Álgebra Superior II: Números primos y sus propiedades

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

En esta entrada hablaremos de los protagonistas de entre los números enteros: los números primos. Es difícil poder enunciar en palabras sencillas la importancia que tienen este tipo de números, así que haremos un recorrido que incluye lo siguiente. Comenzaremos dando la definición de qué es un número primo, y haremos algunas aclaraciones conceptuales. Luego, enunciaremos propiedades de divisibilidad que cumplen los números primos y que son muy únicas a ellos. Esto nos ayudará a entender un poco de las razones por las cuales son especiales.

Finalmente, dejaremos preparado el terreno para poder hablar de dos resultados fundamentales sobre los números primos en la próxima entrada: el teorema fundamental de la aritmética y la infinidad del conjunto de números primos. El primer resultado nos permitirá pensar a los números primos como los átomos de los números enteros, ya que a partir de multiplicarlos se obtendrá cualquier entero, sea éste primo o compuesto.

Definición de números primos

La definición con la que trabajaremos es la siguiente.

Definición. Un entero número entero $p$ es primo si y sólo si es positivo y tiene exactamente cuatro divisores: $1, \enspace -1, \enspace z \enspace \text{y } -z \text{.}$

De la definición hay algunos números que inmediatamente debemos descartar por no ser números primos. Por ejemplo, el $1$ no es un número primo pues tiene como divisores únicamente al $-1$ y al $1$, que son dos divisores, y no exactamente cuatro, como pide la definición. Del mismo modo, $-1$ tampoco es número primo pues tiene sólo dos divisores también y, para rematar, es negativo, lo cual no se vale.

Del mismo modo, concluimos que el $0$ no es número primo. Su problema es que tiene demasiados divisores. Cualquier número entero divide al $0$, así que tiene mucho más que cuatro divisores. Veamos nuestro primer ejemplo de un número que sí es primo.

Proposición. El entero $2$ es primo.

Demostración. Lo primero por notar es que $2$ es positivo. Supongamos que $x \in \mathbb{Z}$ divide a $2$. Por cómo se comparan en tamaños un número con un divisor, obtenemos que $|d|\leq 2$. Esto nos deja $5$ posibilidades para $d$: $-2,-1,0,1,2$. El $0$ nunca es divisor y se puede ver que cada uno de los otros cuatro números sí lo son. Así, el $2$ tiene exactamente cuatro divisores, que son $1$, $2$, $-1$ y $-2$. Concluimos entonces que $2$ es un número primo.

$\square$

Si bien el $-2$ también tiene exactamente esos mismos $4$ divisores, a $-2$ no le llamamos número primo porque es negativo. Recuerda que por definición sólo los números positivos pueden ser primos.

En la duda, si no sabemos si un número es primo, siempre podemos regresar a la definición.

Proposición. El entero $57$ no es primo.

Demostración. Notamos que $1$, $3$, $19$ y $57$ son todos ellos divisores de $57$, así como sus negativos. Por ello, el número $57$ tiene ocho divisores, y por lo tanto no es primo.

$\square$

Otras formas de pensar a los números primos

La definición de primos que dimos está en términos de la cantidad de divisores en total que se deben tener. Sin embargo, hay por lo menos otras dos formas de escribir esto mismo.

Proposición. Son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para un número entero $p$:

  • El número $p$ es primo de acuerdo a nuestra definición de tener exactamente $4$ divisores.
  • El número $p$ es positivo y tiene exactamente $2$ divisores positivos.
  • El número $p$ es positivo y en cualquier forma de escribir $p=ab$ con $a$ y $b$ enteros positivos, sucede forzosamente que $a=1$ ó $b=1$.

Demostración. Los primeros dos puntos son equivalentes entre sí pues si $d$ es un divisor de $p$, entonces $-d$ también. Así, por cada divisor positivo hay uno negativo y viceversa. De hecho, los dos divisores positivos son, explícitamente, $1$ y $p$.

Si $p$ es primo con respecto a esta segunda definición, entonces el tercer inciso es claro, pues escribir $p=ab$ justo nos dice que $a|p$, de donde $a=1$ ó $a=p$, pues son sus únicos dos posibles divisores. Si $a=1$, tenemos lo que queremos. Y si $a=p$, entonces para que se de $p=ab$, debemos tener $b=1$, como queremos.

Finalmente, a partir del tercer inciso también se puede demostrar el segundo. Supongamos que $p$ cumple con el tercer inciso y supongamos que $d$ es divisor. ESto nos permite escribir $p=dr$ con $r$ algún entero. Por el tercer inciso, debemos tener $d=1$, o bien $r=1$, y entonces $d=p$, tal como nos pide el segundo inciso.

$\square$

Quizás no se ve tanto la ventaja entre distinguir entre las primeras dos versiones de la proposición anterior. De hecho, se parecen mucho. Sin embargo, sí vale la pena pensar en la tercera como algo diferente: nos dice que hay sólamente dos maneras de escribir a un primo como producto de números positivos. Esto nos ayuda, por ejemplo, a darnos cuenta rápidamente que un número no es primo aunque no tengamos todos sus divisores.

Ejemplo. El número $105$ no es primo pues se puede escribir como $5\cdot 21$. En esta expresión ninguno de los dos números es igual a $1$. Así, concluimos que $105$ no es primo.

$\square$

Propiedades de divisibilidad de los números primos

En el caso de los números primos, los máximos comunes divisores son asunto de todo o nada. Esto está escrito más formalmente en la siguiente definición.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a$ un entero. Si $p$ divide a $a$, tenemos $(a,p)=p$. Y si no, tenemos $(a,p)=1$.

Demostración. Sabemos que $(a,p)|p$ y que $(a,p)$ no es negativo. Así, $(a,p)$ debe ser uno de los dos divisores de $p$: $1$ ó $p$. Si $p$ divide a $a$, entonces $(a,p)=p$ pues $p$ es divisor común tanto de $p$ como de $a$. Pero si $p$ no divide a $a$, entonces a $(a,p)$ no le queda más que ser igual a $1$.

$\square$

La proposición anterior nos lleva a un lema de divisibilidad que nos resultará útil cuando enunciemos y probemos el teorema fundamental de la aritmética.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a,b$ números enteros. Si $p|ab$, entonces $p|a$ ó $p|b$.

Demostración. Si $p|a$, entonces ya terminamos. Si no, por la proposición anterior tenemos que $(p,a)=1$. Pero entonces por una propiedad anterior de divisibilidad con primos relativos obtenemos que $p|b$, como queríamos.

$\square$

Para la proposición anterior resultó crucial que $p$ fuera un número primo. Por ejemplo, tenemos que $9|180=15\cdot 12$, pero no es cierto ni que $9|15$, ni que $9|12$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos dos teoremas importantes relacionados con los números primos: el teorema fundamental de la aritmética y el teorema de que existe una infinidad de primos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Encuentra todos los números primos de $1$ a $20$.
  2. Sea $n$ un número entero que no sea un número primo, ni el negativo de un número primo. Demuestra $n$ que se puede expresar de la forma $ab$ con $a$ y $b$ enteros (positivos o negativos) de por lo menos ocho formas distintas.
  3. Sea $p>2$ un número tal que ninguno de los números $2,\ldots,\left\lfloor \sqrt{p}\right \rfloor$ lo divide. Muestra que $p$ es un número primo.
  4. Sea $n$ un número entero y $p$ un primo. Muestra que si $p|n^2$, entonces $p|n$. De hecho, muestra que en general, para un entero $k\geq 1$ se cumple que $p|n^k$ si y sólo si $p|n$.
  5. Sea $p$ un número primo. ¿Cuántos divisores tiene el número $p^{10}$? ¿Cuántos son positivos y cuántos negativos?

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