Álgebra Superior II: El criterio de la raíz racional para polinomios de coeficientes enteros

Introducción

En esta entrada veremos el criterio de la raíz racional. Este es un método que nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio con coeficientes enteros. Es una más de las herramientas que podemos usar cuando estamos estudiando polinomios en \mathbb{R}[x].

Si encontramos una raíz con este método, luego podemos encontrar su multiplicidad mediante el teorema de derivadas y multiplicidad. Esto puede ayudarnos a factorizar el polinomio. Otras herramientas que hemos visto que nos pueden ayudar son el algoritmo de Euclides, la fórmula cuadrática, el teorema del factor y propiedades de continuidad y diferenciabilidad de polinomios.

El criterio de la raíz racional

Si un polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] cumple que todos sus coeficientes son números enteros, entonces decimos que es un polinomio sobre los enteros. Al conjunto de polinomios sobre los enteros se le denota \mathbb{Z}[x].

Teorema (criterio de la raíz racional). Tomemos un polinomio p(x) en \mathbb{Z}[x] de la forma

    \[p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n.\]

Supongamos que el número \frac{p}{q} es número racional simplificado, es decir con p y q\neq 0 enteros primos relativos. Si \frac{p}{q} es raíz de p(x), entonces p divide a a_0, y q divide a a_n.

Demostración. Por definición, si \frac{p}{q} es una raíz, tenemos que

    \[0=a_0+a_1\cdot \frac{p}{q} + \ldots + a_n \cdot \frac{p^n}{q^n}.\]

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por q^n, tenemos que

    \[0=a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n.\]

Despejando a_0q^n, tenemos que

    \begin{align*}a_0q^n&=-(a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n)\\&=-p(a_1q^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-2}q+a_np^{n-1})\end{align*}

Esto muestra que a_0q^n es múltiplo de p. Pero como \MCD{p,q}=1, tenemos que p debe dividir a a_0.

De manera similar, tenemos que

    \begin{align*}a_np^n&=-(a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q)\\&=-q(a_0q^{n-1}+a_1pq^{n-2}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}).\end{align*}

De aquí, q divide a a_np^n, y como \MCD{p,q}=1, entonces q divide a a_n.

\square

Como cualquier natural tiene una cantidad finita de divisores, el criterio de la raíz racional nos permite restringir la cantidad posible de raíces de un polinomio con coeficientes enteros a una cantidad finita de candidatos. Veamos un par de ejemplos.

Aplicación directa del criterio de la raíz racional

Ejercicio. Usa el criterio de la raíz racional para enlistar a todos los posibles números racionales que son candidatos a ser raíces del polinomio

    \[h(x)=2x^3-x^2+12x-6.\]

Después, encuentra las raíces racionales de p(x).

Solución. El polinomio h(x) tiene coeficientes enteros, así que podemos usar el criterio de la raíz racional. Las raíces racionales son de la forma \frac{p}{q} con p divisor de -6, con q divisor de 2 y además \MCD{p,q}=1. Los divisores enteros de -6 son

    \[-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.\]

Los divisores enteros de 2 son

    \[-2,-1,1,2.\]

Pareciera que hay muchas posibilidades por considerar. Sin embargo, nota que basta ponerle el signo menos a uno de p o q para considerar todos los casos. Así, sin pérdida de generalidad, q>0. Si q=1, obtenemos a los candidatos

    \[-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.\]

Si q=2, por la condición de primos relativos basta usar los valores -3,-1,1,3 para p. De aquí, obtenemos al resto de los candidatos

    \[-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

En el peor de los casos, ya solo bastaría evaluar el polinomio en estos 12 candidatos para determinar si son o no son raíz. Sin embargo, a veces podemos hacer algunos trucos para disminuir todavía más la lista.

Observa que si evaluamos

    \[h(x)=2x^3-x^2+12x-6\]

en un número negativo, entonces la expresión quedará estrictamente negativa, así que ninguno de los candidatos negativos puede ser raíz. De este modo, sólo nos quedan los candidatos

    \[1,2,3,6,\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

Si evaluamos en x=2 o x=6, entonces la parte de la expresión 2x^3-x^2+12x es múltiplo de 4, pero -6 no. De esta forma, h(x) no sería un múltiplo de 4, y por lo tanto no puede ser 0. Si evaluamos en x=1 o x=3, tendríamos que la parte de la expresión 2x^3+12x-6 sería par, pero -x^2 sería impar, de modo que h(x) sería impar, y no podría ser cero. Así, ya sólo nos quedan los candidatos

    \[\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

Para ellos ya no hagamos trucos, y evaluemos directamente. Tenemos que

    \begin{align*}h\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2}-6\\&=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6-6\\&=0.\end{align*}

y que

    \begin{align*}h\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}-6\\&=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+18-6\\&=\frac{9}{2}+12\\&=\frac{33}{2}.\end{align*}

Habiendo considerado todos los casos, llegamos a que la única raíz racional de h(x) es \frac{1}{2}.

\square

Aplicación indirecta del criterio de la raíz racional

El criterio de la raíz racional lo podemos usar en algunos problemas, aunque en ellos no esté escrito un polinomio de manera explícita.

Problema. Muestra que \sqrt[7]{13} no es un número racional.

Solución. Por definición, el número \sqrt[7]{13} es el único real positivo r que cumple que r^7=13. Se puede mostrar su existencia usando que la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^7 es continua, que f(0)=0, que f(2)=128, y aplicando el teorema del valor intermedio. Se puede mostrar su unicidad mostrando que la función f es estrictamente creciente en los reales positivos. Lo que tenemos que mostrar es que este número real no es racional.

Si consideramos el polinomio p(x)=x^7-13, tenemos que p(r)=r^7-13=0, de modo que r es raíz de p(x). Así, para terminar el problema, basta mostrar que p(x) no tiene raíces racionales.

El polinomio p(x) tiene coeficientes enteros, así que podemos aplicarle el criterio de la raíz racional. Una raíz racional tiene que ser de la forma \frac{p}{q} con p divisor de -13 y q divisor de 1.

Sin perder generalidad, q>0, así que q=1. De esta forma, los únicos candidatos a ser raíces racionales de p(x) son -13,-1,1,13. Sin embargo, una verificación de cada una de estas posibilidades muestra que ninguna de ellas es raíz de p(x). Por lo tanto, p(x) no tiene raíces racionales, lo cual termina la solución del problema.

\square

Aplicación en polinomio con coeficientes racionales

A veces un polinomio tiene coeficientes racionales, por ejemplo,

    \[r(x)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-4x-1.\]

A un polinomio con todos sus coeficientes en \mathbb{Q} se les conoce como polinomio sobre los racionales y al conjunto de todos ellos se le denota \mathbb{Q}[x]. Para fines de encontrar raíces racionales, los polinomios en \mathbb{Q}[x] y los polinomios en \mathbb{Z}[x] son muy parecidos.

Si tenemos un polinomio q(x) en \mathbb{Q}[x], basta con multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para obtener un polinomio p(x) con coeficientes enteros. Como q(x) y p(x) varían sólo por un factor no cero, entonces tienen las mismas raíces. Por ejemplo, el polinomio r(x) de arriba tiene las mismas raíces que el polinomio

    \[s(x)=6r(x)=3x^3+2x^2-24x-6.\]

A este nuevo polinomio se le puede aplicar el criterio de la raíz racional para encontrar todas sus raíces racionales.

Ejemplo. Consideremos el polinomio

    \[q(x)=x^3+\frac{x^2}{3}+5x+\frac{5}{3}.\]

Vamos a encontrar todos los candidatos a raíces racionales. Para ello, notamos que q(x) y p(x):=3q(x) varían sólo por un factor multiplicativo no nulo y por lo tanto tienen las mismas raíces. El polinomio

    \[p(x)=3x^3+x^2+15x+5\]

tiene coeficientes enteros, así que los candidatos a raíces racionales son de la forma \frac{a}{b} con a y b primos relativos, a\mid 5 y b\mid 3. Sin pérdida de generalidad b>0.

Los divisores de 5 son -5,-1,1,5. Los divisores positivos de 3 son 1 y 3. De esta forma, los candidatos a raíces racionales son

    \[-5,-1,1,5,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3}.\]

Si ponemos un número positivo en p(x), como sus coeficientes son todos positivos, tenemos que la evaluación sería positiva, así que podemos descartar estos casos. Sólo nos quedan los candidatos

    \[-5,-1,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3}.\]

La evaluación en -5 da

    \begin{align*}-3\cdot 125 + 25 - 15\cdot 5 +5&=-375+25-75+5\\&=-295,\end{align*}

así que -5 no es raíz.

La evaluación en -1 da

    \begin{align*}-3+1-15+5=-12,\end{align*}

así que -1 tampoco es raíz.

Como tarea moral, queda verificar que -\frac{5}{3} tampoco es raíz, pero que -\frac{1}{3} sí lo es.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Realiza las evaluaciones que faltan en el último ejemplo.
  • Determina las raíces racionales del polinomio

        \[x^7-6x^4+3x^3+18x-1.\]

  • Muestra que \sqrt[3]{12} no es un número racional.
  • Encuentra todos los candidatos a ser raíces racionales de

        \[x^3+\frac{2x^2}{3}-7x-\frac{14}{3}.\]

    Determina cuáles sí son raíces.
  • Puede que un polinomio en \mathbb{Z}[x] no tenga raíces racionales, pero que sí se pueda factorizar en \mathbb{Z}[x]. Investiga acerca del criterio de irreducibilidad de Eisenstein.

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