Geometría Moderna I: Paralelogramos

Introducción

En esta entrada presentamos a el primer tipo de cuadriláteros que estudiaremos, los paralelogramos, algunas de sus propiedades serán frecuentemente usadas durante el curso.

Definición 1. Un cuadrilátero es una figura geométrica que consiste en cuatro vértices y cuatro lados. Si los vértices de un cuadrilátero son $A$ , $B$ , $C$ y $D$ y los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ entonces lo denotamos como $A B C D$ .

Decimos que los lados de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos de acuerdo a si tienen o no un vértice en común.

Similarmente diremos que los vértices de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos si son extremos de un mismo lado o no. Los segmentos que unen vértices opuestos son las diagonales del cuadrilátero.

Un cuadrilátero es convexo si sus diagonales se intersecan en el interior del cuadrilátero.

Proposición 1. La suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero convexo es $2 π$ .

Demostración. Sea $A B C D$ convexo, consideremos $B D$ , entonces la suma de los ángulos internos del cuadrilátero será igual a la suma de los ángulos internos de los dos triángulos $△ A B D$ y $△ C B D$ , esto es, $2 π$ .

Algunas propiedades de paralelogramos

Definición 2. Un paralelogramo es un cuadrilátero convexo cuyos pares de lados opuestos son paralelos.

Teorema 1. En todo paralelogramo se cumple lo siguiente:

los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales,
los ángulos adyacentes son suplementarios,
cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes,
las dos diagonales del paralelogramo lo dividen en dos parejas de triángulos congruentes,
las diagonales se intersecan en su punto medio.

Demostración. Sea $A B C D$ un paralelogramo.

Como la diagonal $B D$ es transversal a $A B$ y $D C$ y estos son paralelos, entonces $∠ D B A = ∠ B D C$ .

Similarmente $B D$ es transversal a $A D$ y a $B C$ , por lo que $∠ A D B = ∠ C B D$ .

$△ A B D$ y $△ C D B$ tienen en común al lado $B D$ y por criterio ALA, $△ A B D ≅ △ C D B$ .

Es decir,
$A B = C D$ , $A D = C B$ y $∠ A = ∠ C$ ,
además $∠ D = ∠ A D B + ∠ B D C = ∠ C B D + ∠ D B A = ∠ B$ .

Así los lados y ángulos opuesto son iguales.

Veamos que los los ángulos adyacentes son suplementarios,
$∠ A + ∠ B = ∠ A + ∠ C B D + ∠ D B A$
$= ∠ A + ∠ A D B + ∠ D B A = π$ .

Similarmente,
$∠ A + ∠ D = ∠ C + ∠ B = ∠ C + ∠ D = π$ .

Por otro lado, si consideramos la diagonal $A D$ , al igual que en el caso anterior, tendremos que $∠ B A C = ∠ D C A$ y $∠ C A D = ∠ A C B$ .

Sea $E = A C \cap B D$ , por criterio ALA, $△ E A B ≅ △ E C B$ y $△ E A D ≅ △ E C B$ , por lo que $A E = C E$ y $B E = D E$ .

Rectángulo

Definición 3. Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.

Proposición 2. Todo rectángulo es paralelogramo.

Demostración. Como dos lados opuestos son perpendiculares a un tercer lado entonces son paralelos entre sí. Similarmente los otros dos lados opuestos son paralelos entre sí. Por lo tanto, un rectángulo es paralelogramo.

Proposición 3. Un paralelogramo es rectángulo si y solo si sus diagonales tienen la misma longitud.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y supongamos que $A C = B D$ .

Por el teorema anterior, $A D = B C$ , y los triángulos $△ A D C$ y $△ B C D$ comparten a $C D$ como lado en común, por criterio LLL, $△ A D C ≅ △ B C D$ , en particular $∠ C = ∠ D$ .

Pero por el teorema 1, $∠ A = ∠ C$ y $∠ B = ∠ D$ .

Por tanto, $∠ A = ∠ C = ∠ D = ∠ B$ .

Por la proposición 1,
$4 ∠ A = ∠ A + ∠ C + ∠ B + ∠ D = 2 π$
$\Rightarrow ∠ A = ∠ C = ∠ B = ∠ D = \frac{π}{2}$ .

Así, $A B C D$ es rectángulo.

Ahora supongamos que $A B C D$ es rectángulo y probemos que $A C = B D$ .

Por hipótesis $∠ D = ∠ C$ , como $A B C D$ es paralelogramo entonces $A D = B C$ , además $C D$ es un lado en común de $△ A D C$ y $△ B C D$ , por criterio LAL, $△ A D C ≅ △ B C D$ .

Por lo tanto, $A C = B D$ .

Rombo

Definición 4. Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales.

Proposición 4. Todo rombo es paralelogramo.

Demostración. Sea $A B C D$ un rombo.

Por criterio LLL, $△ A B D ≅ △ C D B$ , en particular $∠ A D B = ∠ C B D$ , como $B D$ es transversal a $A D$ y a $B C$ y los ángulos alternos internos son iguales entonces $A D ∥ B C$ .

De manera similar se ve que $A B ∥ C D$ .

Concluimos que $A B C D$ es paralelogramo.

Proposición 5. Un paralelogramo es un rombo si y solo si sus diagonales son perpendiculares.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y supongamos que $A C ⊥ B D$ , veamos que es rombo.

Sea $E = A C \cap B D$ , por hipótesis $∠ D E A = ∠ A E B$ , como $A B C D$ es paralelogramo, por el teorema 1, $B E = D E$ , además $A E$ es un lado en común de $△ A E D$ y $△ A E B$ , por criterio LAL, $△ A E D ≅ △ A E B$ , en particular $A D = A B$ .

Como $A B C D$ es paralelogramo los lados opuestos son iguales, por lo tanto, $C D = A B = A D = B C$ .

Así, $A B C D$ es rombo.

Ahora supongamos que $A B C D$ es rombo veamos que $A C ⊥ B D$ .

Sea $E = A C \cap B D$ , como $A B C D$ es paralelogramo, $B E = D E$ , por criterio LLL, $△ A B E ≅ △ A D E$ , por lo que $∠ A E B = ∠ D E A$ .

Por ser opuestos por el vértice, $∠ A E B = ∠ C E D$ y $∠ D E A = ∠ B E C$ , por lo que $∠ C E D = ∠ A E B = ∠ D E A = ∠ B E C$ , y como $∠ C E D + ∠ A E B + ∠ D E A + ∠ B E C = 2 π$ , entonces $∠ C E D = ∠ A E B = ∠ D E A = ∠ B E C = \frac{π}{2}$ .

Por lo tanto, $A C ⊥ B D$ .

Segmento medio del triángulo

Proposición 6. Si un cuadrilátero convexo tiene un par de lados opuestos paralelos e iguales entre si entonces los restantes lados opuestos son paralelos e iguales entre sí.

Demostración. Sea $A B C D$ convexo tal que $A D = B C$ y $A D ∥ B C$ .

Tracemos $B D$ , como $A D ∥ B C$ entonces $∠ A D B = ∠ C B D$ , por criterio LAL, $△ A D B ≅ △ C B D$ , en particular $A B = C D$ y $∠ D B A = ∠ B D C$ .

Como $B D$ es transversal a $A B$ y a $C D$ y $∠ D B A = ∠ B D C$ , entonces $A B ∥ C D$ .

En consecuencia, $A B C D$ es paralelogramo.

Teorema 2. Del segmento medio del triángulo. El segmento que une puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo e igual a la mitad del lado restante.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $M$ y $N$ los puntos medios de $A B$ y $A C$ respectivamente.

Extendemos $M N$ hasta un punto $O$ del lado de $N$ tal que $M N = N O$ .

Como $N$ es punto medio de $A C$ entonces $A N = C N$ , por construcción $M N = N O$ y $∠ A N M = ∠ C N O$ por ser opuestos por el vértice.

Por criterio LAL, $△ A N M ≅ △ C N O$ por lo que $C O = A M = B M$ y $∠ N M A = ∠ N O C$ .

Como $M O$ es transversal a $A B$ y a $C O$ y los ángulos alternos internos $∠ N M A$ , $∠ N O C$ son iguales entonces $A B ∥ C O$ .

En el cuadrilátero $M B C O$ los lados opuestos $M B$ y $C O$ son paralelos e iguales, por la proposición 6, $M O ∥ B C$ y $M O = B C$ pero $M N = \frac{M O}{2}$ .

Por lo tanto $M N = \frac{B C}{2}$ y $M N ∥ B C$ .

Problema de Thébault

Definición 5. Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. Decimos que la intersección de las diagonales de un cuadrado es el centro del cuadrado.

Teorema 3. Los centros de cuadrados construidos externamente sobre los lados de un paralelogramo son los vértices de un cuadrado y las diagonales del cuadrado y las del paralelogramo son concurrentes.

Demostración. Sea $A B C D$ paralelogramo y sean $A B B^{″} A^{'}$ , $B C C^{″} B^{'}$ , $C D D^{″} C^{'}$ y $A D D^{'} A^{″}$ cuadrados construidos sobre $A B$ , $B C$ , $C D$ y $D A$ respectivamente y $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{4}$ sus respectivos centros.

Como un cuadrado es un caso particular de un rectángulo y un rombo, sus diagonales son perpendiculares y tienen la misma longitud, y como es un paralelogramo las diagonales se bisecan.

De esto concluimos que las diagonales de un cuadrado lo dividen en cuatro triángulos rectángulos, isósceles y congruentes entre sí.

Por otro lado, como $A B C D$ es paralelogramo entonces $A D = B C$ y $A B = C D$ .

$\Rightarrow$
$\begin{matrix} (1) & △ A A^{'} O_{1} ≅ △ A B O_{1} ≅ △ C D O_{3} ≅ △ C C^{'} O_{3}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & △ A A^{″} O_{4} ≅ △ A D O_{4} ≅ △ B C O_{2} ≅ △ C C^{″} O_{2} . \end{matrix}$

Por ser $A B C D$ paralelogramo,
$∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ , $∠ A + ∠ B = π$ .

Veamos que $△ A O_{1} O_{4}$ y $△ C O_{3} O_{2}$ son congruentes.

Por $(1)$ , $A O_{1} = C O_{3}$ , por $(2)$ , $A O_{4} = C O_{2}$ ,
notemos que $∠ A^{″} A A^{'} = π - ∠ A = ∠ B = ∠ D = π - ∠ C = ∠ C^{″} C C^{'}$ .

$\Rightarrow ∠ O_{4} A O_{1} = ∠ O_{4} A A^{″} + ∠ A^{″} A A^{'} + ∠ A^{'} A O_{1}$
$= ∠ O_{2} C C^{″} + ∠ C^{″} C C^{'} + ∠ C^{'} C O_{3} = ∠ O_{2} C O_{3}$

Por criterio LAL, $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ C O_{3} O_{2}$ , por lo que $O_{1} O_{4} = O_{2} O_{3}$ .

De manera similar se muestra que $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ B O_{1} O_{2} ≅ △ D O_{3} O_{4}$ , y así,
$\begin{matrix} (3) & O_{2} O_{3} = O_{1} O_{4} = O_{1} O_{2} = O_{3} O_{4} . \end{matrix}$

Como $△ A O_{1} O_{4} ≅ △ B O_{1} O_{2}$ , entonces $∠ A O_{1} O_{4} = ∠ B O_{1} O_{2}$ .

$\Rightarrow ∠ O_{2} O_{1} O_{4} = ∠ B O_{1} O_{4} - ∠ B O_{1} O_{2}$
$= ∠ B O_{1} A + ∠ A O_{1} O_{4} - ∠ B O_{1} O_{2} = ∠ B O_{1} A = \frac{π}{2}$ .

De manera similar se ve que
$\begin{matrix} (4) & ∠ O_{1} O_{4} O_{3} = ∠ O_{4} O_{3} O_{2} = ∠ O_{3} O_{2} O_{1} = ∠ A O_{1} O_{4} = \frac{π}{2} . \end{matrix}$ .

Como $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ tienen cuatro lados iguales por $(3)$ , y cuatro ángulos rectos por $(4)$ , entonces es un cuadrado.

Veamos que las cuatro diagonales son concurrentes, consideremos $O_{2} O_{4}$ diagonal del cuadrado y $B D$ diagonal del paralelogramo.

Sea $E = O_{2} O_{4} \cap B D$ . En $△ E B O_{2}$ y $△ E D O_{4}$ tenemos que $∠ B E O_{2} = ∠ D E O_{4}$ por ser opuestos por el vértice, $∠ O_{2} B E = ∠ O_{2} B C + ∠ C B D = ∠ O_{4} D A + ∠ A D B$ .

Por lo tanto, $∠ E O_{2} B = ∠ E O_{4} D$ , además $B O_{2} = D O_{4}$ .

Por criterio LAL, $△ E B O_{2} ≅ △ E D O_{4}$ , por lo que $B E = D E$ y $O_{2} E = O_{4} E$
$\Rightarrow O_{2} O_{4}$ y $B D$ se intersecan en su punto medio.

Como $A B C D$ y $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ son paralelogramos sus diagonales se intersecan en su punto medio y por lo anterior todas concurren en $E$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos un resultado muy importante de las matemáticas, el teorema de Pitágoras y algunas aplicaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que si un cuadrilátero convexo tiene alguna de las siguientes características entonces es un paralelogramo.
$i)$ los dos pares de lados opuestos son iguales,
$i i)$ los dos pares de ángulos opuestos son iguales,
$i i i)$ los ángulos adyacentes son suplementarios,
$i v)$ las diagonales se bisecan.
Construye un cuadrado sobre un segmento dado.
Si trazamos rectas paralelas a los lados de un paralelogramo por un punto de una de sus diagonales se forman 4 cuadriláteros, muestra que los dos cuadriláteros por donde no pasa la diagonal tienen la misma área.

Demuestra que si una recta biseca a un lado de un triangulo y es paralela a otro de los lados del triangulo entonces biseca al lado restante.
$i)$ Muestra que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista a los tres vértices del triangulo.
$i i)$ Recíprocamente prueba que si en un triangulo un punto en uno de sus lados equidista a los tres vértices entonces el triángulo es rectángulo.
Prueba que si construimos triángulos equiláteros exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, entonces los cuatro vértices construidos son los vértices de un paralelogramo, y muestra que las diagonales de los dos paralelogramos son concurrentes.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Desigualdad del triángulo y lugar geométrico.
Siguiente entrada del curso: Teorema de Pitágoras.
Otros cursos.

Fuentes

Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 1-6.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 6.
Wikipedia
Geometría interactiva
Geometry Help
Cut the Knot
Wolfram MathWorld

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Geometría Moderna I: Paralelogramos

Introducción

Algunas propiedades de paralelogramos

Rectángulo

Rombo

Segmento medio del triángulo

Problema de Thébault

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Introducción

Algunas propiedades de paralelogramos

Rectángulo

Rombo

Segmento medio del triángulo

Problema de Thébault

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Comparte esto:

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta