Álgebra Superior II: Raíces de polinomios de grados 3 y 4

Introducción

Esta es la entrada final de la unidad de polinomios y del curso. En ella hablaremos acerca de las fórmulas para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4. Además, en la parte final, hablaremos de polinomios de grados más altos y cómo ellos te pueden llevar a cursos muy interesantes que puedes tomar para continuar tu formación matemática.

Existen métodos generales para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4, ya sea en \mathbb{R}[x] o en \mathbb{C}[x]. Para los polinomios de grado 3, se usa el método de Cardano. Para los polinomios de grado 4 se usa el método de Ferrari. Encontrar estas fórmulas tomó mucho tiempo. Ambas requieren de manipulaciones algebraicas muy creativas.

Raíces de polinomios de grado 3 y el método de Cardano

Tomemos un polinomio f(x) en \mathbb{R}[x] de grado 3. Si f(x) no es mónico, podemos multiplicarlo por el inverso de su coeficiente principal para obtener un polinomio con las mismas raíces. De esta forma, podemos suponer sin pérdida de generalidad que f(x) es de la forma

    \[f(x)=x^3+ax^2+bx+c.\]

Consideremos al polinomio

    \[g(x)=f\left(x-\frac{a}{3}\right).\]

Observa que r es una raíz de g(x) si y sólo si g(r)=0, si y sólo si f\left(r-\frac{a}{3}\right)=0, si y sólo si r-\frac{a}{3} es una raíz de f. De esta forma, si conocemos las raíces de g(x), podemos encontrar las de f(x), y viceversa.

Al hacer las cuentas (que quedan como tarea moral), se tiene que g(x) se simplifica a

    \begin{align*}g(x)&=f\left(x-\frac{a}{3}\right)\\&=x^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x+\left(-\frac{ba}{3}+c+\frac{2a^3}{27}\right),\end{align*}

que tiene la ventaja de ya no tener término cuadrático. En otras palabras, para encontrar las raíces de polinomio cúbico, basta con poder encontrar las de los polinomios de la forma

    \[g(x)=x^3+px+q.\]

Tomando x=u+v y haciendo las operaciones, se tiene que

    \[g(u+v)=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q.\]

Observa que si logramos encontrar u y v que satisfagan el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}u^3+v^3&=-q\\uv&=-\frac{p}{3},\end{align*}

entonces tendríamos una raíz x=u+v.

La segunda ecuación implica u^3v^3=-\frac{p^3}{27}. Pero entonces conocemos la suma y el producto de las variables u^3 y v^3, con lo cual obtenemos que son las raíces del siguiente polinomio de grado 2 en la variable t:

    \begin{align*}(t-u^3)(t-v^3)&=t^2-(u^3+v^3)t+u^3v^3\\&=t^2+qt-\frac{p^3}{27}.\end{align*}

El discriminante de esta ecuación cuadrática es

    \[\Delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}.\]

Si \Delta >0, esta ecuación cuadrática tiene las siguientes soluciones reales:

    \begin{align*}\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}\\\sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, u es la primera y v la segunda. De esta forma, una raíz real para g(x) es

    \[x= \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\]

Hasta aquí hay algunas cosas por notar:

  • Supusimos que el discriminante \Delta es positivo.
  • Sólo hemos encontrado una de las 3 raíces de p(x) que garantiza el teorema fundamental del álgebra.

Cuando el discriminante es positivo, las otras dos soluciones son \omega x y \omega^2 x, en donde \omega es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Cuando la cuadrática tiene discriminante \Delta<0, tenemos que u y v son complejos, y entonces al sacar raíz cúbica podemos tener tres opciones para cada uno, algo que parecería dar un total de 9 soluciones. Sin embargo, recordando que uv=-\frac{p}{3}, tenemos que u queda totalmente determinado por v, así que de ahí se obtienen las tres soluciones.

Raíces de polinomios de grado 4 y el método de Ferrari

El método de Ferrari está explicado a detalle en el libro de Álgebra de Bravo, Rincón y Rincón. Ahí están las ideas principales para encontrar una fórmula general para encontrar las raíces de un polinomio de grado 4, es decir, de la forma

    \[p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\]

Recuerda que el libro está disponible para descarga gratuita.

Al igual que en el caso del método de Ferrari, los primeros pasos consisten en hacer simplificaciones algebraicas. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. Uno podría creer que este patrón se repite, y que se pueden encontrar métodos para polinomios de grado arbitrario. Esto no es así, y lo platicaremos en la siguiente sección.

Para otra derivación de la fórmula de Ferrari, compartimos el artículo “Identidades para la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas” de José Leonardo Sáenz Cetina, que apareció en el número 24 de la revista Miscelánea Matemática de la Sociedad Matemática Mexicana:

Este documento también tiene otras dos formas de resolver ecuaciones cúbicas, así que es una lectura recomendada.

Finalmente, se recomienda también echarle un ojo a la página de Wikipedia acerca de la ecuación cuártica. La entrada en inglés es mucho mejor. Sobre todo la sección referente al método de Ferrari.

Raíces de polinomios de grado 5 y más

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, todo polinomio sobre los complejos tiene al menos una raíz. De hecho, se puede mostrar que si es de grado n, entonces tiene exactamente n raíces, contando multiplicidades.

Cuando tenemos polinomios de grados 2, 3 y 4 podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones. ¿Hay algún método que tenga fórmulas similares para polinomios de grado más grande?

La respuesta es que no. Aunque el teorema fundamental del álgebra garantice la existencia de las raíces, hay un teorema de Abel y Ruffini que muestra que no es posible encontrar una fórmula general. Al menos no una que ayude a poner las raíces de cualquier polinomio de grado cinco (o más) usando únicamente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Esto formalmente se enuncia como que hay ecuaciones de grado 5 y más que no son solubles por radicales.

Enunciar y demostrar este teorema formalmente requiere de herramientas que quedan fuera del alcance de este curso, sin embargo, se puede estudiar en un curso avanzado de álgebra, en donde se hable de extensiones de campo y teoría de Galois.

Por otro lado, podemos dejar de lado la exactitud y preguntarnos si, dado un polinomio, podemos acercarnos a sus raíces tanto como queramos. Hoy en día eso se hace mediante métodos computacionales. Aunque la computadora sea muy buena haciendo cuentas, hay que ser particularmente cuidadoso con los errores que comete al hacer aproximaciones.

Eso es otra de las cosas que quedan fuera del alcance de este curso, y que puedes estudiar en un buen curso de métodos numéricos. Si lo que buscar es saber cómo pedirle a la computados que haga los cálculos, eso lo puedes aprender en un buen curso de programación, en donde te enseñen a usar ambientes de computación científica.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Completa las cuentas faltantes en la discusión del método de Cardano.
  • Muestra que un polinomio de grado 3 y coeficientes reales tiene exactamente cero o dos raíces complejas distintas.
  • ¿Cuántas raíces complejas distintas puede tener un polinomio de grado 4 con coeficientes reales? Encuentra un ejemplo para cada una de las respuestas.
  • Encuentra las raíces del polinomio cuártico

        \[p(x)=x^4+2x^3-12x^2-10x+4.\]

    Después, compara tu respuesta con el Ejemplo 216 del libro de Álgebra de Bravo, Rincón, Rincón.
  • Lee las entradas en Wikipedia acerca de ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuárticas.

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