{align*}
\int{P(x) dx} &= \int{\dfrac{2}{x} dx} \\
&= 2 \int{\dfrac{1}{x} dx} \\
&= 2 \ln{|x|} + c_{2}
\end{align*}

Igualando ambos resultados se tiene

$$\ln{|y|} + c_{1} = -(2 \ln{|x|} + c_{2})$$

Si juntamos las dos contantes de integración en una sola podemos escribir

$$\ln{|y|} = -2 \ln{|x|} + k$$

Apliquemos la exponencial en ambos lados.

\begin{align*}
e^{\ln{|y|}} &= e^{ -2 \ln{|x|} + k} \\
|y| &= e^{k} e^{\ln{|x|^{-2}}} \\
y &= Kx^{-2}
\end{align*}

En donde definimos la constante $K = e^{k}$. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial dada es

$$y(x) = \dfrac{K}{x^{2}}$$

con $x$ en cualquier intervalo que no contenga al $0$.

Ahora apliquemos la condición inicial para obtener una solución particular. Se debe satisfacer que $y(3) = 1$, evaluemos la función en $3$ e igualemos a $1$.

$$y(3) = \dfrac{K}{3^{2}} = \dfrac{K}{9} = 1$$

De la última igualdad obtenemos que $K = 9$, por lo tanto la solución particular es

$$y(x) = \dfrac{9}{x^{2}}$$

Nota: Para evitar confusiones cabe mencionar que en el ejemplo cuando hablamos de solución general y solución particular nos referimos al contexto general de las ecuaciones diferenciales donde solución general es la función que satisface la ecuación diferencial y tienen contantes arbitrarias, mientras que la solución particular es la función que satisface la ecuación diferencial y cuyas constantes toman un valor específico, por el contrario no nos referimos a la solución general $y = y_{h} + y_{p}$ y solución particular $y_{p}$ vistos al inicio de esta entrada, pues recordemos que en esta sección estamos estudiando ecuaciones diferenciales homogéneas.

$\square$

En conclusión, ahora sabemos resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de la forma

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0$$

cuya solución general es

$$y(x) = k e^{- \int P(x) dx}$$

Ahora veamos el caso no homogéneo en el que $Q(x) \neq 0$.

Solución a ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden

La ecuación diferencial que intentamos resolver es

$$a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x)$$

O bien,

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Vamos a estudiar dos métodos distintos para resolver este tipo de ecuaciones, uno de ellos es conocido como método por factor integrante y el otro como método por variación de parámetros. Esta entrada la concluiremos con el desarrollo del primer método y en la siguiente entrada estudiaremos el método por variación de parámetros.

Método por factor integrante

Consideremos la ecuación diferencial lineal no homogénea (\ref{5}). El método por factor integrante consiste en encontrar una función $\mu (x)$ que satisfaga la siguiente relación.

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu \dfrac{dy}{dx} + \mu P(x) y = \mu Q(x) \label{9} \tag{9}$$

Es decir, que la derivada del producto de $\mu (x)$ con la solución $y(x)$ sea igual a multiplicar la ecuación original por $\mu$. La función $\mu$ debe ser una función dependiente de $x$ y derivable, de manera que, usando la regla del producto

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu \frac{dy}{dx} + y \dfrac{d\mu}{dx} \label{10} \tag{10}$$

Igualando las ecuaciones (\ref{9}) y (\ref{10}), se tiene

\begin{align*}
\mu \dfrac{dy}{dx} + \mu P(x) y &= \mu \frac{dy}{dx} + y \dfrac{d\mu}{dx} \\
\mu P(x) y &= y \dfrac{d\mu}{dx} \\
\mu P(x) &= \dfrac{d\mu}{dx} \\
P(x) &= \frac{1}{ \mu} \dfrac{d\mu}{dx} \\
P(x) &= \dfrac{d}{dx} (\ln{|\mu}|)
\end{align*}

Integremos la última relación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{d}{dx} (\ln{|\mu}|) \right) dx} &= \int{P(x) dx} \\
\ln{|\mu|} + c_{1} &= \int{P(x) dx}
\end{align*}

En esta ocasión supongamos que $c_{1} = 0$, veremos más adelante que esto no afecta el resultado. Por otro lado, como $e^{x} > 0$ para toda $x$, en particular

$$e^{\int{P(x) dx}} > 0$$

Entonces aplicando la exponencial en ambos lados de la última expresión se obtiene

$$\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}} \tag{11} \label{11}$$

A esta función se le conoce como factor integrante y es siempre positiva.

De la ecuación (\ref{9}) sabemos que

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu Q(x)$$

Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{d}{dx} (\mu y) \right) dx} &= \int{\mu Q(x) dx} \\
\mu y + c_{2} &= \int{\mu Q(x)} dx \\
y &= \dfrac{1}{\mu} \left( \int{\mu Q(x) dx} \right)
\end{align*}

Donde supusimos nuevamente que $c_{2} = 0$. La última expresión ya nos da la solución que buscamos, con $\mu$ el factor integrante.

Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

es

$$y(x) = \dfrac{1}{e^{\int{P(x) dx}}} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right) \label{12} \tag{12}$$

O en una forma más compacta

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right) \label{13} \tag{13}$$

Con $\mu(x)$ el factor integrante (\ref{11}).

El resultado que obtuvimos corresponde a la solución particular $y(x) = y_{p}(x)$, como mencionamos antes, la solución completa o solución general de la ecuación (\ref{5}) es la suma de la solución homogénea más la solución particular

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$$

Así, sumando el resultado (\ref{8}) con el resultado (\ref{12}) obtenemos que la solución completa de la ecuación diferencial (\ref{5}) es

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = k e^{-\int P(x) dx} + e^{-\int P(x) dx} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right)$$

Factorizando

$$y(x) = e^{-\int P(x) dx} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} + k \right) \label{14} \tag{14}$$

O bien, en términos del factor integrante

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu(x)}\left(\int{\mu (x) Q(x) dx} + k \right) \label{15} \tag{15}$$

La ecuación (\ref{15}) es la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En la siguiente entrada mencionaremos el por qué es posible haber tomado como cero a las constantes de integración que aparecieron en el método, sin embargo intenta justificar este hecho con lo visto hasta este momento.

Para concluir realicemos un ejemplo en el que obtengamos la solución homogénea y la solución particular por separado para después sumarlas y obtener la solución general.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = -y + x^{2}$$

Solución: Comenzamos por reescribir la ecuación en la forma canónica (\ref{5}).

$$\dfrac{dy}{dx} + y = x^{2}$$

Identificamos que $P(x) = 1$ y $Q(x) = x^{2}$. Con el valor de $P(x)$ calculemos el factor integrante omitiendo las constantes.

$$\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}} = e^{\int dx} = e^{x}$$

Esto es,

$$\mu (x) = e^{x}$$

La solución homogénea en términos del factor integrante es

$$y_{h}(x) = k e^{-\int P(x) dx} = \dfrac{k}{\mu(x)}$$

Sustituimos el valor del factor integrante.

$$y_{h}(x) = \dfrac{k}{e^{x}} \label{16} \tag{16}$$

Esta función corresponde a la solución de la ecuación homogénea asociada

$$\dfrac{dy}{dx} + y = 0$$

Para obtener la solución particular usemos el resultado (\ref{13}), donde

$$\int{\mu (x)Q(x) dx} = \int{e^{x} x^{2} dx}$$

Resolvamos la integral usando integración por partes con $u(x) = x^{2}$ y $dv(x) = e^{x}$.

$$\int{e^{x} x^{2} dx} = x^{2} e^{x} -\int{2x e^{x} dx}$$

Para la nueva integral volvemos a hacer integración por partes usando $r(x) = x$ y $ds(x) = e^{x}$.

\begin{align*}
\int{e^{x} x^{2} dx} &= x^{2} e^{x} -2 \left(x e^{x} -\int{e^{x} dx}\right) \\
&= x^{2} e^{x} -2x e^{x} + 2e^{x} \\
&= e^{x}\left(x^{2} -2x + 2\right)
\end{align*}

Podemos omitir las contantes de integración. Sustituyamos este resultado en la solución particular.

\begin{align*}
y_{p}(x) &= \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right) \\
&= \dfrac{1}{e^{x}} \left[ e^{x} \left( x^{2} -2x + 2 \right) \right] \\
&= x^{2} -2x + 2 \\
&= x^{2} -2 \left(x-1\right)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea es

$$y_{p}(x) = x^{2} -2(x -1) \label{17} \tag{17}$$

La solución general la obtenemos de sumar los resultados (\ref{16}) y (\ref{17}).

$$y(x) = \dfrac{k}{e^{x}} + \left( x^{2} -2 \left( x -1\right) \right)$$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial dada es

$$y(x) = x^{2} -2 \left(x-1\right) + \dfrac{k}{e^{x}}$$

$\square$

Con esto concluimos esta entrada, en la siguiente estudiaremos el método de variación de parámetros.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, obtener las soluciones generales $y(x)$ calculando primero la solución homogénea $y_{h}(x)$, después la solución particular $y_{p}(x)$ y finalmente sumando los resultados. (Se pueden omitir las constantes de integración en el proceso).
  • $\dfrac{dy}{dx} -y = e^{2x}$
  • $\dfrac{dy}{dx} + y = e^{2x}$
  • $x \dfrac{dy}{dx} + 4y = x^{-3}e^{x}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} = -2xy + 3e^{3x}$
  1. Resolver la siguiente ecuación diferencial sujeta a la condición inicial dada (problema con valores iniciales).
  • $\dfrac{dy}{dx} + y = e^{-x}, \hspace{1cm} y(0) = -\dfrac{1}{4}$.
  1. Resolver el siguiente problema.
  • Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje constante $E_{0}$, un capacitor con capacitancia constante $C$ y un corazón como un resistor con resistencia constante $R$. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor de descarga enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje $E$ a través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal
    $$\dfrac{dE}{dt} = -\dfrac{1}{RC}E$$
    Resolver la ecuación diferencial sujeta a la condición inicial $E(4) = E_{0}$.
  1. Intenta justificar el hecho de que podamos omitir las constantes de integración en los métodos de resolución vistos.

Más adelante…

¡Ya resolvimos analíticamente nuestras primeras ecuaciones diferenciales!. Gran logro.

En la siguiente entrada estudiaremos el método de variación de parámetros para obtener la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea y estableceremos una serie de pasos a seguir para resolver este tipo de ecuaciones sin tener que memorizar las formulas de las soluciones.

Finalmente retomaremos el teorema de existencia y unicidad y lo estudiaremos en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales.

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En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones no lineales de primer orden. En particular, resolvimos ecuaciones diferenciales que llamamos separables. Ahora, en esta nueva entrada resolveremos otro tipo de ecuaciones no lineales que llamaremos ecuaciones diferenciales exactas, que podemos escribir en la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ y donde las funciones $M$ y $N$ cumplen ciertas condiciones que hacen a la ecuación exacta.

Por otro lado, muchas veces las funciones $M$ y $N$ no cumplen las condiciones que hacen a la ecuación diferencial exacta. Revisaremos entonces un método para hacer a las ecuaciones diferenciales exactas. Este método es llamado método del factor integrante, que es bastante similar al método del factor integrante para las ecuaciones lineales no homogéneas, cuyo tema puedes revisar en la siguiente entrada, o ver específicamente el video relacionado aquí.

Ecuaciones exactas

En el primer video introducimos el concepto de ecuación diferencial exacta, y analizamos cuáles son las condiciones que deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que una ecuación sea exacta, esto mediante un teorema de caracterización para este tipo de ecuaciones.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones exactas.

Ecuaciones no exactas y método del factor integrante

En el primer video revisamos el caso cuando una ecuación no satisface las condiciones para ser exacta. Resolvemos este tipo de ecuaciones mediante el método del factor integrante, donde buscamos una función $\mu$ que al multiplicarla por la ecuación diferencial, hace a esta ecuación exacta.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos por el método del factor integrante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que la ecuación diferencial $$2t+y^{2}+(2ty)\frac{dy}{dt}=0$$ es exacta y encuentra su solución.
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial para la ecuación del ejercicio anterior para $y(1)=0$.
  • Determina el valor de $a$ para que la ecuación diferencial $$\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{at+2}{y^{3}}\frac{dy}{dt}=0$$ sea exacta y encuentra su solución.
  • Verifica que $\mu(t)=t$ y $\mu(t,y)=\frac{1}{ty(2t+y)}$ son factores integrantes para la ecuación $$3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0.$$ Es decir, una ecuación diferencial puede tener más de un factor integrante.
  • Encuentra la condición para que un factor integrante $\mu$ de $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ dependa únicamente de $y$ y encuentra la expresión para $\mu(y)$. (Recuerda los pasos que seguimos en el tercer video de esta entrada para el caso $\mu(t)$).
  • Verifica que la ecuación $$3t^{2}y+2ty+y^{3}+(t^{2}+y^{2})\frac{dy}{dt}=0$$ no es exacta; encuentra un factor integrante para esta ecuación y resuélvela.

Más adelante

En la siguiente entrada continuaremos con el estudio a las ecuaciones no lineales de primer orden y revisaremos dos ecuaciones no lineales particulares: la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.

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En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En particular, resolvimos el caso cuando la función $g(t)$ que aparece en la ecuación $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ es la función constante cero.

Ahora veremos el caso no homogéneo, es decir, cuando la función $g(t)$ no es cero. Resolveremos esta ecuación por dos vías distintas. El primer método es mediante la búsqueda de una función que dependa de la variable independiente $t$ que nos ayude a simplificar la ecuación. A esta función la llamaremos factor integrante. El segundo método, llamado variación de parámetros, utiliza la solución general a la ecuación homogénea asociada, para encontrar a su vez la solución general a la ecuación no homogénea.

¡Vamos a comenzar!

Solución a ecuación lineal no homogénea por factor integrante

En el primer video resolvemos la ecuación diferencial $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ como un caso general por el método de factor integrante. En el segundo video resolvemos algunas ecuaciones por el mismo método.

Solución a ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros

En el primer video resolvemos de forma general la ecuación lineal no homogénea, ahora por el método de variación de parámetros. En el segundo video resolvemos dos ecuaciones por este método, una de ellas la resolvimos en la sección anterior por el método de factor integrante, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que la expresión de la solución general para la ecuación lineal homogénea es un caso particular de la solución general de la ecuación lineal no homogénea.
  • Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por los métodos de factor integrante y variación de parámetros: $$\frac{dy}{dt}=y+t^{2}$$ $$\frac{dy}{dt}+y+t+t^{2}+t^{3}=0.$$
  • Intenta resolver la ecuación $t^{2}\frac{dy}{dt}+y=\frac{1}{t}$ con $t>0$, por el método de variación de parámetros. ¿Qué dificultades se presentan? Esto muestra que habrá ocasiones en que alguna ecuación diferencial no podrá ser resuelta por ciertos métodos.
  • Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ soluciones a las ecuaciones diferenciales $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{1}(t)$ y $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{2}(t)$. Prueba que $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}+p(t)y=c_{1}q_{1}(t)+c_{2}q_{2}(t)$, donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.
  • Cuando resolvimos la ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros, encontramos una forma explícita para la suma de soluciones $y_{H}+y_{P}$ donde $y_{H}$ es solución general a la ecuación homogénea y $y_{P}$ es una solución particular a la ecuación no homogénea, y afirmamos que esta nueva solución es la misma que encontramos por el método del factor integrante. Ahora supongamos por un momento que no conocemos el método del factor integrante. Argumenta por qué $y_{H}+y_{P}$ es solución general a la ecuación no homogénea. (Hint: Utiliza el ejercicio anterior).
  • Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dT}{dt}=-50(T(t)-30)$ con condición inicial $T(0)=75$.

Más adelante

Hasta el momento hemos estudiado diversos tipos de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista cualitativo y también analítico. Sin embargo, muchos de los resultados a los que hemos llegado tienen una justificación que aún no hemos revisado a detalle. Dicha justificación está dada por el Teorema de existencia y unicidad.

En la siguiente entrada demostraremos una primera versión de este teorema, enfocado en ecuaciones lineales de primer orden, que son las ecuaciones que hemos estudiado en los últimos videos.

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