Álgebra Superior II: Compatibilidad del orden con las operaciones de los naturales

Introducción.

En las entradas anteriores, nos encargamos de definir con toda formalidad la estructura con la que hemos estado familiarizados desde hace mucho; sin embargo, en principio, la forma en que definimos el orden y las distintas operaciones, no parece ser que

Para finalizar con el estudio de los números naturales, veremos las importantes relaciónes que hay entre el orden que definimos para $\mathbb{N}$ en la entrada anterior, y las operaciones que hemos trabajado a lo largo de este tema. Para esto, nuevamente ocuparemos el Principio de Inducción.

Una equivalencia del orden

Aunque como mencionamos en la introducción, la forma en que definimos el orden, no parece tener mucha relación con las operaciones definidas, usando la definición de la suma, podemos dar una definición equivalente del orden en $\mathbb{N}$, en el siguiente teorema, demostramos que en efecto, ambas caracterizaciones son equivalentes.

Teorema.Si $n,m$ son números naturales, se tiene que $n<m$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que n+k=m

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$.

Si $n=0$, si $0<m$, entonces $m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ y $n+m=0+m=m$. Recíprocamente, si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $0+k=m$, tendremos que $k=m$, por lo que $m\neq 0$ y por lo tanto $0<m$. Con esto probamos la base de inducción.

Supongamos que el resultado es válido para alguna $n$ y probemos que el resultado para $\sigma(n)$ es decir, que si $m\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)<m\Leftrightarrow$ existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $\sigma(n)+k=m$.

Verifiquemos la ida de la demostración. Supongamos que $\sigma(n)<m$, entonces $n<m$, por lo que por la hipótesis de inducción concluimos que existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, como $k\neq0$, existe $k’$ tal que $\sigma(k’)=k$, entonces tenemos que

\begin{align*}
m&=n+k\\
&=n+\sigma(k’)\\
&=\sigma(n)+k’
\end{align*}

Notemos además que $k’\neq 0 $, ya que si $k’=0$, entonces $m=\sigma(n)$ lo cual es un contradicción.

Para el regreso, supongamos que existe $k\neq 0$ tal que $\sigma(n)+k=m$ y demostremos que $\sigma(n)\in m$. Como $\sigma(n)+k=m$, concluimos que $n+ \sigma(k)=m$, por lo que $n<m$ y por lo visto en la entrada de La relación de orden en los naturales, tendremos que $\sigma(n)\leq m$. Si $\sigma(n)=m$, entonces cancelando, obtenemos que $k=0$, lo cual es absurdo, entonces solo queda que $\sigma(n)<m$. Con esto concluimos la inducción y la prueba

$\square$

El orden y las operaciones

Con el anterior resultado, es más fácil ver las relaciones que tendrán el orden con las operaciones, por ejemplo, la siguiente.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}$, entonces $n+l<m+l$

Demostración. Como $n<m$, entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, de donde $n+l+k=m+l$, pero justo esa es la definición de que $n+l<m+l$

$\square$

Corolario. Si $a<b$ y $c<d$, entonces $a+c<b+d$

Demostración. Como $a<b$, entonces $a+c<b+c$, y como $c<d$, tenemos que $b+c<b+d$. Por la transitividad del orden, obtenemos el resultado

$\square$

Finalizamos la entrada, marcando la relación entre el orden y la multiplicación.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot l<m\cdot l$

Demostración. Como $n<m$ entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, por lo que $nl+lk=ml$, sin embargo, como $l$ y $k$ son distintos de cero, entonces $lk$ también es distinto de cero, por lo que $nl<ml$ justo como debíamos probar.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que si $a<b$ y $c<d$, entonces $ac<bd$, no es necesario suponer que los números son distintos de cero
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $n^l<m^l$. Sugerencia, usa inducción sobre $l$
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $l^n<l^m$
  • Si $n<m$, entonces $n!<m!$
  • Demuestra que si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $(1+m)^n\geq 1+nm$

Más adelante

Con esta entrada, terminamos el estudio de los números naturales, por lo que en la siguiente entrada empezaremos con el estuidio de los números enteros, sin embargo, toda la teoría que hemos desarrollado hasta el momento, será la base para poder dar una definición precisa de qué son los números enteros, y sus operaciones, por lo que es importante seguir practicando.

Hay que hacer una especial mención a los principios de inducción y de buen orden, ya que jugarán un papel crucial a la hora de estudiar las propiedades de los enteros, que nos servirán para desarrollar lo que conocemos como teoría de números.

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