Raíces de polinomios de grados 3, 4 o más

Introducción

Ya conociendo el método para encontrar raíces de polinomios de segundo grado, así como encontrar raíces racionales, entre otras herramientas que hemos estudiado de polinomios, pasaremos a hacer unos ejemplos de encontrar raíces de grado mayor a dos.

Ecuaciones cúbicas

Ecuaciones de grado 4

Ecuaciones de grado superior

Tarea Moral

  • ¿Para que valores de $c$, la ecuación $x^3-x+c=0$ tiene exactamente $1$ solución real? Sugerencia: Ocupa el discriminante.
  • Demuestra que la función $f(x)=x^3+x$ es inyectiva y suprayectiva. Encuentra la inversa de f$(x)=x^3+x$.
  • Encuentra las soluciones de $x^3+4x-2x+8$.
  • Encuentra las raíces del polinomio $x^4+\sqrt{6}x+\frac{1}{4}$.
  • Encuentra las soluciones a la ecuación $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$. Sugerencia: Multiplica por un polinomio de grado $1$ conveniente.

Más adelante

Con esta entrada concluimos el curso de Álgebra Superior II, como mencionamos en la entrada pasada, a partir de aquí hay muchos caminos, por un lado, puedes adentrarte en la Teoría de Conjuntos en donde repasarás lo visto en la sección de números naturales, empezando por el teorema de la recursión y hasta llegar a temas avanzados que no tocamos a profundidad en este curso, como el de los números ordinales y el estudio de los conjuntos infinitos y sus cardinales.

Por otro lado, puedes adentrarte en la Teoría de los Números y continuar con lo estudiado en la sección de enteros, para ver más a detalle las propiedades de las congruencias y ver nuevos e importantes temas. Relacionado con la Teoría de los Números, pero con un enfoque más general están los cursos de Álgebra Moderna I y II, donde se estudian y generalizan conceptos que ya hemos visto, como el de grupo, anillo, ideal o número primo, sin embargo la base de muchas demostraciones en estas materias, encuentran su base en los teoremas que vimos en el curso, en particular, el algoritmo de la división juega un papel fundamental en esta área.

El breve estudio que dimos de los números reales yd e su construcción, es el fundamento para temas mucho más avanzados relacionados con lo que se conoce como Análisis Matemático y evidentemente, el estudio de los números complejos se profundizará en el curso de Variable Compleja.

Finalmente el estudio de los polinomios es un tema que se estudia en el curso de Álgebra Moderna II donde podrás entender por qué es que solo estudiamos la forma de resolver ecuaciones de grado $4$ y no de grado $5$.

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