Álgebra Superior II: La construcción de los naturales

Por Roberto Manríquez Castillo

Introducción

En la entrada pasada presentamos los axiomas de Peano como una formalización de por qué los naturales se comportan como nuestra intuición nos indica. Sin embargo, también vimos que, por si mismos, los axiomas de Peano no nos dicen cómo hacer una construcción de los naturales a partir de conceptos previos. Para intentar lograr esto, introdujimos la definición del sucesor de un conjunto arbitrario y empezamos a iterarla en el conjunto vacío para generar una lista de conjuntos, que relacionamos con los números naturales que conocemos.

Por último, notamos que ocupar esta idea, al menos de forma directa, tiene el problema de dar «pasitos muy chicos», que no nos permitirían acabar nunca de definir a todos los números naturales y, en consecuencia, que no nos dejaría definir en sí el conjunto de los naturales.  Es por eso que en esta entrada acabaremos, de una vez por todas, con el problema de definir con precisión el conjunto de números naturales. Veremos que, en efecto, esta construcción que haremos se apega no sólo a nuestra intuición, sino también a los axiomas de Peano.

Conjuntos inductivos

Antes de empezar con la tarea de definir a los números naturales, recordamos la definición del sucesor de un conjunto.

Definición. Si $A$ es un conjunto, definimos el sucesor de $A$, como $\sigma(A):=A\cup \{A\}$.

El conjunto que queremos definir es el conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales. Como mencionamos en las entrada pasada, buscamos de manera formal lograr que \[\mathbb{N}=\{\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\},\] por lo que $\mathbb{N}$ satisfaría dos propiedades que englobamos en la siguiente definición.

Definición. Diremos que un conjunto $S$ es inductivo si cumple que:

  1. $\emptyset\in S$ y
  2. si $X\in S$, entonces $\sigma(X)\in S$.

Notemos que estas dos propiedades son muy similares a los dos primeros axiomas de Peano.

Hay que remarcar que aunque no sabemos que exista un conjunto tal que sus elementos son $\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…$, en caso de que sí existiera, sería un hecho que tal conjunto sería inductivo.

Otro posible ejemplo de un conjunto inductivo podría verse como \[\{…\sigma(\sigma(\{\{\emptyset\}\})), \sigma(\{\{\emptyset\}\}), \{\{\emptyset\}\},\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\}.\]

Intuitivamente podemos notar que si $S$ es un conjunto inductivo, entonces, $\mathbb{N}\subset S$, por lo que uno podría aventurarse y definir a los naturales como $$\{x:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}.$$

Sin embargo, los axiomas que de teoría de conjuntos que tenemos hasta ahora no nos permiten saber si se puede construir un conjunto así.

¿Qué es lo que sí nos permiten hacer los axiomas de teoría de conjuntos? Si tenemos una colección de conjuntos, podemos hacer la intersección de todos ellos. Esto motiva la siguiente proposición acerca de la intersección de conjuntos inductivos.

Proposición. Si $B\neq\emptyset$ es un conjunto tal que todos sus elementos son conjuntos inductivos, entonces $\bigcap {B}$ es también un conjunto inductivo.

Demostración. Como $B\neq\emptyset$, sabemos que la intersección sí es un conjunto. Veamos que este conjunto es inductivo. Antes de hacer esto recordemos que, por definición, los elementos de $\bigcap{B}$ son precisamente, todos los $x$ tales que $x\in Y$ para todo $Y\in B$.

Para ver que $\bigcap B$ es inductivo, necesitamos verificar que cumpla las dos características de la definición:

  1. Veamos primero que $\emptyset\in\bigcap B$.
    Sea $Y\in B$ arbitrario. Como los elementos de $B$ son inductivos, $\emptyset\in Y$, y como $Y$ es arbitrario, podemos concluir que $\emptyset$ está en todos los elementos de $B$. Esta es justo la definición de que $\emptyset\in \bigcap B$.
  2. Veamos ahora que $x\in \bigcap B \Rightarrow \sigma(x)\in \bigcap B$.
    Sea $x\in \bigcap B$ y sea $Y\in B$. Como $x\in\bigcap B$, entonces $x\in Y$ y como $Y$ es inductivo, $\sigma(x)\in Y$. De nuevo, como $Y$ fue arbitrario, se sigue que $\sigma(x)$ está en todos los elementos de B, por lo que $\sigma(x)\in\bigcap B$.

Con esto demostramos que $\bigcap B$ es inductivo.

$\square$

En otras palabras, «la intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo».

El axioma del infinito y la construcción de los naturales

Por todo lo escrito anteriormente, y meditando el hecho de que si partimos de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos, sólo podemos crear conjuntos con una cantidad finita de elementos, parece ser que la existencia de un conjunto como los naturales no puede ser deducida con las herramientas que tenemos. Esto en efecto es así. Por ello, debemos introducir un nuevo axioma de la teoría de conjuntos.

Axioma (del infinito). Existe un conjunto inductivo.

El axioma del infinito no nos garantiza inmediatamente la existencia de $\mathbb{N}$, ya que como se vio en un ejemplo más arriba, $\mathbb{N}$ no es el único conjunto inductivo. Sin embargo, esta es la última pieza que necesitamos para poder dar la construcción de los naturales. Hacemos esto a continuación.

Sea $A$ algún conjunto inductivo (que nos garantiza el axioma del infinito), y consideremos $B=\{X\subset A \mid X \text{ es inductivo}\}$ (¿por qué $B$ es un conjunto?). Notemos que $A\in B$ por lo que $B$ es no vacío, por lo tanto, podemos pensar en su intersección, $\bigcap B$. Como los elementos de $B$ son conjuntos inductivos, por la proposición anterior concluimos que $\bigcap B$ es inductivo. A esta intersección la denotaremos como $\mathbb{N}_{A}$. ¡Ya apareció por primera vez el símbolo de números naturales! Pero tiene algo adicional: usamos un subíndice $A$ ya que, a primera vista, su construcción depende del conjunto inductivo $A$ con el que empezamos. Sin embargo, justamente, el paso siguiente será ver que $\mathbb{N}_{A}$ no depende de $A$.

Para ello, primero hacemos la observación de que si $Y\subset A$ es inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}\subset Y$, la cual te dejamos corroborar usando las propiedades de la intersección. Dicho esto, probamos lo siguiente.

Proposición. Si $C$ es otro conjunto inductivo, entonces $\mathbb{N}_{A}= \mathbb{N}_{C} $.

Demostración. Consideremos $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $, el cual sabemos que es un conjunto inductivo. Como $\mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} \subset A$, por la observación anterior, concluimos que $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Como la intersección está contenida en cada intersecando, $\mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}\subset\mathbb{N}_{A} $, por lo que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} $. Haciendo las mismas observaciones para $\mathbb{N}_{C}$, concluimos que $\mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}= \mathbb{N}_{C} $, con lo que concluimos la prueba.

$\square$

Como sabemos ahora que el conjunto $\mathbb{N}_{A}$ no depende del conjunto $A$ inductivo con el que empecemos, finalmente podemos definir al conjunto de números naturales.

Definición. Si $A$ es algún conjunto inductivo, definimos al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ como $\mathbb{N}:=\mathbb{N}_{A}$. Definimos al cero como $0:=\emptyset$ y la función sucesor para los naturales como $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=n\cup \{n\}$.

Nuestra construcción de los naturales cumple los axiomas de Peano

Para concluir esta entrada veremos que la construcción de los naturales que dimos en efecto da un modelo para los axiomas de Peano. En realidad, la construcción de la función sucesor, la noción de conjunto inductivo y la forma en la que creamos $\mathbb{N}$ fueron todas ellas siempre motivadas por estas ideas, por lo que no deberá ser difícil probar que en verdad todo funciona como queremos.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ junto con el $0$ y la función $\sigma$ que definimos satisfacen los cinco axiomas de Peano.

Demostración. Veamos que se verifican los cinco axiomas de Peano.

Axioma 1. $0\in\mathbb{N}$.

Como $\mathbb{N}$ es inductivo, $0=\emptyset\in\mathbb{N}$.

Axioma 2. Si $n\in \mathbb{N}$, entonces $\sigma(n)\in\mathbb{N}$.

Si $n\in\mathbb{N}$, como $\mathbb{N}$ es inductivo, se sigue que $\sigma(n)\in\mathbb{N}$.

Axioma 3. Para toda $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)\neq 0$.

Como $\sigma(n)=n\cup\{n\}$, tenemos que $n\in\sigma(n)$ por lo que $\sigma(n)\neq\emptyset=0$.

Axioma 4. Si $\sigma(n)=\sigma(m)$, entonces $n=m$.

Como $\sigma(n)=\sigma(m)$ y $n\in\sigma(n)$, entonces $n\in\sigma(m)= m\cup\{m\}$. Como $n$ está en una unión, hay dos opciones: $n\in\{m\}$ o $n\in m$. Si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$ y concluimos.

En otro caso, $n\in m$. Veamos que podemos decir de $m$. Procediendo análogamente, podemos notar que $m=n$ o $m\in n$. En el primer caso, llegamos a lo que queremos. El segundo caso es imposible, pues tendríamos $n\in m\in n$ lo cual contradice el axioma de regularidad de teoría de conjuntos.

Axioma 5. Si $S\subset\mathbb{N}$ tal que $0\in S$ y $n\in S \Rightarrow \sigma(n)\in S$, entonces $S=\mathbb{N}$.

Notemos que las hipótesis de $S$ implican que éste es un conjunto inductivo. Por ello, $\mathbb{N}=\mathbb{N}_{S}\subset S\subset \mathbb{N}$. Esta cadena de contenciones implica la igualdad $\mathbb{N}=S$.

$\square$

Notemos que todos los axiomas salieron de forma casi inmediata de la definición de $\mathbb{N}$ o de la definición de $\sigma$, justo como esperábamos.

Más adelante…

Ya dimos la construcción de los naturales. También vimos que en verdad funcionan como esperábamos. nuestro siguiente objetivo será definir una suma, un producto y un orden en $\mathbb{N}$. Así como lo hicimos con los axiomas de Peano, veremos que nuestras definiciones coincidirán con las propiedades que conocemos.

Para hacer esto seguiremos pensando simultáneamente tanto en la definición conjuntista que hemos dado de los naturales, como en los axiomas de Peano. Especialemente usaremos el quinto axioma de manera repetida. Veremos cómo este axioma es básicamente el principio de inducción que conocimos en Álgebra Superior I. También veremos cómo nos ayuda a demostrar el teorema de recursión, el cual a su vez la herramienta que necesitaremos para definir con toda formalidad la suma y producto en los naturales.

Tarea moral

  1. Completa los detalles faltantes de la construcción de los naturales. En particular, sobre por qué el conjunto $B$, de los conjuntos inductivos de $A$, sí existe. Necesitarás usar un axioma muy específico de la teoría de conjuntos.
  2. Demuestra que si $x\subset y\subset\sigma(x) $, entonces $y=x$ o $y=\sigma(x)$.
  3. Si aún no estás tan acostumbrado a las intersecciones arbitrarias, considera un conjunto inductivo $A$ y la siguiente definición: $$\mathbb{N}’:=\{x\in A:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}.$$ ¿Cómo se relaciona el axioma del infinito, con el hecho de que esto sí sea un conjunto?
  4. Esboza una demostración de que $\mathbb{N}’=\mathbb{N}$.
  5. Usa el quinto axioma de Peano para demostrar que para cualquier natural $n$ se cumple que $$\sigma(n)=\{0, 1, 2, …, n\}.$$
    Sugerencia. Considera el conjunto $S\subseteq \mathbb{N}$ de enteros $n$ para los cuales la afirmación anterior es cierta. Demuestra que $S$ es inductivo y usa el quinto axioma para concluir que $S=\mathbb{N}$.

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