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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones exactas

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones no lineales de primer orden. En particular, resolvimos ecuaciones diferenciales que llamamos separables. Ahora, en esta nueva entrada resolveremos otro tipo de ecuaciones no lineales que llamaremos ecuaciones diferenciales exactas, que podemos escribir en la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ y donde las funciones $M$ y $N$ cumplen ciertas condiciones que hacen a la ecuación exacta.

Por otro lado, muchas veces las funciones $M$ y $N$ no cumplen las condiciones que hacen a la ecuación diferencial exacta. Revisaremos entonces un método para hacer a las ecuaciones diferenciales exactas. Este método es llamado método del factor integrante, que es bastante similar al método del factor integrante para las ecuaciones lineales no homogéneas, cuyo tema puedes revisar en la entrada Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros, o ver específicamente el video relacionado aquí.

Ecuaciones exactas

En el primer video introducimos el concepto de ecuación diferencial exacta, y analizamos cuáles son las condiciones que deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que una ecuación sea exacta, esto mediante un teorema de caracterización para este tipo de ecuaciones.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones exactas.

Ecuaciones no exactas y método del factor integrante

En el primer video revisamos el caso cuando una ecuación no satisface las condiciones para ser exacta. Resolvemos este tipo de ecuaciones mediante el método del factor integrante, donde buscamos una función $\mu$ que al multiplicarla por la ecuación diferencial, hace a esta ecuación exacta.

En el segundo video resolvemos un par de ejemplos por el método del factor integrante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que la ecuación diferencial $2t+y^{2}+(2ty)\frac{dy}{dt}=0$ es exacta y encuentra su solución.
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial para la ecuación del ejercicio anterior para $y(1)=0$.
  • Determina el valor de $a$ para que la ecuación diferencial $\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{at+2}{y^{3}}\frac{dy}{dt}=0$ sea exacta y encuentra su solución.
  • Verifica que $\mu(t)=t$ y $\mu(t,y)=\frac{1}{ty(2t+y)}$ son factores integrantes para la ecuación $3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0$. Es decir, una ecuación diferencial puede tener más de un factor integrante.
  • Encuentra la condición para que un factor integrante $\mu$ de $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$ dependa únicamente de $y$ y encuentra la expresión para $\mu(y)$. (Recuerda los pasos que seguimos en el tercer video de esta entrada para el caso $\mu(t)$).
  • Verifica que la ecuación $3t^{2}y+2ty+y^{3}+(t^{2}+y^{2})\frac{dy}{dt}=0$ no es exacta; encuentra un factor integrante para esta ecuación y resuélvela.

Más adelante

En la siguiente entrada continuaremos con el estudio a las ecuaciones no lineales de primer orden y revisaremos dos ecuaciones no lineales particulares: la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En particular, resolvimos el caso cuando la función $g(t)$ que aparece en la ecuación $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ es la función constante cero.

Ahora veremos el caso no homogéneo, es decir, cuando la función $g(t)$ no es cero. Resolveremos esta ecuación por dos vías distintas. El primer método es mediante la búsqueda de una función que dependa de la variable independiente $t$ que nos ayude a simplificar la ecuación. A esta función la llamaremos factor integrante. El segundo método, llamado variación de parámetros, utiliza la solución general a la ecuación homogénea asociada, para encontrar a su vez la solución general a la ecuación no homogénea.

Vamos entonces a comenzar el estudio de estas ecuaciones.

Solución a ecuación lineal no homogénea por factor integrante

En el primer video resolvemos la ecuación diferencial $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ como un caso general por el método de factor integrante. En el segundo video resolvemos algunas ecuaciones por el mismo método.

Solución a ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros

En el primer video resolvemos de forma general la ecuación lineal no homogénea, pero ahora por el método de variación de parámetros. En el segundo video resolvemos dos ecuaciones por este método, una de ellas la resolvimos en la sección anterior por el método de factor integrante, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que la expresión de la solución general para la ecuación lineal homogénea es un caso particular de la solución general de la ecuación lineal no homogénea.
  • Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por los métodos de factor integrante y variación de parámetros:
  1. $\frac{dy}{dt}=y+t^{2}$
  2. $\frac{dy}{dt}+y+t+t^{2}+t^{3}=0$
  • Intenta resolver la ecuación $t^{2}\frac{dy}{dt}+y=\frac{1}{t}$ con $t>0$, por el método de variación de parámetros. ¿Qué dificultades se presentan? Esto muestra que habrá ocasiones en que alguna ecuación diferencial no podrá ser resuelta por ciertos métodos.
  • Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ soluciones a las ecuaciones diferenciales $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{1}(t)$ y $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{2}(t)$. Prueba que $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}+p(t)y=c_{1}q_{1}(t)+c_{2}q_{2}(t)$, donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.
  • Cuando resolvimos la ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros, encontramos una forma explícita para la suma de soluciones $y_{H}+y_{P}$ donde $y_{H}$ es solución general a la ecuación homogénea y $y_{P}$ es una solución particular a la ecuación no homogénea, y afirmamos que esta nueva solución es la misma que encontramos por el método del factor integrante. Ahora supongamos por un momento que no conocemos el método del factor integrante. Argumenta por qué $y_{H}+y_{P}$ es solución general a la ecuación no homogénea. (Hint: Utiliza el ejercicio anterior).
  • Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dT}{dt}=-50(T(t)-30)$ con condición inicial $T(0)=75$.

Más adelante

Hasta el momento hemos estudiado diversos tipos de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista cualitativo y también analítico. Sin embargo, muchos de los resultados a los que hemos llegado tienen una justificación que aún no hemos revisado a detalle. Dicha justificación está dada por el famoso Teorema de existencia y unicidad.

En la siguiente entrada demostraremos una primera versión de este teorema, enfocado en ecuaciones lineales de primer orden, que son las ecuaciones que hemos estudiado en los últimos videos.

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