Álgebra Superior II: La construcción de los naturales

Introducción

En la entrada pasada presentamos los axiomas de Peano como una forma de abordar el problema de por qué los naturales se comportan como nuestra intuición nos indica. Sin embargo, también vimos que esta solución no respondía la pregunta de por qué existen los naturales dentro de la formalización matemática con la que estamos trabajando. Por esta razón, introdujimos la definición del sucesor de un conjunto arbitrario y empezamos a iterarla en el conjunto vacío para generar una lista de conjuntos, que relacionamos con los números naturales que conocemos.

Por último, notamos que ocupar esta idea, al menos de forma directa, nos llevaría al problema de nunca acabar de definir a todos los números naturales y, por lo tanto, no poder definir en sí el conjunto de los naturales.  Es por eso que en esta entrada acabaremos, de una vez por todas, con el problema de definir con precisión el conjunto de números naturales y ver que, en efecto, esta construcción que haremos se apega a no sólo a nuestra intuición, sino también a los axiomas de Peano.

Conjuntos inductivos

Antes de empezar con la tarea de definir a los números naturales, recordamos la definición del sucesor de un conjunto.

Definición: Si $A$ es un conjunto, definimos el sucesor de $A$, como $\sigma(A):=A\cup \{A\}$.

Como mencionamos en las notas pasadas, buscamos que \[\mathbb{N}=\{\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\},\] por lo que $\mathbb{N}$, satisfaría dos propiedades que englobamos en la siguiente definición.

Definición: Diremos que un conjunto $S$ es inductivo si cumple que:

  1. $\emptyset\in\mathbb{N}$ y
  2. si $X\in S$, entonces $\sigma(X)\in S$.

Notemos que estas dos propiedades son muy similares a los dos primeros axiomas de Peano.

Hay que remarcar que aunque no sabemos que exista un conjunto tal que sus elementos son $\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…$, en caso de que sí existiera, sería un hecho que tal conjunto sería inductivo.

Otro posible ejemplo de un conjunto inductivo podría verse como \[\{…\sigma(\sigma(\{\{\emptyset\}\})), \sigma(\{\{\emptyset\}\}), \{\{\emptyset\}\},\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\}.\] Intuitivamente podemos notar que si $S$ es un conjunto inductivo, entonces, $\mathbb{N}\subset S$, por lo que uno podría aventurarse y definir a los naturales como $\{x:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}$. Sin embargo, los axiomas que de teoría de conjuntos que tenemos hasta ahora no nos permiten saber si existe un conjunto así.

A pesar de que como se dijo, el hacer esto no es correcto, la idea es muy interesante y útil, ya que motiva la siguiente proposición acerca de la intersección de conjuntos inductivos.

Proposición: Si $B\neq\emptyset$ es un conjunto tal que todos sus elementos son inductivos, entonces $\bigcap {B}$ es también un conjunto inductivo.

Demostración. Como $B\neq\emptyset$, sabemos que la intersección sí es un conjunto. Veamos que este conjunto es inductivo.

Antes de hacer esto recordemos que por definición, los elementos de $\bigcap{B}$ son precisamente, todos los $x$ tales que $x\in Y$ para todo $Y\in B$.

Para ver que $\bigcap B$ es inductivo, necesitamos verificar que cumpla las dos características de la definición:

  1. $\emptyset\in\bigcap B$: Sea $Y\in B$ arbitrario, como los elementos de $B$ son inductivos, $\emptyset\in Y$, y como $Y$ es arbitrario, podemos concluir que $\emptyset$ está en todos los elementos de $B$, pero esta es la definición de que $\emptyset\in \bigcap B$.
  2. $x\in \bigcap B \Rightarrow \sigma(x)\in \bigcap B$: Sea $x\in \bigcap B$, veamos que $\sigma(x)\in \bigcap B$. Sea $Y\in B$, como $x\in\bigcap B$, entonces $x\in Y$ y como $Y$ es inductivo, $\sigma(x)\in Y$. De nuevo, como $Y$ es arbitrario, se sigue que $\sigma(x)$ está en todos los elementos de B, por lo que $\sigma(x)\in\bigcap B$.

Con esto demostramos que $\bigcap B$ es inductivo.

$\square$

En otras palabras, «la intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo».

El axioma del infinito

Por todo lo escrito anteriormente, y meditando el hecho de que si partimos de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos, sólo podemos crear conjuntos con una cantidad finita de elementos, parece ser que la existencia de un conjunto como los naturales, no podrá ser deducida con las herramientas que tenemos. Esto en efecto es así. Por ello, debemos introducir un nuevo axioma de la teoría de conjuntos.

Axioma del infinito: Existe un conjunto inductivo.

El axioma del infinito no nos garantiza inmediatamente la existencia de $\mathbb{N}$, ya que como se vio en el ejemplo, $\mathbb{N}$ no es el único conjunto inductivo. Sin embargo, esta es la última pieza que necesitamos para poder construir a los naturales. Hacemos esto a continuación.

Sea $A$ algún conjunto inductivo (que nos garantiza el axioma del infinito), y consideremos $B=\{X\subset A \mid X \text{ es inductivo}\}$ (¿por qué B es un conjunto?). Notemos que $A\in B$ por lo que $B$ es no vacío, por lo tanto, podemos pensar en su intersección, $\bigcap B$. Como los elementos de $B$ son conjuntos inductivos, por la proposición anterior concluimos que $\bigcap B$ es inductivo. A esta intersección la denotaremos como $\mathbb{N}_{A}$. ¡Ya apareció por primera vez el símbolo de números naturales! Pero tiene algo adicional: usamos un subíndice $A$ ya que a primera vista, su construcción depende del conjunto inductivo $A$ con el que empezamos. Sin embargo, justamente, el paso siguiente será ver que $\mathbb{N}_{A}$ no depende de $A$.

Para ello, primero hacemos la observación de que si $Y\subset A$ es inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}\subset Y$, la cual te dejamos corroborar usando las propiedades de la intersección. Dicho esto, probamos lo siguiente.

Proposición: Si $C$ es otro conjunto inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}= \mathbb{N}_{C} $.

Demostración. Consideremos $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $, el cual sabemos que es un conjunto inductivo. Como $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} \subset A$, por la observación anterior, concluimos que $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Como la intersección está contenida en cada intersecando, $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}\subset\mathbb{N}_{A} $, por lo que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Haciendo las mismas observaciones para $\mathbb{N}_{C}$, concluimos que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}= \mathbb{N}_{C} $, con lo que concluimos la prueba.

$\square$

Como sabemos ahora que el conjunto $\mathbb{N}_{A}$ no depende del conjunto $A$ inductivo con el que empecemos, finalmente podemos definir al conjunto de números naturales.

Definición: Si $A$ es algún conjunto inductivo, definimos $\mathbb{N}:=\mathbb{N}_{A}$, definimos $0:=\emptyset$ y la función sucesor como $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=n\cup \{n\}$.

Un modelo para los axiomas de Peano

Para concluir esta entrada veremos que los números naturales que hemos construido en la sección anterior se comportan justo como dicen nuestra intuición y los axiomas de Peano. En realidad, la construcción de la función sucesor y del conjunto $\mathbb{N}$ fue siempre motivada por estas ideas, por lo que no deberá ser difícil probar que en verdad todo funciona como queremos.

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ junto con $0$ y $\sigma$, satisfacen los cinco axiomas de Peano.

Demostración. Veamos que se verifican los cinco axiomas de Peano.

$0\in\mathbb{N}$: como $\mathbb{N}$ es inductivo, $0=\emptyset\in\mathbb{N}$.

Si $n\in \mathbb{N}$, entonces $\sigma(n)\in\mathbb{N}$: Si $n\in\mathbb{N}$, como $\mathbb{N}$ es inductivo, se sigue que $\sigma(n)\in\mathbb{N}$.

Para toda $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)\neq 0$: Como $\sigma(n)=n\cup\{n\}$, tenemos que $n\in\sigma(n)$ por lo que $\sigma(n)\neq\emptyset=0$.

Si $\sigma(n)=\sigma(m)$, entonces $n=m$: Como $\sigma(n)=\sigma(m)$ y $n\in\sigma(n)$, $n\in\sigma(m)= m\cup\{m\}$, de donde $n\in\{m\}$ o $n\in m$. Si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$ y concluimos.

Si $n\in m$, veamos que podemos decir de m, procediendo análogamente, podemos notar que $m=n$ o $m\in n$, en el primer caso, llegamos a lo que queremos, si se da el segundo caso habremos demostrado que $n\in m\in n$ lo cual contradice el axioma de Regularidad.

Si $S\subset\mathbb{N}$ tal que $0\in S$ y $n\in S \Rightarrow \sigma(n)\in S$, entonces $S=\mthbb{N}$: Notemos que las hipótesis de $S$, implican que este es un conjunto inductivo, por lo que $\mathbb{N}=\mathbb{N}_{S}\subset S\subset \mathbb{N}$ por lo que en efecto, ambos conjuntos son iguales.

$\square$

Notemos que todos los axiomas salieron de forma casi inmediata de la definición de $\mathbb{N}$ o de la definición de $\sigma$, justo como esperábamos.

Tarea moral

  • Completa los detalles sobre por qué el conjunto $B$, de los conjuntos inductivos de $A$, sí existe. Necesitarás usar un axioma muy específico de la teoría de conjuntos.
  • Demuestra que si $x\subset y\subset\sigma(x) $, entonces $y=x$ o $y=\sigma(x)$.
  • Si aún no estás tan acostumbrado a las intersecciones arbitrarias, considera la definición de $\mathbb{N}’:=\{x\in A:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}$ ¿Cómo se relaciona el axioma del Infinito, con el hecho de que esto sí es un conjunto?
  • Esboza una demostración de que $\mathbb{N}’=\mathbb{A}$.
  • Usa el Principio de Inducción para demostrar que si $n\neq 0$, entonces $n=\{0, 1, 2, …, n-1\}$.

Más adelante…

Ya que construimos a los números naturales, y vimos que en verdad funcionan como esperábamos, nuestro siguiente objetivo, será definir una suma, un producto y un orden en este conjunto. Así como lo hicimos con los axiomas de Peano, veremos que nuestras definiciones coincidirán con las propiedades que conocemos.

Para hacer esto seguiremos pensando en la definición conjuntista que hemos dado de los naturales y no sólo en los axiomas de Peano. Aunque sí nos basaremos fuertemente en ellos, sobre todo en el quinto axioma. A este lo conocemos como principio de inducción y tendrá su mayor aplicación a la hora de demostrar el teorema de la recursión, el cual a su vez la herramienta que tendremos para definir la suma y producto en los naturales.

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