Archivo del Autor: Rubén Alexander Ocampo Arellano

Geometría Moderna I: Cuadriláteros cíclicos

Introducción

Definición 1. Si los vértices de un polígono están en una misma circunferencia decimos que está inscrito en ella o que es cíclico.

Sabemos que para un triángulo cualquiera siempre existe una única circunferencia en la que el triángulo está inscrito y cuyo centro es el punto en el que concurren las mediatrices de los lados del triángulo. Para un cuadrilátero cualquiera esto no siempre es posible, aquí veremos algunas condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero sea cíclico y algunos otros resultados.

Algunas caracterizaciones

Teorema 1. (a) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios.

Demostración. Sea$\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en $(O, r)$, los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ son subtendidos por los arcos $\overline{AC}$ y $\overline{CA}$ respectivamente y por el Teorema de la medida del ángulo inscrito tenemos que $\measuredangle ADC + \measuredangle CBA = \dfrac{\measuredangle AOC}{2} + \dfrac{\measuredangle COA}{2} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

De manera análoga se ve que $\angle BAD$ y $\angle DCB$ son suplementarios, por lo tanto, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.

Ahora supongamos que los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ de $\square ABCD$ son suplementarios, consideremos el par de puntos fijos $A$ y $C$ entonces el lugar geométrico de los puntos $D’$ tales que el ángulo $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle CBA$ son dos arcos de circunferencia que son simétricos con respecto a $\overline{AC}$.

Por otra parte, en el circuncírculo $(O, OB)$ de $\triangle ABC$, sabemos que todos los puntos $D’ \in \overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ cumplen que $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle ABC$ (entrada ángulos en la circunferencia, tarea moral, ejercicio 2) y como $(O, OB)$ es única se tiene que $A, B, C, D \in (O, OB)$.

Por lo tanto, $\square ABCD$ es cíclico.

$\blacksquare$

(b) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si uno de los pares de ángulos formados uno con una diagonal y un lado y el otro con la otra diagonal y el lado opuesto son iguales.

(c) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si las mediatrices de los cuatro lados del cuadrilátero son concurrentes.

La prueba de estas dos últimas proposiciones queda como ejercicio.

Definición 2. Sean $l_{1}$, $l_{2}$ y $l_{3}$, $l_{4}$ dos pares de rectas tales que la bisectriz del primer par es transversal al segundo par y forma ángulos internos iguales entonces decimos que $l_{3}$ y $l_{4}$ son antiparalelas con respecto a $l_{1}$ y  $l_{2}$.

Observación. Dos rectas paralelas también pueden ser antiparalelas entre sí, por ejemplo, en un trapecio isósceles la bisectriz del par de lados que no son paralelos es perpendicular al par de lados paralelos.

En el caso de dos rectas paralelas diferentes decimos que su bisectriz es la recta que equidista de ellas. Con esto podemos decir que en un rectángulo cualquier par de lados opuestos son antiparalelos con respecto al otro.

Teorema 2. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si un par de lados opuestos es antiparalelo respecto al otro par de lados opuestos.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente.

Por el Teorema 1 (a) sabemos que $\measuredangle DCB + \measuredangle BAD = \pi$ pero $\measuredangle FAE + \measuredangle DAB = \pi$, por lo tanto $\measuredangle DCB = \measuredangle FAE$ y como $\measuredangle FED = \measuredangle AEF$ los triángulos $\triangle AEF$ y $\triangle CEG$ son similares.

Luego $\measuredangle EFA = \measuredangle CGE$ pero $\measuredangle EFA = \measuredangle GFD$ por ser opuestos por el vértice por lo tanto $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$.

$\blacksquare$

La prueba para la proposición reciproca es exactamente la misma, pero intercambiando la dirección de los argumentos.

Corolario. Si se prolongan los lados de un cuadrilátero cíclico las bisectrices de los ángulos formados por los lados opuestos son perpendiculares entre sí.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente y $H$ la intersección de $\overline{DA}$ con $\overline{BC}$ como en la imagen anterior.

Como $\square ABCD$ es cíclico por el Teorema 2 se tiene que $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$ por lo tanto $\triangle GHF$ es isósceles y por lo tanto la bisectriz de $\angle GHF$ coincide con la mediatriz de $\overline{FG}$ por lo tanto las bisectrices de $\angle BHA$ y $\angle CEB$ son perpendiculares.

$\blacksquare$

Teorema de Ptolomeo

Teorema 3. En todo cuadrilátero convexo la suma de los productos entre lados opuestos es mayor o igual a el producto de las diagonales.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero, construyamos sobre el segmento $\overline{AB}$ un triángulo $\triangle ABE$ semejante a $\triangle ADC$ tal que $\measuredangle ABE = \measuredangle CAD$ y $\measuredangle BAE = \measuredangle CAD$ entonces tenemos que  $\dfrac{EA}{CA} = \dfrac{BA}{DA}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{CA}{DA}$.

De la última igualdad y dado que $\measuredangle CAE = \measuredangle BAD$, por criterio lado, ángulo, lado, los triángulos $\triangle EAC$ y $\triangle BAD$ son semejantes entonces de la primera y segunda relaciones de semejanza tenemos que
$\dfrac{EB}{CD} = \dfrac{AB}{AD}$ y $\dfrac{EC}{BD} = \dfrac{AC}{AD}$  $\Leftrightarrow$ $EB = \dfrac{AB \times CD}{AD}$ y $EC = \dfrac{AC \times BD}{AD}$.

Ahora notemos que tenemos dos casos:

Caso 1. $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE = \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico, y en tal caso $EC = EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{AC \times BD}{AD} = \dfrac{AB \times CD}{AD} + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$.

Caso 2. $E$, $B$ y $C$ son tres puntos no colineales $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE \ne \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ no es cíclico, entonces aplicando la desigualdad del triángulo a $\triangle EBC$ tenemos que $EC < EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD < AB \times CD + AD \times BC$.

Finalmente tenemos que $AB \times CD + AD \times BC \geq AC \times BD$.

$\blacksquare$

Nota: El Teorema de Ptolomeo es el caso en el que se da la igualdad y notemos que el reciproco también es cierto pues si suponemos que la igualdad $AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD$ es cierta, pero $\square ABCD$ no es cíclico entonces se da la desigualdad lo que es una contradicción.

Problema. Construir un cuadrilátero convexo y cíclico dados sus cuatro lados $a$, $b$, $c$ y $d$.

Solución. Notemos primero que es necesario que la suma de cualesquiera tres de los lados dados sea mayor que el lado restante pues si un lado es mayor que la suma de los otros tres no es posible construir ningún cuadrilátero y si es igual entonces solo es posible construir un cuadrilátero degenerado donde todos los vértices están alineados y en tal caso el cuadrilátero no será cíclico.

Supongamos que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$, la prueba del Teorema anterior nos sugiere una manera de resolver este problema, trazamos el segmento $\overline{BC}$ y lo extendemos del lado de $B$ hasta un punto $E$ tal que $EB = \dfrac{ac}{d}$, el cual es posible construir pues sabemos construir el producto de dos magnitudes y el inverso de una magnitud dadas.

Aquí estamos usando que $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico y que los triángulos $\triangle ABE$ y $\triangle ADC$ son semejantes como en la prueba anterior. La razón de semejanza está dada por $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{ac}{dc} = \dfrac{a}{d}$.

Esto último nos dice que la razón entre las distancias de $A$ a los puntos $E$ y $C$ es una razón fija por lo tanto $A$ esta en la circunferencia de Apolonio determinada por $O$, $C$ y la razón $\dfrac{a}{d}$.

Por otro lado, el vértice $A$ se encuentra en la circunferencia con centro en $B$ y radio $a$, por lo tanto, $A$ esta determinado por la intersección de $(B, a)$ y la circunferencia de Apolonio mencionada.

Ahora que conocemos la diagonal $\overline{AC}$ podemos completar el triángulo $\triangle ACD$ trazando circunferencias $(A, d)$ y $(C, c)$, una de las intersecciones será el cuarto vértice del cuadrilátero buscado.

$\blacksquare$

Algunas propiedades

Teorema 4. Las perpendiculares trazada desde los puntos medios de un cuadrilátero cíclico a los correspondientes lados opuestos son concurrentes.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respectivamente consideremos $O$ y $J$ el circuncentro y el centroide respectivamente de $\square ABCD$.

Notemos que la recta que pasa por $\overline{OF}$ es perpendicular a $\overline{BC}$ pues $\triangle BOC$ es un triángulo isósceles donde $BO = OC$ y $\overline{OF}$ es la mediana relativa a  $\overline{BC}$ y por tanto coincide con la altura trazada desde $O$.

La perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ interseca a $\overline{BC}$ en $H’$, $HH´$ interseca a la recta determinada por $O$ y $J$ en $M$.

Como $\overline{OF} \parallel \overline{HH’}$ $\measuredangle JFO = \measuredangle JHM$ y además $\measuredangle OJF = \measuredangle MJH$ por ser opuestos por el vértice, así tenemos que $\triangle JFO$ y $\triangle JHM$ son semejantes y como $J$ biseca a $HF$ entonces $JO = JM$, en otras palabras, $\overline{HH}$’ pasa por $M$ que es el punto simétrico de $O $ respecto a $J$.

De manera similar podemos ver que las rectas $\overline{EE’}$, $\overline{FF’}$ y $\overline{GG’}$ pasan por $M$, por lo tanto, son concurrentes.

$\blacksquare$

Definición 3. Nos referiremos al simétrico del circuncentro de un cuadrilátero cíclico respecto de su centroide como el anticentro del cuadrilátero cíclico.

Lema. En un triángulo la distancia de uno de sus lados al circuncentro es igual a la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro del triángulo.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $O$ y $H$ el circuncentro y ortocentro del triángulo respectivamente, consideremos también $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $E$ el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $O$ como en la imagen.

$\triangle BCD$ es recto pues $\overline{CD}$ es diámetro, entonces $\overline{DB} \parallel \overline{OE}$ y como $O$ es el punto medio de $\overline{CD}$ entonces $\overline{OB}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ (entrada rectas y puntos notables del triangulo, tarea moral, ejercicio 2) y así $OE = \dfrac{DB}{2}$.

Por otro lado, $\overline{AH}$ y $\overline{DB}$ son ambos perpendiculares a $\overline{BC}$ así que $\overline{AH} \parallel \overline{DB}$ y como $\angle DAC$ es recto entonces $\overline{DA} \parallel \overline{BH}$, así que $\square ADBH$ es un paralelogramo, por lo tanto, $AH = DB = 2OE$.

$\blacksquare$

Teorema 5. Los ortocentros de los triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un cuadrilátero simétrico al cuadrilátero original respecto del anticentro.

Demostración. Sean $\square ABCD$ cíclico y $H_{a}$, $H_{b}$, $H_{c}$ y $H_{d}$ los ortocentros de $\triangle BCD$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ respectivamente y $F$ el punto medio de $\overline{BC}$.

Por el Lema anterior y considerando los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DBC$ tenemos que $AH_{d} = 2OF = DH_{a}$, además $\overline{AH_{d}}$ y $\overline{DH_{a}}$ son perpendiculares a $\overline{BC}$ por lo tanto $\overline{AH_{d}} \parallel \overline{DH_{a}}$ de esto se sigue que $\square AH_{d}H_{a}D$ es un paralelogramo, así que las diagonales $\overline{AH_{a}}$ y $\overline{DH_{d}}$ se intersecan en su punto medio.

De manera análoga se ve que $\overline{AH_{a}}$ y los segmento $\overline{BH_{b}}$, $\overline{CH_{c}}$, se intersecan en su punto medio. Por lo tanto, estos cuatro segmentos se bisecan mutuamente, es decir el punto de intersección $X$ es el centro de simetría de $\square ABCD$ y $\square H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$.

Ahora en $\triangle AH_{d}D$ consideremos la recta que pasa por $H$ el punto medio de $\overline{DA}$ y el centro de simetría $X$, como esta recta también pasa por el punto medio de $\overline{H_{d}D}$ entonces es paralela a $\overline{AH_{d}}$, por lo tanto, $\overline{HX}$ es la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ por el Teorema 4 sabemos que $\overline{HH’}$ pasa por $M$ el anticentro de $\square ABCD$, donde $H’$ es el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ por $H$.

De manera análoga $\overline{EX}$, $\overline{FX}$ y $\overline{GX}$ pasan por $M$, por lo tanto, $X = M$.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Demuestra los incisos (b) y (c) del Teorema 1.
  2.  Sea $\ ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto medio de $\overset{\LARGE{\frown}}{BA}$, es decir el punto $E \in \overset{\LARGE{\frown}}{BA}$ tal que $\overset{\LARGE{\frown}}{BE} = \overset{\LARGE{\frown}}{EA}$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$, $\overset{\LARGE{\frown}}{DC}$ y $\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$ respectivamente, muestra que $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son perpendiculares.
  1. Como podrás haber notado nuestra construcción del cuadrilátero cíclico no es única pues partimos de una suposición arbitraria, que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$ para $a$, $b$, $c$ y $d$ dados. Analiza cuantos cuadriláteros cíclicos más es posible construir y cuantas diagonales distintas resultan de estos cuadriláteros.
  2. Demuestra que los centroides de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico son los vértices de otro cuadrilátero cíclico.
  3. Demuestra que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un rectángulo.
  4. Muestra que la suma de los cuadrados de las distancias del anticentro de un cuadrilátero cíclico a los cuatro vértices es igual al cuadrado del diámetro de la circunferencia en la que esta inscrito dicho cuadrilátero.
  5. Muestra que el anticentro de un cuadrilátero cíclico es el ortocentro del triangulo formado por los puntos medios de las diagonales y el punto en que estas rectas coinciden.

Más adelante…

En la siguiente entrada resolveremos problemas con la ayuda del Teorema de Ptolomeo.

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Geometría Moderna I: Teorema de Varignon

Introducción

Con esta entrada damos inicio a la segunda unidad que tratará sobre cuadriláteros y algunos resultados básicos de trigonometría. A lo largo de la primera unidad definimos y vimos, ya sea en la teoría o como tarea moral, algunas proposiciones sobre cuadriláteros.

Empezamos presentando un resumen de definiciones y resultados sobre cuadriláteros convexos para dar paso al Teorema de Varignon y finalizar con la ley del paralelogramo.

Cuadriláteros

Definición 1. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Decimos que los lados de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos de acuerdo a si tienen o no un vértice en común. Similarmente diremos que los vértices de un cuadrilátero son adyacentes u opuestos si son extremos de un mismo lado o no. Los segmentos que unen vértices opuestos son las diagonales del cuadrillero.

En esta unidad consideraremos como cuadrilátero $\square ABCD$ únicamente a la figura acotada por los segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$.

A partir de la ubicación de las diagonales de un cuadrilátero podemos establecer una clasificación de estos. Un cuadrilátero es convexo si sus dos diagonales se encuentran dentro de él, es cóncavo si tiene una diagonal dentro y otra fuera de él y es cruzado si las dos diagonales se ubican fuera del cuadrilátero.

Definición 2. Un cuadrilátero es:

  • Paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos.
  • Rectángulo si tienen cuatro ángulos rectos.
  • Cuadrado si tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
  • Rombo si tiene cuatro lados iguales.
  • Romboide si dos pares de lados adyacentes son iguales.
  • Trapecio si un par de lados opuestos son paralelos, a los lados paralelos les llamamos bases del trapecio.
  • Trapecio isósceles si un par de lados son paralelos y el otro par tienen la misma longitud.

Proposiciones:

  1. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ sus diagonales se intersecan en su punto medio.
  2. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ tiene un par de lados paralelos e iguales.
  3. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ los lados opuestos son iguales.
  4. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ los ángulos interiores adyacentes son suplementarios.
  5. Un cuadrilátero es paralelogramo $\Leftrightarrow$ cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos congruentes.
  6. Un paralelogramo es un rectángulo $\Leftrightarrow$ sus diagonales tienen la misma longitud.
  7. Un paralelogramo es un rombo $\Leftrightarrow$ sus diagonales son perpendiculares.
  8. La recta media del trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados que no son paralelos. La recta media del trapecio es paralela a las bases del trapecio y su longitud es igual a la semisuma de las bases.
  9. En un trapecio si una recta es paralela a las bases de un trapecio y pasa por el punto medio de uno de los lados entonces pasa por el punto medio del lado opuesto.

Teorema de Varignon

Como el teorema de Varignon nos habla sobre el área de un cuadrilátero en general y ya que no es tan intuitivo definir el área de un cuadrilátero cruzado es necesario introducir el concepto de área orientada. Consideraremos el área de un polígono como positiva si recorremos sus vértices en el sentido opuesto a las manecillas del reloj y como negativa en caso contrario.

De esta manera tenemos que para un triángulo $\triangle ABC$, $(\triangle ABC) = (\triangle BCA) = (\triangle CAB) = – (\triangle CBA) = – (\triangle ACB) = – (\triangle BAC)$.

Definición 3. Definimos el área de un cuadrilátero $\square ABCD$ como la suma de las áreas de los triángulos que se forman al considerar una de sus diagonales, esto es, $(\square ABCD) = (\triangle ABC) + (\triangle CDA)$.

Notemos que como resultado de esta definición el área del cuadrilátero cruzado resulta ser la diferencia de las áreas de los triángulos que se forman al considerar la «intersección cruzada» de los lados.

Teorema 1. De Varignon. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero y su perímetro es la suma de las diagonales del cuadrilátero.

Demostración. Para la prueba nos referiremos a un cuadrilátero convexo, queda como ejercicio verificar que el teorema se cumple para los casos cóncavo y cruzado.

Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respetivamente como en la imagen.

Notemos que $\overline{EF}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ por lo que $\overline{EF}$ es paralelo a $\overline{CA}$ y $EF = \dfrac{CA}{2}$, similarmente $\overline{GH}$ es un segmento medio de $\triangle CDA$ y así $\overline{GH} \parallel \overline{CA}$ y $GH = \dfrac{CA}{2}$.

De manera análoga y considerando los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle BCD$ podemos ver $\overline{HE} \parallel \overline{DB} \parallel \overline{FG}$ y $HE = \dfrac{BD}{2} = FG$.

Por lo tanto los lados opuestos de $\square EFGH$ son paralelos y $EF + FG + GH + HE = \dfrac{CA + BD + CA +BD}{2} = CA + BD$.

Para calcular el área de  $\square EFGH$ primero notemos que $\triangle HAE$ y $\triangle DAB$ son semejantes pues $\overline{HE} \parallel \overline{DB}$, además sabemos que $HE = \dfrac{DB}{2}$ por lo que las alturas $h$ y $h’$ de $\triangle HAE$  y $\triangle DAB$ respectivamente trazadas desde $A$ también cumplirán que $h = \dfrac{h’}{2}$.

Por lo tanto $(\triangle HAE) = \dfrac{HE \times h}{2} = \dfrac{\frac{1}{2}DB \times \frac{1}{2}h’}{2} = \dfrac{1}{4} \dfrac{DB \times h’}{2} = \dfrac{1}{4} (\triangle DAB)$
de manera similar podemos encontrar el área de $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ y $\triangle GDH$.

  Por lo tanto $(\square EFGH) = (\square ABCD) – (\triangle HAE) – (\triangle EBF) – (\triangle FCG) – (\triangle GDH)$ $= (\square ABCD) – \dfrac{1}{4} ((\triangle DAB) + (\triangle ABC) + (\triangle BCD) + (\triangle CDA))$ $= (\square ABCD) – \dfrac{2}{4}(\square ABCD) = \dfrac{(\square ABDC)}{2}$.

$\blacksquare$

Aplicaciones del Teorema

Teorema 2. En un cuadrilátero las rectas que unen los puntos medios de los dos pares de lados opuestos y la recta que une los puntos medios de las diagonales son concurrentes y se bisecan entre sí.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $E$, $F$, $G$, $H$, $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$, $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente. Entonces $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son las diagonales del paralelogramo de Varignon y por la proposición 1 se intersecan en $J$ su punto medio.

Ahora veamos que $\square HUFV$ es un paralelogramo, $\overline{HV}$ es un segmento medio de $\triangle ABD$ por lo que $\overline{HV} \parallel \overline{AB}$ y $\overline{UF}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ por lo tanto $\overline{UF} \parallel \overline{AB}$  y así $\overline{HV} \parallel \overline{UF}$.

Análogamente considerando los triángulos $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ se ve que $\overline{HU} \parallel \overline{FV}$, por lo tanto $\square HUFV$ es un paralelogramo y así las diagonales $\overline{FH}$ y $\overline{UV}$ se intersecan en $J$ su punto medio.

Por lo tanto, $\overline{EG}$, $\overline{FH}$ y $\overline{UV}$ concurren en $J$.

$\blacksquare$

Definición 4. El punto $J$ mencionado en el teorema 2 será referido como el centroide de $\square ABCD$.

Problema. Construye un cuadrilátero $\square ABCD$ conociendo $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ y $FH$ donde $F$ y $H$ son los puntos medios de $\overline{BC}$ y $\overline{DA}$ respectivamente.

Solución. Con la información disponible podemos construir el paralelogramo $\square HUFV$, donde $U$ y $V$ son los puntos medios de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente, como el del Teorema 2.

De la demostración del teorema 2 sabemos que $HU = FV = \dfrac{AB}{2}$ y $VH = UF = \dfrac{AD}{2}$, además por la proposición 5 sabemos que la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes, por lo que basta construir un triángulo de lados $HF$, $\dfrac{AB}{2}$  y $\dfrac{AD}{2}$ y luego trazar paralelas por $H$ y $F$ a los lados del triángulo construido completando así el paralelogramo.

Con $U$ y $V$ construidos ahora construimos de manera similar el paralelogramo $\square EUGV$ donde $E$ y $G$ serían los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ respectivamente.

Sabemos también que $HV \parallel AB$ por lo que trazamos la paralela $\overline{AB}$ a $\overline{HV}$ por $E$ tal que $AE = EB = \dfrac{AB}{2}$.

Con $A$ y $B$ construidos, por $H$ trazamos $\overline{AD}$ tal que $AH = HD = \dfrac{AD}{2}$, de manera similar construimos $C$ y finalmente trazamos $CD$.

$\blacksquare$

Teorema 3. Las cuatro rectas que se obtienen de unir cada vértice de un cuadrilátero con el centroide del triángulo formado por los tres vértices restantes son concurrentes.

Demostración. Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero y $E$, $F$, $G$, y $H$ los puntos medio de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respectivamente y sean $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ los centroides de $\triangle BCD$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ respectivamente.

Entonces sabemos que el centroide triseca a las medianas por lo tanto $\dfrac{HB’}{HC} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{HC’}{HB}$ así que por el reciproco del Teorema de Thales tenemos que $\overline{B’C’} \parallel \overline{BC}$. Análogamente se puede ver que $\overline{C’D’} \parallel \overline{CD}$, $\overline{D’A’} \parallel \overline{DA}$ y $\overline{A’B’} \parallel \overline{AB}$.

Así los lados correspondientes de los cuadrilateros $\square A’B’C’D’$ y $\square ABCD$ son paralelos, es decir los dos cuadriláteros son homotéticos y por lo tanto $\overline{AA’}$, $\overline{BB’}$, $\overline{CC’}$ y $\overline{DD’}$ son concurrentes.

$\blacksquare$

Ley del paralelogramo

Lema. La suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilátero es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Demostración. Sean $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente.

En la entrada lugar geométrico encontramos una fórmula para las medianas en función de los lados del triángulo, aplicando esto a los triángulos $\triangle DAC$, $\triangle BAC$ y $\triangle UDB$ tenemos que:

$2DU^2 = DA^2 + CD^2 – \dfrac{AC^2}{2}$
$2BU^2 = AB^2 + BC^2 – \dfrac{AC^2}{2}$
$2UV^2 = DU^2 + BU^2 – \dfrac{BD^2}{2}$

Multiplicamos la última igualdad por dos y sustituimos las primeras dos en el resultado.

$4UV^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 – AC^2 – BD^2$ $\Leftrightarrow$ $4UV^2 + AC^2 + BD^2= AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$.

$\blacksquare$

Corolario. Ley del paralelogramo. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

Demostración. Por la proposición 1 sabemos que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio por lo que $UV = 0$ en el lema anterior.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Hasta ahora no se habían mencionado las proposiciones 5, 6 y 7, demuéstralas.
  2. Muestra que un cuadrilátero es dividido por una de sus diagonales en dos triángulos de igual área si y solo si la diagonal biseca a la otra diagonal.
  3.  Verifica que el Teorema de Varignon se cumple para los cuadriláteros cóncavo y cruzado.
  4. ¿Bajo que condiciones el paralelogramo de Varignon es un rectángulo, un rombo, un cuadrado?
  5. Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero $U$ y $V$ los puntos medios de $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ respectivamente y $T$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$. Prueba que $(\triangle TUV) = \dfrac{(\square ABCD)}{4}$.
    Sugerencia. Considera $H$ y $F$ los puntos medios de $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ y los cuadriláteros $\square ACBD$, $\square CUFT$ y $\square BVFT$ para calcular el área de los triángulos $\triangle UVF$, $\triangle UFT$ y $\triangle VFT$.
  1. En el Teorema 3 demuestra que el centroide de $\square ABDC$ es el centro de homotecia de $\square ABCD$ y $\square A’B’C’D’$ y encuentra la razón de homotecia.
  2. Construye un cuadrilátero dados dos ángulos opuestos, la longitud de las diagonales y el ángulo entre las diagonales.
  3. Muestra que la suma de los cuadrados de las diagonales de un cuadrilátero es igual a dos veces la suma de los cuadrados de los dos segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos del cuadrilátero.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas condiciones bajo las cuales un cuadrilátero es cíclico es decir sus cuatro vértices están en una misma circunferencia.

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Introducción

En la primera entrada del curso definimos algunos objetos importantes que nos permitirán desarrollar la teoría y al final mostramos un ejemplo en donde varios de ellos entran en juego, sin embargo, dimos un par de cosa por ciertas, a saber, que es posible trazar los segmentos $AB$ y $ BC$ y que podemos extender dichos segmentos tanto como lo necesitemos.

Es importante mencionar que, para poder empezar a construir una teoría, se tienen que suponer algunas propiedades como ciertas. A este tipo de propiedades que se aceptan a priori les llamamos axiomas.

En Lógica Matemática requerimos que los axiomas de una teoría tengas las siguientes características: ser completos, esto es, que a partir de ellos todas las proposiciones referentes a objetos de la teoría puedan ser demostradas; que sean independientes o que ninguno de ellos pueda ser demostrado a partir de los demás, y que sean consistentes, es decir, que no se contradigan.

Postulados de Euclides

Euclides fue u matemático griego que vivió alrededor del año 300 AC. En su obra reunió los conocimientos fundamentales que los matemáticos griegos habían desarrollado hasta ese momento y los expuso de manera ordenada. Sus demostraciones geométricas se guiaban por el método deductivo, lo que garantizaba la validez de sus afirmaciones. El método deductivo sigue siendo útil no solo en la Geometría sino en las Matemáticas en general.

Euclides comenzó su obra definiendo los objetos con los que iba a trabajar, después establecido las reglas generales con que esos objetos se relacionaban es decir los postulados y después enuncio propiedades generales sobre la igualdad de magnitudes llamadas nociones comunes. Cabe destacar que los axiomas de Euclides no cumplen con la condición de ser completos, sin embargo, a partir de ellos se puede construir gran parte de la teoría geométrica que hoy se estudia.

Estos son los cinco axiomas a los que Euclides llamo postulados:

  1. Por dos puntos siempre es posible trazar una recta. Lo que nos permite trazar $AC$ y $BC$ en el ejemplo del final de la entrada pasada.
  2. Es posible prolongar una recta tanto como se quiera en cualquiera de sus dos direcciones. Así podemos extender $AC$ y $BC$ hasta los puntos $A’$ Y $B’$ respectivamente.

Definición 1. Al lugar geométrico de los puntos $P$ que equidistan a un punto fijo $O$ le llamamos circunferencia o circulo. Si la distancia entre $P$ y $O$ es $r$ denotamos como $C(O,r)$ a la circunferencia con centro en $O$ y radio $r$.

  1. Cualquier punto del plano y segmento pueden ser usados como centro y radio respectivamente de un círculo. Esta propiedad nos permite comparar tamaños de segmentos, pues en Geometría Moderna no se utilizan unidades preestablecidas. En nuestro problema pudimos hacer $AC$ = $CA’$ porque implícitamente trazamos una circunferencia con centro en $C$ y radio $AC$ de manera que al intersecar la recta que contiene al segmento $AC$ con el circulo $C(C, AC)$ pudimos encontrar $A’$.
  2. Todos los ángulos rectos son iguales. Con esta propiedad es posible definir una unidad angular, el ángulo recto.
  3. Si por dos rectas pasa una transversal tal que, de alguno de los lados de la transversal, la suma de los ángulos interiores es menor a dos ángulos rectos, entonces, si las dos rectas se prolongan lo suficientemente del lado en que dicha suma es menor a 2 ángulos rectos, las rectas se intersecaran.

El quinto postulado y sus consecuencias

Como podemos apreciar, los primeros cuatro postulados son aseveraciones intuitivas mientras que el quinto está enunciado de una forma que parece establecer condiciones a partir de las cuales ocurre algo, esto causo mucha controversia por más de dos mil años, pues aparenta ser una proposición que debe ser demostrada.

Hubo numerosos intentos por demostrar el que fuera conocido en aquel entonces como axioma de las paralelas. Como resultado se encontraron equivalencias, se llegó a la conclusión de que no era posible demostrar el quinto postulado a partir de los cuatro primeros y que además era posible aceptar otros axiomas como ciertos en lugar del quinto, lo que dio origen a las geometrías no euclidianas.

Estas son algunas de las equivalencias más sencillas del quinto postulado:

  1. 1. Dada una recta y un punto fuera de ella existe una única paralela a la recta dada que pasa por el punto.
  1. 2. Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Definición 2. El ángulo exterior de un polígono es el ángulo entre cualquiera de sus lados y la extensión de otro de los lados con el que comparte un vértice.

  1. 3. Un ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
  1. 4. Para todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a dos ángulos rectos.

Debido a esta ultima propiedad denotaremos a la suma de los ángulos internos de un triangulo como $\pi$.

Nociones comunes

Las nociones comunes que enunció Euclides también son axiomas que se refieren al manejo de magnitudes del mismo tipo.

  1. Cosas que sean iguales a una tercera son iguales entre sí.
    Si $a = c$ y $c = b$ entonces $a = b$
  2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales las resultantes son iguales.
    Si $a = b$ entonces $a + c = b + c$
  3. Si de cosas iguales se substraen cosas iguales las resultantes son iguales.
    Si $a = b$ entonces $a – c = b – c$
  4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
    Esto se refiere más que nada a la superposición de objetos, es decir si al superponer dos objetos estos coinciden entonces tendrán las mismas magnitudes.
  5. El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
    Si $c = a + b$ entonces $c > a$ y $c > b$, siempre que $a$ y $b$ representen magnitudes positivas.

Hay otras nociones que también usamos frecuentemente, por ejemplo, las primeras tres nociones se preservan si sustituimos igualdad por desigualdad.

Tricotomía. Para $a$ y $b$ magnitudes de la misma clase ocurre uno y solo uno de los siguientes:
$a = b$, $a < b$ o $b < a$.

Demostración por reducción al absurdo

Este tipo de demostración es comúnmente usada en Matemáticas y particularmente en este curso será muy útil cuando no es posible demostrar algo de manera directa. La idea general es suponer que dada una hipótesis no se cumple la tesis de la proposición y a partir de ahí tenemos que encontrar algún tipo de contradicción a algo que sabemos que si es cierto.

Para ejemplificar este de método de demostración, mostraremos una equivalencia del quinto postulado.

Proposición: El axioma de las paralelas y la afirmación 5.2 son equivalentes.

Demostración: Seguiremos el método de reducción al absurdo, primero veamos que 5 implica 5.2. Asumimos que se cumple el axioma de las paralelas y queremos demostrar que dadas dos rectas paralelas y una transversal a ella los ángulos alternos internos son iguales.

Sean $l_{1}$ y $l_{2}$ las rectas paralelas y $l_{3}$ la transversal a ellas y supongamos que los ángulos alternos internos $\alpha$ y $\beta$ no son iguales, por tricotomía uno es mayor que el otro.

Sin pérdida de generalidad supongamos que $\alpha > \beta$,

podemos sumar a ambos lados de la desigualdad $\gamma$, entonces $\alpha + \gamma > \beta + \gamma$,

dado que $\alpha + \gamma = \pi$ esto implica que $\pi > \beta + \gamma$.

Por el quinto axioma de Euclides sabemos que las rectas se cortan. Lo cual es una contradicción al hecho de que las rectas son paralelas. Así, nuestra suposición de que los ángulos alternos internos eran diferentes es errónea y, por lo tanto, los ángulos alternos internos son iguales.

$\blacksquare$

Ahora veamos que 5.2 implica 5. Nuestra hipótesis es que los ángulos alternas internos entre paralelas son iguales, queremos demostrar que si de un lado de una transversal que corta a dos rectas la suma de los ángulos internos es menor que dos ángulos rectos entonces dichas rectas se cortan en algún punto.

Supongamos lo contrario es decir, que las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ son paralelas por la afirmación 5.2 sabemos que los ángulos alternos internos son iguales, $\beta = \gamma$.

Y sabemos que los ángulos $\alpha$ y $\gamma$ son suplementarios, esto es, que su suma es igual a dos ángulos rectos.

Por lo tanto $\pi = \alpha + \gamma = \alpha + \beta$.

Lo que es una contradicción pues nuestra hipótesis era que la suma de los ángulos era menor que dos ángulos rectos. Por lo tanto, las rectas se cortarán en algún punto.

$\blacksquare$

De aquí en adelante usaremos cualquiera de las equivalencias del quinto postulado según nos convenga.

Volviendo a nuestro ejemplo del la entrada anterior recordemos que habíamos construido dos triángulos que tenían dos lados iguales y el ángulo entre dichos lados también igual.

Una manera de demostrar la igualdad del tercer lado seria suponer que podemos girar el triángulo $\triangle A’CB’$ en torno al punto $C$ de tal manera que el lado $CA’$ se encimara sobre el lado $CA$, dado que los ángulos $\angle ACB$ y $\angle A’CB’$ son iguales entonces el lado $CB’$ se encimaría con el lado $CB$ y ya que los lados superpuestos tienen la misma longitud los pares de puntos $A$, $A’$ y $B$, $B’$ coincidirían, de esta manera los segmentos $AB$ y $A’B’$ coincidirían, pero también los pares de ángulos $\angle CAB$, $\angle CA’B’$ y $\angle CBA$, $\angle CB’A’$ coincidirían, por la noción común numero 4 son iguales entre ellos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Demuestra el reciproco de la afirmación 5.2; es decir, si por dos rectas distintas pasa una transversal y los ángulos alternos internos son iguales entonces las rectas son paralelas.
  2. Muestra que dos rectas paralelas a una tercer recta son paralelas entre si.
  3. Demuestra que la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella es única.
  4. Demuestra que la perpendicular a una recta desde un punto en ella es única.
  5. Demuestra las equivalencias que no se demostraron del quinto postulado de Euclides

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos de manera más formal sobre la rotación que usamos al final de esta entrada y sobre otras transformaciones que nos permitirán demostrar que cuando dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo entre ellos también igual entonces podemos decir que los triángulos son iguales, abordaremos también otros criterios.

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Geometría Moderna I: Introducción

Introducción

Esta es la primera entrada del curso de Geometría Moderna I el cual está basado en el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Aquí presentaremos algunos elementos básicos que nos serán de ayuda para poder arrancar con el curso.

El termino Geometría Moderna se refiere a aquella geometría deductiva, que fue desarrollada después de Euclides y hasta el desarrollo de las geometrías no euclidianas, este periodo está comprendido entre los siglos III AC y XIX DC, es decir, la geometría griega hecha con regla y compás, pero después de los griegos. A diferencia de Geometría Analítica, aquí no será necesario un eje de coordenadas, solo haremos uso de Álgebra muy elemental y nociones básicas de Teoría de Conjuntos.

Elementos básicos

Muchas de las proposiciones en Geometría moderna nos hablan sobre la intersección de rectas, colinealidad de puntos o sobre la igualdad-desigualdad entre magnitudes del mismo tipo, estas pueden ser ángulos, segmentos, distancia entre puntos etc. Y la mayoría del tiempo empleamos este tipo de relaciones para demostrar proposiciones mayores. Con la finalidad de no perdernos en el camino empezaremos por definir algunos de los objetos más básicos con los que estaremos trabajando a lo largo de todo el curso.

Definición 1. Una línea recta es la que está determinada por cualesquiera dos de sus puntos. De aquí en adelante nos referiremos a una línea recta simplemente como recta.

Una línea recta divide al plano en tres partes, la recta misma y dos porciones del plano, a cada una de estas porciones le llamaremos semiplano. Para dos puntos dados $A$ y $B$ de una recta, a la porción de recta comprendida entre los puntos lo denotaremos como segmento $AB$.

Definición 2. Definimos la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ como la longitud del segmento de recta que los une.

Definición 3. Todo punto $O$ de una recta divide a esta a en dos partes, a cada una de estas partes le llamamos rayo con punto inicial $O$ y lo denotaremos $Ox$. A la parte en común de dos semiplanos formados por dos rectas distintas que se cortan le llamamos ángulo.

Al punto de intersección formado por los rayos $Ox$ y $Oy$ le llamamos vértice y a los rayos lados del ángulo. Para un punto $A$ en $Ox$ y un punto $B$ en $Oy$ denotaremos al ángulo como $\angle AOB$.

Definición 4. Cuando dos ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ tienen un mismo vértice $O$ y un mismo lado $OB$ en común, decimos que los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ son adyacentes.

Si dos rectas se intersecan en un punto $O$ se forman 4 ángulos, en este caso a los ángulos no adyacentes les llamamos opuestos por el vértice. En la imagen los pares de ángulos $\angle AOB, \angle COD$ y $\angle BOC, \angle DOA$ son opuestos por el vértice. Una propiedad que cumplen los lados opuestos por el vértice es que son iguales.

Definición 5. A las rectas que no tienen ningún punto en común les llamamos paralelas. Si dos rectas que se intersecan forman cuatro ángulos iguales decimos que estas son perpendiculares y a los ángulos les llamamos ángulos rectos.

Definición 6. Cuando una recta $l_{3}$ interseca a otras dos $l_{1}$ y $l_{2}$ decimos que la primera es transversal a las otras y en este caso se forman 8 ángulos.

A los ángulos entre las rectas les llamamos ángulos internos y a los restantes les llamamos ángulos externos. En la imagen $a, d, f$ y $g$ son ángulos internos y $b, c, e$ y $h$ son ángulos externos.

El par de ángulos interiores que yacen en lados opuestos de la transversal son alternos internos. En este caso los ángulos $a$ y $g$, $d$ y $f$ son alternos internos.

El par de ángulos exteriores que yacen en lados opuestos de la transversal son alternos externos. En este caso los ángulos $c$ y $e$, $b$ y $h$ son alternos externos.

Llamamos ángulos correspondientes al par de ángulos, uno exterior y otro interior, que yacen al mismo lado de la transversal. Aquí $b$ y $f$, $a$ y $e$, $c$ y $g$, $d$ y $h$ son correspondientes.

Esta configuración es útil a la hora de demostrar la igualdad entre ángulos, pues para el caso de rectas paralelas se cumple que los ángulos correspondientes son iguales, de manera reciproca si encontramos que un par de ángulos correspondientes son iguales entonces las rectas son paralelas. Puedes asumir esta propiedad para resolver la tarea moral.

El triángulo

El triángulo es el único polígono que tiene el mismo número de vértices que de lados, es por eso no empleamos el termino trilátero. Por ejemplo, un cuadrángulo completo es aquel construido a partir de cuatro puntos y todas las rectas que unen cualesquiera dos pares de puntos o vértices.

Empleamos indistintamente el termino lado para referirnos a la recta que acota una parte de un polígono o al segmento comprendido entre dos vértices.

Otra característica importante del triángulo es que es el único polígono rígido, es decir no es posible modificar la magnitud de uno de sus ángulos sin al mismo tiempo modificar la longitud de uno de sus lados. Gracias a esta última característica el triángulo es muy útil para resolver problemas de geometría euclidiana.

Ejemplo: En un terreno se ha producido un socavón y nos gustaría medir la longitud de uno de su ejes, así que marcamos dos puntos $A$ y $B$ no muy cerca del borde para no correr peligro. ¿Cómo podemos medir la distancia entre estos puntos, sin atravesar el socavón?

Una solución seria ubicar un punto $C$ fuera del socavón desde donde sean visibles $A$ y $B$, podemos trazar los segmentos $AC$ y $BC$, después extender estos mismos segmentos hasta puntos $A’$ y $B’$ respectivamente tales que $AC = CA’$ y $BC = CB’$.

¿Podemos asegurar que los lados $AB$ y $A’B’$ son iguales?

Por construcción sabemos que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A’CB’$ tienen dos lados iguales y ya que los ángulos $\angle ACB$ y $\angle B’CA’$ son opuestos por el vértice entonces son iguales, por lo que $\triangle ABC$ y $\triangle A’CB’$ tienen tres elementos en común, dos lados y el ángulo entre ellos.

Como ya mencionamos, el triángulo es un polígono rígido esto nos sugiere que debe existir algún criterio para determinar si dos triángulos son iguales cuando comparten algunos elementos en común, más adelante veremos que en efecto el criterio lado, ángulo, lado, nos asegura que $AB = A’B’$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Muestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
  2. Demuestra que los pares de ángulos alternos internos son iguales y también que los pares de ángulos alternos externos son iguales, para el caso de rectas paralelas.
  3. Dibuja un cuadrilátero completo.
  4. Geogebra es un software libre de matemáticas muy útil, con él que te puedes apoyar para hacer tus demostraciones durante este curso, aquí esta la versión online, también lo puedes descargar.
  5. Puedes leer las primeras entradas de Geometría Analítica I que hablan de los objetos aquí expuestos desde un punto de vista más algebraico.

Más adelante…

En la siguiente entrada presentaremos los axiomas de Euclides que son el punto de partida para poder establecer relaciones entre los objetos que hemos definido.

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Geometría Moderna I: Teorema de Thales

Introducción

Otra relación importante entre triángulos además de la de congruencia es la de semejanza el punto de partida es el resultado conocido como teorema de Thales que nos permite hablar acerca de la proporcionalidad de segmentos bajo ciertas condiciones, en la presente entrada desarrollaremos este tema. Para la demostración del teorema de Thales necesitaremos un resultado sobre el área de un triángulo.

Área del triángulo

Definición 1. Recordemos que un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos, los que no tienen un vértice en común, son paralelos, un rectángulo es un caso particular de un paralelogramo donde todos sus ángulos son rectos.

Definición 2. Definimos el área de un rectángulo $\square ABCD$ como el producto entre dos de sus lados adyacentes, es decir, aquellos que comparten un vértice en común y la denotamos $(\square ABCD) = AB \times BC$ .

Definición 3. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, a los lados adyacentes al ángulo recto les llamamos catetos y al lado opuesto al ángulo recto, aquel que no es adyacente, le llamamos hipotenusa.

Proposición 1. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.

Demostración. (1) Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo, a partir de el podemos construimos un rectángulo.

(2) Trazamos rectas paralelas a $BC$ por $A$ y a $AB$ por $C$. Sea $D$ la intersección de las rectas trazadas.

(3) Podemos extender $AC$, $AB$  y $BC$, notamos que los pares de ángulos $\angle ACB$, $\angle DAC$ y $\angle BAC$, $\angle DCA$, son iguales por ser alternos internos además $AC$ es común a los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$, luego por ALA son congruentes.

(4) Notemos que $\square ABCD$ es un rectángulo pues todos sus ángulos son rectos, como $(\square ABCD) = AB \times BC$ tenemos que $(\triangle ABC)$ = $\frac{AB \times BC}{2}$.

$\blacksquare$

Proposición 2. El área de un triángulo cualquiera es el producto de la altura trazada en cualquiera de sus vértices por la longitud del lado contrario a dicho vértice, al que llamamos base.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo, tracemos la altura desde el vértice $A$, existen dos posibilidades, el pie de la altura $D$ cae en el segmento $BC$ o cae en la extensión del segmento $BC$. Demostraremos el primer caso, el segundo quedara como ejercicio.

Notemos que se forman dos triángulos rectángulos, $\triangle ABD$ y $\triangle ADC$.
Así $(\triangle ABC) = (\triangle ABD) + (\triangle ADC) = \frac{AD \times BD}{2} + \frac{AD \times DC}{2} = \frac{(BD + DC) \times AD}{2} = \frac{AD \times BC}{2}$.

$\blacksquare$

Lema. Si dos triángulos tienen una misma altura entonces las razones entre sus áreas es igual a la razón entre sus respectivas bases.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A_{1}B{1}C_{1}$ dos triángulos tales que las alturas trazadas desde $A$ y $A_{1}$ sean iguales, llamémosle $h$. Por la proposición anterior se tiene que:

$\frac{\triangle ABC)}{(\triangle A_{1}B_{1}C_{1})} = (\frac{h \times BC}{2}) / (\frac{h \times B_{1}C_{1}}{2}) = \frac{BC}{B_{1}C_{1}}$.

$\blacksquare$

Con esto podemos demostrar el teorema de Thales.

Teorema de Thales

Thales de Mileto es considerado como uno de los primeros filósofos y matemáticos griegos, a él se le atribuyen algunos de los teoremas que ya hemos visto, entre los que están: los ángulos opuestos por el vértice son iguales, el criterio ALA y los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. Sin embargo se sabe muy poco de su vida y lamentablemente no se conserva ningún texto suyo.

Teorema de la intersección. Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sean $B_{1} \in AB$ y $C_{1} \in AC$ entonces $BC$ es paralela a $B_{1}C_{1}$ si y solo si ($\Leftrightarrow$) $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

Demostración. (1) Sean $\triangle ABC$ un triángulo y $B_{1} \in AB$, $C_{1} \in AC$. Supongamos que $BC$  y $B_{1}C_{1}$ son paralelas, por demostrar que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

(2) Tracemos el segmento $BC_{1}$, entonces los triángulos $\triangle ABC_{1}$  y $\triangle AB_{1}C_{1}$  tienen la misma altura trazada desde el vértice $C_{1}$ por el lema tenemos que $\frac{(\triangle ABC_{1})}{(\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AB}{ AB_{1}}$.

(3) De manera análoga tracemos $B_{1}C$, entonces los triángulos $\triangle AB_{1}C$  y $\triangle AB_{1}C_{1}$  tienen la misma altura trazada desde el vértice $B_{1}$, así $\frac{(\triangle AB_{1}C)}{ (\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AC}{ AC_{1}}$.

(4) Ahora, los triángulos $\triangle B_{1}C_{1}B$ y $\triangle B_{1}C_{1}C$ tienen el lado $B_{1}C_{1}$ en común y como $BC$ y $B_{1}C_{1}$ son paralelas entonces sus alturas trazadas desde los vértices opuestos a $B_{1}C_{1}$ coinciden, por lo tanto $(\triangle B_{1}C_{1}B) = (\triangle B_{1}C_{1}C)$.

Así $(\triangle ABC_{1}) = (\triangle AB_{1}C_{1}) + (\triangle B_{1}C_{1}B) = (\triangle AB_{1}C_{1}) + (\triangle B_{1}C_{1}C) = (\triangle ACB_{1})$.

Y por lo tanto $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{(\triangle ABC_{1} )}{ (\triangle AB_{1}C_{1})} =  \frac{(\triangle ACB_{1})}{(\triangle AB_{1}C_{1})} = \frac{AC}{AC_{1}}$.

$\blacksquare$

Observación: notemos que:

$\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} \Leftrightarrow \frac{AB_{1} + B_{1}B}{AB_{1}} = \frac{AC_{1} + C_{1}C}{AC_{1}} \Leftrightarrow 1 + \frac{B_{1}B}{AB_{1}} = 1 + \frac{C_{1}C}{AC_{1}} \Leftrightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}C} = \frac{AB_{1}}{B_{1}B}$.

Por lo tanto $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}  \Leftrightarrow  \frac{AC_{1}}{C_{1}C} = \frac{AB_{1}}{B_{1}B}$ esto quiere decir que si tenemos dos rectas paralelas, la proporción que hay entre las rectas transversales que las cortan se conserva, sin importar quienes son las rectas transversales.

Para la implicación reciproca supongamos que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}}$. Veamos que $BB_{1}$ y $CC_{1}$ son paralelas.

Demostración. (5) Por contradicción, supongamos que las rectas no son paralelas. Tracemos la paralela a $B_{1}C_{1}$ desde $B$ y sea $D $ el punto en que esta recta corta a $AC$, por la implicación que ya hemos mostrado  tenemos que $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AD}{AC_{1}}$ pero por hipótesis $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC} {AC_{1}}$ esto implica que $\frac{AD}{AC_{1}} = \frac{AC} {AC_{1}}$ de esto se sigue qué $AD = AC$ y por lo tanto $D = C$, lo cual es una contradicción pues supusimos que eran diferentes. Así $B_{1}C_{1}$ y $BC$ son paralelas.

$\blacksquare$

La siguiente es una consecuencia directa del Teorema de Thales.

Corolario. Sean $AA_{1}$, $BB_{1}$ y $CC_{1}$ rectas paraleles dos a dos y $l_{1}$, $l_{2}$ rectas transversales a estas, entonces: $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$. Recíprocamente si dos de las rectas $AA_{1}$, $BB_{1}$ o $CC_{1}$ son paralelas y se tienen que $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$, entonces las tres rectas son paralelas.

Demostración. Consideremos el triángulo $\triangle ACC_{1}$ sea $O$ el punto de intersección entre $BB_{1}$ y $AC_{1}$, entonces, $BO$ y $CC_{1}$ son paralelas, por el primer Teorema de Thales sabemos que $\frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC_{1}}$.

Similarmente consideremos el triángulo $\triangle AA_{1}C_{1}$, entonces $OB_{1}$ y $AA_{1}$ son paralelas, entonces $\frac{C_{1}B_{1}}{B_{1}A_{1}} = \frac{C_{1}O}{OA}$ esto implica que $\frac{OA}{C_{1}O} = \frac{B_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}}$

Por transitividad tenemos que $\frac{AB}{BC} = \frac{B_{1}A_{1}}{C_{1}B_{1}}$. El reciproco se deja como ejercicio.

$\blacksquare$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Demuestra que un paralelogramo es un rectángulo si y solo si sus diagonales tienen la misma longitud.
  2. Demuestra que el área de un triangulo cualquiera es igual a la mitad del producto entre su base y su altura para el caso en que el pie de la altura cae fuera de la base.
  3. Muestra que si dos triángulos tienen una misma base entonces las razones entre sus áreas es igual a la razón entre sus respectivas alturas.
  4. Muestra que bajo las hipótesis de la primera implicación del Teorema de Thales también se tienen que la proporción entre las rectas que son paralelas es igual a aquella que tienen las transversales, es decir $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} = \frac{BC}{B_{1}C_{1}}$.
  5. Prueba que si dos de las rectas $AA_{1}$, $BB_{1}$ o $CC_{1}$ son paralelas y se tienen que $\frac{AB}{BC} = \frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$, entonces las tres rectas son paralelas.

Más adelante…

Ya hemos demostrado el Teorema de Thales, ahora podemos hablar sobre la igualdad de ángulos y proporcionalidad entre los lados de triángulos distintos, esto es la semejanza de triángulos, en la siguiente entrada veremos que de igual forma que en congruencia, también hay varios criterios para verificar la semejanza de triángulos.

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