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Álgebra Superior II: Teorema fundamental de la aritmética e infinidad de números primos

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar de los números primos. Lo que ahora veremos es que, en un sentido muy preciso, los números primos son los bloques con los cuales se construyen todos los demás enteros. El enunciado preciso estará dado por el teorema fundamental de la aritmética.

A grandes rasgos, el teorema fundamental de la aritmética afirma que todo entero se puede escribir como producto de primos, quizás algunos repetidos. Nos referimos a situaciones del tipo
\begin{align*}
8 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3,\\
13 &= 13^1,\\
152 &= 2^3\cdot 19, \enspace \text{etc.}
\end{align*}

Otro resultado que demostraremos en esta entrada es que hay una infinidad de primos. Euclides fue una de las primeras personas de quienes nos queda registro que lo notó. Veremos una demostración similar a la que él dió.

El teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética dice que cualquier número entero es producto de números primos. Pero, más aún, nos dice que este producto es único, bajo ciertas condiciones que le ponemos a la representación. Para simplificar la presentación, estudiaremos primero lo que dice el enunciado para enteros positivos.

Teorema. Sea $n$ un entero positivo. Entonces, existe un único entero $k$ y únicos números primos $p_1\leq p_2 \leq p_3 \leq \ldots \leq p_k$ tales que $$n=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_k.$$

Por ejemplo, consideremos el número $1060$. Notemos que en efecto se puede escribir como producto de primos de la siguiente manera: $1060=2\cdot 2 \cdot 5 \cdot 53$. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que esta es la única manera en la que podemos ponerlo como producto de primos. Si lo piensas un poco, no es totalmente obvio. ¿Qué impide que, por ejemplo, no pase que $1060$ tenga otra posible representación en donde el $5$ aparezca más veces, o el $2$ menos veces? Es lo que debemos estudiar.

Demostración de la existencia

Vamos a partir la demostración del teorema fundamental de la aritmética en dos partes. Primero veremos la existencia, y después la unicidad. Así, nos enfocaremos primero en ver que cualquier entero positivo tiene una factorización en números primos.

La demostración será por inducción fuerte. Si $n=1$, la factorización es la factorización vacía, en donde $k=0$, y como no estamos multiplicando nada obtenemos $1$. Si $n=2$, entonces la factorización es precisamente $2=2$, pues $2$ es un número primo. Supongamos que el resultado es cierto hasta antes de cierto número fijo $n$ y veamos qué pasa con $n$. Si $n$ es un número primo, entonces $n=n$ ya es una factorización como las que buscamos. Si $n$ no es un número primo, entonces lo podemos factorizar como $n=ab$, en donde $a$ y $b$ son enteros positivos distintos de $1$. Por ello, cada uno de $a$ y $b$ son menores que $n$ y por hipótesis inductiva tienen una factorización en primos, digamos
\begin{align*}
a&=q_1\cdot q_2 \cdot \ldots\cdot q_l\\
b&=r_1\cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_m.
\end{align*}

Así, renombrando $q_1,\ldots,q_l,r_1,\ldots,r_m$ como $p_1\leq \ldots \leq p_k$ (donde $k=l+m$) para que queden en orden no decreciente obtenemos la factorización $$n=p_1\cdot p_2\cdot \ldots \cdot p_k $$ buscada. Esto termina la prueba de la primera parte.

Demostración de la unicidad

Veamos ahora que las factorizaciones en primos son únicas. Una vez más, procedemos por inducción fuerte. El resultado claramente es cierto para $n=1$ y $n=2$. Supongamos que el resultado es cierto hasta antes de cierto entero $n$ dado y supongamos que tenemos dos factorizaciones para $n$:

\begin{align*}
n&=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots\cdot p_k\\
n&=q_1\cdot q_2 \cdot \ldots \cdot q_l.
\end{align*}

Notemos que $p_k$ es un divisor de $n$, así que debe dividir a $q_1\cdot\ldots\cdot q_l$. Por una propiedad de divisibilidad que vimos en la entrada pasada, debe suceder que o bien $p_k$ divide a $q_l$, o bien que divide a $q_1\cdot \ldots \cdot q_{l-1}$. Si pasa lo segundo, debe dividir o bien a $q_{l-1}$, o bien a $q_1\cdot \ldots \cdot q_{l-2}$. Y así sucesivamente, de modo que $p_k$ debe dividir a alguno de los $q_i$. Pero como $p_k$ y $q_i$ son primos, debe suceder entonces que $p_k=q_i$. Tras cancelar este término en ambas expresiones de $n$, llegamos a que:

$$p_1\cdot p_2 \cdot \ldots\cdot p_{k-1}=q_1\cdot \ldots \cdot q_{i-1} \cdot q_i \cdot \ldots \cdot q_l,$$

pero esto es una igualdad de factorizaciones en primos para un número menor estricto a $n$. Por hipótesis inductiva, ambas factorizaciones deben de ser la misma. Así, ambas factorizaciones de $n$ son la misma, pues se obtienen a partir de estas multiplicando por el número $p_k=q_i$.

$\square$

Otra forma de escribir el teorema fundamental de la aritmética

Hay otra manera de escribir el teorema fundamental de la aritmética, en donde los primos iguales se agrupan en un mismo término, y se coloca la potencia correspondiente.

Teorema. Sea $n$ un entero positivo. Existe un único entero no negativo $k$, únicos primos $p_1\leq \ldots \leq p_k$ y únicos exponentes $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ tales que:

$$n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}.$$

En realidad esta segunda versión del teorema se deduce de manera inmediata de la anterior.

Ejemplo. Consideremos el número $36$. El $2$ lo divide, así que $36=18\cdot 2$. Luego, el $3$ divide al $18$, de manera que $36=3\cdot 6\cdot 2$. Finalmente, notamos que $6=2\cdot 3$, de donde $36=3\cdot 2 \cdot 3 \cdot 2$. Para obtener la «forma estándar» de la factorización, agrupamos los primos iguales, les ponenmos el orden correspondiente y escribimos en orden creciente de primos. Así, la factorización de $36$ quedaría $36=2^2\cdot 3^2$.

$\triangle$

El conjunto de primos es infinito

En esta sección queremos demostrar otro resultado importante sobre el conjunto de los números primos.

Teorema. El conjunto de números primos es infinito.

Para dar la demostración, usaremos el método de demostración por contradicción, es decir, partiremos de que el conjunto de primos no es finito y, eventualmente se disparatará el asunto.

Este en efecto parece ser el método más conveniente. Sería difícil usar inducción dado que, si bien el conjunto de primos puede indexarse por $p_1, p_2, p_3, \ldots$, no es fácil determinar cuál es el primo que sigue en la lista. O bien, dado un entero $n$, no es fácil determinar si $n+1$ será o no un número primo. Resultaría igualmente difícil intentar la demostración por algún otro método directo.

La idea que usaremos es la siguiente. Si hay finitos primos, digamos $k$, significa que se puede crear una lista finita con ellos: $p_1, p_2, \ldots , p_k$. Veremos que siempre debe existir un primo distinto de los de la lista, lo que llevará a una contradicción con la hipótesis de que sólo existían $k$ primos.

Veamos primero unos casos particulares del argumento que usaremos. Supongamos que sólo existieran $2$ primos, el $2$ y el $3$. Consideremos el número $z = 2\cdot 3 + 1$. De acuerdo al teorema fundamental de la aritmética, este número o bien es primo, o bien debe tener un divisor primo $p$. No puede ser primo, pues dijimos que los únicos primos eran $2$ y $3$. No puede ser divisible entre $2$ pues deja residuo $1$ al hacer la división. Tampoco puede ser divisible entre $3$ pues también deja residuo $1$ al hacer la división. Así, debe haber otro primo que no sea $2$ y $3$ y que divida a este número. Esto contradice que sólo existieran $2$ primos.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que hay únicamente 4 primos: $2,3,5,7$. Consideremos el número $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 = 211.$ Si dividimos este número entre $2$, nos da $211=105\cdot 2 +1$, así que $2\nmid 211$. Si lo dividimos entre $3$, nos da $211=70\cdot 3 + 1$, así que $3\nmid 211$. De manera similar, se puede ver que las divisiones entre $5$ y $7$ también dejan residuo $1$, así que $5 \nmid 211$ y $7\nmid 211$.

Por el teorema fundamental de la aritmética, debe haber algún primo que divida a $211$. Pero estamos suponiendo que los únicos primos que existen son $2,3,5,7$ y acabamos de ver que ninguno de estos funciona. ¡Esto es una contradicción! Lo mismo ocurrirá sin importar la cantidad de primos $p_1, p_2, \ldots , p_k$ inicial. El problema no es cuántos son exactamente, sino la suposición de que son una cantidad finita.

Demostración. Supongamos, para buscar una contradicción, que el conjunto de números primos es finito y que consiste de exactamente los $k$ números primos $p_1, p_2, \ldots , p_k$. Consideremos el número $$p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k +1.$$

El anterior número no es divisible por ninguno de los primos $$p_1, p_2, \ldots , p_k,$$ pues precisamente al hacer la división el residuo que queda es igual a $1$.

Por el teorema fundamental de la aritmética, $$p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k + 1$$ debe tener entonces un divisor primo $p$ diferente de $$p_1, p_2, \ldots , p_k. $$ Esto es una contradicción, pues supusimos que sólo existían los primos $p_1,\ldots,p_k$.

$\square$

Más adelante…

Con los dos teoremas de esta entrada hemos profundizando un poco más en por qué los números primos son interesantes e importantes. La exploración de los números primos en este curso no irá mucho más lejos, pues pronto comenzaremos a tratar otros temas de aritmética modular. Sin embargo, te dejamos algunos pocos párrafos más sobre los números primos.

Los números primos siguen siendo interesantes para los matemáticos hoy en día; primero por la irregularidad con que van apareciendo en la recta numérica y porque hay muchas cosas que aún no se sabe acerca de su raro comportamiento. Por ejemplo, se conjetura que hay infinitos «primos gemelos», es decir, se cree que siempre es posible encontrar dos primos $a$ y $b$ que estén distanciados en dos unidades; no importa qué tan alejados estén del cero. El $3$ y el $5$ son primos gemelos. También los son el $17$ y el $19$. Nadie sabe si esta conjetura es cierta o falsa.

Los números primos aparecen en patrones muy irregulares, pero sí es posible decir algunas cosas al respecto. Por ejemplo, después del $2$ todo número primo $p$, es de la forma $4n +1$ o de la forma $4n -1$ para alguna $n \in \mathbb{N}$. Un resultado lindo en teoría de números es que para aquéllos primos que pertenecen a la primera categoría, que son los de la forma $4n+1$, siempre existe su expresión como una suma de cuadrados: $p = 4n + 1 = m^2 + n^2$, $n, m \in \mathbb{Z}.$ Pero a los primos de la segunda categoría es imposible expresarlos como suma de cuadrados. Estos son dos de los muchos resultados que demostró Euler para números primos, y puedes ahondar en ello en un curso de teoría de números.

Los números primos también han encontrado aplicaciones en criptografía, pues es bien sabido que si se eligen dos primos $p_1$ y $p_2$ tales que al multiplicarlos se obtenga un número compuesto $z$ de más de 100 dígitos, y si luego se establece que $p_1$ y $p_2$ sean la «clave» de mi mensaje cifrado pero yo únicamente doy a conocer el número compuesto $z$ a otra persona, entonces a una computadora le resultaría imposible factorizar $z$ en un corto lapso de tiempo. ¡Le tomaría años! De ahí que la contraseña secreta sería indescifrable.

Ahora, lo que se conoce como el «teorema fundamental de la aritmética» también tiene varias extensiones interesantes en otras áreas de las matemáticas. De hecho, en algunas estructuras la unicidad deja de ser cierta. Si combinamos a los números enteros con los números complejos (que veremos después), tenemos algunos ejemplos como $$12 = (1 + \sqrt{-11})(1 – \sqrt{-11})$$ pero también $$12 = (2 + \sqrt{-8})(2 – \sqrt{-8}).$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra la factorización en primos de cada uno de los siguientes números 100, 170, 2022, 5000 y 713.
  2. Encuentra el menor entero positivo $k$ que haga que $775k$ sea un número cuadrado perfecto, es decir, de la forma $n^2$ para algún entero $n$.
  3. Halla el número de divisores de $2360$ y calcula la suma de todos ellos.
  4. ¿Cuál es el número entero de $1$ a $100$ que tiene la mayor cantidad posible de divisores?
  5. Demuestra que un entero tiene una cantidad impar de divisores si y sólo si es un número cuadrado.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Algoritmo de la división en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Gracias a todo lo trabajado con anterioridad y en particular a la entrada anterior de inmersión de los naturales en los enteros, ya podemos pensar al conjunto de enteros como el conjunto $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$. Además, dentro de esta estructura tenemos operaciones de suma, resta y producto. Sin embargo, aún no tenemos una operación de «división». Hay dos caminos que podemos seguir. Uno es algo parecido a lo que hicimos para tener una operación de resta: podemos construir ciertas clases de equivalencia sobre parejas de enteros, definir operaciones, orden, etcétera. Esto es lo que se hace para construir el conjunto $\mathbb{Q}$ de números racionales, del cual hablaremos más adelante. Otro camino es quedarnos en $\mathbb{Z}$ e intentar decir todo lo que podamos, aunque no tengamos una operación de división. Eso es lo que haremos ahora mediante lo que se conoce como el algoritmo de la división.

Por ejemplo, si tenemos los números $-20$ y $5$, entonces sí «podemos hacer la división» de manera exacta. Dicho de otra forma, sí existe un entero $k$ tal que $-20=5k$. Ese entero es $k=-4$. Sin embargo, si tenemos los números $20$ y $3$ no podemos hacer la división, en el sentido de que no existe un entero $k$ tal que $20=3k$. Sin embargo, sí podemos lograr que $3k$ quede muy cerca de $20$. Por ejemplo, podemos escribir $20=3\cdot 6 + 2$, es decir, el $20$ se queda únicamente a dos unidades de tres veces un entero.

Lo que nos dice el algoritmo de la división es que dados dos enteros $a$ y $b$, siempre sucederá que $a$ puede ser escrito como $b$ veces un entero, más un residuo «pequeño» en términos de $b$. También nos dice que esta forma de escribir a $a$ será única.

La intuición del algoritmo de la división

Lo que nos permite hacer el algoritmo de la división es saber «cuántas veces cabe un entero en otro». En general, vamos a poder escribir $a=qb+r$ y esto querrá decir que «$b$ cabe $q$ veces en $a$ y sobran $r$». Lo que nos gustaría es hacer esto de manera que sobre lo menos posible.

Un ejemplo sencillo sería el siguiente. Tomemos $a=7$ y $b=2$. Si nos preguntáramos: ¿cuántos equipos de $2$ personas se necesitan para repartir a $7$ personas?, una posible respuesta sería: podemos formar $2$ equipos de dos personas cada uno y dejar fuera a $3$ personas. Esto se escribiría como $7=2\cdot 2 + 3$. Sin embargo, una mejor respuesta (y la que deja a menos personas fuera) es la siguiente: podemos formar $3$ equipos de dos personas cada uno, y dejar a alguien fuera. Esto corresponde algebraicamente a la igualdad $7=3\cdot 2 + 1$. Esta forma de escribir al $7$ es mejor pues el residuo es más pequeño.

Hay algunos casos que suenan un poco raros. Por ejemplo, tomemos $a = 2$, $b = 3$. Podría parecer que la división de $2$ entre $3$ da cero pues «el $3$ el mayor que el $2$ y no hay modo de que $3$ quepa en $2$». Esto es cierto: $3$ cabe cero veces en $2$. Pero hay un residuo que no se ha mencionado, que en este caso es $2$. La forma de escribir esto algebraicamente será $2=3\cdot 0 + 2$. Aquí el $0$ quiere decir que «el $3$ cabe cero veces en el $2$» y el $2$ de la derecha quiere decir que «sobran $2$». Si lo pensamos como equipos, no nos alcanzaría para crear ni un sólo equipo de $3$ personas teniendo sólo $2$.

Otro caso extraño es cuando tenemos números negativos. Por ejemplo, si $a=-7$ y $b=3$ entonces la forma en la que queremos expresar a $a$ es como sigue: $-7=(-3)\cdot 3 + 2$. Lo hacemos de esta manera pues siempre querremos que el residuo que queda sea positivo. Y de entre los residuos que se pueden obtener, lo mejor es que sobren únicamente $2$.

Resulta que la cantidad que sobra siempre se puede garantizar que sea «chica». Si estamos repartiendo $a$ en cachos de tamaño $b$, siempre podremos garantizar que lo que sobra esté entre $0$ y $|b|-1$. En símbolos, el algoritmo de la división dice que dados $a, b \in \mathbb{Z}$, con $b\neq 0$, es posible encontrar $q$ y $r$ únicos, tales que $a = bq + r,$ con $0 \leq r < |b|$. A $q$ se le llama el cociente y a $r$ le llamamos el residuo.

Que no espante el valor absoluto que se le añade a la $b$. Aún no hemos definido qué es, pero lo explicaremos un poco más abajo. Sin embargo, antes de enunciar y demostrar el teorema daremos un ejemplo con números un poco más grandes y su intuición numérica.

Otro ejemplo para entender el algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Comencemos planteando el problema para $a=3531$ y $b=8$. Es decir, queremos encontrar $q$ y $r$ enteros tales que $3531 = 8q + r$, donde además $0 \leq r < 8$. Ya que $r$ debe ser un número muy pequeño entre $0$ y $8$, podemos ir dando valores a $r$ hasta que $3531-r$ se pueda escribir como $8$ veces un entero.

Si $r = 0$, habríamos de verificar si $3531$ se puede escribir como $8$ veces un entero. Nuestra intuición nos dice que esto no debería poderse, pues $3531$ es un número impar, pero $8$ veces un entero siempre será un número par.

Si $r = 1$, entonces querríamos ver si $8q = 3530$. Pero esto tampoco se puede pues con $q=441$ tenemos $8q=3528<3530$ y con $q=442$ tenemos $8q=3536>3530$ y entonces ya se pasa. Si $r = 2$, buscaríamos si $8q = 3529$, pero de nuevo este es un número impar.

Finalmente, si $r = 3$, entonces queremos ver si se puede lograr $3528= 8q$. Esto sí se puede: se toma $q=441$. Así, hemos logrado determinar que con $q = 441$, $r = 3$ se cumple que $3531 = 8q + r$, con lo que terminamos el problema.

Geométricamente, esto significa que $3531$, en la recta de los números enteros, estará situado entre números que sean $8$ veces un entero, a saber, $8\cdot 441$ y $8\cdot 442$:

$$ \ldots < 8\cdot 441 < 3531 < 8\cdot 442 < \ldots \text{.}$$

Más precisamente, como $3531$ es un entero positivo, el problema consistió en encontrar el entero que sea $8$ veces un entero más cercano por la izquierda y añadir $3$ unidades. Esto también lo podemos enunciar como que «$3531$ está a $3$ unidades a la derecha de un número que es $8$ veces un entero»:

$$ 8\cdot 441 < 8\cdot 441 + 1 < 8\cdot 441 +2 < 3531 < 8\cdot 441 +4 < 8\cdot 441 +5 < 8\cdot 441 +6 < 8\cdot 441 +7 < 8\cdot 442 \text{.}$$

En realidad esto funciona sin importar los valores de $a$ y $b$. Dado un entero $b$, podemos poner los enteros de la forma $mb$ en la recta numérica y siempre podremos situar al entero $a$ entre dos de ellos:

$$qb \leq a < (q+1)b, \qquad q\in \mathbb{Z}.$$

Si $b>0$, los múltiplos de $b$ en la recta numérica se verían así:

$$\ldots -4b, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, 4b, \ldots $$

De este modo, $q$ sería el mayor múltiplo de $b$ más cercano a $a$, sin excederse de $a$.

Enunciado y demostración del algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Para poder enunciar el algoritmo de la división sin importar el signo de $a$ y $b$, debemos introducir un símbolo adicional.

Definición. Si $b \in \mathbb{Z}$, definimos el valor absoluto de $b$, denotado por $|b|$, como sigue: $$|b| = \left\lbrace \begin{matrix} b & \text{si $b\geq 0$}\\ -b & \text{si $ b < 0$} \end{matrix}\right.$$

En el algoritmo de la división nos darán dos números enteros $a$ y $b$. Para la restricción $0 \leq r \leq |b|$, sucederá que, no importa si $b$ sea un número positivo o negativo, nosotros nos fijaremos en el número siempre positivo que resulta de aplicarle valor absoluto a $b$. El resultado dice lo siguiente.

Teorema. Sean $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}$ con $b\neq 0$. Entonces existen únicos enteros $q$ y $r$ enteros únicos tales que $$ a = qb + r$$ y $0 \leq r < |b|$.

Para la demostración del algoritmo de la división, necesitaremos el principio del buen orden. Como recordatorio, dice que todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo.

Demostración. Primero hay que demostrar que siempre existen $q$ y $r$ enteros que satisfacen las condiciones que queremos. Vamos a suponer que $b>0$. El caso $b<0$ es muy parecido y quedará como tarea moral.

Lo que haremos es considerar al conjunto $S$ de todos los elementos de la forma $a-tb$ en donde $t$ es un entero, y tales que sean mayores o iguales a cero. Primero veremos que $S$ en efecto es un conjunto no vacío.

  • Si $a\geq 0$, tomamos $t=0$ y obtenemos la expresión $a-tb=a\geq 0$.
  • Si $a<0$, tomamos $t=a$ y obtenemos $a-tb=a-ab=a(1-b)$. Como $b>0$, entonces $b\geq 1$ y por lo tanto $(1-b)\leq 0$. Como $a<0$, obtenemos $a(1-b)\geq 0$, como queríamos.

Como $S$ es un conjunto no vacío de naturales, debe tener un elemento mínimo, al que le llamaremos $r$. Como $r$ está en $S$, obtenemos que $r=a-qb$ para algún entero $q$. Esto es un buen primer paso, pues nos muestra que $a=qb+r$. Sin embargo, todavía nos falta demostrar la importante desigualdad $0\leq r < |b|$. Como $b>0$, debemos mostrar $0\leq r < b$. Como $r$ está en $S$, obtenemos de manera inmediata que $r\geq 0$.

Sólo nos falta mostrar que $r<b$. Supongamos, con el fin de encontrar una contradicción, que $r\geq b$. Si este fuera el caso, sucedería que $r-b\geq 0$ además tendríamos la siguiente cadena de igualdades: $$r-b=a-tb-b=a-(t+1)b.$$

Esto lo que nos diría es que $r-b$ también está en $S$. ¡Pero eso es una contradicción!. Por construcción, $r$ era el menor elemento de $S$ y $r-b$ es un número menor que $r$ y que también está en $S$. Esta contradicción salió de suponer que $r\geq b$, así que en realidad debe pasar $r<b$, como queríamos.

Con esto queda demostrada la existencia de los enteros $q$ y $r$, tales que $a = bq + r$, con $0 \leq r < b$. Falta ver la unicidad. Supongamos que existen $q’$ y $r’$ enteros que también cumplen $$a = bq’ + r’$$ con $0\leq r’ < b$.

Demostramos primero que $r = r’$. Al hacer la resta $r-r’$ por un lado notamos que como mucho, puede valer $(b-1)-0=b-1$, lo cual pasa cuando $r=b-1$ y $r’=0$. Así mismo, por lo menos debe valer $0-(b-1)=-b+1$, lo cual sucede cuando $r=0$ y $r’=b-1$. Pero esta resta también se puede escribir de la siguiente manera: $$r-r’=(a-qb)-(a-q’b)=(q’-q)b.$

El único número de la forma $bk$ en $\{-b+1,-b+2,\ldots,0,\ldots,b-2,b-2\}$ es el entero $0$, pues justo no alcanza para llegar a $b$ ni a $-b$. De esta forma, $r-r’=0$, es decir $r=r’$. Y de aquí, obtenemos que $(q’-q)b=r-r’=0$. Como $b\neq 0$, obtenemos $q’-q=0$ y por lo tanto $q’=q$. Esto termina la demostración de la unicidad.

$\square$

Quizás el uso del principio del buen orden de la impresión de que la demostración anterior es «muy sofisticada». En realidad, esto no es así. Simplemente es la forma en la que se formaliza una idea muy intuitiva: si el residuo queda mayor a $b$, entonces todavía le podemos «transferir» un sumando $b$ de $r$ a $qb$. El principio del buen orden simplemente nos garantiza que en algún momento este proceso de «transferir» sumandos $b$ debe de concluir.

Más adelante…

Cuando aplicamos el algoritmo de la división nos puede pasar un caso muy especial: que $r$ sea igual a cero. En otras palabras, en este caso podemos escribir $a=qb$ y por lo tanto $b$ cabe en $a$ «de manera exacta». Este caso es muy interesante y amerita un profundo estudio. Cuando esto sucede, decimos que $a$ es múltiplo de $b$, o bien que $b$ divide a $a$. En la siguiente entrada estudiaremos con más detalle la relación de divisibilidad en $\mathbb{Z}$. Un poco más adelante hablaremos de los ideales de $\mathbb{Z}$, que son un tipo de subconjuntos fuertemente relacionados con la noción de divisibilidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra $q$ y $r$ enteros tales que $-1873 = 31q + r$ y $0\leq r < 31$.
  2. Demuestra las siguientes propiedades de la función valor absoluto de $\mathbb{Z}$:
    • $|a|\geq 0$ para cualquier entero $a$.
    • $|ab|=|a||b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
    • $|a+b|\leq |a|+|b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
  3. En general, ¿cómo se calcula $q$, para $a<0$? ¿y para $b<0$? Completa los detalles de la demostración del algoritmo de la división para cuando $b<0$.
  4. Encuentra un número que al dividirse entre $2$ deje residuo $1$, que al dividirse entre $3$ deje residuo $2$ y que al dividirse entre $4$ deje residuo $3$.
  5. Demuestra que cualquier entero se puede escribir de la forma $3q+r$ en donde $r$ es $-1$, $0$ ó $1$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Grupos, anillos y campos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En estas entradas hemos visto cómo distintas herramientas de álgebra nos pueden ayudar en la resolución de problemas. En las primeras dos entradas, hablamos de identidades algebraicas básicas y un par de avanzadas. Luego, hablamos de factorización en polinomios y del teorema de la identidad. Ahora platicaremos de cómo estructuras un poco más abstractas nos pueden ayudar. De manera particular, nos enfocaremos en aplicaciones de teoría de grupos a la resolución de problemas. Sin embargo, hacia el final de la entrada también hablaremos un poco acerca de anillos, dominios enteros y campos.

Teoría de grupos básica

Una de las nociones de álgebra abstracta más básicas, y a la vez más flexibles, es la de grupo. La teoría de grupos es muy rica y se estudia a profundidad en un curso de álgebra abstracta o álgebra moderna. Aquí veremos únicamente un poco de esta teoría y algunas aplicaciones a resolución de problemas. Comenzamos con la definición.

Definición. Un grupo es un conjunto no vacío $G$ con una operación binaria $\cdot$ que cumple lo siguiente:

  • Asociatividad: Para cualesquiera elementos $x,y,z$ en $G$ tenemos que $x\cdot (y\cdot z) = (x\cdot y) \cdot z$.
  • Neutro: Existe un elemento $e$ en $G$ tal que $x\cdot e = x = e\cdot x$ para todo elemento x.
  • Inversos: Para cada elemento $x$ en $G$, existe un elemento $y$ en $G$ tal que $x\cdot y = e = y\cdot x$.

Usualmente se simplifica la notación de la siguiente manera. Por un lado, en vez de poner el símbolo de producto, simplemente se ponen elementos consecutivos, por ejemplo $a\cdot b = ab$. Además, por la asociatividad, muchas veces no se ponen los paréntesis, de modo que expresiones como $(a\cdot b)\cdot c$ se escriben simplemente como $abc$, a menos que los paréntesis ayuden a entender un argumento.

Hay que tener cuidado con invertir el orden de factores. En grupos, no necesariamente sucede que la operación es conmutativa, es decir, que $ab=ba$ para todo par de elementos $a$ y $b$. Si $ab=ba$ decimos que $a$ y $b$ conmutan y si todo par de elementos de $G$ conmutan, decimos que $G$ es conmutativo. Un elemento siempre conmuta consigo mismo. Para $n$ un entero positivo definimos $a^n$ como el producto formado por $n$ veces el elemento $a$.

A partir de la definición se puede ver que el neutro es único, pues si hubiera dos neutros $e$ y $e’$ tendríamos $e=e\cdot e’=e’$, en donde primero usamos que $e’$ es neutro y después que $e$ lo es. Para $a$ en $G$, definimos $a^0$ como $e$.

En grupos se vale «cancelar». Por ejemplo, si $ab=ac$, entonces podemos multiplicar esta igualdad a la izquierda por un inverso $d$ de $a$ y obtendríamos $$b=eb=dab=dac=ec=c.$$ Del mismo modo, la igualdad $ba=ca$ implica $b=c$.

En particular, si $d$ y $d’$ son inversos de $a$, tenemos $da=e=d’a$, de donde $d=d’$. Esto muestra que los inversos también son únicos, así que al inverso de $a$ le llamamos $a^{-1}$. Observa que $e^{-1}=e$. Nota que si $a$ y $b$ son elementos de $G$, entonces $$ab(b^{-1}a^{-1})=aea^{-1}=aa^{-1}=e,$$ de modo que el inverso de un producto $ab$ es el producto $b^{-1}a^{-1}$. Para $n$ un entero positivo, definimos $a^{-n}$ como el inverso de $a^n$, que por lo anterior, es precisamente $(a^{-1})^n$. De hecho, ya definido $a^n$ para todo entero, se puede verificar que se satisfacen las leyes usuales de los exponentes.

Problema. Sean $a$ y $b$ dos elementos en un grupo $G$ con neutro $e$ tales que $aba=ba^2b$, $a^3=e$ y $b^{2021}=e$. Muestra que $b=e$.

Sugerencia pre-solución. Observa que si $a$ y $b$ conmutaran, entonces el resultado se deduce fácilmente de la primer igualdad. Así, intenta modificar el problema a demostrar que $a$ y $b$ conmutan. Para ello tienes que hacer un paso intermedio que necesita inducción.

Solución. Lo primero que veremos es que $a$ y $b^2$ conmutan. Poniendo una identidad entre ambas $b$ en el producto $ab^2$, tenemos que $$ab^2=abaa^{-1}b=ba^2ba^{-1}b.$$ De $a^3=e$, tenemos $a^{-1}=a^2$, así que siguiendo con la cadena de igualdades, \begin{align*}
ba^2ba^{-1}b&=ba^2ba^2b\\
&=ba^2aba\\
&=bba=b^2a.
\end{align*} Así, $ab^2=b^2a$.

Ahora veremos que $a$ y $b$ conmutan. Para ello, como $a$ y $b^2$ conmutan, tenemos que $a$ y $b^{2k}$ conmutan para cualquier entero $k$. Esto se puede probar por inducción. El caso $k=1$ es lo que ya probamos. Si es válido para cierta $k$, se sigue que $$ab^{2k+2}=b^{2k}ab^2=b^{2k+2}a.$$ Por hipótesis, $b^{2020}=b$, así que el resultado anterior nos dice que $a$ y $b$ conmutan.

Por esta razón, la primer hipótesis $aba=ba^2b$ se puede reescribir como $a^2b=a^2b^2$, que por cancelación izquierda da $e=b$, como queríamos mostrar.

$\square$

Subgrupos y órdenes

Dentro de un grupo pueden vivir grupos más pequeños.

Definición. Un subgrupo de un grupo $G$ es un subconjunto $H$ de $G$ que es un grupo con las operaciones de $G$ restringidas a $H$.

Para que $H$ sea subgrupo, basta con que no sea vacío y que sea cerrado bajo la operación de grupos y la operación «sacar inverso».

Por ejemplo, se puede ver que $\mathbb{Z}_{12}$, los enteros módulo $12$ con la suma, forman un grupo. De aquí, $H_1=\{0,3,6,9\}$ es un subgrupo y $H_2=\{0,4,8\}$ es otro.

Proposición. Si $a$ es un elemento de un grupo $G$, entonces o bien $$1,a, a^2, a^3,\ldots$$ son todos elementos distintos de $G$, o bien existe un entero positivo $n$ tal que $a^n=1$ y $1,a,\ldots,a^{n-1}$ son todos distintos. En este segundo caso, $\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ es un subgrupo de $G$.

Sugerencia pre-demostración. Divide en casos. Luego, usa el principio de cancelación o las leyes de exponentes para grupos.

Demostración. Si todos los elementos son distintos, entonces no hay nada que hacer. De otra forma, existen $i<j$ tales que $a^j=a^i$, de donde por la ley de cancelación tenemos que $a^{j-i}=e$ y $j-i\geq 1$. Así, el conjunto de enteros positivos $m$ tales que $a^m=e$ es no vacío, de modo que por el principio de buen orden tiene un mínimo, digamos $n$.

Afirmamos que $$1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}$$ son todos distintos. En efecto, de no ser así, como en el argumento de arriba existirían $0\leq i < j \leq {n-1}$ tales que $a^{j-i}=e$, pero $j-i\leq n-1$ sería una contradicción a la elección de $n$ como elemento mínimo.

Probemos ahora que $A=\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}$ es subgrupo de $G$. Si tenemos $a^k$ y $a^l$ en $A$, su producto es $a^{k+l}$. Por el algoritmo de la división, $k+l=qn+r$, con $r\in \{0,\ldots,n-1\}$, de modo que $$a^ka^l=a^{qn+r}=(a^n)^qa^r=e^qa^r=a^r,$$ así que $A$ es cerrado bajo productos. Además, si $1\leq k\leq n-1$, entonces $1\leq n-k \leq n-1$ y $a^ka^{n-k}=a^n=e$. Así, $A$ es cerrado bajo inversos. Esto muestra que $A$ es subgrupo de $G$.

$\square$

En teoría de grupos, la palabra «orden» se usa de dos maneras. Por un lado si $G$ es un grupo, su orden $\text{ord}(G)$ es la cantidad de elementos que tiene. Por otro, dado un elemento $a$, el orden $\text{ord}(a)$ de $a$ es el menor entero positivo $n$ tal que $a^n=e$, si es que existe.

Definimos al subgrupo generado por $a$ como $$\langle a\rangle:=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}.$$ La proposición anterior dice que si $\langle a \rangle$ es finito, entonces es un subgrupo de $G$ de orden $\text{ord}(\langle a \rangle) = \text{ord}(a).$ A los grupos de la forma $\langle a \rangle$ se les llama cíclicos.

Teorema de Lagrange

Cuando estamos trabajando con grupos finitos, el orden de un subgrupo debe cumplir una condición de divisibilidad.

Teorema (de Lagrange). Sea $G$ un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$. Entonces $\text{ord}(H)$ divide a $\text{ord}(G)$.

No daremos la demostración de este teorema, pero veremos algunos corolarios que sirven en la resolución de problemas.

Proposición. Sea $G$ un grupo finito.

  • Si $\text{ord}(G)$ es un primo $p$, entonces $G$ es cíclico.
  • El orden de cualquier elemento $a$ de $G$ divide al orden de $G$, y por lo tanto $a^{\text{ord}(G)}=1$.
  • Si $a$ es un elemento de $G$ de orden $n$ y $a^m=e$, entonces $n$ divide a $m$.

Demostración. Para la primer parte, si tomamos un elemento $a$ de $G$ que no sea $e$, ya vimos que $\langle a \rangle$ es un subgrupo cíclico de $G$. Por el teorema de Lagrange, su orden debe dividir al primo $p$. Pero el orden de $\langle a \rangle$ es al menos $2$, así que el orden de $\langle a \rangle$ debe ser $p$ y por lo tanto $\langle a \rangle=G$.

Como vimos arriba, el orden de $a$ es el orden de $\langle a \rangle$, que divide a $G$. Así,
\begin{align*}
a^{\text{ord}(G)}&=(a^{\text{ord}{a}})^{\text{ord}(G)/ \text{ord}(a)}\\
&=e^{\text{ord}(G)/ \text{ord}(a)}\\
&=e.
\end{align*} Con esto queda probado el segundo punto.

Para el último punto, usamos el algoritmo de la división para escribir $m=qn+r,$ con $r$ entre $0$ y $n-1$. Tenemos que $$e=a^m=a^{qn+r}=a^r.$$ Por lo visto en la sección anterior, necesariamente $r=0$, así que $n$ divide a $m$.

$\square$

Veamos cómo se pueden aplicar algunas de las ideas anteriores a un problema de teoría de grupos concreto.

Problema. En un grupo $G$, tenemos elementos $a$ y $b$ tales que $a^7=1$ y $aba^{-1}=b^2$. Determina qué posibles valores puede tener el orden de $b$.

Sugerencia pre-solución. Conjetura una fórmula para $b^{2n}$ buscando un patrón. Establécela por inducción.

Solución. El orden de $a$ debe dividir a $7$, así que es o $1$ o $7$. Si es $1$, entonces $a=e$, por lo que por la hipótesis tenemos $b=b^2$. De aquí $b=e$, así que el orden de $b$ es $1$. La otra opción es que el orden de $a$ sea $7$.

Afirmamos que para todo entero $n$ se tiene que $a^nba^{-n}=b^{2^n}$. Esto se prueba inductivamente. Es cierto para $n=1$ por hipótesis. Si se cumple para cierta $n$ y elevamos la igualdad al cuadrado, tenemos que
\begin{align*}
b^{2^{n+1}}&=(b^{2n})^2\\
&=a^nba^{-n}a^nba^{-n}\\
&=a^nb^2a^{-n}\\
&=a^{n+1}ba^{-(n+1)},
\end{align*}

lo cual termina la inducción.

En particular, para $n=7$ tenemos que $a^7=a^{-7}=e$, por lo que $b=b^{2^7}$, y por lo tanto $b^{127}=e$. Como $127$ es primo, el orden de $b$ puede ser $1$ ó $127$.

$\square$

En realidad, en el problema anterior falta mostrar que en efecto existe un grupo que satisfaga las hipótesis, y para el cual el orden de $b$ sea exactamente $127$. Esto no lo verificaremos aquí.

Teoría de grupos en teoría de números

Lo que hemos platicado de teoría de grupos se vale para grupos en general. Cuando aplicamos estos resultados a grupos particulares, tenemos nuevas técnicas para resolver problemas. Uno de los casos que aparecen más frecuentemente es aplicar teoría de grupos en problemas de teoría de números.

Si tomamos un entero $n$, los enteros entre $1$ y $n-1$ que son primos relativos con $n$ forman un grupo con la operación de producto módulo $n$. Si llamamos $\varphi(n)$ a la cantidad de primos relativos con $n$ entre $1$ y $n-1$, el teorema de Lagrange da el siguiente corolario.

Teorema (de Euler). Para todo entero positivo $n$ y $a$ un entero primo relativo con $n$, se tiene que $$a^\varphi(n)\equiv 1\pmod n.$$

Como corolario al teorema de Euler, tenemos el pequeño teorema de Fermat, que hemos discutido previamente aquí en el blog.

Teorema (pequeño teorema de Fermat). Para $p$ un primo y $a$ un entero que no sea múltiplo de $p$, se tiene que $$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$

Así, cuando $p$ es primo y $a$ no es múltiplo de $p$, se tiene que el orden de $a$ divide a $p-1$. Veamos un ejemplo en donde esta idea forma parte fundamental de la solución.

Problema. Muestra que para ningún entero $n>1$ se tiene que $n$ divide a $2^n-1$.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que sí existe. Considera un primo $p$ que divida a $n$ y que además sea extremo en algún sentido. Trabaja módulo $p$.

Solución. Supongamos que existe un entero $n>1$ tal que $n$ divide a $2^n-1$. Sea $p$ el primo más pequeño que divide a $n$. Tomemos $a$ el orden de $2$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_p$.

Por un lado, como $p$ divide a $n$ y $n$ divide a $2^n-1$, se tiene que $p$ divide a $2^n-1$ y por lo tanto $$2^n\equiv 1 \pmod p.$$ De esta forma, $a$ divide a $n$.

Por otro lado, por el pequeño teorema de Fermat, tenemos que $$2^{p-1}\equiv 1 \pmod p,$$ así que $a$ divide a $p-1$ y por lo tanto $a\leq p-1$.

Si $a\neq 1$, entonces $a$ tiene un divisor primo que divide a $n$ y es menor que $a\leq p-1$, lo cual es imposible pues elegimos a $p$ como el menor divisor primo de $n$. De esta forma, $a=1$. Pero esto da la contradicción $2\equiv 1 \pmod p$.

$\square$

Anillos, dominios enteros y campos

Cuando se están resolviendo problemas, es importante tener en mente que existen otras estructuras algebraicas. Definiremos sólo las más comunes y veremos un problema ejemplo.

Definición. Un anillo es un conjunto $R$ con dos operaciones binarias suma y producto tales que:

  • $R$ con la suma es un grupo conmutativo.
  • El producto en $R$ es asociativo, es decir $(ab)c=a(bc)$ para $a,b,c$ en $R$.
  • Se cumple la ley distributiva, es decir $a(b+c)=ab+ac$ y $(b+c)a=ba+ca$ para $a,b,c$ en $R$.

El producto en $R$ no tiene por qué ser un grupo. De hecho, ni siquiera tiene que tener neutro.

Definición. Si un anillo $R$ tiene neutro, decimos que $R$ es un anillo con $1$. Si la multiplicación de $R$ es conmutativa, decimos que $R$ es conmutativo.

Definición. Un dominio entero es un anillo conmutativo con uno en donde además se vale cancelar, es decir, $ab=ac$ implica $b=c$ y $ba=ca$ implica $b=c$.

Definición. Un campo es un anillo conmutativo con uno en donde cada elemento distinto de la identidad aditiva tiene inverso multiplicativo. En otras palabras, es un anillo en donde la suma y el producto son grupos.

Problema. Muestra que todo dominio entero finito es un campo.

Sugerencia pre-solución. Usa el principio de las casillas.

Solución. Supongamos que $R=\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un dominio entero con una cantidad finita de elementos. Lo único que falta para que sea campo es que los elementos tengan inversos multiplicativos.

Sea $a$ un elemento de $R$ y supongamos que $a$ no tiene inverso multiplicativo. Entonces, los números $$a_1a, a_2a,\ldots,a_n a$$ sólo pueden tomar a lo más $n-1$ valores diferentes, de modo que por principio de las casillas existen dos de ellos que son iguales, digamos $a_ia=a_ja$ para $i\neq j$.

Como $R$ es dominio entero, se vale cancelar, lo cual muestra $a_i=a_j$. Esto es una contradicción, pues $a_i$ y $a_j$ eran elementos distintos de $R$. Así, todo elemento tiene inverso multiplicativo.

$\square$

En cursos de matemáticas a nivel superior se ven muchos ejemplos de estas estructuras algebraicas. En cursos de Álgebra Superior se construye el dominio entero de enteros $\mathbb{Z}$. Se construyen los campos $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{C}$. También, se construyen los anillos de polinomios $\mathbb{F}[x]$. La noción de campo es fundamental cuando se construye la teoría de Álgebra Lineal. Como se puede ver, la teoría de álgebra es muy amplia, así que esta entrada sólo queda como invitación al tema.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de estructuras algebraicas en la Sección 4.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Teorema de navidad de Fermat: primos suma de dos cuadrados

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Comentario de Leo: Esta es una escrita en conjunto con por Alexandher Vergara, estudiante en ESFM. En ella hablamos del teorema de navidad de Fermat, una idea de la prueba y de las consecuencias. Si quieres contribuir con algún tema de matemáticas, puedes contactarme por correo electrónico, o dejando un comentario aquí en el blog.

Introducción

En entradas anteriores hemos visto temas de teoría de números, como divisibilidad y teoría de congruencias. También hablamos acerca de números primos y del teorema fundamental de la aritmética. A continuación probaremos una parte del famoso «teorema de navidad de Fermat», el cual dice cuáles primos impares son la suma de dos cuadrados.

Teorema (teorema de Navidad de Fermat). Un número primo $p>2$ es la suma del cuadrado de dos enteros si y sólo si $p\equiv 1 \pmod 4$.

Enunciado del teorema de Navidad de Fermat

El teorema recibe este nombre pues Fermat escribió una carta con muchos detalles acerca del resultado para Mersenne, cuya fecha fue el 25 de diciembre de 1640.

Este resultado nos lleva un paso más adelante en teoría de números. Por un lado, tiene «el mismo sabor» que el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange.

Teorema (teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange). Todo entero no negativo puede ser escrito como suma de los cuadrados de cuatro números enteros.

Por otro lado, el teorema de Navidad de Fermat también nos ayuda a demostrar un caso particular del teorema de Dirichlet para primos sobre progresiones aritméticas.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma $4k+1$ e infinitos números de la forma $4k+3$.

El teorema de Dirichlet es una generalización de este resultado.

Teorema (teorema de Dirichlet). Si $a$ y $b$ son primos relativos, entonces existe una infinidad de primos $p$ tales que $p\equiv a \pmod b$.

Las demostraciones de los teoremas de Lagrange y de Dirichlet requieren de varios argumentos para los cuales aún no hemos desarrollado teoría suficiente. La idea de esta entrada de blog es demostrar el teorema de Navidad de Fermat y usarlo para demostrar el Teorema 1.

El teorema de Navidad de Fermat

En la demostración del teorema de navidad de Fermat usaremos el siguiente resultado.

Teorema 2. Si $p$ es un número primo y la ecuación $a^2+1 \equiv 0 \pmod p$ tiene solución para algún $a$, entonces $p$ se puede representar como una suma de dos cuadrados.

Por el momento, no nos enfocaremos en demostrar este resultado auxiliar. Existen muchas pruebas en la literatura, por ejemplo, una por J.H. Grace usando latices de enteros (The four square theorem).

Demostración del teorema de Navidad de Fermat. Supongamos primero que $p=x^2+y^2$ para enteros no negativos $x,y$. El hecho de que $p \equiv 1 \pmod 4$ se desprende de dos propiedades del anillo $\mathbb{Z}_4$. Notemos primero que cualquier entero impar es congruente con $1 \pmod 4$ o con $3\pmod 4$. Además, cualquier cuadrado es congruente con $0 \pmod 4$ o $1\pmod 4$, pues si $x$ es congruente con $0,1,2,3 \pmod 4$ entonces $x^2$ es congruente con $0,1,0,1 \pmod 4$, respectivamente. Como $p=x^2+y^2$, sabemos entonces que $$p\equiv x^2+y^2=0,1 \text{ \’o } 2 \pmod 4.$$ Pero $p$ es un primo mayor que $2$, entonces $p$ es impar. Así, $p\equiv 1 \pmod 4$.

Observación. En esta parte de la prueba en realidad es un poco más general, pues muestra que si $n$ es un entero impar que se puede representar como suma de dos cuadrados, entonces $n\equiv 1 \pmod 4$.

Supongamos ahora que $p\equiv 1 \pmod 4$. Lo primero que haremos es mostrar que $a^2+1\equiv 0 \pmod p$ tiene solución para alguna $a$, y después usaremos el Teorema 2 para obtener que $p$ es suma de dos cuadrados.

Primero, examinaremos los factores en $$(p-1)!=1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2}\cdot \ldots \cdot (p-2) \cdot (p-1).$$ A los últimos $(p-1)/2$ factores los pensamos como sigue: $p-1\equiv -1 \pmod p$, $p-2\equiv -2\pmod p$, …, $\frac{p+1}{2}\equiv -\frac{p-1}{2} \pmod p$. El factorial se convierte entonces en
\begin{align*}
(p-1)!&\equiv 1\cdot \ldots \cdot \left(\frac{p-1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot (-1)\\
&\equiv (-1)^{(p-1)/2} \left(1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}\right)^2 \pmod p.
\end{align*}

Definiendo $a= 1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}$, lo anterior se puede escribir como $$(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} a^2 \pmod p.$$

Por el teorema de Wilson, $(p-1)!\equiv -1 \pmod p$. Como $p\equiv 1 \pmod 4$, tenemos $p=4k+1$ para algún entero $k$. Entonces, $(p-1)/2=2k$, que es par, de modo que $(-1)^{(p-1)/2}=1$. De esta forma, tenemos que $$-1\equiv a^2 \pmod p.$$ Sumando $1$ de ambos lados, tenemos que $a^2+1\equiv 0 \pmod p$. Aplicando el Teorema 2, concluimos que $p$ es suma de dos cuadrados.

$\square$

Infinidad de primos de las formas $4k+1$ y $4k+3$

Todos los primos mayores que $2$ son impares, así que son o bien de la forma $4k+1$, o bien de la forma $4k+3$. Sabemos además que hay una infinidad de números primos. ¿Será cierto que hay una infinidad de ellos de la forma $4k+1$ y una infinidad de ellos de la forma $4k+3$?

Por el principio de las casillas, tiene que suceder por lo menos alguna de estas dos opciones. Si hubiera una cantidad finita de la forma $4k+1$ y de la forma $4k+3$, entonces por el párrafo anterior habría sólo una cantidad finita de primos, lo cual es una contradicción.

Lo que dice el Teorema 1 es más fuerte. Lo volvemos a poner aquí por conveniencia para el lector.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma $4k+1$ e infinitos números de la forma $4k+3$.

Es decir, el Teorema 1 afirma que para cada uno de los tipos hay una infinidad de primos. Veamos que en efecto esto sucede.

La primera parte del Teorema 1 no necesita que usemos el teorema de Navidad de Fermat.

Proposición 1. Hay una infinidad de primos de la forma $4k+3$.

Demostración. Supongamos que existiera únicamente una cantidad finita $n$ de primos de la forma $4k+3$ y supongamos que ellos son $p_1<\ldots<p_n$, en donde $p_1=3$. Consideremos el número $N=4p_2p_3\ldots p_n +3$ (ojo: no estamos incluyendo al $3$ en la multiplicación). Este número no puede ser primo pues es mayor que $p_n$ y $N\equiv 3\pmod 4$. De esta forma, debe tener al menos un divisor primo.

Tenemos que $N$ es impar, así que $2$ no divide a $N$. Si todos los divisores primos de $N$ fueran $1\pmod 4$, entonces $N$ sería $1\pmod 4$, pero esto no es cierto. De este modo, algún divisor primo $p$ de $N$ debe satisfacer $p\equiv 3 \pmod 4$. Notemos que $p$ no puede ser $3$, pues si $3\mid N$, tendríamos $3\mid 4p_1 \ldots p_n$, pero esto es imposible pues el número de la derecha no tiene ningún factor $3$. Con esto concluimos que $p=p_i$ para algún entero $i=2,\ldots,n$. Sin embargo, si $p_i\mid N$, entonces $p_i\mid N-(p_2\ldots p_n)=3$. Esto también es imposible pues $p_i\neq 3$. Así, es inevitable llegar a una contradicción, por lo que hay una infinidad de primos de la forma $4k+3$.

$\square$

La demostración anterior no funciona directamente para los primos de la forma $4k+1$, pues si hubiera una cantidad finita $n$ de ellos $p_1<\ldots < p_n$ y consideramos al número $4p_1\ldots p_n+1$, este número es congruente con $1\pmod 4$, pero nada garantiza que sus factores primos deban ser de la forma $1\pmod 4$ pues, por ejemplo, $3\equiv 3\pmod 4$, $7\equiv 3\pmod 4$, pero $3\cdot 7 \equiv 21 \equiv 1\pmod 4$. Tenemos que hacer algo distinto.

Proposición 2. Hay una infinidad de primos de la forma $4k+1$.

Demostración. Supongamos que existe una cantidad finita $n$ de primos de la forma $4k+1$ y que son $p_1<\ldots<p_n$. Consideremos al número $N=4(p_1p_2\ldots p_n)^2 +1$. Este número es de la forma $4k+1$. Por esta razón, es imposible que $N$ sea primo, pues es mayor que todo $p_i$.

Sea $p$ un divisor primo de $N$. Como $N$ es impar, $p\neq 2$. Como $p$ divide a $N$, tenemos que $(2p_1\ldots p_n)^2+1\equiv 0 \pmod p$, de modo que $x^2+1\equiv 0 \pmod p$ tiene solución y por el Teorema 2, $p$ se puede escribir como suma de dos cuadrados. Por el teorema de Navidad de Fermat, $p\equiv 1\pmod 4$. De esta forma, $p=p_i$ para alguna $i$. Pero entonces, $p$ divide a $N$ y a $4(p_1\ldots p_n)^2$, de modo que divide a su resta, que es $1$. Esto es imposible. Esta contradicción muestra que hay una cantidad infinita de primos de la forma $4k+1$.

$\square$

El Teorema 1 se sigue de las proposiciones 1 y 2.

¿Dónde seguir?

Aquí en el blog hay otras entradas en donde hablamos acerca de teoría de números. Puedes revisar las siguientes:

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética de números complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En entradas anteriores de esta sección hablamos de propiedades aritméticas de números enteros. En esta entrada veremos varias de las propiedades aritméticas de los números complejos y cómo se pueden usar para resolver problemas, incluso aquellos en los que los números complejos no están mencionados de manera explícita en el enunciado.

Distintas formas de los números complejos

La forma más común en la que pensamos en números complejos es en su forma rectangular, en donde un complejo se escribe de la forma $z=a+bi$, en donde $a$ y $b$ son números reales y pensamos a $i$ como un número tal que $i^2=-1$. A $a$ le llamamos la parte real y a $b$ la parte imaginaria.

Podemos colocar al complejo $z=a+ib$ en el plano cartesiano, identificándolo con el punto $(a,b)$. De aquí, la forma polar del complejo es $z=r(\cos \theta + i \sin \theta)$, en donde $r$ es la norma $|z|:=\sqrt{a^2+b^2}$ y si $z\neq 0$, $\theta$ es el argumento, que es el ángulo en el sentido antihorario desde el origen entre el eje horizontal y el punto $(a,b)$. Si $z=0+i0=0$, no definimos el argumento.

Forma polar y rectangular de un complejo
Forma polar y rectangular de un complejo.

Así como le hacíamos en el caso de trabajar con módulos, a veces conviene pensar que el argumento es el único ángulo en $[0,2\pi)$ que cumple lo anterior. En otras ocasiones, conviene pensar al argumento como a veces que es la clase de todos los ángulos módulo $2\pi$.

Cuando tenemos a complejos $w=a+ib$ y $z=c+id$ en forma rectangular, su suma $w+z=(a+c) + i(b+d)$ corresponde geométricamente a encontrar la diagonal del paralelogramo definido por $(a,b)$, $(c,d)$ y el origen, pues corresponde justo al punto $(a+c,b+d)$.

Suma de números complejos
Suma de números complejos.

Su multiplicación $wz$ en forma rectangular es $(ac-bd)+(ad+bc)i$, que geométricamente no es tan claro que sea.

La forma exponencial $z=re^{i\theta}$ es simplemente una forma de abreviar a la forma polar, pues por definición $e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$. En forma exponencial, el producto es más sencillo de entender.

Ejercicio. Demuestra lo siguiente:

  • Muestra que la norma es multiplicativa, es decir, que para complejos $r$ y $s$ se tiene que $|rs|=|r||s|$.
  • Muestra que $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$.

Sugerencia. Para el primer punto, haz las cuentas usando la forma rectangular. Para el segundo punto, escribe las definiciones de todos los términos en forma polar. Haz las multiplicaciones en el lado izquierdo y usa las fórmulas trigonométricas para sumas de ángulos.

Por el ejercicio anterior, si tenemos a los complejos en forma polar $w=re^{i\alpha}$, $z=se^{i\beta}$, entonces el producto es $wz=rse^{i(\alpha+\beta)}$, de modo que el producto corresponde al complejo con el producto de normas y suma de argumentos. En ocasiones esto nos permite plantear algunos problemas geométricos en términos de números complejos.

Producto de números complejos.
Multiplicación de números complejos.


Aplicaciones de aritmética de complejos

Veamos dos aplicaciones de la teoría anterior a problemas que no mencionan en el enunciado a los números complejos.

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros. Muestra que el número $(a^2+b^2)^n$ se puede expresar como la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Podría ser tentador usar el binomio de Newton para elevar el binomio a la $n$-ésima potencia. Sugerimos que intentes esto para darte cuenta de las dificultades que presenta.

Sugerencia pre-solución. Escribe a $a^2+b^2$ como el cuadrado de la norma de un complejo y usa que es multiplicativa.

Solución. El número $r=a^2+b^2$ es la norma al cuadrado del número complejo $z=a+ib$. Entonces, el número $r^n=(a^2+b^2)^n$ es la norma al cuadrado del número complejo $z^n=(a+ib)^n$. Pero al desarrollar $(a+ib)^n$ obtenemos únicamente a $i$, potencias de $a$ y de $b$, y coeficientes binomiales. De modo que $z^n=(a+ib)^n=c+id$ con $c$ y $d$ enteros (aquí estamos usando notación adecuada: no es necesario saber quienes son, sólo que son enteros). Así, $r^n=c^2+d^2$ con $c$ y $d$ enteros.

$\square$

Veamos ahora un ejemplo de geometría. Este problema es posible resolverlo de muchas formas, pero notemos que los números complejos nos dan una forma de hacerlo de manera algebraica de manera inmediata.

Problema. En la siguiente figura hay tres cuadrados de lado $1$ pegados uno tras otro. Determina la suma de los ángulos marcados con $\alpha$ y $\beta$.

Problema de suma de ángulos
Determinar el valor de la suma $\alpha+\beta$.

Sugerencia pre-solución. El problema pide determinar una suma de ángulos, así que conviene pensar esta suma de ángulos como el ángulo del producto de dos complejos. Haz tu propia figura, pero ahora sobre el plano complejo.

Solución. El ángulo $\alpha$ es igual al argumento del complejo $2+i$ y el ángulo $\beta$ es igual al argumento del complejo $3+i$. De esta forma, $\alpha+\beta$ es igual al argumento del complejo $(2+i)(3+i)=(6-1)+(2+3)i=5+5i$. Este complejo cae sobre la recta $\text{Re}(z)=\text{Im}(z)$, de modo que su argumento es $\pi / 4$.

$\square$

Este problema también se puede resolver de (numerosas) maneras geométricas, que puedes consultar en este video.

Fórmula de De Moivre

El siguiente teorema se puede demostrar por inducción sobre $n$.

Teorema (fórmula de De Moivre). Para cualquier entero $n$ y ángulo $\theta$ se tiene que $$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos (n\theta) + i \sin (n\theta).$$ Dicho de otra forma, en términos de la forma exponencial, se vale usar la siguiente ley de los exponentes $$(e^{\theta i})^n=e^{(n\theta) i}.$$

La fórmula de De Moivre es otra herramienta que ayuda a resolver problemas de números reales enunciándolos en términos trigonométricos. El truco consiste en:

  1. Tomar una expresión real que queramos entender.
  2. Identificarla como la parte real o imaginaria de una expresión compleja.
  3. Usar la aritmética de números complejos para entender la expresión compleja.
  4. Regresar lo que entendamos a los reales.

Veamos un par de ejemplos, relacionados con funciones trigonométricas. Comenzamos con una fórma de encontrar la fórmula para el coseno de cinco veces un ángulo.

Problema. Sea $\theta\in [0,2\pi)$. Expresa a $\cos 5\theta$ en términos de $\cos \theta$.

Sugerencia pre-solución. Identifica a $\cos 5\theta$ como la parte real de un número complejo. Inspírate en la fórmula de De Moivre. Usa binomio de Newton.

Solución. Por la fórmula de De Moivre, $\cos 5\theta$ es la parte real del complejo $(\cos \theta + i \sin \theta)^5$, así que calculemos quién es exactamente este número usando binomio de Newton. Para simplificar la notación, definimos $a=\cos \theta$ y $b=\sin \theta$. Tenemos que

\begin{align*}
(a+ib)^5&=a^5+5a^4(bi)+10a^3(ib)^2+10a^2(ib)^3+5a(ib)^4+(ib)^5\\
&=(a^5-10a^3b^2+5ab^4) + (5a^4b-10a^2b^3+b^5) i.
\end{align*}

Además, por la identidad pitagórica recordemos que $a^2+b^2=1$, de donde $b^2=1-a^2$, de modo que la parte real de la expresión anterior es $$a^5-10a^3(1-a^2)+5a(1-2a^2+a^4),$$ que agrupando es $$16a^5-20a^3+5a.$$ Recordando que $a$ es $\cos \theta$, obtenemos la fórmula final $$\cos 5\theta = 16\cos^5 \theta – 20 \cos^3 \theta + 5\cos \theta.$$

$\square$

Raíces de la unidad

En muchos problemas se utilizan las raíces de la ecuación $x^n=1$.

Teorema. Sea $n\geq 1$ un entero. Las ecuación $x^n=1$ tiene $n$ soluciones complejas, que en el plano complejo forman los vértices del $n$-ágono regular con centro en $0$ y tal que uno de sus vértices es $1$. Si $\omega$ es la raíz de menor argumento positivo, entonces estas soluciones son $1,\omega, \omega^2,\ldots,\omega^{n-1}$.

Raíces de la unidad en los números complejos
Raíces $n$-ésimas de la unidad para $n=5$.

A estas soluciones les llamamos las raíces $n$-ésimas de la unidad. Notemos que $\omega^{n}=1$, y que en general si escribimos a un entero $m$ usando el algoritmo de la división como $m=qn+r$, entonces $\omega^m=\omega^r$. ¡Los productos de raíces de la unidad se comportan como los elementos de $\mathbb{Z}_n$ bajo suma módulo $n$!

Proposición. Sea $n\geq 2$ un entero. La suma de las $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad es $0$ y su producto es $1$.

La proposición anterior nos permite, en ocasiones, «filtrar» ciertas expresiones algebraicas. A continuación presentamos un ejemplo, que retomamos de los primeros ejemplos que vimos, cuando estábamos aprendiendo la heurística de encontrar un patrón.

Problema. Determina el valor de la suma $$\binom{100}{0}+\binom{100}{3}+\binom{100}{6}+\ldots+\binom{100}{99}.$$

Sugerencia pre-solución. Si no recuerdas lo que debería salir, vuelve a experimentar con los primeros valores, para cuando en vez de usar $100$ se usan números más chiquitos. Para entender mejor el patron, generaliza el problema, y en vez de sólo tener múltiplos de $3$ abajo, explora también qué sucede cuando tienes los números que dejan residuo $0$, $1$ o $2$ módulo $3$.

Ya que recuerdes la fórmula que queremos, considera una raíz cúbica $\omega$ de la unidad distinta de $1$. Calcula $(1+1)^{100}$, $(1+\omega)^{100}$ y $(1+\omega^2)^{100}$ usando el binomio de Newton y aprovechando que toda potencia de $\omega$ es $1$, $\omega$ u $\omega^2$ para simplificar la notación.

Solución. Sea $\omega$ una raíz cúbica de la unidad distinta de $1$. Tenemos que $\omega^3=1$ y que $1+\omega+\omega^2=0$. De este modo, podemos usar $\omega$ y el binomio de Newton para calcular las siguientes expresiones

\begin{align*}
(1+1)^{100}&=\binom{100}{0}+\binom{100}{1}+\binom{100}{2}+ \binom{100}{3}+ \ldots\\
(1+\omega)^{100}&= \binom{100}{0}+\binom{100}{1}\omega+\binom{100}{2}\omega^2+\binom{100}{3}+\ldots\\
(1+\omega^2)^{100}&= \binom{100}{0}+\binom{100}{1}\omega^2+\binom{100}{2}\omega+ \binom{100}{3}+\ldots
\end{align*}

¿Qué sucede al sumar las tres expresiones? En el lado derecho, cada vez que $m$ es un múltiplo de $3$, tenemos $3\binom{100}{m}$, y cada vez que $m$ no es un múltiplo de $3$, tenemos $$(1+\omega+\omega^2)\binom{100}{m}=0.$$ ¡Se filtran exactamente los coeficientes binomiales con parte inferior múltiplo de $3$! Así, tres veces la suma que buscamos es igual a $$2^{100}+(1+\omega)^{100}+(1+\omega^2)^{100}.$$

Esta ya es una expresión suficientemente cerrada, pero podemos simplificar todavía más:

\begin{align*}
(1+\omega)^{100}&=(-\omega^2)^{100}=\omega^{200}=\omega^2\\
(1+\omega^2)^{100}&=(-\omega)^{100}=\omega\\
(1+\omega)^{100}+(1+\omega^2)^{100}&=\omega^2+\omega=-1.
\end{align*}

Así, la expresión que queremos es $\frac{2^{100}-1}{3}$.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.5 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.