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Álgebra Lineal I: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y Gauss

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

8 respuestas

Introducción

En la entrada anterior hablamos acerca de formas bilineales y comenzamos a hablar de formas cuadráticas. Discutimos cómo a partir de estas nociones a la larga podremos hablar de geometría y cálculo en espacios vectoriales. El objetivo de esta entrada es entender mejor a las formas cuadráticas y su relación con formas bilineales.

Lo primero que haremos es demostrar la identidad de polarización, que a grandes rasgos dice que hay una biyección entre las formas bilineales simétricas y las formas cuadráticas. Veremos algunos ejemplos concretos de esta biyección. A partir de ella demostraremos algunas propiedades de formas cuadráticas. Finalmente, hablaremos brevemente de un bello resultado de Gauss que caracteriza las formas cuadráticas en $\mathbb{R}^n$ en términos de formas lineales, de las cuales discutimos mucho cuando hablamos de espacio dual.

Como pequeño recordatorio de la entrada anterior, una forma bilineal de un espacio vectorial $V$ es una transformación $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que cada que fijamos una coordenada, es lineal en la otra. Esta forma es simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cada par de vectores $x,y$ en $V$. Una forma cuadrática de $V$ es una transformación $q:V\to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para alguna forma bilineal $b$.

Formas cuadráticas y polarización

En la entrada anterior enunciamos el siguiente teorema, que mostraremos ahora.

Teorema (identidad de polarización). Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo vector $x$. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

Demostración. Tomemos una forma cuadrática $q$ de $V$. Por definición, está inducida por una forma bilineal $B$ de $V$, es decir, $q(x)=B(x,x)$. Definamos la transformación $b$ mediante $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$ Comencemos probando que $b$ es una transformación bilineal simétrica. Notemos que:
\begin{align*}
b(x,y)&=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}\\
&=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\
&=\frac{B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\
&=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.
\end{align*}

De aquí es muy claro que $b$ es forma bilineal, pues fijando $x$, set tiene que $b(x,y)$ es combinación lineal de dos formas lineales en $y$; y fijando $y$, se tiene que $b(x,y)$ es combinación lineal de dos formas lineales en $x$. Además, de esta igualdad (o directo de la definición de $b$) es claro que $b(x,y)=b(y,x)$.

También de esta igualdad obtenemos que $$b(x,x)=B(x,x)=q(x).$$

Para mostrar la unicidad, notemos que cualquier forma bilineal simétrica $b’$ tal que $b'(x,x)=q(x)$ debe satisfacer, como en las cuentas que hicimos arriba, que
\begin{align*}
q(x+y)&=b'(x+y,x+y)\\
&=q(x)+q(y)+b'(x,y)+b'(y,x)\\
&=q(x)+q(y)+2b'(x,y).
\end{align*}

De aquí, despejando $b’$, se obtiene que debe tener la forma de $b$.

$\square$

El teorema anterior justifica la siguiente definición.

Definición. Dada una forma cuadrática $q$ de $V$, a la única forma bilineal simétrica $b$ de $V$ tal que $q(x)=b(x,x)$ le llamamos la forma polar de $q$.

Ejemplo 1. En el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$, la transformación $q:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ dada por $$q(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2.$$ es una forma cuadrática. Su forma polar es la forma bilineal producto punto que manda a $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $y=(y_1,\ldots,y_n)$ a $$b(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n.$$

Esto coincide con la construcción dada por la identidad de polarización, ya que \begin{align*}q(x+y)-q(x)-q(y)&=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2-x_i^2-y_i^2 \\&= \sum_{i=1}^n x_iy_i\end{align*}

$\triangle$

Ejemplo 2. En el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ de polinomios con coeficientes reales, la transformación $Q$ dada por $$Q(p)=p(0)p(1)+p(2)^2$$ es una forma cuadrática. Para encontrar a su forma bilineal polar, usamos la identidad de polarización
\begin{align*}
B(p,q)&=\frac{Q(p+q)-Q(p)-Q(q)}{2}\\
&=\frac{(p+q)(0)(p+q)(1)+(p+q)(2)^2-p(0)p(1)-p(2)^2-q(0)q(1)-q(2)^2}{2}\\
&=\frac{p(0)q(1)+q(0)p(1)+2p(2)q(2)}{2}\\
&=\frac{p(0)q(1)}{2}+\frac{p(1)q(0)}{2}+p(2)q(2).
\end{align*}

$\triangle$

Propiedades de formas cuadráticas

Si $q$ es una forma cuadrática, $x$ es un vector y $c$ es un real, tenemos que $q(cx)=c^2q(x)$, pues sale una $c$ por cada una de las coordenadas de la forma bilineal asociada. En particular, $q(-x)=q(x)$.

La identidad de polarización nos permite probar otras propiedades de formas bilineales y formas cuadráticas.

Proposición. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con forma polar $b$. Entonces:

  • Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.$$
  • (Ley del paralelogramo) Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $$q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).$$
  • (Teorema de Pitágoras) Para vectores $x$ y $y$ tales que $b(x,y)=0$, se tiene que $$q(x+y)=q(x)+q(y).$$
  • (Diferencia de cuadrados) Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $b(x+y,x-y)=q(x)-q(y).$

Demostración. Por la identidad de polarización tenemos que $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2},$$ y como $q(y)=q(-y)$, tenemos también por la identidad de polarización que \begin{align*}-b(x,y)&=b(x,-y)\\&=\frac{q(x-y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{align*}

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos la primer propiedad. Sumando ambas obtenemos la ley del paralelogramo.

El teorema de Pitágoras es una consecuencia directa de la identidad de polarización.

La identidad de diferencia de cuadrados es una consecuencia de la primer propiedad aplicada a los vectores $x+y$ y $x-y$, y de usar que $q(2x)=4q(x)$ y que $q(2y)=4q(y)$.

$\square$

Forma de las formas cuadráticas

Otra consecuencia de la identidad de polarización es que establece una biyección entre las formas cuadráticas y las formas simétricas bilineales. Esta asociación nos permite decir cómo se ven exactamente las formas cuadráticas en espacios vectoriales de dimensión finita.

Toda forma cuadrática viene de una forma bilineal simétrica. En la entrada anterior, mencionamos que para definir una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ y decidir los valores $b_{ij}$ de $b(e_i,e_j)$ para $1\leq i \leq j \leq n$. Como $b$ es simétrica, para $j<i$ se tendría que $b(e_i,e_j)=b(e_j,e_i)$, es decir, que $b_{ji}=b_{ij}$.

De esta forma, para todo vector $v$ en $V$ podemos encontrar el valor de $q(v)$ expresando $v$ en la base $\{e_1,\ldots,e_n\}$, digamos, $$v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n,$$ de donde $$q(v)=\sum_{i=1}^n b_{ii} a_i^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq n} b_{ij} a_i a_j.$$

Ejemplo. Toda forma cuadrática en $\mathbb{R}^3$ se obtiene de elegir reales $a,b,c,d,e,f$ y definir $$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx.$$ La forma polar de $q$ es la forma bilineal $B$ tal que para la base canónica $e_1,e_2,e_3$ de $\mathbb{R}^3$ hace lo siguiente

\begin{align*}
B(e_1,e_1)&=a\\
B(e_2,e_2)&=b\\
B(e_3,e_3)&=c\\
B(e_1,e_2)&=B(e_2,e_1)=d\\
B(e_2,e_3)&=B(e_3,e_2)=e\\
B(e_3,e_1)&=B(e_1,e_3)=f.
\end{align*}

$\triangle$

Teorema de Gauss de formas cuadráticas (opcional)

Para esta sección, fijemos al espacio vectorial como $\mathbb{R}^n$. Hay una forma muy natural de construir formas cuadráticas a partir de formas lineales. Tomemos números reales $\alpha_1,\ldots, \alpha_r$ y formas lineales $l_1,\ldots,l_r$. Consideremos $$q(x)=\alpha_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2.$$ Se tiene que $q$ es una forma cuadrática. La demostración de ello es sencillo y se queda como tarea moral.

Lo que descubrió Gauss es que todas las formas cuadráticas se pueden expresar de esta forma, y de hecho, es posible hacerlo usando únicamente formas lineales que sean linealmente independientes y coeficientes $1$ y $-1$.

Teorema (clasificación de Gauss de formas cuadráticas). Sea $q$ una forma cuadrática en $\mathbb{R}^n$. Entonces, existen enteros no negativos $r$ y $s$, y formas lineares $l_1,\ldots,l_r,m_1,\ldots,m_s$ en $(\mathbb{R}^n)^\ast$, todas ellas linealmente independientes, tales que $$q=l_1^2+\ldots+l_r^2-m_1^2-\ldots-m_s^2.$$

Hay un pequeño refinamiento de este teorema, demostrado por Sylvester.

Teorema (teorema de la inercia de Sylverster). Los números $r$ y $s$ en el teorema de clasificación de Gauss de formas cuadráticas son únicos.

Ejemplo. Tomemos la forma cuadrática en $\mathbb{R}^3$ dada por $q(x,y,z)=xy+yz+zx$. Por el teorema de Gauss, esta forma se debe de poder poner como combinación lineal de cuadrados de formas lineales independientes. En efecto, tenemos que: $$xy+yz+zx=\left(\frac{2x+y+z}{2}\right)^2-\left(\frac{y-z}{2}\right)^2-x^2,$$ en donde
\begin{align*}
(x,y,z)&\mapsto \frac{2x+y+z}{2},\\
(x,y,z) &\mapsto \frac{y-z}{2}\quad \text{ y }\\
(x,y,z)&\mapsto x
\end{align*}
son formas lineales linealmente independientes.

$\triangle$

Más adelante…

En esta entrada estudiamos a fondo la identidad de polarización; esto nos permitió concluir que existe una biyección entre las funciones bilineales simétricas y las formas cuadráticas. También, pusimos mucho énfasis en ejemplos concretos de esta biyección.

Con esto estamos listos para empezar a pensar en cómo haríamos geometría o cálculo en espacios vectoriales. Abordaremos estos temas al final de esta unidad. En la siguiente entrada hablaremos del producto interior.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Verifica que las formas cuadráticas de los ejemplos del teorema de polarización en efecto son formas cuadráticas.
  • Muestra que $q(x,y)=3x^2-y^2+7y$ no es una forma cuadrática.
  • Muestra que si $\alpha_1,\ldots, \alpha_r$ son reales y tomamos formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ en $\mathbb{R}^n$, entonces $$q(x)=a_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2$$ es una forma cuadrática.
  • ¿Quién es la forma polar de la forma cuadrática $Q(f)=\int_{0}^1 f^2(x)\, dx$ en el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$?

Una demostración algorítmica del teorema de Gauss se puede encontrar en la Sección 10.1 del libro de Álgebra Lineal de Titu Andreescu.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema fundamental del cálculo

Por Fabian Ferrari

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Introducción

Ya platicamos de continuidad, diferenciabilidad e integrales, así como de otros temas de cálculo. En esta sección reuniremos varias de estas ideas a través de uno de los resultados más importantes: el teorema fundamental del cálculo. Este teorema nos exhibe la relación que hay entre la derivada y la integral, distinguiéndolas como procedimientos inversos el uno del otro.

El teorema nos dice que si tenemos una función $F(x)$ derivable sobre un intervalo $[a, b]$, entonces

\begin{equation*}
\int_{a}^{b} \! F^\prime(t) \, dt = F(b)-F(a).
\end{equation*}

Ahora bien, si nuestra función $F(t)$ es derivable en $[0,x]$, tenemos que

\begin{equation*}
\int_{0}^{x} \! F^\prime(t) \, dt = F(x)-F(0),
\end{equation*}

a lo que le sigue que

\begin{equation*}
F(x)=\int_{0}^{x} \! F^\prime(t) \, dt + F(0).
\end{equation*}

Esto nos recuerda a la constante de integración

\begin{equation*}
F(x)=\int_{0}^{x} \! F^\prime(t) \, dt + C.
\end{equation*}

Es decir, tenemos que $C=F(0)$.

Aquí en el blog, en la entrada «Teoremas fundamentales de los cuadraditos» damos la intuición acerca de este teorema, comenzando con el caso discreto. Puedes leerlo antes de continuar.

Usar el teorema fundamental del cálculo para obtener una identidad trigonométrica

Veamos un ejemplo. Tenemos que la derivada de la función $F(t)=\sin^2 t$ es $F^\prime (t)=2\cos t\sin t$. Por el teorema fundamental del cálculo, la integral de $F'(t)$ en el intervalo $[0,x]$ está dada por

\begin{equation*}
\int_{0}^{x}\! 2 \sin t \cos t \, dt=\sin^2x,
\end{equation*}

en donde usamos que $F(0)=\sin^2(0)=0$.

Por otro lado, resolviendo la integral utilizando el cambio de variable $u=\cos t$, tenemos que $$\int_{0}^{x}\! 2 \sin t \cos t \, dt= \left. -\cos^2t \right |_0^x= -\cos^2x+1.
$$

Igualando ambos valores de la integral, tenemos que $\sin^2x=-\cos^2 x+1$. De aquí obtenemos la identidad trigonométrica pitagórica $\sin^2 x+\cos^2x=1$ para toda $x$.

Veamos ahora un problema en el que, mediante el problema fundamental del cálculo,

Problema. Aplicando el teorema fundamental del calculo halla $$\int_{a}^{b}\! \sec x\, dx.$$

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente multiplicando y dividiendo la expresión por $\sec x + \tan x$. Intenta identificar la expresión resultante como la derivada de otra función.

Solución. Para resolver este problema tenemos que hallar una función $F(x)$ de tal forma que $F^\prime (x)= \sec x$.

Para ello, tenemos que notar que

\begin{align*}
\sec x &=\sec x \left(\frac{ \sec x + \tan x}{\sec x+ \tan x}\right)\\ &=\frac{\sec^2x+\sec x \tan x}{\sec x+\tan x}.
\end{align*}

Y entonces la derivada de $\ln (\sec x + \tan x)$ es igual a

\begin{align*}
\left(\frac{1}{\sec x + \tan x}\right)&(\sec^2x+\sec x \tan x)\\
&=\frac{\sec^2x+\sec x \tan x}{\sec x+\tan x}\\&=\sec x.
\end{align*}

Proponemos a la función

\begin{equation*}
F(x)=\ln (\sec x + \tan x)
\end{equation*}

dado que

\begin{equation*}
F^\prime (x)=\sec x.
\end{equation*}

Ahora, aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos que

\begin{align*}
\int_{a}^{b}\! \sec x\, dx&=F(b)-F(a)\\&=\ln (\sec b + \tan b)-\ln (\sec a + \tan a)
\end{align*}

$\square$

Segundo teorema fundamental del cálculo

Veamos una implicación del teorema fundamental del cálculo, que también se le conoce como el «segundo teorema fundamental del cálculo».

Para una función $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ continua en el intervalo $[a,b]$ se tiene que:

\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{x}\! f(t)\, dt\right)=f(x)
\end{equation*}

Problema. Determina $$\frac{d}{dx}\left(\int_{3x-1}^{0} \! \frac{1}{t+4}\, dt\right).$$

Sugerencia pre-solución. Usa el segundo teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

Solución. Como $$\int_{3x-1}^{0} \! \frac{1}{t+4}\, dt=-\int_{0}^{3x-1} \! \frac{1}{t+4}\, dt,$$ tenemos entonces que

$$\frac{d}{dx}\left(\int_{3x-1}^0 \frac{1}{t+4} \, dt\right)= – \frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{3x-1} \frac{1}{t+4} \, dt\right).$$

Por otro lado, consideremos las funciones

\begin{align*}
f(x)&=\int_{0}^{x} \! \frac{1}{t+4}\, dt \quad \text{y}\\
g(x)&=3x-1.
\end{align*}

Aplicando el teorema fundamental del cálculo y derivando tenemos que

\begin{align*}
f^\prime (x)&=\frac{1}{x+4} \quad \text{y}\\
g^\prime (x)&=3.
\end{align*}

Notemos que

\begin{align*}
(f \circ g)(x)&=f( g(x) )\\&=f(3x-1)\\&=\int_{0}^{3x-1}\! \frac{1}{t+4}\, dt.
\end{align*}

Así, aplicando la regla de la cadena, tenemos que

\begin{align*}
-\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{3x-1} \! \frac{1}{t+4}\, dt\right)&=-\frac{d}{dx}(f(g(x))\\&=-f^\prime (g(x)) g^\prime(x)\\
&=-\frac{1}{(3x-1)+4}\cdot 3\\
&=-\frac{1}{x+1}.
\end{align*}

$\square$

Veamos un último problema en el que se usa la segunda forma del teorema fundamental del cálculo.

Problema: Supongamos que $f$ es una función continua para toda $x$, la cual satisface la ecuación

\begin{equation}
\int_{0}^{x} \! f(t)\, dt= \int_{x}^{1} \! t^2f(t) \, dt +\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C,
\end{equation}

donde $C$ es una constante. Encuentra la forma explícita de la función $f(x)$ y determina el valor de la constante $C$.

Sugerencia pre-solución.

Solución. De la ecuación, tenemos lo siguiente

\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x} \! f(t)\, dt\right)= \frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{1} \! t^2f(t) \, dt +\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C \right)
\end{equation*}

Como $f$ es continua para toda $x$, por el teorema fundamental del cálculo en su segunda forma tenemos que

\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \! f(t)\, dt \right)= f(x)
\end{equation*}

y

\begin{align*}
\frac{d}{dx} \left( \int_{x}^{1} \! t^2f(t)\, dt \right)&= – \frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \! t^2f(t)\, dt \right)\\&= -x^2f(x).
\end{align*}

Entonces, derivando ambos lados de la expresión original nos resulta la ecuación

\begin{equation*}
f(x)=-x^2f(x)+2x^{15}+2x^{17},
\end{equation*}

de la cual se obtiene

\begin{align*}
f(x) (x^2+1)&=2x^{15}+2x^{17}\\
&=2x^{15}(x^2+1)
\end{align*}

Así, tenemos que

\begin{equation*}
f(x)=2x^{15}.
\end{equation*}

Sustituyendo $f(t)=2t^{15}$ en la ecuación (1), tenemos que

\begin{equation*}
\int_{0}^{x} \! 2t^{15}\, dt= \int_{x}^{1} \! t^2(2t^{15}) \, dt +\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C
\end{equation*}

Así,

\begin{align*}
\int_{0}^{x} \! 2t^{15}\, dt&= \int_{x}^{1} \! t^2(2t^{15}) \, dt +\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C\\
\int_{0}^{x} \! 2t^{15}\, dt &= -\int_{1}^{x} \! 2t^{17} \, dt +\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C\\
\left. \frac{2t^{16}}{16} \right|_{0}^{x} &= – \left. \left(\frac{2t^{18}}{18} \right) \right|_{1}^{x}+\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{9}+C\\
\frac{x^{16}}{8} &= – \left( \frac{x^{18}}{9}-\frac{1}{9}\right)+\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{18}}{19}+C\\
\end{align*}

Con ello, tenemos que

\begin{equation*}
C+\frac{1}{9}=0.
\end{equation*}

Por lo tanto la función que satisface la ecuación es $f(x)=2x^{15}$ y el valor de la constante es $C= – \frac{1}{9}$.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación del teorema fundamental del cálculo en la Sección 6.9 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Problemas de cálculo variados

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En las entradas anteriores ya tratamos varios temas de cálculo y cómo se combinan con heurísticas para resolver problemas de cálculo. Veremos ahora otros problemas para repasar las técnicas que hemos aprendido hasta ahora y explorar algunas nuevas ideas.

Los primeros dos ejemplos son del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Los últimos dos son de un concurso universitario: la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas.

El método del factor de integración

Para resolver problemas de cálculo, también es útil tener algunas ideas de ecuaciones diferenciales. Un método muy útil en la resolución de problemas es el método de factor de integración, que ayuda a resolver ecuaciones diferenciales de la forma $$y’+a(x)y=b(x).$$

La idea para resolver esta ecuación diferencial en $y$ (es decir, despejar a $y$ en términos de $a$ y $b$) es multiplicar ambos lados de la ecuación por $I(x)=e^{\int a(x)\, dx$ y observar que por regla de la cadena, la regla del producto y el teorema fundamental del cálculo, tenemos la ecuación diferencial equivalente $$(yI(x))’ =I(x)b(x).$$

De aquí, podemos integrar de ambos lados en un intervalo $[c,x]$. Por el teorema fundamental del cálculo, existe una constante $C$ tal que $$yI(x)=\int_{c}^x I(t) b(t)\, dt + C,$$ y ya de aquí podemos despejar $$y=I(x)^{-1}\left( \int_{c}^x I(t) b(t)\, dt + C\right).$$

A $I(x)$ se le conoce como el factor de integración.

Problema. Sea $f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ una función diferenciable y supongamos que $$\lim_{x\to \infty} f(x)+f'(x) = 0.$$ Muestra que $$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$$

Sugerencia pre-solución. Define $g(x)=f(x)+f'(x)$ y usando el método de integración «despeja» a $f$ en términos de $g$.

Solución. Definamos $g(x)=f(x)+f'(x)$. La hipótesis dice que $\lim_{x\to 0} g(x) = 0$, así que para obtener información de $f$ en términos de $g$, podemos usar el método de factor de integración. Por la discusión antes de este párrafo, tenemos que $$f(x)=e^{-x}\int_a^x e^t g(t) \,dt + Ce^{-x}.$$

Tomemos un $\epsilon>0$. Como $g(x)\to 0$ cuando $x\to \infty$, podemos tomar un $a$ tal que $|g(x)|<\epsilon$ para todo $x>a$. Usando desigualdad del triángulo en sumas e integrales, tenemos que para $x>a$
\begin{align*}
|f(x)|&\leq e^{-x}\left|\int_a^x e^t g(t)\right|+|Ce^{-x}|\\
&\leq e^{-x}\int_a^x e^t|g(t)|\, dt + |C|e^{-x}\\
&\leq \epsilon e^{-x}\int e^t\, dt + |C|e^{-x}\\
&=\epsilon e^{-x}(e^x-e^a)+|C|e^{-x}\\
&=\epsilon(1-e^{a-x})+|C|e^{-x}
\end{align*}

Tenemos que $\lim_{x\to \infty} e^{a-x} = 0$ y que $\lim_{x\to \infty} e^{-x}=0$, de modo que si $x$ es suficientemente grande, la expresión anterior nos dice $|f(x)|<2\epsilon$. En otras palabras, $f(x)\to 0$ cuando $x\to \infty$, como queríamos.

$\square$

Una integral con doble derivada

Problema. Sea $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable que cumple $f(0)=f(1)=0$ y tal que $f(x)>0$ para $x$ en $(0,1)$. Muestra que $$\int_0^1 \left| \frac{f»(x)}{f(x)} \, dx \right| > 4.$$

Sugerencia pre-solución. Tenemos ya varias técnicas para evaluar o estimar integrales. Si con un método llegas a una pared, intenta usar otro método. Necesitarás el teorema del valor extremo, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.

Solución. Por el teorema del valor extremo, existe un valor $c$ en $(0,1)$ tal que $y=f(c)$ es un máximo de $f$. Por el teorema del valor medio, existen puntos $a$ en $(0,c)$ y $b$ en $(c,1)$ tales que $$f'(a)=\frac{f(c)-f(0)}{c}=\frac{y}{c}$$ y $$f'(b)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{-y}{1-c}.$$

Usando que $f$ alcanza su máximo $y$ en $c$

\begin{align*}
\int_0^1 \left| \frac{f»(x)}{f(x)} \, dx \right|&\geq \int_a^b \left| \frac{f»(x)}{f(x)} \, dx \right| \\
&\geq \frac{1}{y} \int_a^b \left| f»(x) \, dx \right|,
\end{align*}

de modo que aplicando el teorema fundamental del cálculo a la última integral, obtenemos que

\begin{align*}
\int_0^1 \left| \frac{f»(x)}{f(x)} \, dx \right| &\geq \frac{1}{y} \int_0^1 \frac{1}{y}|f'(b)-f'(a)|\\
&=\frac{1}{y} \left|\frac{-y}{1-c}-\frac{y}{c}\right|\\
&=\left|\frac{1}{c(1-c)}\right|.
\end{align*}

Para terminar, notamos que la función $h(x)=x(1-x)$ es diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$, de modo que alcanza su máximo en $0$, en $1$ o en donde la derivada $h'(x)=1-2x$ es $0$, es decir, en $1/2$. Tenemos que $h(1/2)=1/4$ y que $h(0)=h(1)=0$, de modo que el máximo es $1/4$. Con esto, concluimos que $$\left|\frac{1}{c(1-c)}\right| \geq 4,$$ de donde se completa la cadena de desigualdades que queremos.

$\square$

En el problema anterior usamos el teorema del valor medio como paso intermedio. Es recomendable que pienses qué hubiera pasado si nos hubiéramos saltado este paso y hubiéramos usado el mínimo directamente, sin limitarnos primero al intervalo $[a,b]$. En los problemas de cálculo a veces es muy importante el orden en el que se hacen las cosas.

Dos problemas de cálculo de competencias

Veamos ahora algunos problemas de cálculo que han aparecido en concursos a nivel universitario. El siguiente problema apareció en la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas, en 2015, como Problema 4.

Problema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua y $\alpha$ un número real. Sabemos que $\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} = \alpha$. Muestra que para cualquier real positivo $r$ existen reales $x$ y $y$ tales que $y-x=r$ y $f(x)=f(y)$.

Sugerencia pre-solución. Modifica el problema, construyendo una función que te ayude a resolverlo. Necesitarás el teorema del valor intermedio. También, una parte de la solución necesita que se use inducción.

Solución. Tomemos cualquier valor $r$ y consideremos la función $h(x)=f(x+r)-f(x)$. Como $f$ es continua, la función $h$ es continua. Si $h(x)>0$ para todo real, entonces podemos mostrar inductivamente que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que $$f(x-mr)<f(x)<f(x+r)<f(x+nr).$$

Haciendo $n$ y $m$ ir a infinito, tendríamos que $$\alpha\leq f(x) < f(x+r) \leq \alpha,$$ lo cual es una contradicción.

Así, $h(x)$ toma valores menores o iguales a $0$. De modo similar, podemos mostrar que $h(x)$ toma valores mayores o iguales a $0$. Como $h$ es continua, por el teorema del valor intermedio debe tomar el valor $0$ para algún $c$, de modo que $f(c+r)-f(c)=h(c)=0$ y así, tomando $x=c$ y $y=c+r$ tenemos $y-x=r$ y $$f(y)=f(c+r)=f(c)=f(x).$$

$\square$

El siguiente problema apareció en la Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas, en 2010, como Problema 4.

Problema. Sea $f:[0,1]\to [0,1]$ una función continua, creciente, diferenciable en $[0,1]$ y tal que $f'(x)<1$ en cada punto. La sucesión de conjuntos $A_1, A_2, \ldots$ se define recursivamente como $A_1=f([0,1])$ y para $n\geq 2$, $A_n=f(A_{n-1})$. Muestra que el diámetro de $A_n$ converge a $0$ conforme $n\to \infty$.

El diámetro de un conjunto $X$ es $\sup_{x,y \in X} |x-y|$.

Sugerencia pre-solución. Para una primer parte del problema que te ayudará a entender a los $A_i$, necesitarás el teorema del valor intermedio y el principio de inducción. Luego, necesitarás usar el teorema del valor medio y que las funciones continuas preservan límites de sucesiones convergentes.

Solución. Por conveniencia, nombramos $A_0=[0,1]$. Sea $d_n$ el diámetro de $A_n$. Tenemos $d_0=1$. Como $f$ es creciente, tenemos que $f(0)<f(1)$ y que no hay ningún valor fuera del intervalo $[f(0),f(1)]$ que se tome. Como $f$ es continua, se toman todos esos valores. Así, $A_1=[f(0),f(1)]$ y su diámetro es $d_1=f(1)-f(0)$. Inductivamente, podemos mostrar que $A_n= [f^n(0),f^n(1)]$ y que $d_n=f^{n}(1)-f^{n}(0)$.

Notemos que la sucesión $f^{n}(0)$ es creciente y acotada, de modo que converge a un real $a$. Como $f$ es contínua, tenemos que \begin{align*}f(a)&=f(\lim_{n\to \infty} f^{n}(0)) \\&= \lim_{n\to \infty} f^{n+1}(0) \\&= a.\end{align*} Análogamente, $f^n(1)$ converge a un real $b$ tal que $f(b)=b$. Como $f^n(0)\leq f^n(1)$, tenemos que $a\leq b$. Afirmamos que $a=b$. Si no, por el teorema del valor medio existiría un $c\in[a,b]$ tal que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1,$$ contradiciendo la hipótesis de la cota de la derivada.

Esto muestra que $a=b$, y por lo tanto
\begin{align*}
\lim_{n\to \infty} d_n &= \lim_{n\to \infty} f^n(1)-f^n(0) \\
&=b-a\\
&= 0.
\end{align*}

$\square$

En este problema es muy importante primero mostrar que los extremos de los intervalos convergen a puntos fijos de $f$ y después usar el teorema del valor intermedio. Podría ser tentador usar el teorema del valor intermedio en cada intervalo $[f^n(0),f^n(1)]$, pero con ello no se llega al resultado deseado.

Más problemas

En todas estas entradas hemos platicado acerca de problemas de temas de cálculo. Se pueden encontrar muchos más problemas de este tema en el Capítulo 6 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Además, puedes encontrar otros problemas resueltos en la sección de Material para practicar de este blog, que ayuda a prepararse para competencias internacionales de matemáticas a nivel universitario.

Álgebra Superior II: Ecuaciones cuadráticas complejas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

6 respuestas

Introducción

En entradas anteriores ya platicamos acerca de la construcción de los números complejos. Vimos que, con las operaciones de suma y resta que definimos, $\mathbb{C}$ es un campo. Además, introdujimos las nociones de conjugación compleja y de norma compleja. Como ya entendemos un poco de las operaciones que tenemos en $\mathbb{C}$, podemos empezar a hablar de otro de los temas que interesa al álgebra: resolver ecuaciones. Comenzaremos hablando acerca de ecuaciones cuadráticas complejas.

En entradas posteriores de este parcial, y del siguiente, veremos cómo resolver otro tipo de ecuaciones en los números complejos:

  • Sistemas de ecuaciones lineales complejos.
  • Ecuaciones de la forma $z^n=w$.
  • La ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d=0$.
  • La ecuación de grado 4 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$.

En realidad, los números complejos son la estructura numérica correcta para resolver todo tipo de polinomios, es decir, expresiones como las de los últimos tres incisos anteriores. Esto se debe al teorema fundamental del álgebra, que dice lo siguiente.

Teorema (fundamental del álgebra). Sea $n$ un entero positivo y $a_0,\ldots,a_n$ en $\mathbb{C}$ con $a_n\neq 0$. La ecuación en números $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$$ tiene por lo menos una solución $x$ en $\mathbb{C}$.

La demostración de este teorema en el curso será optativa, y la veremos sólo si tenemos tiempo suficiente. Antes de poder hacer esto, tenemos que seguir discutiendo sobre los números complejos (en esta unidad) y a los polinomios (en la siguiente unidad). Si en algún momento llevas un curso de análisis complejo, también demostrarás el teorema fundamental del álgebra, con ideas un poco más profundas.

Otra aclaración. Si el teorema fundamental del álgebra dice que toda ecuación polinomial tiene solución, ¿por qué sólo estudiamos hasta la ecuación de grado cuatro? La razón es que para grados dos, tres y cuatro podemos dar las soluciones a estas ecuaciones de manera algebraica, es decir, podemos expresar las soluciones con una fórmula (de cierto tipo) en términos de los coeficientes de la ecuación. En el caso de que la ecuación sea de grado 5 en adelante, en cierto sentido matemático no se puede. La demostración de esto la puedes ver en un curso de álgebra moderna intermedio, en el que se discuta teoría de Galois.

Raíces cuadradas en los complejos

Las ecuaciones cuadráticas complejas se resuelven de una forma parecida a lo que hacemos en $\mathbb{R}$: usando la fórmula cuadrática. Es decir, si tenemos la ecuación $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, veremos más abajo que la podemos resolver mediante la fórmula $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esta expresión necesita que podamos encontrar la raíz cuadrada de un número complejo arbitrario. Vamos a mostrar que esto siempre es posible. Comencemos notando que el único complejo $z$ tal que $z^2=0$ es el $0$: si hubiera uno $z\neq 0$, multiplicando en ambos lados por $z^{-1}$ tendríamos que $z=0\cdot z^{-1}=0$, una contradicción.

Teorema. Sea $w\neq 0$ un número complejo. Entonces la ecuación $$z^2=w$$ tiene exactamente dos soluciones para $z$ en $\mathbb{C}$ y son inversos aditivos entre ellas.

Demostración. Tomemos $w=a+bi$ un número complejo. Supongamos que $z=x+yi$ es tal que $z^2=w=a+bi$. Tenemos que
\begin{align*}
a+bi=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi,
\end{align*}

de donde $x^2-y^2=a$ y $2xy=b$. Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, tenemos que
\begin{align*}
a^2+b^2&=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\
&=(x^2+y^2)^2.
\end{align*}

Como $a$ y $b$ son números reales, tenemos que $a^2+b^2$ es un número real no negativo. Del mismo modo, $x^2+y^2$ es un real no negativo. De esta forma, sacando raíz cuadrada en la ecuación anterior, obtenemos que $$x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}=\Vert w \Vert.$$

Sabemos además que $x^2-y^2=a=\text{Re}(w)$. Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos $$x^2=\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}$$ y restándolas obtenemos $$y^2=\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}.$$

Recordemos que $\Vert w\Vert \geq |\Rea(w)|$ para todo complejo $w$, de modo que los términos del lado derecho de las igualdades anteriores son siempre positivos. Por esta razón, podemos sacar raíz de ambos lados. Pero ahora no hay nada que nos garantice que $x$ y $y$ sean positivos, así que hay que considerar dos casos en cada raíz, reflejados por el símbolo $\pm$ en las siguientes expresiones:

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}}.
\end{align*}

Hay que tener cuidado. No se valen las cuatro posibilidades de elecciones de signo. Notemos que de la ecuación $2xy=b$ tenemos que $xy$ tiene el mismo signo que $b=\Ima(w)$, así que si $\Ima(w)>0$ tienen que elegirse $x$ y $y$ con signos iguales y si $\Ima(w)<0$, tienen que elegirse con signos diferentes. Independientemente de la elección, las dos posibilidades dan dos soluciones para $z=x+iy$ que son inversas aditivas entre sí.

$\square$

Por notación. si tenemos un número complejo $w$, llamamos $\sqrt{w}$ a cualquiera de sus raíces cuadradas. Por el teorema anterior, su otra raíz es $-\sqrt{w}$.

Hay que tener cuidado. Para cuando $r$ es un real positivo, la notación $\sqrt{r}$ se refiere, por definición, a la raíz positiva. Cuando $w$ es un complejo arbitrario, no hay una forma «canónica» o «natural» de definir cuál de las dos raíces es «la correcta». Lo importante es que hay dos, y que son inversas aditivas entre sí.

Ejemplos de cómo obtener raíces cuadradas complejas

Antes de discutir cómo resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general, veamos algunos ejemplos de cómo se usa el teorema anterior de manera práctica.

Problema 1. Encuentra las raíces cuadradas de $i$.

Solución. Tenemos que $\Vert i \Vert = 1$ y que $\Rea(i) = 0$, así que las soluciones $z=x+yi$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} .
\end{align*}

Como $\Ima(i)=1>0$, tenemos que elegir a $x$ y $y$ con los mismos signos entre sí, así que las soluciones son
\begin{align*}
z_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\\
z_2&=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.
\end{align*}

$\triangle$

Problema 2. Encuentra las raíces cuadradas de $-21-20i$.

Solución. Tenemos que
\begin{align*}
\Vert -21-20i \Vert &= \sqrt{21^2+20^2}\\
&=\sqrt{841}\\
&=29,
\end{align*}

y que $\Rea(-21-20i)=-21$. Así, las soluciones $z=x+iy$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{29-21}{2}}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\\
y&=\pm \sqrt{\frac{29+21}{2}}=\pm\sqrt{25}=\pm 5.
\end{align*}

Como $\Ima(-21-20i)=-20<0$, debemos elegir $x$ y $y$ de distinto signo, de donde obtenemos las soluciones

\begin{align*}
z_1&=2-5i\\
z_2&=-2+5i.
\end{align*}

$\triangle$

Solución de ecuaciones cuadráticas complejas

Una vez que sabemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo, tenemos todo lo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general. Consideremos $a,b$ y $c$ en $\mathbb{C}$ con $a\neq 0$. Veamos cómo resolver la ecuación $$ax^2+bx+c=0.$$

Para empezar, dividimos entre $a$ de ambos lados y restamos $\frac{c}{a}$, también, de ambos lados. Se obtiene que $$x^2+\frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}.$$ El siguiente paso es un truco algebraico útil que se llama «completar el cuadrado». Pensamos a los términos del lado izquierdo como los primeros dos de un binomio cuadrado y nos preguntamos, ¿qué término faltaría? El término faltante es $\frac{b^2}{4a^2}$. Sumando este término en ambos lados, llegamos a $$x^2+\frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^{2}} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

La razón por la cual completamos el cuadrado es para poder escribir la expresión anterior como

$$(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2},$$

y aquí llegamos al punto en el que necesitamos obtener raíces cuadradas. Afortunadamente, ya sabemos que podemos hacer esto siempre en $\mathbb{C}$ y obtener $$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}},$$ de donde concluimos que las soluciones son

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.$$

Todos estos pasos son reversibles. Resumimos toda esta discusión en el siguiente resultado.

Teorema. Para $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación compleja $ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones en $\mathbb{C}$ dadas por
\begin{align*}
x_1&=-\frac{b}{2a}+\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x_2&=-\frac{b}{2a}- \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.
\end{align*}

Estas soluciones son iguales si y sólo si $b^2=4ac$ y en otro caso son distintas.

Ejemplos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas complejas

Problema 1. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-5x+(7+i)=0.$$

Solución. Para usar la fórmula cuadrática, necesitaremos obtener la raíz $$\sqrt{\frac{25-4(7+i)}{4}}= \sqrt{-\frac{3}{4}-i}.$$

Como $$\left \lVert -\frac{3}{4}-i\right\lVert=\frac{\sqrt{25}}{4}=\frac{5}{4}$$ y $$\Rea\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-\frac{3}{4},$$ las raíces $a+bi$ están dadas por

\begin{align*}
a=\pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}-\frac{3}{4}}{2}}=\pm\frac{1}{2}\\
b= \pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}{2}}=\pm 1.
\end{align*}

Como $\Ima\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-1<0$, para obtener las raíces tenemos que elegir signos distintos, es decir, que las raíces son \begin{align*}&\frac{1}{2} – i\\-&\frac{1}{2} +i.\end{align*}

Continuando con el problema original, concluimos, por la fórmula cuadrática, que las dos raíces son

\begin{align*}
x_1&=\frac{5}{2} + \frac{1}{2} – i = 3-i\\
x_2&=\frac{5}{2} – \frac{1}{2} + i =2+i.
\end{align*}

$\triangle$

La fórmula cuadrática funciona siempre para resolver ecuaciones cuadráticas complejas, pero a veces es demasiado. No hay que olvidar que tenemos toda el álgebra de $\mathbb{C}$ a nuestra disposición.

Problema 2. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-(3+8i)x=0.$$

Solución. En vez de usar la fórmula cuadrática, factorizamos la expresión del lado izquierdo para obtener que $$x(x-(3+8i))=0.$$

Para que un producto en $\mathbb{C}$ sea $0$, uno de los factores debe ser $0$. Así, $x=0$ ó $x-(3+8i)=0$, de donde las soluciones son \begin{align*}x_1&=0\\x_2&=3+8i.\end{align*}

$\triangle$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Verifica que los números complejos que obtuvimos en los ejemplos de raíces cuadráticas en efecto satisfacen que su cuadrado es el número original.
  2. Encuentra las raíces de $3+4i$, de $8-5i$, de $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}i$ y de $2-\sqrt{5}i$.
  3. Verifica que las soluciones que obtuvimos en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas complejas en efecto satisfacen la ecuación cuadrática dada.
  4. Resuelve la ecuación cuadrática compleja $$ix^2+7x-7-i=0.$$
  5. Si $w$ y $z$ son números complejos, ¿quienes son las raíces de $wz$? Las raíces cuadradas de $w$ son dos, las de $z$ son dos, y los posibles productos de ellas son cuatro números. ¿Por qué esto no contradice que $wz$ tiene dos raíces?

Puedes practicar este tema con los vídeos y ejercicios disponibles en la página de Khan Academy. Para ello, visita su sección de ecuaciones cuadráticas en los complejos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Formas bilineales, propiedades, ejemplos y aclaraciones

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

9 respuestas

Introducción

En entradas anteriores hemos platicado de dualidad, ortogonalidad y transformaciones transpuestas. Es importante que repases esas entradas y nos escribas si tienes dudas, pues ahora pasaremos a un tema un poco diferente: formas bilineales y cuadráticas. Estas nociones nos permitirán seguir hablando acerca de la geometría de espacios vectoriales en general.

Para esta parte del curso, nos vamos a enfocar únicamente en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$. Se pueden definir los conceptos que veremos para espacios vectoriales en otros campos. Sobre todo, es posible definir conceptos análogos en $\mathbb{C}$ y obtener una teoría muy rica. Pero por ahora consideraremos sólo el caso de espacios vectoriales reales.

Aunque hablaremos de formas bilineales en general, una subfamilia muy importante de ellas son los productos interiores, que nos permiten hablar de espacios euclideanos. El producto interior es el paso inicial en una cadena muy profunda de ideas matemáticas:

  • Un producto interior nos permite definir la norma de un vector.
  • Con la noción de norma, podemos definir la distancia entre dos vectores.
  • A partir de un producto interior y su norma podemos mostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, con la cual podemos definir ángulos entre vectores (por ejemplo, ¡podremos definir el ángulo entre dos polinomios!).
  • De la desigualdad de Cauchy-Schwarz, podemos probar que la noción de norma satisface la desigualdad del triángulo, y que por lo tanto la noción de distancia define una métrica.
  • Aunque no lo veremos en este curso, más adelante verás que una métrica induce una topología, y que con una topología se puede hablar de continuidad.

En resumen, a partir de un producto interior podemos hacer cálculo en espacios vectoriales en general.

Una forma bilineal con la cual probablemente estés familiarizado es el producto punto en $\mathbb{R}^n$, que a dos vectores $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ los manda al real $$x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.$$ Este es un ejemplo de una forma bilineal que es un producto interior. También puede que estés familiarizado con la norma en $\mathbb{R}^n$, que a un vector $(x_1,\ldots,x_n)$ lo manda al real $$\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.$$ Lo que está dentro de la raíz es un ejemplo de una forma cuadrática positiva definida. Incluyendo la raíz, este es un ejemplo de norma en espacios vectoriales.

Hay muchas otras formas bilineales y formas cuadráticas, pero los ejemplos mencionados arriba te pueden ayudar a entender la intuición detrás de algunos de los conceptos que mencionaremos. Para marcar algunas cosas en las que la intuición puede fallar, pondremos algunas «Aclaraciones» a lo largo de esta entrada.

En el futuro, tener una buena noción de la geometría de espacios vectoriales te ayudará a entender mucho mejor los argumentos de cursos de análisis matemático, de variable compleja y de optativas como geometría diferencial. Dentro de este curso, entender bien el concepto de forma bilineal te será de gran utilidad para cuando más adelante hablemos de formas multilineales y determinantes.

Formas bilineales

La definición fundamental para los temas que veremos en estas entradas es la siguiente, así que enunciaremos la definición, veremos varios ejemplos y haremos algunas aclaraciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que:

  • Para todo $x$ en $V$, la función $b(x,\cdot):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(x,v)$ es una forma lineal.
  • Para todo $y$ en $V$, la función $b(\cdot, y):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(v,y)$ es una forma lineal.

Ejemplo 1. Considera el espacio vectorial de polinomios $\mathbb{R}_3[x]$ y considera la función $$b(p,q)=p(0)q(10)+p(1)q(11).$$ Afirmamos que $b$ es una forma bilineal. En efecto, fijemos un polinomio $p$ y tomemos dos polinomios $q_1$, $q_2$ y un real $r$. Tenemos que
\begin{align*}
b(p,q_1+rq_2)&=p(0)(q_1+rq_2)(10)+p(1)(q_1+rq_2)(11)\\
&= p(0)q_1(10)+p(1)q_1(11) + r ( p(0)q_2(10)+p(1)q_2(11))\\
&= b(p,q_1)+rb(p,q_2),
\end{align*}

De manera similar se puede probar que para $q$ fijo y $p_1$, $p_2$ polinomios y $r$ real tenemos que $$b(p_1+rp_2,q)=b(p_1,q)+rb(p_2,q).$$ Esto muestra que $b$ es una forma bilineal.

$\triangle$

Si $v=0$, entonces por el primer inciso de la definición, $b(x,v)=0$ para toda $x$ y por el segundo $b(v,y)=0$ para toda $y$, en otras palabras:

Proposición. Si $b$ es una forma bilineal en $b$, y alguno de $x$ o $y$ es $0$, entonces $b(x,y)=0$.

De la linealidad de ambas entradas de $b$, se tiene la siguiente proposición.

Proposición. Tomemos $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal, vectores $x_1,\ldots,x_n$, $y_1,\ldots,y_m$ y escalares $a_1,\ldots,a_n,c_1,\ldots,c_m$. Tenemos que $$b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i, \sum_{j=1}^m c_j y_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j).$$

La proposición anterior muestra, en particular, que para definir una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ y definir $b(e_i,e_j)$ para toda $1\leq i,j \leq n$.

Hagamos algunas aclaraciones acerca de las formas bilineales.

Aclaración 1. No es lo mismo una forma bilineal en $V$, que una transformación lineal de $V\times V$ a $\mathbb{R}$.

Ejemplo 2. La transformación $b((w,x),(y,z))=w+x+y+z$ sí es una transformación lineal de $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, lo cual se puede verificar fácilmente a partir de la definición. Sin embargo, no es una forma bilineal. Una forma de verlo es notando que $$b((0,0),(1,1))=0+0+1+1=2.$$ Aquí una de las entradas es el vector cero, pero el resultado no fue igual a cero.

$\triangle$

Aclaración 2. Puede pasar que ninguna de las entradas de la forma bilineal sea $0$, pero que evaluando en ella sí de $0$.

Ejemplo 3. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wy-xz.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Además, se tiene que $b((1,0),(0,1))=0$.

$\triangle$

Más adelante, cuando definamos producto interior, nos van a importar mucho las parejas de vectores $v$, $w$ para las cuales $b(v,w)=0$.

Aclaración 3. Si $b$ es una forma bilineal, no necesariamente es cierto que $b(x,y)=b(y,x)$.

Ejemplo 4. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wz-xy.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Notemos que $b((2,1),(2,3))=6-2=4$, mientras que $b((2,3),(2,1))=2-6=-4$.

$\triangle$

Aquellas formas para las que sí sucede que $b(x,y)=b(y,x)$ son importantes y merecen un nombre especial.

Definición. Una forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ es simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para todo par de vectores $x,y$ en $V$.

Para definir una forma bilineal $b$ simétrica en un espacio $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ y definir $b$ en aquellas parejas $b(e_i,e_j)$ con $1\leq i \leq j \leq n$.

Más ejemplos de formas bilineales

A continuación enunciamos más ejemplos de formas bilineales, sin demostración. Es un buen ejercicio verificar la definición para todas ellas.

Ejemplo 1. Si $a_1, a_2,\ldots, a_n$ son números reales y $V=\mathbb{R}^n$, entonces podemos definir $b:V\times V \to \mathbb{R}$ que manda a $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $y=(y_1,\ldots,y_n)$ a $$b(x,y)=a_1x_1y_1+\ldots+a_nx_ny_n.$$

Este es un ejemplo de una forma bilineal simétrica. Si todos los $a_i$ son iguales a $1$, obtenemos el producto punto o producto interior canónico de $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo 2. Tomemos $V$ como el espacio vectorial de matrices $M_n(\mathbb{R})$. La transformación $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $b(A,B)=\text{tr}(AB)$ es una forma bilineal. Además, es simétrica, pues la traza cumple la importante propiedad $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$, cuya verificación queda como tarea moral.

Ejemplo 3. Tomemos $V$ el conjunto de funciones continuas y de periodo $2\pi$ que van de $\mathbb{R}$ a sí mismo. Es decir, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está en $V$ si es continua y $f(x)=f(x+2 \pi)$ para todo real $x$. Se puede mostrar que $V$ es un subespacio del espacio de funciones continuas, lo cual es sencillo y se queda como tarea moral. La transformación $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $$b(f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x) g(x)\, dx$$ es una forma bilineal.

Ejemplo 4. Consideremos $V=\mathbb{R}[x]$, el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales. Para $P$ y $Q$ polinomios definimos $$b(P,Q)=\sum_{n=1}^\infty \frac{P(n)Q(2n)}{2^n}.$$

La serie de la derecha converge absolutamente, de modo que esta expresión está bien definida. Se tiene que $b$ es una forma bilineal, pero no es simétrica.

Formas cuadráticas

Otra definición fundamental es la siguiente

Definición. Una forma cuadrática es una transformación $q:V\to \mathbb{R}$ que se obtiene tomando una forma bilineal $b:V\times V \to \mathbb{R}$ y definiendo $$q(x)=b(x,x).$$

Aclaración 4. Es posible que la forma bilineal $b$ que define a una forma cuadrática no sea única.

Ejemplo. Consideremos a la forma bilineal de $\mathbb{R}^2$ tal que $$b((x,y),(w,z))=xz-yw.$$ La forma cuadrática dada por $b$ es $$q(x,y)=b((x,y),(x,y))=xy-yx=0.$$ Esta es la misma forma cuadrática que la dada por la forma bilineal $$b'((x,y),(w,z))=yw-xz.$$ Pero $b$ y $b’$ son formas bilineales distintas, pues $b((1,0),(0,1))=1$, mientras que $b'((1,0),(0,1))=-1$.

$\triangle$

La aclaración anterior dice que puede que haya más de una forma bilineal que de una misma forma cuadrática. Sin embargo, resulta que la asignación es única si además pedimos a la forma bilineal ser simétrica. Este es el contenido del siguiente resultado importante.

Teorema (identidad de polarización). Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo vector $x$. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

En la siguiente entrada mostraremos el teorema de la identidad de polarización. Por el momento, para tomar más intuición, observa como la identidad se parece mucho a la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ en números reales.

Más adelante…

En esta entrada estudiamos una extensión de la noción de transformaciones lineales que ya habíamos discutido en la unidad anterior. Enunciamos algunos teoremas muy importantes sobre las transformaciones bilineales e hicimos algunos ejemplos de cómo podemos verificar si una transformación es bilineal. La noción de transformación bilineal, nos permitirá abordar un concepto muy importante: el producto interior.

En las siguientes entradas hablaremos del producto interior y cómo éste nos ayuda a definir ángulos y distancias entre vectores de un espacio vectorial.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Completa los detalles de la segunda parte del primer ejemplo.
  • Verifica que en efecto las transformaciones de los ejemplos de las aclaración 2 y 3 son formas bilineales.
  • Muestra que el subconjunto de funciones continuas $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y de cualquier periodo $p$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de funciones continuas reales.
  • Demuestra que para $A$ y $B$ matrices en $M_{n}(F)$ se tiene que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$.
  • Encuentra una forma cuadrática en el espacio vectorial $\mathbb{R}_3[x]$ que venga de más de una forma bilineal.
  • Muestra que el conjunto de formas bilineales de $V$ es un subespacio del espacio de funciones $V\times V \to \mathbb{R}$. Muestra que el conjunto de formas bilineales simétricas de $V$ es un subespacio del espacio de formas bilineales de $V$.
  • Piensa en cómo la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ de números reales está relacionada con la identidad de polarización para el producto punto en $\mathbb{R}^n$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»