Ecuaciones Diferenciales l

Esta es la página del curso de Ecuaciones Diferenciales I.

En este curso se cubre el temario oficial de Ecuaciones Diferenciales I de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Organización del curso

El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.

  • Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden
  • Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
  • Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
  • Unidad 4: Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Notas del curso

A continuación puedes encontrar las notas que se están elaborando para este curso. Están siendo creadas por Omar González Franco.

Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden

Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden

  • Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden – Introducción
  • Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes
  • Propiedades del conjunto de soluciones
  • Solución general
  • Ecuaciones no homogéneas, métodos de variación de parámetros
  • Interpretación geométrica de las soluciones en el plano
  • Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Introducción
  • Métodos de solución por series de potencia
  • Cálculo del radio de convergencia
  • Ecuaciones singulares y el método de Frobenius
  • Ecuaciones diferenciales especiales

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

  • Transformada de Laplace y de Fourier – Introducción
  • Transformada de Laplace y de Fourier para resolver ecuaciones de segundo orden
  • Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales – Introducción
  • Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden
  • Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas
  • Soluciones lineales independientes
  • Ecuación del wronskiano y su solución
  • Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios
  • Núcleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton
  • Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas
  • Método de variación de parámetros
  • Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden caso con coeficientes constantes y coeficientes continuos

Unidad 4: Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

  • Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales – Introducción
  • Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
  • Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio
  • Plano fase
  • Linealización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
  • Descripción cualitativa de los conjuntos límites y el Teorema de Poincaré Bendixon en el plano
  • Dibujo cualitativo del plano fase
  • Optativo:  Ecuaciones en diferencias y métodos numéricos

Videos del curso

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Para este curso también se están creado videos auxiliares elaborados por Eduardo Vera Rosales.

Aunque la mayoría de los temas se abordan tanto en notas como en videos, existen temas que únicamente podrás encontrar en notas ó videos.

Unidad 1: Introducción al curso y ecuaciones diferenciales de primer orden

Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden

  • Transformada de Laplace: solución a una ecuación lineal con coeficientes constantes

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales

  • Reducción de una ecuación diferencial de orden $n$ a un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden
  • Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas
  • Exponencial de una matriz
  • Valores y vectores propios, polinomio característico y sus raíces
  • Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces distintas del polinomio característico
  • Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces iguales del polinomio característico
  • Sistemas de ecuaciones de primer orden homogéneas con coeficientes constantes: raíces complejas del polinomio característico
  • Sistemas de ecuaciones no homogéneas: solución por variación de parámetros
  • Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden

Unidad 4: Teoría cualitativa de sistemas de ecuaciones de primer orden

  • Geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden, campo vectorial asociado y soluciones de equilibrio
  • Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
  • Plano fase para sistemas lineales con valores propios reales distintos no nulos
  • Clasificación de puntos de equilibrio cuando los valores propios asociados al sistema son reales no nulos
  • Plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos
  • Clasificación de puntos de equilibrio cuando los valores propios asociados al sistema son complejos
  • Plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos y cuando todo vector en el plano es un vector propio
  • Plano fase para sistemas lineales con cero como valor propio
  • Linealización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
  • Conjuntos límite y su descripción cualitativa. Teorema de Poincaré-Bendixon en el plano
  • Dibujo cualitativo del plano fase
  • Sistemas Hamiltonianos
  • Sistemas disipativos
  • Función de Lyapunov
  • Sistemas gradiente

Moodle del curso

Además de las notas y videos del curso, se encuentra en preparación un curso en Moodle en donde habrá mucho más material:

  • Foros de discusión divididos por cada unidad temática
  • Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
  • Tareas y exámenes

Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

La principal bibliografía para las notas es:

  • Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, novena edición.
  • Ecuaciones Diferenciales, Paul Blanchard, Robert L. Devaney y Glen R. Hall.
  • Ecuaciones Diferenciales, Isabel Carmona y Ernesto Filis, quinta edición.
  • Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera computo y modelado, C. Henry Edwards y David E. Penney, cuarta edición.
  • Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera, R. Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur D. Snider, cuarta edición.

La principal bibliografía para los videos es:

  • Ecuaciones Diferenciales, Paul Blanchard, Robert L. Devaney y Glen R. Hall.
  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Boyce y DiPrima.
  • Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones, Braun.

En algunas entradas referentes a videos aparecen enlaces a biografías de diversos matemáticos. Estas biografías son consultadas en la siguiente página web.

Créditos

Las siguientes personas han colaborado en crear el material para este curso.

  • Omar González Franco
  • Eduardo Vera Rosales
  • Sandra Cecilia Pérez Valles
  • Carlos Joaquín Castañeda Castro