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Álgebra Superior II: El criterio de la raíz racional para polinomios de coeficientes enteros

Introducción

En esta entrada veremos el criterio de la raíz racional. Este es un método que nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio con coeficientes enteros. Es una más de las herramientas que podemos usar cuando estamos estudiando polinomios en $\mathbb{R}[x]$.

Si encontramos una raíz con este método, luego podemos encontrar su multiplicidad mediante el teorema de derivadas y multiplicidad. Esto puede ayudarnos a factorizar el polinomio. Otras herramientas que hemos visto que nos pueden ayudar son el algoritmo de Euclides, la fórmula cuadrática, el teorema del factor y propiedades de continuidad y diferenciabilidad de polinomios.

El criterio de la raíz racional

Si un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ cumple que todos sus coeficientes son números enteros, entonces decimos que es un polinomio sobre los enteros. Al conjunto de polinomios sobre los enteros se le denota $\mathbb{Z}[x]$.

Teorema (criterio de la raíz racional). Tomemos un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ de la forma $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n.$$ Supongamos que el número $\frac{p}{q}$ es número racional simplificado, es decir con $p$ y $q\neq 0$ enteros primos relativos. Si $\frac{p}{q}$ es raíz de $p(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$, y $q$ divide a $a_n$.

Demostración. Por definición, si $\frac{p}{q}$ es una raíz, tenemos que $$0=a_0+a_1\cdot \frac{p}{q} + \ldots + a_n \cdot \frac{p^n}{q^n}.$$

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por $q^n$, tenemos que

$$0=a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n.$$

Despejando $a_0q^n$, tenemos que

\begin{align*}
a_0q^n&=-(a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n)\\
&=-p(a_1q^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-2}q+a_np^{n-1})
\end{align*}

Esto muestra que $a_0q^n$ es múltiplo de $p$. Pero como $\MCD{p,q}=1$, tenemos que $p$ debe dividir a $a_0$.

De manera similar, tenemos que

\begin{align*}
a_np^n&=-(a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q)\\
&=-q(a_0q^{n-1}+a_1pq^{n-2}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}).
\end{align*}

De aquí, $q$ divide a $a_np^n$, y como $\MCD{p,q}=1$, entonces $q$ divide a $a_n$.

$\square$

Como cualquier natural tiene una cantidad finita de divisores, el criterio de la raíz racional nos permite restringir la cantidad posible de raíces de un polinomio con coeficientes enteros a una cantidad finita de candidatos. Veamos un par de ejemplos.

Aplicación directa del criterio de la raíz racional

Ejercicio. Usa el criterio de la raíz racional para enlistar a todos los posibles números racionales que son candidatos a ser raíces del polinomio $$h(x)=2x^3-x^2+12x-6.$$ Después, encuentra las raíces racionales de $p(x)$.

Solución. El polinomio $h(x)$ tiene coeficientes enteros, así que podemos usar el criterio de la raíz racional. Las raíces racionales son de la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor de $-6$, con $q$ divisor de $2$ y además $\MCD{p,q}=1$. Los divisores enteros de $-6$ son $$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.$$ Los divisores enteros de $2$ son $$-2,-1,1,2.$$

Pareciera que hay muchas posibilidades por considerar. Sin embargo, nota que basta ponerle el signo menos a uno de $p$ o $q$ para considerar todos los casos. Así, sin pérdida de generalidad, $q>0$. Si $q=1$, obtenemos a los candidatos $$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.$$ Si $q=2$, por la condición de primos relativos basta usar los valores $-3,-1,1,3$ para $p$. De aquí, obtenemos al resto de los candidatos $$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

En el peor de los casos, ya solo bastaría evaluar el polinomio en estos $12$ candidatos para determinar si son o no son raíz. Sin embargo, a veces podemos hacer algunos trucos para disminuir todavía más la lista.

Observa que si evaluamos $$h(x)=2x^3-x^2+12x-6$$ en un número negativo, entonces la expresión quedará estrictamente negativa, así que ninguno de los candidatos negativos puede ser raíz. De este modo, sólo nos quedan los candidatos $$1,2,3,6,\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

Si evaluamos en $x=2$ o $x=6$, entonces la parte de la expresión $2x^3-x^2+12x$ es múltiplo de $4$, pero $-6$ no. De esta forma, $h(x)$ no sería un múltiplo de $4$, y por lo tanto no puede ser $0$. Si evaluamos en $x=1$ o $x=3$, tendríamos que la parte de la expresión $2x^3+12x-6$ sería par, pero $-x^2$ sería impar, de modo que $h(x)$ sería impar, y no podría ser cero. Así, ya sólo nos quedan los candidatos $$\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

Para ellos ya no hagamos trucos, y evaluemos directamente. Tenemos que
\begin{align*}
h\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\cdot \frac{1}{8} – \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2}-6\\
&=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6-6\\
&=0.
\end{align*}

y que
\begin{align*}
h\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\cdot \frac{27}{8} – \frac{9}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}-6\\
&=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+18-6\\
&=\frac{9}{2}+12\\
&=\frac{33}{2}.
\end{align*}

Habiendo considerado todos los casos, llegamos a que la única raíz racional de $h(x)$ es $\frac{1}{2}$.

$\square$

Aplicación indirecta del criterio de la raíz racional

El criterio de la raíz racional lo podemos usar en algunos problemas, aunque en ellos no esté escrito un polinomio de manera explícita.

Problema. Muestra que $\sqrt[7]{13}$ no es un número racional.

Solución. Por definición, el número $\sqrt[7]{13}$ es el único real positivo $r$ que cumple que $r^7=13$. Se puede mostrar su existencia usando que la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^7$ es continua, que $f(0)=0$, que $f(2)=128$, y aplicando el teorema del valor intermedio. Se puede mostrar su unicidad mostrando que la función $f$ es estrictamente creciente en los reales positivos. Lo que tenemos que mostrar es que este número real no es racional.

Si consideramos el polinomio $p(x)=x^7-13$, tenemos que $p(r)=r^7-13=0$, de modo que $r$ es raíz de $p(x)$. Así, para terminar el problema, basta mostrar que $p(x)$ no tiene raíces racionales.

El polinomio $p(x)$ tiene coeficientes enteros, así que podemos aplicarle el criterio de la raíz racional. Una raíz racional tiene que ser de la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor de $-13$ y $q$ divisor de $1$.

Sin perder generalidad, $q>0$, así que $q=1$. De esta forma, los únicos candidatos a ser raíces racionales de $p(x)$ son $-13,-1,1,13$. Sin embargo, una verificación de cada una de estas posibilidades muestra que ninguna de ellas es raíz de $p(x)$. Por lo tanto, $p(x)$ no tiene raíces racionales, lo cual termina la solución del problema.

$\square$

Aplicación en polinomio con coeficientes racionales

A veces un polinomio tiene coeficientes racionales, por ejemplo, $$r(x)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-4x-1.$$

A un polinomio con todos sus coeficientes en $\mathbb{Q}$ se les conoce como polinomio sobre los racionales y al conjunto de todos ellos se le denota $\mathbb{Q}[x]$. Para fines de encontrar raíces racionales, los polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ y los polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ son muy parecidos.

Si tenemos un polinomio $q(x)$ en $\mathbb{Q}[x]$, basta con multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para obtener un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros. Como $q(x)$ y $p(x)$ varían sólo por un factor no cero, entonces tienen las mismas raíces. Por ejemplo, el polinomio $r(x)$ de arriba tiene las mismas raíces que el polinomio $$s(x)=6r(x)=3x^3+2x^2-24x-6.$$ A este nuevo polinomio se le puede aplicar el criterio de la raíz racional para encontrar todas sus raíces racionales.

Ejemplo. Consideremos el polinomio $$q(x)=x^3+\frac{x^2}{3}+5x+\frac{5}{3}.$$ Vamos a encontrar todos los candidatos a raíces racionales. Para ello, notamos que $q(x)$ y $p(x):=3q(x)$ varían sólo por un factor multiplicativo no nulo y por lo tanto tienen las mismas raíces. El polinomio $$p(x)=3x^3+x^2+15x+5$$ tiene coeficientes enteros, así que los candidatos a raíces racionales son de la forma $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ primos relativos, $a\mid 5$ y $b\mid 3$. Sin pérdida de generalidad $b>0$.

Los divisores de $5$ son $-5,-1,1,5$. Los divisores positivos de $3$ son $1$ y $3$. De esta forma, los candidatos a raíces racionales son $$-5,-1,1,5,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3}.$$

Si ponemos un número positivo en $p(x)$, como sus coeficientes son todos positivos, tenemos que la evaluación sería positiva, así que podemos descartar estos casos. Sólo nos quedan los candidatos $$-5,-1,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3}.$$

La evaluación en $-5$ da
\begin{align*}
-3\cdot 125 + 25 – 15\cdot 5 +5&=-375+25-75+5\\
&=-295,
\end{align*}

así que $-5$ no es raíz.

La evaluación en $-1$ da
\begin{align*}
-3+1-15+5=-12,
\end{align*}

así que $-1$ tampoco es raíz.

Como tarea moral, queda verificar que $-\frac{5}{3}$ tampoco es raíz, pero que $-\frac{1}{3}$ sí lo es.

$\square$

Tarea moral

  • Realiza las evaluaciones que faltan en el último ejemplo.
  • Determina las raíces racionales del polinomio $$x^7-6x^4+3x^3+18x-1.$$
  • Muestra que $\sqrt[3]{12}$ no es un número racional.
  • Encuentra todos los candidatos a ser raíces racionales de $$x^3+\frac{2x^2}{3}-7x-\frac{14}{3}.$$ Determina cuáles sí son raíces.
  • Puede que un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ no tenga raíces racionales, pero que sí se pueda factorizar en $\mathbb{Z}[x]$. Investiga acerca del criterio de irreducibilidad de Eisenstein.

Más adelante

Hemos visto como podemos encontrar algunas raíces de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Q}$, esta herramienta es extremadamente fuerte, porque aún encontrando solo una raíz para el polinomios, usando el teorema del factor, podemos cambiar nuestro polinomio por uno de al menos un grado menor.

La importancia de disminuir el grado de un polinomio, es que si logramos reducirlo a un polinomio de grado cuatro, entonces podremos encontrar todas las raíces, aunque estas pueden ser un poco complicadas.

El justificar la aseveración anterior, requiere esfuerzo, y será nuestra siguiente tarea, dar todas las soluciones a cualquier polinomio de grado menor o igual $4$.

Por lo mientras, para practicar los temas vistos, en la siguiente sección repasaremos algunos ejercicios para familiarizarnos con las técnicas que hemos visto.

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Seminario de Resolución de Problemas: Sucesiones periódicas y pre-periódicas

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Introducción

En la entrada anterior, comenzamos a hablar de sucesiones. Dimos las definiciones básicas y vimos sucesiones aritméticas y geométricas. Aunque una sucesión tenga una cantidad infinita de términos, las sucesiones aritméticas y geométricas son «sencillas», pues en realidad sólo dependen de dos parámetros: un término inicial y una diferencia (o razón). Ahora veremos otro tipo de sucesiones que también tienen cierta «finitud». Estudiaremos las sucesiones periódicas y pre-periódicas.

La intuición detrás de las sucesiones periódicas y pre-periódicas es que «se repiten y se repiten» después de un punto. Así, estas sucesiones sólo pueden tomar un número finito de valores, y de hecho después de un punto los empiezan a tomar «de manera cíclica».

Sucesiones periódicas

Las siguientes sucesiones tienen una característica peculiar:

  • $1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,\ldots$
  • $7,8,7,11,7,7,8,7,11,7,7,\ldots$
  • Para $\omega$ una raíz cúbica de la unidad en $\mathbb{C}$: $1,\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega ^6,\ldots$

Dicho de manera informal, estas sucesiones se «repiten y se repiten».

Definición. Una sucesión es periódica si existe un entero positivo $p$ tal que $x_{n+p}=x_n$ para todo entero $n\geq 0$. A $p$ se le conoce como un periodo y al mínimo $p$ que satisface esto se le llama un periodo mínimo.

Las sucesiones ejemplo tienen periodo $4$, $5$ y $3$ respectivamente.

Cuando una sucesión $\{x_n\}$ es periódica de periodo $p$, se puede mostrar inductivamente que $x_{n+p}=x_{n+mp}$ para todo entero positivo $m$. También, se puede mostrar que cualquier término es igual a alguno de los términos $x_0,\ldots,x_{p-1}$. Concretamente, si usamos el algoritmo de la división para expresar $n=qp+r$ con $r$ el residuo de la división de $n$ entre $q$, tenemos que $x_n=x_r$. Esto hace que trabajar con sucesiones periódicas de periodo $p$ se parezca a trabajar con los enteros módulo $p$.

Problema. La sucesión $\{x_n\}$ es periódica de periodo $91$ y tiene un número irracional. La sucesión $\{y_n\}$ es periódica de periodo $51$. Muestra que si la sucesión $\{x_n+y_n\}$ tiene puros números racionales, entonces la sucesión $\{y_n\}$ tiene puros números irracionales.

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo se resuelven las ecuaciones diofantinas lineales en enteros, o bien usa el teorema chino del residuo.

Solución. Como $\{x_n\}$ tiene periodo $91$, podemos suponer que su término irracional es $x_k$ con $k$ en $\{0,\ldots,90\}$. Ya que $\{y_n\}$ es periódica de periodo $51$, basta con que probemos que $y_r$ es irracional para cada $r$ en $\{0,\ldots,50\}$. Tomemos una de estas $r$.

Como $91$ y $51$ son primos relativos, por el teorema chino del residuo existe un entero $m$ tal que
\begin{align*}
m&\equiv k \pmod {91}\\
m&\equiv r \pmod {51}.
\end{align*}

Sumando múltiplos de $91\cdot 51$ a $m$, podemos suponer que $m$ es positivo. Para esta $m$ tenemos que $x_m=x_k$ y que $y_m=y_r$. De esta forma,
\begin{align*}
y_r&=y_m\\
&=(y_m+x_m)-x_m\\
&=(y_m+x_m)-x_k.
\end{align*}
A la derecha, tenemos una resta de un número racional, menos uno irracional, el cual es un número irracional. Esto muestra que $y_r$ es irracional, como queríamos.

$\square$

Veamos otro ejemplo, que toca un poco el tema de sucesiones recursivas, del cual hablaremos con más profundidad más adelante.

Problema. Considera la sucesión $\{a_n\}$ en $\mathbb{Z}_{13}$ (los enteros módulo $13$, con su aritmética modular), en donde los primeros tres términos son $a_0=[0]_{13}$, $a_1=[1]_{13}$ y $a_2=[2]_{13}$ y para todo entero $n\geq 0$ se tiene que $$a_{n+3}=[a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+n]_{13}.$$ Muestra que la sucesión $\{a_n\}$ es periódica.

Sugerencia pre-solución. El residuo al dividir entre $13$ de cada término de la sucesión depende de cuatro enteros entre $0$ y $12$. ¿Cuáles? Usa el principio de las casillas y luego trabaja hacia atrás.

Solución. Para simplificar la notación, no usaremos el subíndice $13$, con el entendido de que siempre se deben simplificar los números de los que hablemos módulo $13$. Para cada $n\geq 0$, consideremos el vector $$v_n=(a_n,a_{n+1},a_{n+2},n).$$

Visto módulo $13$, este vector puede tomar $13^4$ posibles valores, y define el valor de $a_{n+3}$. Por principio de las casillas, debe haber dos enteros $m$ y $p$ tales que $v_m=v_{m+p}$. Afirmamos que $p$ es un periodo para $\{a_n\}$.

Vamos a probar esto. Primero lo haremos para los enteros $n\geq m$. Esto lo haremos mostrando que $v_{m+k}=v_{m+k+p}$ por inducción sobre $k$.

El caso $k=0$ es la igualdad $v_m=v_{m+p}$ de arriba. Si suponemos que $v_{m+k}=v_{m+p+k}$, entonces automáticamente tenemos la igualdad de las primeras dos entradas de $v_{m+k+1}$ y $v_{m+p+k+1}$, y como $a_{m+k+3}$ y $a_{m+k+p+3}$ quedan totalmente determinados por $v_{m+k}=v_{m+p+k}$, entonces también las terceras entradas son iguales. Para la cuarta entrada, usamos que $$m+k\equiv m+p+k\pmod {13},$$ de donde $$m+k+1\equiv m+p+k+1\pmod {13}.$$ Esto termina la inducción. En particular, tenemos que $a_{m+k}=a_{m+k+p}$ para todo $k\geq 0$.

Falta mostrar que la sucesión también es periódica antes de $a_m$. Pero este se hace con un argumento análogo al anterior, pero trabajando hacia atrás, notando que $a_{n-1}$ queda totalmente determinado mediante la ecuación $$a_{n-1}=a_{n+2}-a_n-a_{n+1}-(n-1).$$

$\square$

Sucesiones pre-periódicas

A veces una sucesión puede ser casi periódica, a excepción de sus primeros términos. Estas sucesiones comparten muchas propiedades con las sucesiones periódicas, así que vale la pena definirlas.

Definición. Una sucesión es pre-periódica si existen enteros positivos $N$ y $p$ tales que $x_{n+p}=x_p$ para todo entero $n \geq N$. Si tomamos $N$ como el menor entero para el que se cumpla la propiedad, a los términos $$(x_0,x_1,\ldots,x_{N-1})$$ se les conoce como la parte pre-periódica. La sucesión $\{x_{n+N}\}$ es una sucesión periódica y se le conoce como la parte periódica de $\{x_n\}$.

Las sucesiones pre-periódicas juegan un papel importante en la clasificación de los números racionales.

Teorema. Sea $x$ un real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

  • $x$ es racional
  • Los dígitos después del punto decimal de $x$ en alguna base entera $b\geq 2$ forman una sucesión pre-periódica.
  • Los dígitos después del punto decimal de $x$ en toda base entera $b\geq 2$ forman una sucesión pre-periódica.

Problema. Demuestra que el número $$X:\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{10^{j^2}}$$ es un número irracional.

Sugerencia pre-solución. Escribe las primeras sumas parciales de la serie para encontrar un patrón de cómo se ven los dígitos de $X$ después del punto decimal. Procede por contradicción.

Solución. Otra forma de escribir a $X$ es en base $10$: $$X=0.a_1a_2a_3a_4\ldots,$$ en donde $\{a_n\}$ es la sucesión de dígitos después del punto decimal. Nota que $a_i=1$ si y sólo si $i$ es un número cuadrado.

Si $X$ fuera racional, $\{a_n\}$ sería pre-periódica, de periodo, digamos $p$. Pero en $\{a_n\}$ podemos encontrar $p$ ceros consecutivos, incluso después del pre-periodo, ya que hay bloques tan largos como se quiera de enteros que no son números cuadrados. Esto mostraría que el periodo sería de puros ceros, y que por lo tanto a partir de un punto $\{a_n\}$ es constantemente cero. Esto es imposible pues hay números cuadrados arbitrariamente grandes.

$\square$

Combinando tipos de sucesiones

Hasta ahora, hemos hablado de sucesiones aritméticas, geométricas, periódicas y pre-periódicas. Seguiremos hablando de otros tipos de sucesiones en entradas posteriores. Una cosa sistemática que te puede ayudar a entender estos conceptos mejor es preguntarte cuándo una sucesión satisface más de una de estas propiedades.

Problema. Determina todas las sucesiones en $\mathbb{C}$ que sean simultáneamente geométricas y periódicas.

Sugerencia pre-solución. Elige una notación adecuada para trabajar en este problema.

Solución. El primer término $a$ de una sucesión así tiene que ser igual a otro. Como la sucesión es geométrica, eso otro término es de la forma $r^ma$ para $m$ un entero positivo.

Si $a=0$, la sucesión es la sucesión constante $0$, que es geométrica y periódica de periodo $1$. Si $a\neq 0$, entonces $r^m=1$, de modo que $r$ es una raíz $m$-ésima de la unidad.

Y en efecto, para $r$ una raíz $m$-ésima de la unidad y $a$ cualquier complejo, tenemos que $\{ar^n\}$ es una sucesión geométrica y de periodo $m$.

$\square$

Más problemas

Esta entrada es una extensión de las secciones 5 y 6 del curso de sucesiones que impartí para los entrenadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Puedes consultar las notas de este curso en el siguiente PDF, en donde hay más problemas de práctica:

Álgebra Superior II: Racionales y expansiones decimales

Introducción

En la entrada anterior hablamos acerca de cómo se construyen los números racionales y los números reales. A los números reales que no son racionales les llamamos irracionales. En esta entrada, queremos hablar de algunas formas en las que podemos determinar si un número es racional o irracional.

Expresión decimal de un racional

A los reales los construimos como clases de equivalencia de cierto tipo de sucesiones, pero otra forma de pensarlos es mediante su expresión decimal. Una forma de detectar la racionalidad o irracionalidad de un número es mediante su expresión decimal.

Lo primero que haremos en esta entrada será verificar la validez de la observación 88 del libro Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón. Para quienes tiene dificultades para ver los videos, pueden seguir la demostración del libro tal cual. Recuerden que pueden conseguir el libro de manera gratuita en la página Plaza Prometeo.

El resultado es el siguiente.

Proposición. Un número $r$ es racional si y sólo si tiene una expresión decimal que se vuelva periódica.

Lo haremos desglosando el «sí» y el «sólo sí» en dos videos separados.

La ida:

Demostración de que un número real es racional, entonces éste tiene una expresión decimal periódica

El regreso:

Un número real con expansión decimal periódica es racional

Ejercicios de determinar si un número es racional

Ahora, un par de ejemplos (éstos también vienen el libro, son el 126 y uno similar al 127):

Dos ejemplos del Teorema: un real es racional sii tiene expansión decimal periódica.

Por último, probaremos que $\sqrt7$ no es racional:

Demostración de que raíz de 7 no es racional.

Este último ejercicio se los dejo escrito, para los que no puedan ver el video con tanta facilidad:

Ejercicio de mostrar que raiz de 7 no es racional

Más ejemplos

Aquí en el blog puedes ver otros ejemplos en los que se usa la expansión decimal de un número y otros argumentos de bases numéricas.

Álgebra Superior II: Esbozo de construcción de los números racionales y reales

Introducción

En la unidad pasada vimos la construcción de los números enteros a partir de los números naturales. Lo que hicimos fue considerar parejas de números naturales $(a,b)$ para las que dimos la relación $\sim$ definida por $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $a+d=b+c$, vimos que esta relación es de equivalencia. Dijimos que, aunque era incorrecto formalmente, convenía pensar a la pareja $(a,b)$ como $a-b$ (es incorrecto ya que no siempre se puede restar en $\mathbb{N}$).

La relación $\sim$, así definida, genera las clases de equivalencia $$\overline{(a, b)}=\lbrace (c, d)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : a+d=b+c\rbrace$$ en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. El conjunto $\mathbb{Z}$ lo construimos como el conjunto de todas estas clases de equivalencia. En él definimos las operaciones:

  • Suma: $\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}$
  • Producto: $ \overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$

Vimos que estas operaciones están bien definidas. La suma es bastante natural. El producto parece algo artificial, pero se vuelve natural si pensamos en «multiplicar $a-b$ con $c-d$», pues $(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$. Recordemos que es una justificación informal, pero ayuda a entender la intuición.

Después, nos dedicamos a probar que con estas operaciones, suma y producto, el conjunto $\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo con $1$ en donde se vale cancelar. A partir de ahí empezamos a ver a $\mathbb{Z}$ desde el punto de vista de la teoría de números. Estudiamos el máximo común divisor, la relación de divisibilidad, el anillo de enteros módulo $n$, congruencias, ecuaciones en congruencias, teorema chino del residuo y mencionamos un poco de ecuaciones diofantinas.

Con eso terminamos la unidad de enteros, correspondiente al segundo segundo parcial del curso.

Las siguientes dos unidades contempladas por el temario oficial son:

  • Números complejos.
  • Anillo de polinomios.

Vale la pena hacer una observación. Típicamente tenemos la siguiente cadena de contenciones entre sistemas numéricos $$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$$

En las primeras dos unidades del curso hablamos de $\mathbb{N}$ y de $\mathbb{Z}$. De acuerdo a las contenciones anteriores, lo siguiente sería tratar a detalle los racionales $\mathbb{Q}$ y los reales $\mathbb{R}$. Sin embargo el temario oficial «se los salta». Esto es un poco raro, pero podría estar justificado en que estos sistemas numéricos se estudian en otros cursos del plan de estudios. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ se estudia con algo de profundidad en los cursos de cálculo.

De cualquier forma nos va a ser muy útil mencionar, por lo menos por «encima», cómo hacer la construcción de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$. La construcción de los números racionales ayuda a repasar la construcción de los enteros. En la construcción de los números reales nos encontraremos con propiedades útiles que usaremos, de manera continua, cuando hablemos de la construcción de los números complejos $\mathbb{C}$. Por estas razones, aunque no vayamos a evaluar, las construcciones de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$, en el curso, las ponemos aquí para que las conozcas o las repases.

Motivación de construcción de los racionales

Los naturales no son suficientes para resolver todas las ecuaciones de la forma $$x+a=b,$$ pues si $a>b$ la ecuación no tiene solución en $\mathbb{N}$ y esta fue nuestra motivación para construir los números enteros. En $\mathbb{Z}$ todas estas ecuaciones tienen solución. Sin embargo, en $\mathbb{Z}$ la ecuación $$ax=b$$ tiene solución si y sólo si $a$ divide a $b$ (por definición se tiene que $a$ divide a $b$ si y sólo si $b$ es un múltiplo de $a$), pero no siempre sucede esto. Por ejemplo, $3x=7$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$.

Construcción de los racionales

Para la construcción de los racionales consideremos el conjunto $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ y sobre él la relación $\sim$ definida por $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $ad=bc$. Resulta que $\sim$ es relación de equivalencia, así que, para cada pareja $(a,b)$ denotaremos como $\overline{(a,b)}$ a su clase de equivalencia. En este caso $$\overline{(a, b)}=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\} : an=bm\rbrace.$$

Observa que esta construcción se parece mucho a la que hicimos para $\mathbb{Z}$, aunque ahora nos basamos en el producto en $\mathbb{Z}$ (antes era la suma en $\mathbb{N}$). De nuevo, una forma de pensar bastante intuitiva (aunque formalmente incorrecta), es pensar a cada clase $\overline{(a,b)}$ «como $\frac{a}{b}$». Nota que estamos considerando sólo aquellas parejas $(a,b)$ tales que $b\neq 0$.

De esta forma $\mathbb{Q}$ es el conjunto de clases de equivalencia de las parejas $(a,b)$ tales que $b\neq 0$, en símbolos, $$\mathbb{Q}:=\{\overline{(a,b)}: a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\}.$$

Operaciones y orden en los racionales

Vamos a definir las operaciones en $\mathbb{Q}$. Ahora el producto es «intuitivo» y la suma no tanto.

  • Suma: $\overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} = \overline{(ad+bc,bd)}$
  • Producto: $\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac,bd)}$

La suma se vuelve mucho más intuitiva si primero pensamos en nuestra interpretación (informal) de $\overline{(a,b)}$ como $\frac{a}{b}$ y luego, por lo que aprendimos en educación primaria sobre la suma de fracciones, vemos que $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$$

Ahora, para definir el orden en $\mathbb{Q}$, tomemos la pareja $(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Tenemos que la clase $\overline{(a,b)}$ es

  • Cero si $a=0$,
  • Positiva si ambos ($a$ y $b$) son negativos o ninguno es negativo con el orden definido en $\mathbb{Z}$ y
  • Negativa si exactamente alguno ($a$ o $b$) es negativo con el orden definido en $\mathbb{Z}$.

Diremos que $\overline{(a,b)}>\overline{(c,d)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es positiva.

Se puede probar que estas operaciones suma y producto, así como el orden están bien definidas (es decir que no dependen del representante que se tome).

Antes, de continuar, consideremos lo siguiente: un campo se puede pensar como un conjunto en el que están definidas la «suma» y la «multiplicación» tales que:

  • La suma es asociativa, conmutativa, tiene un neutro (el $0$) e inversos aditivos.
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene un neutro (el $1$) y todo elemento distinto de $0$ tiene un inverso multiplicativo.
  • Se tiene la distributividad del producto sobre la suma $a(b+c)=ab+bc$.

En vista de lo anterior queremos mencionar que se puede probar lo siguiente:

Teorema. El conjunto $\mathbb{Q}$ con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado.

Retomando lo que hablamos del neutro para la multiplicación, en un campo, veamos un ejemplo.

Ejemplo. La clase $\overline{(c,c)}$ es el neutro multiplicativo en $\mathbb{Q}$, veamos:

Se tiene que $$\overline{(a, b)(c, c)} = \overline{(ac,bc)}=\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: acn=bcm\rbrace$$

y $\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: acn=bcm\rbrace=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: anc=bmc\rbrace$, pero $\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: anc=bmc\rbrace=\lbrace (m, n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: an=bm\rbrace=\overline{(a, b)}$. Por lo tanto $\overline{(a, b)(c, c)}=\overline{(a, b)}$. Nota que aquí estamos usando que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo, conmutativo y que se pueden cancelar factores distintos de cero.

En $\mathbb{Q}$, el inverso multiplicativo de la clase $\overline{(a,b)}$ es $\overline{(b,a)}$, veamos:

Su producto es $$\overline{(ab,ba)}=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: abn=bam\rbrace$$ y $\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: abn=bam\rbrace=\lbrace (m, n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}: m=n\rbrace=\overline{(c, c)}$.

$\square$

Notación simple de racionales y ecuaciones aún sin solución

Vamos a denotar la clase de equivalencia $\overline{(a,b)}$ por $\frac{a}{b}$, a partir de lo cual nuestra interpretación de pensarlo así ya se vuelve formal. Se puede mostrar que todo lo que aprendimos de esta notación en la primaria se deduce de las propiedades de $\mathbb{Q}$.

La ecuación $$ax=b$$ tiene solución casi siempre, el único problema es si $a=0$. Pero si $a\neq 0$, la solución es única y es $x=\frac{b}{a}$.

El conjunto $\mathbb{Q}$ es bastante bueno algebraicamente, pero le falta todavía más para ser bueno para análisis y cálculo. Todavía tiene «bastantes hoyos»: en él no podemos probar, por ejemplo, el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Así mismo, hay varias ecuaciones que todavía no tienen solución en $\mathbb{Q}$.

Ejercicio. La ecuación $x^2=3$ no tiene una solución en $\mathbb{Q}$.

Una forma de enunciar el resultado anterior es decir «$\sqrt{3}$ es irracional». Pero nota que es incorrecto enunciarlo así, pues para ponerle un nombre a $\sqrt{3}$, es necesario saber quién es, y justo el punto del ejercicio es que, tan sólo con $\mathbb{Q}$, no podemos definirlo.

Solución. Vamos a proceder por contradicción. Supongamos que la ecuación $x^2=3$ tiene una solución $p/q$ en los racionales. De esta forma,$(p/q)^2=3$. Multiplicando por $q^2$ en ambos lados, $p^2=3q^2$.

La factorización en primos del lado izquierdo tiene una cantidad par de $3$’s. La factorización en primos del lado derecho tiene una cantidad impar de $3$’s. Esto es una contradicción al teorema fundamental de la aritmética, por lo tanto, no existe $p/q$ solución racional de $x^2=3$.

$\square$

Reales y hoyos en los racionales

Para la construcción de los reales, ya no podemos proceder como le hemos estado haciendo, considerando simplemente parejas de números del sistema anterior y construyendo una relación de equivalencia sobre ellas. Lo que buscamos cuando damos el paso entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ ya no es sólo que los números tengan «inversos aditivos» o «inversos multiplicativos», sino que «todos los conjuntos acotados por abajo tengan un mejor mínimo». Esto es lo que garantiza que se «llenen los hoyos» que tienen los racionales.

Entendamos el concepto de «hoyo»:

Definición. Sea $X$ un orden total $\le$ y $S$ un subconjunto de $X$, un ínfimo de $S$, en $X$, es un $r\in X$ tal que

  • $r\leq s$ para todo $s\in S$ y
  • si $t\leq s$ para todo $t\in S$, entonces $t\leq s$.

Definición. Un conjunto $X$ con un orden total $\le$ es completo si todo subconjunto $S$ de $X$, acotado inferiormente, tiene un ínfimo.

Ejemplo. El conjunto $\mathbb{Q}$ no es completo, pues el subconjunto $$S=\{x\in \mathbb{Q}: x^2\geq 3\}$$ está acotado inferiormente, pero no tiene un ínfimo en $\mathbb{Q}$ (su ínfimo es $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ no pertenece a $\mathbb{Q}$).

$\square$

Sucesiones de Cauchy y construcción de los reales

Hay varias formas de construir un sistema numérico que extienda a $\mathbb{Q}$ y que no tenga hoyos. Se puede hacer mediante cortaduras de Dedekind, mediante expansiones decimales o mediante sucesiones de Cauchy de números racionales. Todas estas construcciones son equivalentes. Daremos las ideas generales de la última.

Definición. Una sucesión $$\{x_n\}=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$$ es de Cauchy si para todo $N$ existe un $M$ tal que si $m\geq M$ y $n\geq M$, entonces $|x_m-x_n|<\frac{1}{N}$. Denotaremos con $C(\mathbb{Q})$ al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy de números racionales.

Construiremos una relación de equivalencia $\sim$ en $C(\mathbb{Q})$. Si tenemos dos de estas sucesiones:
\begin{align*}
\{x_n\}&=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\} \quad \text{y}\\
\{y_n\}&=\{y_1,y_2,y_3,\ldots\},
\end{align*}

diremos que $\{x_n\}\sim \{y_n\}$ si para todo natural $N$ existe un natural $M$ tal que para $n\geq M$ tenemos que $$|x_n-y_n|<\frac{1}{N}.$$

Se puede probar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Para cada sucesión $\{x_n\}$ de Cauchy usamos $\overline{\{x_n\}}$ para denotar a la clase de equivalencia de $\{x_n\}$. Por definición, el conjunto $\mathbb{R}$ es el conjunto de clases de equivalencia de $\sim$, en símbolos: $$\mathbb{R}:=\{\overline{\{x_n\}}: \{x_n\} \in C(\mathbb{Q})\}.$$

Operaciones y orden en los reales

En $\mathbb{R}$ podemos definir las siguientes operaciones:

  • Suma: $\overline{\{x_n\}} + \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_n + y_n\}}$ .
  • Producto: $\overline{\{x_n\}} \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_ny_n\}}$.

También podemos definir el orden en $\mathbb{R}$. Decimos que $\overline{\{x_n\}}$ es positivo si para $n$ suficientemente grande tenemos $x_n>0$. Decimos que $\overline{\{x_n\}}>\overline{\{y_n\}}$ si $\overline{\{x_n\}}- \overline{\{y_n\}}$ es positivo.

Se puede ver que las operaciones de suma y producto, así como el orden, están bien definidos. Más aún, se puede probar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{R}$ con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado y completo.

Como antes, una vez que se prueba este teorema, se abandona la notación de sucesiones y de clases de equivalencia. En realidad se oculta, pues la construcción siempre está detrás, como un esqueleto que respalda las propiedades que encontramos.

El teorema nos dice que $\mathbb{R}$ ya no tiene hoyos, y esto es precisamente lo que necesitamos para resolver algunas ecuaciones como $x^2=3$. Un esbozo de por qué es el siguiente. Gracias a la existencia de ínfimos se puede probar el teorema del valor intermedio en $\mathbb{R}$. Se puede probar que la función $x^2$ es continua, que en $x=0$ vale $0$ y que en $x=2$ vale $4$, de modo que por el teorema del valor intermedio debe haber un real $x$ tal que $x^2=3$.

Reflexión final y motivación de números complejos

Las muchas otras importantes consecuencias de que $\mathbb{R}$ sea un campo ordenado y completo se discuten a detalle en cursos de cálculo. Si bien este es un logro enorme, aún tenemos un pequeño problema: ¡todavía no podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales! Consideremos la ecuación $$x^2+1=0.$$ Podemos mostrar que para cualquier real $x$ tenemos que $x^2\geq 0$, de modo que $x^2+1\geq 1>0$. ¡Esta ecuación no tiene solución en los números reales!

Para encontrar una solución vamos a construir los números complejos. Con ellos podremos, finalmente, resolver todas las ecuaciones polinomiales, es decir, aquellas de la forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0.$$

Hablaremos de esto en el transcurso de las siguientes dos unidades: números complejos y polinomios.

Tarea moral

  • ¿Cuál de las clases de equivalencia sería el neutro aditivo en $\mathbb{Q}$?
  • ¿Por qué la definición de orden en $\mathbb{Q}$ no depende del representante elegido?
  • ¿Cómo construirías el inverso multiplicativo de la sucesión de Cauchy $\{x_n\}$? Ten cuidado, pues algunos de sus racionales pueden ser $0$.
  • Aprovecha esta entrada de transición entre unidades para repasar las construcciones de $\mathbb{N}$ y de $\mathbb{Z}$.

Usa la paridad

HeuristicasLos números enteros pueden ser pares o impares, dependiendo de si son divisibles entre dos o no. Más aún, se van alternando uno y uno. Además, es muy sencillo saber cómo es la paridad de la suma de dos números o bien de su producto si sabes la paridad de esos números. Estas ideas pueden parecer muy básicas, pero ayudan en una gran cantidad de problemas y son una introducción a los invariantes.

Cuando en un problema observamos nada más la paridad, estamos cubriendo una gran cantidad de casos nada más analizando pocos. En estos videos vemos cómo se aplica la idea de paridad en varios problemas de tableros, juegos, álgebra y teoría de números.

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