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Ecuaciones Diferenciales I: Propiedades cualitativas de las trayectorias

Profundiza lo suficiente en cualquier cosa y encontrarás las matemáticas.
– Dean Schlicter

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a desarrollar formalmente la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en particular estudiamos algunos sistemas lineales y no lineales autónomos planos, es decir, con dos ecuaciones diferenciales.

Ahora sabemos cómo obtener un bosquejo del campo vectorial asociado al sistema y dibujar algunas trayectorias de forma tangente a los vectores, esto sin siquiera conocer explícitamente las soluciones del sistema. También sabemos identificar los puntos de equilibrio de un sistema y clasificarlos como estables, asintóticamente estables o inestables. Según sea la naturaleza del punto de equilibrio tendremos más información sobre las soluciones del sistema, al menos de forma cualitativa.

En esta entrada haremos un análisis más detallado sobre las trayectorias que se forman en el plano fase y que representan soluciones particulares del sistema. Veremos, además, una forma relativamente sencilla de obtener las trayectorias sin apoyarnos del campo vectorial asociado y es ¡resolviendo una ecuación de primer orden!.

Trayectorias de un sistema autónomo

Recordemos que los sistemas que estamos estudiando son de la forma

\begin{align*}
x^{\prime} &= \dfrac{dx}{dt} = F_{1}(x, y) \\
y^{\prime} &= \dfrac{dy}{dt} = F_{2}(x, y) \label{1} \tag{1}
\end{align*}

Hasta ahora en el plano fase hemos trazado trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autónomo guiándonos por el campo vectorial asociado. En esta ocasión desarrollaremos otro método para obtenerlas y es resolviendo una ecuación de primer orden.

Supongamos que

$$Y(t) = (x(t), y(t)) \label{2} \tag{2}$$

es una solución del sistema (\ref{1}) que no permanece constante en el tiempo, es decir, que no se trata de una solución de equilibrio y además la derivada $\dfrac{dx}{dt}$ es distinta de cero en $t = t_{0}$, entonces en un entorno del punto $x_{1} = x(t_{0})$ se verifica que

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{F_{2}(x, y)}{F_{1}(x, y)}$$

Por lo tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer orden

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{F_{2}(x, y)}{F_{1}(x, y)} \label{3} \tag{3}$$

En el caso en el que $\dfrac{dx}{dt}$ sea cero para todo $t$, se tendrá que verificar que $\dfrac{dy}{dt}$ no siempre sea nula, por lo que la trayectoria de esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencial

$$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{F_{1}(x, y)}{F_{2}(x, y)} \label{4} \tag{4}$$

En cualquier caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.

Más adelante veremos algunos ejemplos.

Propiedades cualitativas de las trayectorias

Las propiedades cualitativas de las trayectorias nos permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones. Algunas de las propiedades más importantes se enuncian a continuación.

  • Cada trayectoria del plano fase representa infinitas soluciones del sistema autónomo.

Demostración: Sea $Y(t) = (x(t), y(t))$ una solución de (\ref{1}), entonces se cumple que

$$\dfrac{dY}{dt} = (x^{\prime}, y^{\prime}) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y))$$

Para ahorrar notación escribiremos

$$F(Y(t)) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y))$$

de manera que el sistema se puede escribir como

$$\dfrac{dY}{dt} = F(Y(t)) \label{6} \tag{6}$$

Definamos la función auxiliar $\phi(t) = F(Y(t))$, entonces la ecuación anterior se puede escribir como

$$\dfrac{dY}{dt}(t) = \phi(t) \label{7} \tag{7}$$

Las dos funciones $\dfrac{dY}{dt}(t)$ y $\phi(t)$ coinciden en todo instante. Sea $c$ una constante, en particular deben coincidir en $t + c$, esto es

$$\dfrac{dY}{dt}(t + c) = \phi(t + c) = F(Y(t + c)) \label{8} \tag{8}$$

Pero $\dfrac{dY}{dt}$ evaluada en $t + c$ es igual a la derivada de $\hat{Y}(t) = Y(t + c)$ evaluada en $t$, esto es

$$\dfrac{d}{dt} Y(t + c) = F(Y(t + c))$$

o bien,

$$\dfrac{d\hat{Y}}{dt} = F(\hat{Y}(t)) \label{9} \tag{9}$$

Por lo tanto, la función $\hat{Y}(t) = Y(t + c)$ es otra solución del sistema.

$\square$

Este teorema es valido para cada $c \in \mathbb{R}$ lo que muestra que cada una de las trayectorias del plano fase puede representar infinitas soluciones del sistema.

Por ejemplo, una solución del sistema

\begin{align*}
x^{\prime} &= y \\
y^{\prime} &= 2xy
\end{align*}

es

$$x(t) = \tan(t), \hspace{1cm} y(t) = \sec^{2}(t)$$

Por el teorema anterior, las funciones

$\hat{x}(t) = \tan(t + c), \hspace{1cm} \hat{y}(t) = \sec^{2}(t + c)$

también son solución del mismo sistema y ambas trazan la misma trayectoria en el plano fase, sin embargo no coinciden en el mismo punto al momento de evaluar en $t = t_{0}$.

Para el caso lineal se puede verificar explícitamente el teorema anterior.

Sea $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}$ un sistema lineal, sabemos que toda solución $\mathbf{Y}(t)$ de esta ecuación es de la forma

$$\mathbf{Y}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{K} \label{10} \tag{10}$$

para algún vector constante $\mathbf{K}$, notemos que

$$\mathbf{Y}(t + c) = e^{\mathbf{A}(t + c)} \mathbf{K} = e^{\mathbf{A}t} e^{\mathbf{A}c} \mathbf{K}$$

Esto es cierto, ya que

$$(\mathbf{A}t) \mathbf{A}c = \mathbf{A}c(\mathbf{A}t)$$

para cualesquiera valores de $t$ y $c$. Sea el vector constante $\mathbf{C} = e^{\mathbf{A}c}\mathbf{K}$, entonces la solución anterior se puede escribir como

$$\mathbf{Y}(t + c) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{C} \label{11} \tag{11}$$

Por lo tanto, $\mathbf{Y}(t + c)$ es también una solución de $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}$.

Una observación más es que el teorema anterior no es válido si la función $F$ depende explícitamente de $t$. Supongamos que $Y(t)$ es una solución de la ecuación diferencial no autónoma

$$Y^{\prime} = F(t, Y(t)) \label{12} \tag{12}$$

Evaluando en $t + c$, se tiene

$$Y^{\prime}(t + c) = F(t + c, Y(t + c)) \label{13} \tag{13}$$

por consiguiente, la función $Y(t + c)$ satisface la ecuación diferencial

$$Y^{\prime} = F(t + c, Y) \label{14} \tag{14}$$

y tal ecuación es diferente de la ecuación no autónoma (\ref{12}).

  • Existencia y unicidad de las trayectorias.

Demostración: Sea $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ un punto cualquiera en el espacio fase y sea $Y = \phi(t)$ la solución del problema de valores iniciales

$$Y^{\prime} = F(x, y), \hspace{1cm} Y(0) = Y_{0} \label{15} \tag{15}$$

La trayectoria de esta solución pasa por el punto $Y_{0}$, de manera que existe al menos una trayectoria a través de cada punto $Y_{0}$, esto muestra la existencia. Supongamos ahora que la trayectoria de alguna otra solución $Y = \psi(t)$ también pasa por el punto $Y_{0}$, esto significa que existe $t_{0} \neq 0$, tal que $\psi(t_{0}) = Y_{0}$. Por el teorema anterior se tiene que la función

$$Y = \psi(t + t_{0})$$

es también una solución del sistema. Notemos que $\psi(t + t_{0})$ y $\phi(t)$ tienen el mismo valor en $t = 0$, tal valor es

$$\psi(t_{0}) = \phi(0) = Y_{0} \label{16} \tag{16}$$

Dadas las hipótesis del teorema y el resultado (\ref{16}) estamos en condiciones de aplicar el teorema de existencia y unicidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales, por este teorema se tiene que $\psi(t + t_{0})$ es igual a $\phi(t)$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Esto implica que las trayectorias de $\phi(t)$ y $\psi(t)$ son idénticas quedando demostrada la unicidad de las trayectorias.

$\square$

Observemos que si $\hat{Y}_{0}$ es un punto de la trayectoria de $\phi(t)$, es decir, $\hat{Y}_{0} = \phi(t_{1})$ para alguna $t_{1}$, entonces $\hat{Y}_{0}$ está también en la trayectoria de $\psi(t)$, ya que

$$\hat{Y}_{0} = \phi (t_{1}) = \psi(t_{1} + t_{0}) \label{17} \tag{17}$$

Recíprocamente, si $\hat{Y}_{0}$ es un punto de la trayectoria de $\psi(t)$, es decir, existe $t_{2}$, tal que $\psi (t_{2}) = \hat{Y}_{0}$, entonces $ \hat{Y}_{0} $ está también en la trayectoria de $\phi (t)$, ya que

$$\hat{Y}_{0} = \psi(t_{2}) = \phi (t_{2} -t_{0}) \label{18} \tag{18}$$

En la entrada anterior vimos que los puntos de equilibrio estables se caracterizan por que las trayectorias cercanas a dicho punto nunca llegan a él, dichas curvas solían ser cerradas, veremos a continuación que las curvas cerradas son periódicas.

  • Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas.

Demostración: Sea $Y = \phi(t)$ una solución de (\ref{1}) y supongamos que

$$\phi(t_{0} + T) = \phi(t_{0})$$

para algún par de números $t_{0}$ y $T$. Por el primer teorema, la función

$$\psi(t) = \phi (t + T)$$

es también una solución de (\ref{1}) que coincide con $\phi(t)$ en el tiempo $t = t_{0}$. Por el teorema de existencia y unicidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales se satisface que $\psi(t) = \phi(t + T)$ es idénticamente igual a $\phi(t)$, por lo tanto

$$\phi(t + T) = \phi(t)$$

$\square$

Explícitamente vemos que si $(x(t), y(t))$ es una solución del sistema (\ref{1}), que en dos instantes $t_{0}$ y $t_{0} + T$ toma el mismo valor, entonces

$$(x(t), y(t)) = (x(t + T), y(t + T)) \label{21} \tag{21}$$

para todo $t \in \mathbb{R}$, es decir $(x(t), y(t))$ es periódica.

Concluiremos esta entrada realizando algunos ejemplos.

Ejemplo: Describir las trayectorias del sistema no lineal

\begin{align*}
x^{\prime} &= y(1 -x^{2} -y^{2}) \\
y^{\prime} &= -x(1 -x^{2} -y^{2})
\end{align*}

Solución : El objetivo de este ejercicio es caracterizar a las soluciones del sistema de forma cualitativa aplicando lo que conocemos hasta ahora.

Lo primero que haremos será determinar los puntos de equilibrio del sistema, dichos puntos se obtienen de resolver el siguiente sistema

\begin{align*}
y(1- x^{2} -y^{2}) &= 0 \\
-x(1 -x^{2} -y^{2}) &= 0
\end{align*}

Vemos que $(x, y) = (0, 0)$ es un punto de equilibrio y todo punto de la circunferencia

$$x^{2} + y^{2} = 1$$

es también un punto de equilibrio.

Ahora podemos determinar las trayectorias del sistema analíticamente resolviendo una ecuación diferencial de primer orden, de acuerdo a (\ref{3}) dicha ecuación es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-x(1 -x^{2} -y^{2})}{y(1 -x^{2} -y^{2})} = -\dfrac{x}{y}$$

Resolvamos la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{x}{y}$$

Apliquemos separación de variables.

\begin{align*}
y dy &= -xdx \\
\int y dy &= -\int x dx \\
\dfrac{y^{2}}{2} &= -\dfrac{x^{2}}{2} + k \\
x^{2} + y^{2} &= c^{2}
\end{align*}

En donde $c^{2}$ engloba todas las constantes. Notamos que las trayectorias corresponden a circunferencias concéntricas de radio $c$, tal que $c\neq 1$. El plano fase se ve de la siguiente forma.

Plano fase del sistema.

Efectivamente las trayectorias son circunferencias concéntricas lo que significa que son periódicas ya que cada cierto tiempo $T$ vuelven al mismo punto de inicio $t_{0}$, sin embargo al no conocer explícitamente las soluciones $x(t)$ y $y(t)$ no no es posible determinar el valor del periodo $T$.

Notemos también que las trayectorias para $c < 1$ giran en la dirección de las manecillas del reloj, mientras que las trayectorias para $c > 1$ giran en la dirección opuesta. Es claro que todos los puntos de equilibrio son estables ya que ninguna trayectoria tiende a ellos, pero las que están cerca a ellos permanecen cerca para todo $t \in \mathbb{R}$.

$\square$

Ejemplo: Mostrar que las soluciones de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden son periódicas.

$$\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} + z + z^{5} = 0$$

Solución: Lo primero que haremos será escribir la ecuación de segundo orden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden. Sean

$$x = z \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dz}{dt}$$

Y de la ecuación diferencial vemos que

$$\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} = \dfrac{dy}{dt} = -x -x^{5}$$

Entonces el sistema es

\begin{align*}
\dfrac{dx}{dt} &= y \\
\dfrac{dy}{dt} &= -x -x^{5}
\end{align*}

Para conocer la forma explícita de las trayectorias escribamos al sistema como una ecuación de primer orden y resolvámosla.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-x -x^{5}}{y}$$

La ecuación es separable.

\begin{align*}
y dy &= -(x + x^{5})dx \\
\int y dy &= -\int (x + x^{5}) dx \\
\dfrac{y^{2}}{2} &= -\dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{6}}{6} + k
\end{align*}

Las trayectorias están definidas por la ecuación

$$\dfrac{y^{2}}{2} + \dfrac{x^{2}}{2} -\dfrac{x^{6}}{6} = c^{2}$$

Esta ecuación define una curva cerrada para cada valor de $c$ en el plano $XY$ y como el único punto de equilibrio es el origen, entonces toda solución es periódica. El plano fase se ve de la siguiente forma.

Plano fase del sistema.

Gráficamente observamos que efectivamente las soluciones son periódicas, sin embargo no es posible calcular el periodo de ninguna solución particular.

$\square$

Ejemplo: Demostrar cualitativamente que las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema

\begin{align*}
x^{\prime} &= x^{2} + y \sin(x) \\
y^{\prime} &= -1+xy + \cos(y)
\end{align*}

que comienzan en el primer cuadrante $(x > 0, y> 0)$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.

Solución: Este es un ejemplo que nos muestra que no siempre puede ser sencillo obtener las trayectorias resolviendo una ecuación de primer orden, en este caso la ecuación a resolver sería

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1+xy + \cos(y)}{x^{2} + y \sin(x)}$$

Sin embargo, el ejercicio nos pide demostrarlo cualitativamente. La función vectorial $F$ es

$$F(x, y) = (x^{2} + y \sin(x), -1+xy + \cos(y))$$

El plano fase con el campo vectorial asociado y las trayectorias sobre el primer cuadrante se ilustra a continuación.

Plano fase del sistema.

Al menos geométricamente logramos observar que todas las trayectorias que comienzan en el primer cuadrante permanecen en él para todo $t \in \mathbb{R}$, esto significa que las soluciones siempre permanecerán positivas para $x > 0$ y $y > 0$.

$\square$

Para concluir estudiemos el movimiento de un péndulo como ejemplo.

Ejemplo: La ecuación de movimiento del péndulo es

$$\dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \dfrac{g}{l} \sin(\theta) = 0 \label{22} \tag{22}$$

en donde $l$ es la longitud del hilo del péndulo, $\theta$ el ángulo que forma el hilo con la vertical y $g$ la aceleración de la gravedad.

Péndulo simple.

Analizar el movimiento del péndulo.

Solución: Primero comprendamos el fenómeno. Estamos considerando un péndulo simple en el cual si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo $\theta$ con la vertical, y luego la soltamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas $\theta$ y $-\theta$, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud $l$ del hilo.

Comencemos por escribir la ecuación del péndulo en una sistema de dos ecuaciones de primer orden. Sean

$$x = \theta \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{dx}{dy}$$

Y de la ecuación del péndulo obtenemos que

$$\dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} = \dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{g}{l} \sin(x)$$

Entonces el sistema correspondiente es

\begin{align*}
\dfrac{dx}{dt} &= y \\
\dfrac{dy}{dt} &= -\dfrac{g}{l} \sin(x)
\end{align*}

La función vectorial $F$ es

$$F(x, y) = \left( y, -\dfrac{g}{l} \sin(x) \right)$$

Los puntos de equilibrio son los puntos tal que

\begin{align*}
y &= 0 \\
-\dfrac{g}{l} \sin(x) &= 0
\end{align*}

De la primer ecuación tenemos $y = 0$ y de la segunda notamos que para que $\sin(x) = 0$ se debe cumplir que $x = k \pi$ con $k$ una constante entera, por tanto el sistema tiene infinitos puntos de equilibrio y son de la forma $(k\pi ,0)$ con $k\in \mathbb{Z}$.

Consideremos los puntos de equilibrio $(0,0)$ y $(\pi ,0)$. El primer punto indica que

$$x = \theta = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = 0$$

En este caso el péndulo se encuentra en reposo en la posición de equilibrio y no hay desplazamiento ya que la velocidad es nula.

En el caso del segundo punto crítico se tiene que

$$x = \theta = \pi \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = 0$$

Por tanto, el ángulo de desplazamiento es $\pi$, y la velocidad nuevamente es nula. En cualquiera de estas dos situaciones el péndulo continuará así indefinidamente. Sin embargo, estos dos puntos de equilibrio son diferentes. Cuando nos encontramos en la situación de equilibrio $(0,0)$, ante cualquier pequeño cambio de la situación (cambio de posición o de velocidad), el sistema presentará pequeñas oscilaciones, mientras que cuando nos encontramos en la situación de equilibrio $(\pi, 0)$, estos pequeños cambios harán que el sistema presente una notable desviación. Estas características indican que el punto de equilibrio $(0, 0)$ es estable, mientras que el punto de equilibrio $(\pi, 0)$ es inestable.

A continuación se muestra el plano fase del sistema en el cual podemos observar las trayectorias para distintas soluciones particulares $(x(t), y(t))$ y lo que sucede alrededor de los puntos de equilibrio.

Plano fase del péndulo simple.

El plano fase muestra geométricamente que las soluciones para valores de $x = \theta$ pequeños el movimiento es periódico y deja de serlo conforme nos acercamos a los puntos de equilibrio $(-\pi, 0)$ o $(\pi, 0)$. Esto tiene sentido, pues la ecuación del péndulo (\ref{22}) no corresponde a un movimiento armónico simple debido a la presencia de la función seno, sin embargo para oscilaciones de pequeña amplitud en los que el ángulo es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación $\sin(\theta) \approx \theta$, en este caso la ecuación del péndulo se reduce a

$$l \dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + g \theta = 0 \label{23} \tag{23}$$

la cual corresponde a una ecuación de movimiento armónico simple refiriéndose al movimiento angular en lugar del movimiento rectilíneo.

La solución de la ecuación (\ref{23}) es

$$\theta = A \sin(\omega t + \phi) \label{24} \tag{24}$$

Donde,

$$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}} \label{25} \tag{25}$$

es la frecuencia angular. El periodo será, entonces

$$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}} \label{26} \tag{26}$$

y $A$ y $\phi$ son constantes correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento, respectivamente y son determinadas por las condiciones iniciales.

$\square$

Con esto concluimos esta entrada.

En las próximas entradas revisaremos nuevamente los sistemas lineales homogéneos y el método de valores y vectores propios para hacer un análisis desde una perspectiva cualitativa.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Para las demostraciones cualitativas puedes usar la herramienta que hemos estado utilizando.

  1. Demostrar cualitativamente que todas las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema

    $x^{\prime} = y(e^{x} -1)$
    $y^{\prime} = x + e^{y}$

    que comienzan en el semiplano derecho $(x > 0)$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.
  1. Demostrar cualitativamente que todas las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema

    $x^{\prime} = 1 + x^{2} + y^{2}$
    $y^{\prime} = xy + \tan(y)$

    que comienzan en el semiplano superior $(y > 0)$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.
  1. Demostrar cualitativamente que todas las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema

    $x^{\prime} = -1 -y + x^{2}$
    $y^{\prime} = x + xy$

    que empiezan en el interior del círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.
  1. Demostrar que todas las soluciones del sistema de ecuaciones

    $x^{\prime} = y(1 + x^{2} + y^{2})$
    $y^{\prime} = -2x(1 + x^{2} + y^{2})$

    son de la forma $\dfrac{1}{2}y^{2} + x^{2} = c^{2}$, es decir, las trayectorias son una familia de elipses.
  1. Demostrar que alrededor del punto de equilibrio las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo orden son periódicas.
  • $\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} + z^{3} = 0$
  • $\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} + \dfrac{z}{1 + z^{2}} = 0$

Más adelante…

En la unidad anterior desarrollamos el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos, vimos que existen distintos casos de acuerdo al valor que tomen los valores propios y el método de resolución para cada caso es relativamente distinto. En las siguientes entradas estudiaremos nuevamente estos sistemas con la adición de que ahora estudiaremos el tipo de trayectorias que genera cada sistema en el plano fase y veremos la dependencia que tienen éstas con el valor que tomen los valores propios.

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Introducción

En esta entrada estudiaremos algunos tipos de oscilaciones mecánicas con el propósito de poner en práctica los métodos desarrollados hasta este momento de la segunda unidad.

Consideraremos varios sistemas dinámicos lineales en los que cada modelo matemático será una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes acompañada de condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como $t = 0$.

$$a \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + b \dfrac{dx}{dt} + cx = g(t); \hspace{1cm} x(0) = x_{0}, \hspace{0.5cm} x^{\prime}(0) = x_{1} \label{1} \tag{1}$$

Con respecto a la notación, denotaremos con $x$ a la variable dependiente que físicamente representará la posición de un objeto, mientras que $t$ será la variable independiente y representara al tiempo, ya que nuestro propósito es describir el movimiento oscilatorio de un objeto a través del tiempo.

A la función $g(x)$ de (\ref{1}) la llamaremos entrada o función forzada del sistema. Una solución $x(t)$ de (\ref{1}) en un intervalo $\delta$ que contiene a $t = 0$ y satisface las condiciones iniciales se le llama salida o respuesta del sistema.

El sistema dinámico que estudiaremos será el de resorte – objeto y los tipos de movimiento que describiremos será el movimiento libre no amortiguado, el movimiento libre amortiguado y el movimiento forzado.

Movimiento libre no amortiguado

Consideremos un resorte de longitud $l$ suspendido verticalmente de un soporte rígido y en la parte inferior del resorte se encuentra un objeto de masa $m$, el peso del objeto hace que el resorte se elongue una distancia $s$. En la posición de equilibrio establecemos que $x = 0$, tal como se muestra en la siguiente figura.

Resorte sin objeto y resorte con el objeto de masa $m$ en la posición de equilibrio.

Es claro que la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa, además el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora $F$ opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación $s$, esta característica corresponde a la ley de Hooke y matemáticamente se expresa como

$$F = ks \label{2} \tag{2}$$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte.

Una vez colocado el objeto de masa $m$, el resorte se alarga una distancia $s$ y mantiene una posición de equilibrio en el que el peso $W$ del objeto se equilibra con la fuerza restauradora $F$ del resorte. Recordando que el peso de un objeto es

$$W = mg \label{3} \tag{3}$$

con $m$ la masa del objeto y $g$ la aceleración de la gravedad, podemos establecer que en el equilibrio ocurre que

$$W = F \label{4} \tag{4}$$

o bien,

$$mg -ks = 0 \label{5} \tag{5}$$

Si el objeto se desplaza una cantidad $x$ de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte será

$$F_{x} = k(s + x) \label{6} \tag{6}$$

Objeto en reposo y objeto en movimiento desplazado una distancia $x$.

Como estamos analizando un movimiento no amortiguado, vamos a suponer que no hay fuerzas restauradoras que actúen sobre el sistema y que el objeto oscila libre de otras fuerzas externas. Entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza resultante de la fuerza restauradora y el peso.

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k(s + x)+ mg = -kx + mg -ks$$

Considerando (\ref{5}) obtenemos que

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx \label{7} \tag{7}$$

El signo negativo indica que la fuerza restauradora del resorte actúa en dirección opuesta a la dirección del movimiento, además se toma la convención de que la dirección hacia abajo de la posición de equilibrio es positiva.

Si dividimos entre $m$ la ecuación (\ref{7}) y reordenamos obtenemos la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \dfrac{k}{m}x = 0 \label{8} \tag{8}$$

Veremos más adelante la razón por la que es conveniente definir la constante

$$\omega^{2} = \dfrac{k}{m} \label{9} \tag{9}$$

Usando esta definición podemos escribir la ecuación (\ref{8}) como

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0 \label{10} \tag{10}$$

La ecuación diferencial (\ref{10}) se dice que describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales claras son el desplazamiento inicial

$$x(0) = x_{0}$$

y la velocidad inicial

$$x^{\prime}(0) = x_{1}$$

del objeto. Por ejemplo, si $x_{0} > 0$, entonces indica que el objeto parte de un punto por debajo de la posición de equilibrio lo que provocará una velocidad impartida hacia arriba, es decir, $x_{1} < 0$. Cuando $x^{\prime}(0) = 0$ el objeto se libera a partir del reposo. Y si por ejemplo $x_{0} < 0$ y $x_{1} = 0$, entonces indica que el objeto se libera desde el reposo pero desde una posición arriba de la posición de equilibrio.

La ecuación (\ref{10}) representa el modelo matemático que describe el fenómeno, pero ahora estamos interesados en conocer la ecuación de movimiento, así que es momento de aplicar lo aprendido y resolver la ecuación diferencial.

Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, así que proponemos una solución de la forma

$$x(t) = e^{rt} \label{11} \tag{11}$$

Utilizamos la letra $r$ y no $k$ para no confundirnos con la constante de resorte. Al sustituir esta solución y su segunda derivada en (\ref{10}) se obtiene la ecuación auxiliar

$$r^{2} + \omega^{2} = 0 \label{12} \tag{12}$$

Las raíces son

$$r_{1} = i \omega \hspace{1cm} y \hspace{1cm} r_{2} = -i \omega$$

Identificamos que $\alpha = 0$ y $\beta = \omega$, Por lo tanto, la solución general es

$$x(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t) \label{13} \tag{13}$$

Esta solución corresponde a la ecuación general de movimiento del objeto sujeto al resorte considerando que no hay amortiguación.

Si se aplican las condiciones iniciales y se determinan las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$, entonces habremos encontrado la ecuación de movimiento del sistema en particular. Notemos que la solución efectivamente describe un movimiento oscilatorio ya que se encuentran presentes las funciones seno y coseno.

La constante

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} \label{14} \tag{14}$$

se llama frecuencia circular del sistema y nos permite definir algunas cantidades. $\omega$ se mide en radianes por segundo.

La cantidad

$$T = \dfrac{2 \pi}{\omega} \label{15} \tag{15}$$

determina el periodo del movimiento descrito por (\ref{13}), es decir, representa el tiempo que tarda el objeto en hacer un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa del objeto. Podemos decir que el periodo $T$ es el tamaño del intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos (o mínimos sucesivos) de $x(t)$. De acuerdo a nuestra convención, un máximo es el desplazamiento positivo del objeto en el que alcanza su distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo es el desplazamiento negativo en el que alcanza su altura máxima arriba de la posición de equilibrio. En cualquier caso decimos que hay un desplazamiento extremo del objeto.

La cantidad

$$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2 \pi} \label{16} \tag{16}$$

es la frecuencia de movimiento y representa el número de ciclos completados cada segundo.

Existe una forma alterna de la solución (\ref{13}) en la que se hace explícita la amplitud $A$ de las oscilaciones. Si en la solución (\ref{13}) $c_{1} \neq 0$ y $c_{2} \neq 0$, se define la amplitud como

$$A = \sqrt{c^{2}_{1} + c^{2}_{2}} \label{17} \tag{17}$$

y se define el ángulo de fase $\phi$, tal que

$$\sin(\phi) = \dfrac{c_{1}}{A}, \hspace{1cm} \cos(\phi) = \dfrac{c_{2}}{A} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \tan(\phi) = \dfrac{c_{1}}{c_{2}} \label{18} \tag{18}$$

Notemos lo siguiente

\begin{align*}
x(t) &= c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t) \\
&= A \dfrac{c_{1}}{A} \cos(\omega t) + A \dfrac{c_{2}}{A} \sin(\omega t) \\
&= [A \sin(\phi)] \cos(\omega t) + [A \cos(\phi)] \sin(\omega t) \\
&= A \sin(\omega t) \cos(\phi) + A \cos(\omega t) \sin(\phi)
\end{align*}

Si en la última expresión aplicamos la identidad trigonométrica

$$\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \label{19} \tag{19}$$

entonces obtenemos la solución (\ref{13}) en una forma alterna más simple.

$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \label{20} \tag{20}$$

En resumen, la ecuación que describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado es

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0$$

Y las soluciones que representan el movimiento del objeto son

$$x(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t)$$

o bien,

$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$

Movimiento libre amortiguado

Es claro que el movimiento libre no amortiguado es un movimiento ideal, pues el movimiento descrito por (\ref{13}) o (\ref{20}) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre el objeto y sabemos que, a menos que el objeto este suspendido en un vacío perfecto, siempre habrá por lo menos una fuerza de resistencia debido al medio circundante, por ejemplo la resistencia del aire.

El propósito ahora, al igual que antes, es determinar la ecuación diferencial o modelo matemático que describe al sistema cuando existen fuerzas de amortiguamiento, para posteriormente determinar la ecuación general de movimiento.

Consideremos nuevamente un objeto de masa $m$ suspendido sobre un resorte con constante $k$, pero en esta ocasión consideremos que existe una fuerza externa de amortiguamiento actuando sobre el objeto. En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea $\dfrac{dx}{dt}$. En nuestro caso supondremos que la fuerza de amortiguamiento esta dada por un múltiplo constante de la velocidad, esto es

$$F_{am} = \eta \dfrac{dx}{dt} \label{21} \tag{21}$$

donde $\eta$ es una constante de amortiguamiento positiva. De esta manera, cuando ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema, de la segunda ley de Newton se tiene que

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx -\eta \dfrac{dx}{dt} \label{22} \tag{22}$$

El signo negativo en la fuerza de amortiguamiento indica que dicha fuerza actúa en dirección opuesta al movimiento.

Si dividimos la ecuación diferencial (\ref{22}) por $m$ y reordenamos, obtenemos

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \dfrac{\eta}{m} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{k}{m}x = 0 \label{23} \tag{23}$$

Recordemos que

$$\omega^{2} = \dfrac{k}{m}$$

y por convención definimos

$$2\rho = \dfrac{\eta}{m} \label{24} \tag{24}$$

Así podemos reescribir la ecuación (\ref{23}) como

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2 \rho \dfrac{dx}{dt} + \omega^{2} x = 0 \label{25} \tag{25}$$

Esta ecuación corresponde al modelo matemático que describe al fenómeno. La utilidad de $2\rho$ se hace evidente al momento de intentar resolver la ecuación, pues si se considera la solución

$$x(x) = e^{rt}$$

y se sustituye en la ecuación (\ref{25}) junto con las derivadas correspondientes se obtiene la ecuación auxiliar

$$r^{2} + 2\rho r + \omega^{2} = 0 \label{26} \tag{26}$$

De donde se obtienen las siguientes dos raíces.

$$r_{1} = -\rho + \sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} r_{2} = -\rho -\sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}} \label{27} \tag{27}$$

Hay tres casos posibles dependiendo del valor del discriminante

$$\Delta = \rho^{2} -\omega^{2} \label{28} \tag{28}$$

Estudiemos cada caso.

Caso 1: $\rho^{2} -\omega^{2} > 0$

En este caso decimos que el sistema se encuentra sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento $\rho$ es más grande que la constante del resorte $k$. Como las raíces son reales y distintas, la solución de la ecuación (\ref{25}), en este caso, es

$$x(t) = c_{1} e^{r_{1}t} + c_{2} e^{r_{2}t}$$

Si sustituimos los valores de (\ref{27}) podemos reescribir la solución como

$$x(t) = e^{-\rho t} \left( c_{1} e^{\sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}}t} + c_{2} e^{ -\sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}}t} \right) \label{29} \tag{29}$$

Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.

Caso 2: $\rho^{2} -\omega^{2} = 0$

En este caso cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio, decimos que el sistema está críticamente amortiguado. Como las raíces son reales e iguales, la solución de la ecuación (\ref{25}) es

$$x(t) = c_{1} e^{r_{1}t} + c_{2}t e^{r_{1}t}$$

Si sustituimos $r_{1} = -\rho$, la solución se puede reescribir como

$$x(t) = e^{-\rho t} \left( c_{1} + c_{2}t \right) \label{30} \tag{30}$$

Caso 3: $\rho^{2} -\omega^{2} < 0$

En este caso se dice que el sistema esta subamortiguado ya que el coeficiente de amortiguamiento es más pequeño que la constante del resorte. Las raíces son complejas y están dadas de la siguiente forma

$$r_{1} = -\rho + i\sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} r_{2} = -\rho -i\sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}} \label{31} \tag{31}$$

Identificamos que

$$\alpha = -\rho \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \beta = \sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}}$$

Entonces la solución está dada por

$$x(t) = e^{-\rho t} \left[ c_{1} \cos \left( \sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}}t \right) + c_{2} \sin \left( \sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}}t \right) \right] \label{32} \tag{32}$$

El movimiento descrito por (\ref{32}) es oscilatorio, pero debido al coeficiente $e^{-\rho t}$ las amplitudes de oscilación tienden a cero cuando $t \rightarrow \infty$.

En todos los casos la solución contiene el factor de amortiguamiento $e^{-\rho t}$, $\rho > 0$, lo que indica que los desplazamientos del objeto se vuelven despreciables conforme el tiempo $t$ aumenta.

De manera totalmente análoga que en el caso sin amortiguamiento, cualquier solución de la forma (\ref{32}) se puede escribir de forma alterna como

$$x(t) = Ae^{-\rho t} \sin \left( \sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}} t + \phi \right) \label{33} \tag{33}$$

donde $A$ es la amplitud de las oscilaciones y el ángulo de fase $\phi$ se determina de las ecuaciones de (\ref{18}). El coeficiente $Ae^{-\rho t}$ se denomina amplitud amortiguada de oscilaciones y debido a que (\ref{33}) no es una función periódica, el número

$$T_{c} = \dfrac{2 \pi}{\sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}}} \label{34} \tag{34}$$

se llama cuasi periodo y es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de $x(t)$, así mismo, el número

$$f_{c} = \dfrac{\sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}}}{2 \pi} \label{35} \tag{35}$$

se llama cuasi frecuencia.

En resumen, la ecuación que describe el movimiento libre amortiguado es

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2 \rho \dfrac{dx}{dt} + \omega^{2} x = 0$$

Y las soluciones que representan el movimiento del objeto, dependiendo del valor del discriminante de la ecuación auxiliar, son

  • Si $\rho^{2} -\omega^{2} > 0 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} x(t) = e^{-\rho t} \left( c_{1} e^{\sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}}t} + c_{2} e^{ -\sqrt{\rho^{2} -\omega^{2}}t} \right)$
  • Si $\rho^{2} -\omega^{2} = 0 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} x(t) = e^{-\rho t} \left( c_{1} + c_{2}t \right)$
  • Si $\rho^{2} -\omega^{2} < 0 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} x(t) = Ae^{-\rho t} \sin \left( \sqrt{\omega^{2} -\rho^{2}} t + \phi \right)$

Movimiento forzado

Imaginemos que ahora, adicional a las situaciones anteriores, se ejerce una fuerza externa sobre el soporte del resorte. En los dos casos anteriores considerábamos al soporte fijo, pero en esta ocasión pensamos en una fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. Sea $F_{ext}(t)$ dicha fuerza externa, usando la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial queda de la siguiente forma.

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx -\eta \dfrac{dx}{dt} + F_{ext}(t) \label{36} \tag{36}$$

Si dividimos la ecuación por $m$ y definimos

$$g(t) = \dfrac{F_{ext}(t)}{m} \label{37} \tag{37}$$

además de considerar las definiciones anteriores (\ref{9}) y (\ref{24}), podemos escribir la ecuación diferencial como

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\rho \dfrac{dx}{dt} + \omega^{2}x = g(t) \label{38} \tag{38}$$

La ecuación (\ref{38}) representa el modelo matemático que describe al sistema con movimiento forzado. Esta ecuación es no homogénea, de manera que puede resolverse usando el método de coeficientes indeterminados o el de variación de parámetros.

Cuando $g$ es una función periódica, como

$$g(t) = g_{0} \sin(\lambda t) \hspace{1cm} o \hspace{1cm} g(t) = g_{0} \cos(\lambda t)$$

con $\lambda$ una constante, la solución general de (\ref{38}) para $\rho > 0$ es la suma de una función no periódica $x_{np}(t)$ (solución complementaria o solución de la ecuación homogénea asociada) y una función periódica $x_{p}(t)$ (solución particular de la ecuación no homogénea), en la que $x_{np}(t)$ se desvanece a medida que el tiempo incrementa, es decir,

$$\lim_{t \to \infty} x_{np}(t) = 0 \label{39} \tag{39}$$

Esta propiedad nos indica que para valores grandes de tiempo, los desplazamientos del objeto se aproximan mediante la solución particular $x_{p}(t)$.

La función complementaria $x_{np}(t)$ se denomina término transitorio o solución transitoria, mientras que la solución particular $x_{p}(t)$ se denomina término de estado estable o solución de estado estable.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos cada caso

Ejemplo: Considerar un resorte sujeto de manera vertical a un soporte. El resorte se estira $50 cm$ al aplicarle una fuerza de $4N$. En la parte inferior del resorte se coloca un objeto con peso de $19.6 N$. Al objeto se le aleja de su posición de equilibrio jalándolo $1 m$ hacia abajo, si se suelta sin aplicarle una velocidad inicial, estudiar el movimiento del objeto en los siguientes casos:

  • No hay resistencia del aire (movimiento libre no amortiguado).
  • Hay resistencia del aire y es de $F_{am} = 8\dfrac{dx}{dt}$ (movimiento libre amortiguado).
  • Además de la resistencia del aire, hay una fuerza aplicada al soporte de $F_{ext}(t) = 80\sin(2t)$ (movimiento forzado).

Solución: El peso del objeto es

$$W = 19.6 N$$

entonces su masa es

$$m = \dfrac{W}{g} = \dfrac{19.6}{9.8}$$

Es decir, $m = 2 kg$. Por otro lado, si el resorte se estira

$$s = 0.5 m$$

aplicando una fuerza de

$$F = 4N$$

por la ley de Hooke tenemos que la constante del resorte es

$$k = \dfrac{F}{s} = \dfrac{4}{0.5}$$

Es decir, $k = 8 N/m$. Las condiciones iniciales son $x(0) = 1$ (posición fuera de la posición de equilibrio) y $x^{\prime}(0) = 0$ (sin velocidad inicial).

Para la primera situación sabemos que

$$F_{am} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} F_{ext} = 0$$

De manera que la ecuación que describe al sistema es (\ref{10}) con

$$\omega^{2} = \dfrac{k}{m} = \dfrac{8}{2} = 4$$

Así, la ecuación a resolver es

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4x = 0$$

La ecuación auxiliar es

$$r^{2} + 4 = 0$$

Las raíces son $r_{1} = i2$ y $r_{2} = -i2$. Identificamos que $\alpha = 0$ y $\beta = 2$. Por lo tanto, la solución general es

$$x(t) = c_{1} \cos(2t) + c_{2} \sin(2t)$$

Para aplicar las condiciones iniciales debemos conocer la expresión de la primera derivada de la solución, dicha expresión es

$$\dfrac{dx}{dt} = -2c_{1} \sin(2t) + 2c_{2} \cos(2t)$$

Aplicando las condiciones iniciales, tenemos

$$x(0) = c_{1} = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} x^{\prime}(0) = 2c_{2} = 0$$

De donde $c_{1} = 1$ y $c_{2} = 0$. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es

$$x(t) = \cos(2t)$$

Esta solución representa un movimiento armónico de amplitud

$$A = 1 m$$

periodo

$$T = \dfrac{2 \pi}{2} = \pi seg$$

y frecuencia

$$f = \dfrac{1}{\pi } = 0.318 \dfrac{ciclos}{segundo}$$

A continuación se muestra una gráfica con el movimiento descrito por el objeto.

Función de movimiento del objeto.

De la gráfica observamos que el objeto siempre se mantendrá oscilando de la misma manera para $t \to \infty$ y tiene sentido ya que no existe ninguna fuerza exterior que lo amortigüe.

Consideremos ahora la resistencia del aire

$$F_{am} = 8 \dfrac{dx}{dt}$$

En este caso la ecuación a resolver es de la forma (\ref{22}) y es

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + kx + 8\dfrac{dx}{dt} = 0$$

que adaptando a nuestros datos se tiene

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4 \dfrac{dx}{dt} + 4x = 0$$

La ecuación auxiliar es

$$r^{2} + 4r + 4 = 0$$

Las raíces son $r_{1} = r_{2}= -2$, como son iguales, entonces la solución es de la forma

$$x(t) = e^{-2t}(c_{1} + c_{2}t)$$

La derivada es

$$\dfrac{dx}{dt} = -2e^{-2t}(c_{1} + c_{2}t) + c_{2}e^{-2t}$$

Apliquemos las condiciones iniciales.

$$x(0) = c_{1} = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} x^{\prime}(0) = -2c_{1} + c_{2} = 0$$

de donde obtenemos que $c_{1} = 1$ y $c_{2} = 2$. Por lo tanto, la ecuación de movimiento es

$$x(t) = e^{-2t}(1 + 2t)$$

El factor de amortiguamiento es $e^{-2t}$.

A continuación se muestra una gráfica con el movimiento descrito por el objeto.

Función de movimiento del objeto.

De la gráfica observamos que no hay movimiento oscilatorio, sino que el objeto llega a la posición de equilibrio y se mantiene, esto se debe al factor de amortiguamiento.

Para la situación final tenemos un movimiento forzado con una fuerza externa

$$F_{ext}(t) = 80 \sin(2t)$$

La ecuación diferencial que tenemos en este caso es

$$m \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx -8 \dfrac{dx}{dt} + 80 \sin(2t)$$

o bien

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 4 \dfrac{dx}{dt} + 4x = 40 \sin(2t)$$

La solución de la ecuación homogénea ya la conocemos, ya que corresponde a la solución transitoria obtenida anteriormente.

$$x_{np}(t) = e^{-2t}(c_{1} + c_{2}t)$$

Para el caso no homogéneo se puede aplicar variación de parámetros o coeficientes indeterminados, apliquemos el segundo método.

Estamos en condiciones del punto 3. Proponemos una solución de la forma

$$x(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t)$$

La primera y segunda derivada están dadas de la siguiente forma.

$$\dfrac{dx}{dt} = -2A \sin(2t) + 2B \cos(2t) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} = -4A \cos(2t) -4B \sin(2t)$$

Sustituimos en la ecuación diferencial.

\begin{align*}
\left[ -4A \cos(2t) -4B \sin(2B) \right] &+ 4 \left[ -2A \sin(2t) + 2B \cos(2t) \right] + 4 \left[ A \cos(2t) + B \sin(2t) \right] \\
&= 40 \sin(2t)
\end{align*}

\begin{align*}
-8A \sin(2t) + 8B \cos(2t) &= 40 \sin(2t) \\
-A \sin(2t) + B \cos(2t) &= 5 \sin(2t)
\end{align*}

Para que se cumpla la igualdad debe ocurrir que $A = -5$ y $B = 0$, entonces la solución de estado estable es

$$x_{p}(t) = -5 \cos(2t)$$

Por lo tanto, la solución general es

$$x(t) = x_{np}(t) + x_{p}(t) = e^{-2t}(c_{1} + c_{2}t) -5 \cos(2t)$$

Vemos que

$$\dfrac{dx}{dt} = -2e^{-2t}(c_{1} + c_{2}t) + c_{2}e^{-2t} + 10 \sin(2t)$$

Apliquemos las condiciones iniciales.

$$x(0) = c_{1} -5 = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} x^{\prime}(0) = -2c_{1} + c_{2} = 0$$

de donde $c_{1} = 6$ y $c_{2} = 12$. Entonces la ecuación de movimiento es

$$x(t) = e^{-2t}(6 + 12t) -5 \cos(2t)$$

A continuación se muestra una gráfica con el movimiento descrito por el objeto.

Función de movimiento del objeto.

Inicialmente el resorte sufre un estiramiento muy grande generando un movimiento transitorio y procede a amortiguarse hasta llegar al equilibrio entre la fuerza externa y la fuerza amortiguadora describiendo un movimiento estable.

La parte $e^{-2t}(6 + 12t)$ representa el movimiento transitorio, mientras que $-5 \cos(2t)$ representa el movimiento estable.

También se puede observar que las amplitudes (el estiramiento del resorte) son bastante grandes comparado con las dos situaciones anteriores.

$\square$

Resonancia

Resolvamos un problema de valores iniciales que nos permitirá definir el concepto de resonancia.

Resolver la ecuación

$$\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = g_{0} \sin(\lambda t) \label{40} \tag{40}$$

donde $g_{0}$ y $\lambda \neq \omega$ son constantes y los valores iniciales son $x(0) = 0$ y $x^{\prime}(0) = 0$.

Solución: Resolviendo la ecuación homogénea puedes verificar que la solución complementaria es

$$x_{c}(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t) \label{41} \tag{41}$$

Para obtener una solución particular proponemos una solución de la forma

$$x_{p}(t) = A \cos(\lambda t) + B \sin(\lambda t)$$

y aplicamos el método de coeficientes indeterminados. Vemos que

$$\dfrac{dx_{p}}{dt} = -A \lambda \sin(\lambda t) + B \lambda \cos(\lambda t) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}x_{p}}{dt^{2}} = -A \lambda^{2} \cos(\lambda t) -B \lambda^{2} \sin(\lambda t)$$

Sustituyamos en la ecuación diferencial.

\begin{align*}
\left[ -A \lambda^{2} \cos(\lambda t) -B \lambda^{2} \sin(\lambda t) \right] &+ \omega^{2} \left[A \cos(\lambda t) + B \sin(\lambda t) \right] \\
&= A (\omega^{2} -\lambda^{2}) \cos(\lambda t) + B (\omega^{2} -\lambda^{2}) \sin(\lambda t) \\
&= g_{0} \sin(\lambda t)
\end{align*}

Es claro que para que se cumpla la igualdad se debe satisfacer que

$$A = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} B = \dfrac{g_{0}}{\omega^{2} -\lambda^{2}}$$

Por tanto, la solución particular es

$$x_{p}(t) = \dfrac{g_{0}}{\omega^{2} -\lambda^{2}} \sin(\lambda t) \label{42} \tag{42}$$

Y la solución general es

$$x(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t) + \dfrac{g_{0}}{\omega^{2} -\lambda^{2}} \sin(\lambda t) \label{43} \tag{43}$$

Verifica que aplicando las condiciones iniciales se obtiene que

$c_{1} = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} c_{2} = -\dfrac{\lambda g_{0}}{\omega (\omega^{2} -\lambda^{2})}$

Por lo tanto, para $\lambda \neq \omega$, la solución es

$$x(t) = \dfrac{g_{0}}{\omega (\omega^{2} -\lambda^{2})} \left[-\lambda \sin(\omega t) + \omega \sin(\lambda t) \right] \label{44} \tag{44}$$

Este resultado no esta definido para $\lambda = \omega$, sin embargo podemos obtener su valor límite conforme $\lambda \rightarrow \omega$, esto produciría en (\ref{44}) un incremento de forma sustancial de las amplitudes de oscilación.

Para $\lambda = \omega$ se define la solución como el límite $\lambda \to \omega$ de la ecuación (\ref{44}).

$$x(t) = \lim_{\lambda \to \omega} g_{0} \dfrac{-\lambda \sin(\omega t) + \omega \sin(\lambda t)}{\omega (\omega^{2} -\lambda^{2})} \label{45} \tag{45}$$

Para resolver el límite apliquemos la regla de L´Hôpital.

La derivada del numerador con respecto a $\lambda$ es

$$\dfrac{d}{d \lambda} \left[ -\lambda \sin(\omega t) + \omega \sin(\lambda t) \right] = -\sin(\omega t) + t \omega \cos(\lambda t)$$

Y la derivada del denominador con respecto a $\lambda$ es

$$\dfrac{d}{d \lambda} \left[ \omega^{3} -\omega \lambda^{2} \right] = -2 \omega \lambda$$

Sustituyendo en el límite (\ref{45}) obtenemos

\begin{align*}
x(t) &= g_{0} \lim_{\lambda \to \omega} \dfrac{-\sin(\omega t) + t \omega \cos(\lambda t)}{-2 \omega \lambda} \\
&= g_{0} \dfrac{-\sin(\omega t) + t \omega \cos(\omega t)}{-2 \omega^{2}} \\
&= \dfrac{g_{0}}{2 \omega^{2}} \sin(\omega t) -\dfrac{g_{0}}{2 \omega}t \cos(\omega t)
\end{align*}

Por lo tanto, para $\lambda = \omega$ la solución es

$$x(t) = \dfrac{g_{0}}{2 \omega^{2}} \left[ \sin(\omega t) -t \omega \cos(\omega t) \right] \label{46} \tag{46}$$


Conforme $t \to \infty$ los desplazamientos del objeto se vuelven más largos, de hecho, $|x(t_{n})| \to \infty$ cuando $t_{n} = \dfrac{n \pi}{\omega}$ para $n = 1, 2, 3, \cdots$.

Este fenómeno se conoce como resonancia pura.

Una gráfica que muestra el comportamiento de (\ref{46}) es la siguiente.

Resonancia pura.

No profundizaremos más en el concepto de resonancia, pero cabe mencionar que la resonancia pura es una situación ideal, pues físicamente las oscilaciones grandes del objeto forzarían en algún momento al resorte más allá de su límite elástico, además en el desarrollo realizado no se han toman en cuenta efectos retardadores de las fuerzas de amortiguamiento que siempre están presentes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resolver los siguientes problemas:

  1. Un resorte cuelga verticalmente; su extremo superior está fijo y del inferior pende una caja que pesa $196 N$. Una vez en equilibrio se tira de la caja hacia abajo haciéndola desplazar $0.25 m$ y se suelta. Sabiendo que $k = 80 N/m$ y que la resistencia del aire es despreciable, hallar:
  • La ecuación de movimiento de la caja.
  • El tiempo necesario para que la caja se mueva desde la posición inicial hasta $0.0625 m$ por debajo de la posición de equilibrio.
  1. Una masa de $98 N$ de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que $k = 4.9 N/m$, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza $F_{ext}(t) = \sin(\sqrt{2g}t)$.
  1. Se suspende una masa de $10 kg$ de un resorte, el cual se alarga $0.6533 m$. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial $1 m/s$, dirigida hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es $F_{am} = 80 \dfrac{dx}{dt}$.
  1. De un resorte que tiene una constante $k = 50$ se suspende un peso de $49 N$. El peso se pone en movimiento desde el reposo estirándolo $0.98 m$ hacia abajo de la posición de equilibrio y aplicando una fuerza externa $F_{ext}(t) = 10\sin(2t)$. Si no hay resistencia del aire, hallar el movimiento del peso.
  1. Se cuelga de un resorte una masa de $2 kg$, de tal manera que el resorte se alarga $0.6125 m$. A esta masa se le aleja de su posición de equilibrio jalándola $1 m$ hacia arriba y se suelta. Hallar el movimiento resultante de la masa sabiendo que hay una resistencia del aire de $F_{am} = 16 \dfrac{dx}{dt}$.

Más adelante…

Es momento de estudiar el caso en el que los coeficientes no son constantes, es decir, estudiaremos ecuaciones diferenciales de la forma

$$a(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + b(x) \dfrac{dy}{dx} + c(x) = g(x)$$

Donde $a(x)$, $b(x)$ y $c(x)$ son funciones de la variable independiente $x$.

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Seminario de Resolución de Problemas: Sucesiones periódicas y pre-periódicas

Introducción

En la entrada anterior, comenzamos a hablar de sucesiones. Dimos las definiciones básicas y vimos sucesiones aritméticas y geométricas. Aunque una sucesión tenga una cantidad infinita de términos, las sucesiones aritméticas y geométricas son «sencillas», pues en realidad sólo dependen de dos parámetros: un término inicial y una diferencia (o razón). Ahora veremos otro tipo de sucesiones que también tienen cierta «finitud». Estudiaremos las sucesiones periódicas y pre-periódicas.

La intuición detrás de las sucesiones periódicas y pre-periódicas es que «se repiten y se repiten» después de un punto. Así, estas sucesiones sólo pueden tomar un número finito de valores, y de hecho después de un punto los empiezan a tomar «de manera cíclica».

Sucesiones periódicas

Las siguientes sucesiones tienen una característica peculiar:

  • $1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,\ldots$
  • $7,8,7,11,7,7,8,7,11,7,7,\ldots$
  • Para $\omega$ una raíz cúbica de la unidad en $\mathbb{C}$: $1,\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega ^6,\ldots$

Dicho de manera informal, estas sucesiones se «repiten y se repiten».

Definición. Una sucesión es periódica si existe un entero positivo $p$ tal que $x_{n+p}=x_n$ para todo entero $n\geq 0$. A $p$ se le conoce como un periodo y al mínimo $p$ que satisface esto se le llama un periodo mínimo.

Las sucesiones ejemplo tienen periodo $4$, $5$ y $3$ respectivamente.

Cuando una sucesión $\{x_n\}$ es periódica de periodo $p$, se puede mostrar inductivamente que $x_{n+p}=x_{n+mp}$ para todo entero positivo $m$. También, se puede mostrar que cualquier término es igual a alguno de los términos $x_0,\ldots,x_{p-1}$. Concretamente, si usamos el algoritmo de la división para expresar $n=qp+r$ con $r$ el residuo de la división de $n$ entre $q$, tenemos que $x_n=x_r$. Esto hace que trabajar con sucesiones periódicas de periodo $p$ se parezca a trabajar con los enteros módulo $p$.

Problema. La sucesión $\{x_n\}$ es periódica de periodo $91$ y tiene un número irracional. La sucesión $\{y_n\}$ es periódica de periodo $51$. Muestra que si la sucesión $\{x_n+y_n\}$ tiene puros números racionales, entonces la sucesión $\{y_n\}$ tiene puros números irracionales.

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo se resuelven las ecuaciones diofantinas lineales en enteros, o bien usa el teorema chino del residuo.

Solución. Como $\{x_n\}$ tiene periodo $91$, podemos suponer que su término irracional es $x_k$ con $k$ en $\{0,\ldots,90\}$. Ya que $\{y_n\}$ es periódica de periodo $51$, basta con que probemos que $y_r$ es irracional para cada $r$ en $\{0,\ldots,50\}$. Tomemos una de estas $r$.

Como $91$ y $51$ son primos relativos, por el teorema chino del residuo existe un entero $m$ tal que
\begin{align*}
m&\equiv k \pmod {91}\\
m&\equiv r \pmod {51}.
\end{align*}

Sumando múltiplos de $91\cdot 51$ a $m$, podemos suponer que $m$ es positivo. Para esta $m$ tenemos que $x_m=x_k$ y que $y_m=y_r$. De esta forma,
\begin{align*}
y_r&=y_m\\
&=(y_m+x_m)-x_m\\
&=(y_m+x_m)-x_k.
\end{align*}
A la derecha, tenemos una resta de un número racional, menos uno irracional, el cual es un número irracional. Esto muestra que $y_r$ es irracional, como queríamos.

$\square$

Veamos otro ejemplo, que toca un poco el tema de sucesiones recursivas, del cual hablaremos con más profundidad más adelante.

Problema. Considera la sucesión $\{a_n\}$ en $\mathbb{Z}_{13}$ (los enteros módulo $13$, con su aritmética modular), en donde los primeros tres términos son $a_0=[0]_{13}$, $a_1=[1]_{13}$ y $a_2=[2]_{13}$ y para todo entero $n\geq 0$ se tiene que $$a_{n+3}=[a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+n]_{13}.$$ Muestra que la sucesión $\{a_n\}$ es periódica.

Sugerencia pre-solución. El residuo al dividir entre $13$ de cada término de la sucesión depende de cuatro enteros entre $0$ y $12$. ¿Cuáles? Usa el principio de las casillas y luego trabaja hacia atrás.

Solución. Para simplificar la notación, no usaremos el subíndice $13$, con el entendido de que siempre se deben simplificar los números de los que hablemos módulo $13$. Para cada $n\geq 0$, consideremos el vector $$v_n=(a_n,a_{n+1},a_{n+2},n).$$

Visto módulo $13$, este vector puede tomar $13^4$ posibles valores, y define el valor de $a_{n+3}$. Por principio de las casillas, debe haber dos enteros $m$ y $p$ tales que $v_m=v_{m+p}$. Afirmamos que $p$ es un periodo para $\{a_n\}$.

Vamos a probar esto. Primero lo haremos para los enteros $n\geq m$. Esto lo haremos mostrando que $v_{m+k}=v_{m+k+p}$ por inducción sobre $k$.

El caso $k=0$ es la igualdad $v_m=v_{m+p}$ de arriba. Si suponemos que $v_{m+k}=v_{m+p+k}$, entonces automáticamente tenemos la igualdad de las primeras dos entradas de $v_{m+k+1}$ y $v_{m+p+k+1}$, y como $a_{m+k+3}$ y $a_{m+k+p+3}$ quedan totalmente determinados por $v_{m+k}=v_{m+p+k}$, entonces también las terceras entradas son iguales. Para la cuarta entrada, usamos que $$m+k\equiv m+p+k\pmod {13},$$ de donde $$m+k+1\equiv m+p+k+1\pmod {13}.$$ Esto termina la inducción. En particular, tenemos que $a_{m+k}=a_{m+k+p}$ para todo $k\geq 0$.

Falta mostrar que la sucesión también es periódica antes de $a_m$. Pero este se hace con un argumento análogo al anterior, pero trabajando hacia atrás, notando que $a_{n-1}$ queda totalmente determinado mediante la ecuación $$a_{n-1}=a_{n+2}-a_n-a_{n+1}-(n-1).$$

$\square$

Sucesiones pre-periódicas

A veces una sucesión puede ser casi periódica, a excepción de sus primeros términos. Estas sucesiones comparten muchas propiedades con las sucesiones periódicas, así que vale la pena definirlas.

Definición. Una sucesión es pre-periódica si existen enteros positivos $N$ y $p$ tales que $x_{n+p}=x_p$ para todo entero $n \geq N$. Si tomamos $N$ como el menor entero para el que se cumpla la propiedad, a los términos $$(x_0,x_1,\ldots,x_{N-1})$$ se les conoce como la parte pre-periódica. La sucesión $\{x_{n+N}\}$ es una sucesión periódica y se le conoce como la parte periódica de $\{x_n\}$.

Las sucesiones pre-periódicas juegan un papel importante en la clasificación de los números racionales.

Teorema. Sea $x$ un real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

  • $x$ es racional
  • Los dígitos después del punto decimal de $x$ en alguna base entera $b\geq 2$ forman una sucesión pre-periódica.
  • Los dígitos después del punto decimal de $x$ en toda base entera $b\geq 2$ forman una sucesión pre-periódica.

Problema. Demuestra que el número $$X:\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{10^{j^2}}$$ es un número irracional.

Sugerencia pre-solución. Escribe las primeras sumas parciales de la serie para encontrar un patrón de cómo se ven los dígitos de $X$ después del punto decimal. Procede por contradicción.

Solución. Otra forma de escribir a $X$ es en base $10$: $$X=0.a_1a_2a_3a_4\ldots,$$ en donde $\{a_n\}$ es la sucesión de dígitos después del punto decimal. Nota que $a_i=1$ si y sólo si $i$ es un número cuadrado.

Si $X$ fuera racional, $\{a_n\}$ sería pre-periódica, de periodo, digamos $p$. Pero en $\{a_n\}$ podemos encontrar $p$ ceros consecutivos, incluso después del pre-periodo, ya que hay bloques tan largos como se quiera de enteros que no son números cuadrados. Esto mostraría que el periodo sería de puros ceros, y que por lo tanto a partir de un punto $\{a_n\}$ es constantemente cero. Esto es imposible pues hay números cuadrados arbitrariamente grandes.

$\square$

Combinando tipos de sucesiones

Hasta ahora, hemos hablado de sucesiones aritméticas, geométricas, periódicas y pre-periódicas. Seguiremos hablando de otros tipos de sucesiones en entradas posteriores. Una cosa sistemática que te puede ayudar a entender estos conceptos mejor es preguntarte cuándo una sucesión satisface más de una de estas propiedades.

Problema. Determina todas las sucesiones en $\mathbb{C}$ que sean simultáneamente geométricas y periódicas.

Sugerencia pre-solución. Elige una notación adecuada para trabajar en este problema.

Solución. El primer término $a$ de una sucesión así tiene que ser igual a otro. Como la sucesión es geométrica, eso otro término es de la forma $r^ma$ para $m$ un entero positivo.

Si $a=0$, la sucesión es la sucesión constante $0$, que es geométrica y periódica de periodo $1$. Si $a\neq 0$, entonces $r^m=1$, de modo que $r$ es una raíz $m$-ésima de la unidad.

Y en efecto, para $r$ una raíz $m$-ésima de la unidad y $a$ cualquier complejo, tenemos que $\{ar^n\}$ es una sucesión geométrica y de periodo $m$.

$\square$

Más problemas

Esta entrada es una extensión de las secciones 5 y 6 del curso de sucesiones que impartí para los entrenadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Puedes consultar las notas de este curso en el siguiente PDF, en donde hay más problemas de práctica:

Álgebra Lineal I: Bases ortogonales

Introducción

Como ya discutimos en las entradas anteriores, si tenemos un espacio vectorial $V$ con producto interior, entonces podemos definir varias nociones geométricas en $V$, como ángulos, norma y distancia. Ahora vamos a definir una noción muy útil en álgebra lineal: la de bases ortogonales. Para ello, combinaremos las nociones de bases y producto interior.

Las bases ortogonales no sólo tienen aplicaciones en álgebra lineal. También son el punto de partida de muchos conceptos matemáticos avanzados. Un primer ejemplo es el análisis de Fourier, que estudia cómo aproximar funciones mediante funciones trigonométricas y que tiene aplicaciones en el mundo real en análisis de señales. Otro ejemplo es la vasta teoría de polinomios ortogonales, con aplicaciones en el mundo real en aproximación e integración numérica.

En estas entradas de bases ortogonales tomaremos espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ con un producto interior $\langle \cdot,\cdot \rangle$.

Conjuntos ortogonales y ortonormales

Comenzamos con la siguiente definición. Recuerda que $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior, así que induce una norma $\Vert \cdot \Vert$.

Definición. Sea $S$ un conjunto de vectores en $V$. Decimos que $S$ es

  • Ortogonal si cualquier par de vectores distintos de $S$ es ortogonal, es decir, si para todo $v,w$ en $S$, con $v\neq w$ se tiene que $$\langle v, w \rangle = 0.$$
  • Ortonormal si es ortogonal, y además todo vector de $S$ tiene norma $1$.

En otras palabras, $S$ es ortonormal si para todo $v$ en $S$ se tiene $\langle v, v\rangle =1$ y para $v$ y $w$ en $S$ distintos se tiene $\langle v, w\rangle =0$.

Ejemplo. Si tomamos a $\mathbb{R}^n$ con el producto punto, entonces la base canónica es un conjunto ortonormal pues, en efecto, $e_i\cdot e_i = 1$ y para $i\neq j$ se tiene $e_i\cdot e_j = 0$.

Todo conjunto de un sólo elemento es ortogonal, pues no hay nada que probar. Otro conjunto ortonormal en $\mathbb{R}^2$ es el conjunto que sólo tiene al vector $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$, pues este es un vector de norma $1$.

Los vectores $(1,1,0)$, $(1,-1,0)$ y $(0,0,1)$ forman otro conjunto ortogonal en $\mathbb{R}^3$, pues en efecto
\begin{align*}
(1,1,0)\cdot (1,-1,0)&=1-1=0\\
(1,-1,0)\cdot (0,0,1)&=0\\
(0,0,1)\cdot (1,1,0)&=0.
\end{align*}

Sin embargo, este no es un conjunto ortonormal, pues la norma de $(1,1,0)$ es $\sqrt{2}\neq 1$. Si normalizamos a cada vector, es decir, si lo dividimos entre su norma, entonces obtenemos los vectores ortonormales $\left(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0\right)$, $\left(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0\right)$ y $(0,0,1)$.

$\square$

Propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales

Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos se puede normalizar como en el ejemplo de la sección anterior para obtener un conjunto ortonormal. Es decir, si $S$ es un conjunto de vectores distintos de $0$, entonces $$S’=\left\{\frac{v}{\Vert v \Vert}: v\in S\right\}$$ es un conjunto ortonormal.

Una propiedad fundamental de los conjuntos ortonormales de vectores es que son linealmente independientes. Se puede probar algo un poco más general.

Proposición. Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces los elementos de $V$ son linealmente independientes.

Demostración. Tomemos $v_1,\ldots,v_n$ elementos de $S$ y supongamos que existen $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ escalares tales que $$v:=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i =0.$$

Tomemos un índice $j$ en $1,\ldots,n$ y hagamos el producto interior $\langle v, v_j\rangle$. Por un lado, como $v=0$, este produto es $0$. Por otro lado, por linealidad es $$\sum_{i=1}^n \alpha_i \langle v_i,v_j\rangle.$$

Cuando $i\neq j$, el sumando correspondiente es igual a $0$. De este modo, el único sumando no cero es cuando $i=j$, el cual es $\alpha_j \langle v_j,v_j\rangle$. De estos argumentos, deducimos que $$\alpha_j\langle v_j,v_j\rangle =0.$$ Como los vectores son no nulos, se tiene que $\langle v_j,v_j\rangle \neq 0$. Así, $\alpha_j=0$ para todo $j=1,\ldots,n$, lo cual muestra que los vectores son linealmente independientes.

$\square$

Como cada elemento de un conjunto ortonormal tiene norma $1$, entonces no puede ser nulo, así que como corolario de la proposición anterior, todo conjunto ortonormal es linealmente independiente. Otro corolario es el siguiente.

Corolario. En un espacio Euclideano de dimensión $d$, los conjuntos ortogonales sin vectores nulos tienen a lo más $d$ elementos.

Bases ortogonales y ortonormales

Cuando una base de un espacio vectorial es ortogonal (o bien, ortonormal), pasan varias cosas buenas. Esto amerita una definición por separado.

Definición. Sea $S$ un conjunto de vectores en $V$. Decimos que $S$ es

  • Una base ortogonal si $S$ es una base de $V$ y es un conjunto ortogonal.
  • Una base ortonormal si $S$ una base de $V$ y es un conjunto ortonormal.

Ejemplo. En $\mathbb{R}^n$ la base canónica es una base ortonormal.

En $\mathbb{R}^2$ el conjunto $S=\{(2,3),(9,-6)\}$ es un conjunto ortogonal. Además, se puede verificar fácilmente que son dos vectores linealmente independientes. De este modo, $S$ es una base ortogonal.

Sin embargo, $S$ no es una base ortonormal pues el primero de ellos tiene norma $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Si quisiéramos convertir a $S$ en una base ortonormal, podemos normalizar a cada uno de sus elementos.

$\square$

En la sección anterior vimos que los conjuntos ortonormales son linealmente independientes. Otro corolario de este resultado es lo siguiente.

Corolario. En un espacio Euclideano de dimensión $n$, un conjunto ortonormal de $n$ vectores es una base ortonormal.

La importancia de las bases ortogonales yace en que dada una base ortonormal $B$ y un vector $v$, podemos encontrar varias propiedades de $v$ en términos de $B$ fácilmente. Por ejemplo, veremos más adelante que:

  • Las coordenadas de $v$ con respecto a la base $B$ son sencillas.
  • Hay una fórmula simple para la norma de $v$ en términos de sus coordenadas en la base $B.$
  • Si $B$ es una base de un subespacio $W$ de $V$, entonces es fácil encontrar la distancia de $v$ a $W.$

Mejor aún, las bases ortonormales siempre existen.

Teorema. Todo espacio Euclideano tiene una base ortonormal.

Es decir, sin importar qué espacio vectorial real de dimensión finita tomemos, y sin importar qué producto punto le pongamos, podemos dar una base ortogonal. De hecho, veremos un resultado un poco más fuerte, que nos dará un procedimiento para encontrar dicha base, incluso imponiendo restricciones adicionales.

Ejemplo de bases ortogonales en polinomios

Ejemplo. Tomemos $\mathbb{R}_n[x]$ el espacio de polinomios de grado a lo más $n$ con coeficientes reales. Además, tomemos números reales distintos $x_0,\ldots,x_n$. A partir de estos reales podemos definir la operación $$\langle P, Q \rangle = \sum_{j=0}^n P(x_j)Q(x_j),$$ la cual es claramente bilineal y simétrica.

Tenemos que $\langle P,P\rangle$ es una suma de cuadrados, y por lo tanto es no negativa. Además, si $\langle P, P\rangle =0$, es porque $$\sum_{j=0}^n P(x_j)^2=0,$$ y como estamos trabajando en $\mathbb{R}$ esto implica que cada sumando debe ser cero. Pero las igualdades $$P(x_0)=\ldots=P(x_n)=0$$ dicen que los $n+1$ reales distintos $x_i$ son raíces de $P$, y como $P$ es de grado a lo más $n$, tenemos que $P$ es el polinomio $0$. En resumen, $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es un producto interior en $\mathbb{R}_n[x]$. Vamos a dar una base ortogonal con respecto a este producto interior.

Para $i=0,\ldots,n$, consideremos los polinomios $$L_i(x)=\prod_{0\leq k \leq n, k\neq i} \frac{x-x_k}{x_i-x_k}.$$ Observa que $L_j(x_j)=1$ y si $j\neq i$, tenemos $L_i(x_j)=0$. Afirmamos que $$B=\{L_j:j=0,\ldots,n+1\}$$ es una base ortonormal de $\mathbb{R}_n[x]$ con el producto interior que definimos. Como consiste de $n+1$ polinomios y $\dim(\mathbb{R}_n[x])=n+1$, basta con que veamos que es un conjunto ortonormal.

Primero, notemos que
\begin{align*}
\langle L_i,L_i \rangle = \sum_{j=0}^n L_i(x_j)^2 = L_i(x_i)^2=1,
\end{align*}

de modo que cada $L_i$ tiene norma $1$.

Luego, notemos que si $i\neq j$, entonces $L_i(x_k)L_j(x_k)=0$ pues $x_k$ no puede ser simultáneamente $x_i$ y $x_j$. De este modo,

\begin{align*}
\langle L_i,L_j \rangle = \sum_{k=0}^n L_i(x_k)L_j(x_k)=0.
\end{align*}

Con esto mostramos que cada par de polinomios distintos es ortogonal. Esto termina la demostración de que $B$ es base ortonormal.

$\square$

Ejemplo de conjuntos ortogonales en funciones periódicas

Ejemplo. Consideremos $V$ el conjunto de funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas y periódicas de periodo $2\pi$. Definimos $$\langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\, dx.$$ Se puede mostrar que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ así definido es un producto interior en $V$.

Para cada entero positivo $n$, definimos
\begin{align*}
C_n(x)&=\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\\
S_n(x)&=\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}.
\end{align*}

Además, definimos $C_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Afirmamos que $$\mathcal{F}:=\{C_n:n\geq 0\}\cup \{S_n:n\geq 1\}$$ es un conjunto ortonormal de vectores. Mostremos esto.

Para empezar, notamos que $$\Vert C_0\Vert ^2 = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi}\, dx =1.$$

Luego, tenemos que para $n\geq 1$ que
\begin{align*}
\Vert C_n\Vert ^2 &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{\pi} \cos^2(nx)\, dx\\
&= \int_{-\pi}^\pi \frac{1+\cos(2nx)}{2\pi}\, dx\\
&= 1,
\end{align*}

ya que para todo entero $m\neq 0$ se tiene que $$\int_{-\pi}^\pi \cos(mx) \, dx=0.$$ De manera similar, usando la identidad $$\sin^2(nx)=\frac{1-\cos(nx)}{2},$$ se puede ver que la norma de $S_n$ es $1$.

Para ver que las parejas de elementos distintas son ortogonales, tenemos varios casos. Si tomamos $n\geq 1$, el resultado para $\langle C_0,C_n\rangle$ ó $\langle C_0,S_n\rangle$ se deduce de que
$$\int_{-\pi}^\pi \cos(mx)\, dx=\int_{-\pi}^\pi \sin(mx)\, dx=0$$ para todo entero $m\neq 0$.

Si tomamos dos $C_i$’s distintos, dos $S_i’s$ distintos o un $C_i$ y un $S_i$, el resultado se deduce de las fórmulas «producto a suma» de las funciones trigonométricas.

$\square$

Tarea moral

  • Encuentra un conjunto ortogonal de vectores en $\mathbb{R}^4$ tal que ninguna de las entradas de ninguno de sus vectores sea igual a $0$.
  • Escribe las demostraciones de los corolarios enunciados en esta entrada.
  • Muestra que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ definido en el ejemplo de funciones periódicas es un producto interior.
  • Termina de mostrar que la familia $\mathcal{F}$ del ejemplo de funciones periódicas es ortonormal. Sugerencia: Usa identidades de suma y resta de ángulos para poner el producto de senos (o cosenos o mixto) como una suma de senos y/o cosenos.

Más adelante…

En esta entrada combinamos las nociones de bases y el producto interior, estudiadas en entradas anteriores, para definir a las bases ortogonales. Vimos algunas propiedades de conjuntos ortogonales y ortonormales, para extenderlos a bases ortogonales y ortonormales. Vimos unos ejemplos de bases ortogonales de los polinomios y otros ejemplos de conjuntos ortogonales en funciones periódicas.

En la siguiente entrada veremos aplicaciones de estos conceptos, culminando en una descomposición de Fourier.

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