Introducción
En la entrada anterior, comenzamos a hablar de sucesiones. Dimos las definiciones básicas y vimos sucesiones aritméticas y geométricas. Aunque una sucesión tenga una cantidad infinita de términos, las sucesiones aritméticas y geométricas son «sencillas», pues en realidad sólo dependen de dos parámetros: un término inicial y una diferencia (o razón). Ahora veremos otro tipo de sucesiones que también tienen cierta «finitud». Estudiaremos las sucesiones periódicas y pre-periódicas.
La intuición detrás de las sucesiones periódicas y pre-periódicas es que «se repiten y se repiten» después de un punto. Así, estas sucesiones sólo pueden tomar un número finito de valores, y de hecho después de un punto los empiezan a tomar «de manera cíclica».
Sucesiones periódicas
Las siguientes sucesiones tienen una característica peculiar:
- Para
una raíz cúbica de la unidad en
:
Dicho de manera informal, estas sucesiones se «repiten y se repiten».
Definición. Una sucesión es periódica si existe un entero positivo tal que
para todo entero
. A
se le conoce como un periodo y al mínimo
que satisface esto se le llama un periodo mínimo.
Las sucesiones ejemplo tienen periodo ,
y
respectivamente.
Cuando una sucesión es periódica de periodo
, se puede mostrar inductivamente que
para todo entero positivo
. También, se puede mostrar que cualquier término es igual a alguno de los términos
. Concretamente, si usamos el algoritmo de la división para expresar
con
el residuo de la división de
entre
, tenemos que
. Esto hace que trabajar con sucesiones periódicas de periodo
se parezca a trabajar con los enteros módulo
.
Problema. La sucesión es periódica de periodo
y tiene un número irracional. La sucesión
es periódica de periodo
. Muestra que si la sucesión
tiene puros números racionales, entonces la sucesión
tiene puros números irracionales.
Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo se resuelven las ecuaciones diofantinas lineales en enteros, o bien usa el teorema chino del residuo.
Solución. Como tiene periodo
, podemos suponer que su término irracional es
con
en
. Ya que
es periódica de periodo
, basta con que probemos que
es irracional para cada
en
. Tomemos una de estas
.
Como y
son primos relativos, por el teorema chino del residuo existe un entero
tal que
Sumando múltiplos de a
, podemos suponer que
es positivo. Para esta
tenemos que
y que
. De esta forma,
A la derecha, tenemos una resta de un número racional, menos uno irracional, el cual es un número irracional. Esto muestra que

Veamos otro ejemplo, que toca un poco el tema de sucesiones recursivas, del cual hablaremos con más profundidad más adelante.
Problema. Considera la sucesión en
(los enteros módulo
, con su aritmética modular), en donde los primeros tres términos son
,
y
y para todo entero
se tiene que

Sugerencia pre-solución. El residuo al dividir entre de cada término de la sucesión depende de cuatro enteros entre
y
. ¿Cuáles? Usa el principio de las casillas y luego trabaja hacia atrás.
Solución. Para simplificar la notación, no usaremos el subíndice , con el entendido de que siempre se deben simplificar los números de los que hablemos módulo
. Para cada
, consideremos el vector
Visto módulo , este vector puede tomar
posibles valores, y define el valor de
. Por principio de las casillas, debe haber dos enteros
y
tales que
. Afirmamos que
es un periodo para
.
Vamos a probar esto. Primero lo haremos para los enteros . Esto lo haremos mostrando que
por inducción sobre
.
El caso es la igualdad
de arriba. Si suponemos que
, entonces automáticamente tenemos la igualdad de las primeras dos entradas de
y
, y como
y
quedan totalmente determinados por
, entonces también las terceras entradas son iguales. Para la cuarta entrada, usamos que


Falta mostrar que la sucesión también es periódica antes de . Pero este se hace con un argumento análogo al anterior, pero trabajando hacia atrás, notando que
queda totalmente determinado mediante la ecuación
Sucesiones pre-periódicas
A veces una sucesión puede ser casi periódica, a excepción de sus primeros términos. Estas sucesiones comparten muchas propiedades con las sucesiones periódicas, así que vale la pena definirlas.
Definición. Una sucesión es pre-periódica si existen enteros positivos y
tales que
para todo entero
. Si tomamos
como el menor entero para el que se cumpla la propiedad, a los términos


Las sucesiones pre-periódicas juegan un papel importante en la clasificación de los números racionales.
Teorema. Sea un real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
es racional
- Los dígitos después del punto decimal de
en alguna base entera
forman una sucesión pre-periódica.
- Los dígitos después del punto decimal de
en toda base entera
forman una sucesión pre-periódica.
Problema. Demuestra que el número
Sugerencia pre-solución. Escribe las primeras sumas parciales de la serie para encontrar un patrón de cómo se ven los dígitos de después del punto decimal. Procede por contradicción.
Solución. Otra forma de escribir a es en base
:



Si fuera racional,
sería pre-periódica, de periodo, digamos
. Pero en
podemos encontrar
ceros consecutivos, incluso después del pre-periodo, ya que hay bloques tan largos como se quiera de enteros que no son números cuadrados. Esto mostraría que el periodo sería de puros ceros, y que por lo tanto a partir de un punto
es constantemente cero. Esto es imposible pues hay números cuadrados arbitrariamente grandes.
Combinando tipos de sucesiones
Hasta ahora, hemos hablado de sucesiones aritméticas, geométricas, periódicas y pre-periódicas. Seguiremos hablando de otros tipos de sucesiones en entradas posteriores. Una cosa sistemática que te puede ayudar a entender estos conceptos mejor es preguntarte cuándo una sucesión satisface más de una de estas propiedades.
Problema. Determina todas las sucesiones en que sean simultáneamente geométricas y periódicas.
Sugerencia pre-solución. Elige una notación adecuada para trabajar en este problema.
Solución. El primer término de una sucesión así tiene que ser igual a otro. Como la sucesión es geométrica, eso otro término es de la forma
para
un entero positivo.
Si , la sucesión es la sucesión constante
, que es geométrica y periódica de periodo
. Si
, entonces
, de modo que
es una raíz
-ésima de la unidad.
Y en efecto, para una raíz
-ésima de la unidad y
cualquier complejo, tenemos que
es una sucesión geométrica y de periodo
.
Más problemas
Esta entrada es una extensión de las secciones 5 y 6 del curso de sucesiones que impartí para los entrenadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Puedes consultar las notas de este curso en el siguiente PDF, en donde hay más problemas de práctica: