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Álgebra Superior II: Números primos y sus propiedades

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

En esta entrada hablaremos de los protagonistas de entre los números enteros: los números primos. Es difícil poder enunciar en palabras sencillas la importancia que tienen este tipo de números, así que haremos un recorrido que incluye lo siguiente. Comenzaremos dando la definición de qué es un número primo, y haremos algunas aclaraciones conceptuales. Luego, enunciaremos propiedades de divisibilidad que cumplen los números primos y que son muy únicas a ellos. Esto nos ayudará a entender un poco de las razones por las cuales son especiales.

Finalmente, dejaremos preparado el terreno para poder hablar de dos resultados fundamentales sobre los números primos en la próxima entrada: el teorema fundamental de la aritmética y la infinidad del conjunto de números primos. El primer resultado nos permitirá pensar a los números primos como los átomos de los números enteros, ya que a partir de multiplicarlos se obtendrá cualquier entero, sea éste primo o compuesto.

Definición de números primos

La definición con la que trabajaremos es la siguiente.

Definición. Un entero número entero $p$ es primo si y sólo si es positivo y tiene exactamente cuatro divisores: $1, \enspace -1, \enspace z \enspace \text{y } -z \text{.}$

De la definición hay algunos números que inmediatamente debemos descartar por no ser números primos. Por ejemplo, el $1$ no es un número primo pues tiene como divisores únicamente al $-1$ y al $1$, que son dos divisores, y no exactamente cuatro, como pide la definición. Del mismo modo, $-1$ tampoco es número primo pues tiene sólo dos divisores también y, para rematar, es negativo, lo cual no se vale.

Del mismo modo, concluimos que el $0$ no es número primo. Su problema es que tiene demasiados divisores. Cualquier número entero divide al $0$, así que tiene mucho más que cuatro divisores. Veamos nuestro primer ejemplo de un número que sí es primo.

Proposición. El entero $2$ es primo.

Demostración. Lo primero por notar es que $2$ es positivo. Supongamos que $x \in \mathbb{Z}$ divide a $2$. Por cómo se comparan en tamaños un número con un divisor, obtenemos que $|d|\leq 2$. Esto nos deja $5$ posibilidades para $d$: $-2,-1,0,1,2$. El $0$ nunca es divisor y se puede ver que cada uno de los otros cuatro números sí lo son. Así, el $2$ tiene exactamente cuatro divisores, que son $1$, $2$, $-1$ y $-2$. Concluimos entonces que $2$ es un número primo.

$\square$

Si bien el $-2$ también tiene exactamente esos mismos $4$ divisores, a $-2$ no le llamamos número primo porque es negativo. Recuerda que por definición sólo los números positivos pueden ser primos.

En la duda, si no sabemos si un número es primo, siempre podemos regresar a la definición.

Proposición. El entero $57$ no es primo.

Demostración. Notamos que $1$, $3$, $19$ y $57$ son todos ellos divisores de $57$, así como sus negativos. Por ello, el número $57$ tiene ocho divisores, y por lo tanto no es primo.

$\square$

Otras formas de pensar a los números primos

La definición de primos que dimos está en términos de la cantidad de divisores en total que se deben tener. Sin embargo, hay por lo menos otras dos formas de escribir esto mismo.

Proposición. Son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para un número entero $p$:

  • El número $p$ es primo de acuerdo a nuestra definición de tener exactamente $4$ divisores.
  • El número $p$ es positivo y tiene exactamente $2$ divisores positivos.
  • El número $p$ es positivo y en cualquier forma de escribir $p=ab$ con $a$ y $b$ enteros positivos, sucede forzosamente que $a=1$ ó $b=1$.

Demostración. Los primeros dos puntos son equivalentes entre sí pues si $d$ es un divisor de $p$, entonces $-d$ también. Así, por cada divisor positivo hay uno negativo y viceversa. De hecho, los dos divisores positivos son, explícitamente, $1$ y $p$.

Si $p$ es primo con respecto a esta segunda definición, entonces el tercer inciso es claro, pues escribir $p=ab$ justo nos dice que $a|p$, de donde $a=1$ ó $a=p$, pues son sus únicos dos posibles divisores. Si $a=1$, tenemos lo que queremos. Y si $a=p$, entonces para que se de $p=ab$, debemos tener $b=1$, como queremos.

Finalmente, a partir del tercer inciso también se puede demostrar el segundo. Supongamos que $p$ cumple con el tercer inciso y supongamos que $d$ es divisor. ESto nos permite escribir $p=dr$ con $r$ algún entero. Por el tercer inciso, debemos tener $d=1$, o bien $r=1$, y entonces $d=p$, tal como nos pide el segundo inciso.

$\square$

Quizás no se ve tanto la ventaja entre distinguir entre las primeras dos versiones de la proposición anterior. De hecho, se parecen mucho. Sin embargo, sí vale la pena pensar en la tercera como algo diferente: nos dice que hay sólamente dos maneras de escribir a un primo como producto de números positivos. Esto nos ayuda, por ejemplo, a darnos cuenta rápidamente que un número no es primo aunque no tengamos todos sus divisores.

Ejemplo. El número $105$ no es primo pues se puede escribir como $5\cdot 21$. En esta expresión ninguno de los dos números es igual a $1$. Así, concluimos que $105$ no es primo.

$\square$

Propiedades de divisibilidad de los números primos

En el caso de los números primos, los máximos comunes divisores son asunto de todo o nada. Esto está escrito más formalmente en la siguiente definición.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a$ un entero. Si $p$ divide a $a$, tenemos $(a,p)=p$. Y si no, tenemos $(a,p)=1$.

Demostración. Sabemos que $(a,p)|p$ y que $(a,p)$ no es negativo. Así, $(a,p)$ debe ser uno de los dos divisores de $p$: $1$ ó $p$. Si $p$ divide a $a$, entonces $(a,p)=p$ pues $p$ es divisor común tanto de $p$ como de $a$. Pero si $p$ no divide a $a$, entonces a $(a,p)$ no le queda más que ser igual a $1$.

$\square$

La proposición anterior nos lleva a un lema de divisibilidad que nos resultará útil cuando enunciemos y probemos el teorema fundamental de la aritmética.

Proposición. Sea $p$ un número primo y $a,b$ números enteros. Si $p|ab$, entonces $p|a$ ó $p|b$.

Demostración. Si $p|a$, entonces ya terminamos. Si no, por la proposición anterior tenemos que $(p,a)=1$. Pero entonces por una propiedad anterior de divisibilidad con primos relativos obtenemos que $p|b$, como queríamos.

$\square$

Para la proposición anterior resultó crucial que $p$ fuera un número primo. Por ejemplo, tenemos que $9|180=15\cdot 12$, pero no es cierto ni que $9|15$, ni que $9|12$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos dos teoremas importantes relacionados con los números primos: el teorema fundamental de la aritmética y el teorema de que existe una infinidad de primos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Encuentra todos los números primos de $1$ a $20$.
  2. Sea $n$ un número entero que no sea un número primo, ni el negativo de un número primo. Demuestra $n$ que se puede expresar de la forma $ab$ con $a$ y $b$ enteros (positivos o negativos) de por lo menos ocho formas distintas.
  3. Sea $p>2$ un número tal que ninguno de los números $2,\ldots,\left\lfloor \sqrt{p}\right \rfloor$ lo divide. Muestra que $p$ es un número primo.
  4. Sea $n$ un número entero y $p$ un primo. Muestra que si $p|n^2$, entonces $p|n$. De hecho, muestra que en general, para un entero $k\geq 1$ se cumple que $p|n^k$ si y sólo si $p|n$.
  5. Sea $p$ un número primo. ¿Cuántos divisores tiene el número $p^{10}$? ¿Cuántos son positivos y cuántos negativos?

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Álgebra Superior II: Mínimo Común Múltiplo

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

En la entrada anterior hablamos del máximo común divisor, para lo cual lo definimos en términos de ideales. Luego vimos que cumplía las propiedades que esperábamos. Es el turno de hacer lo mismo con el mínimo común múltiplo.

Recordando lo que nos enseñaron en la educación básica, el mínimo común múltiplo de dos enteros $a$ y $b$ tenía que ser simultáneamente múltiplo de ambos y, a la vez, tenía que ser lo más pequeño posible. Siendo un poco más precisos, tenía que ser un múltiplo positivo.

Como ejemplo, tomemos $a = 6$, $b = 8$. Una manera muy sencilla de encontrar un múltiplo en común es multiplicando ambos: $6\cdot 8 = 48$. Pero este no es el múltiplo más pequeño. Para poder encontrar aquel que sí sea el más pequeño, podemos enlistar los múltiplos de cada uno de estos números:

  • Múltiplos de $6$: $6,12,18,24,30,36, \ldots$
  • Múltiplos de $8$: $8, 16, 24, 32, 40, \ldots$

Notamos que el número más pequeño que está en ambas listas es el $24$. En educación básica había otras maneras de obtener esto sin hacer las listas anteriores, por ejemplo, mediante la siguiente tabla, en donde «vamos encontrando divisores en común, o bien de cada número».

862
432
232
133
1
El mínimo común múltiplo de 8 y 6 es $2^3\cdot 3 = 24.$

Lo que haremos será un poco distinto. Nuestra definición se basará nuevamente en el concepto de ideales. Veremos cómo hacer esto y cómo regresar al terreno familiar de mínimo común múltiplo que ya conocemos.

Mínimo Común Múltiplo

En la entrada de ideales en $\mathbb{Z}$ demostramos que la intersección de cualesquiera dos ideales es un ideal. También vimos que cualquier ideal era generado por algún entero no negativo. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Definimos a su mínimo común múltiplo como al entero no negativo $k$ tal que $a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = k \mathbb{Z}$. En símbolos, nos referimos al mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ como $\text{mcm}(a,b)$, o bien simplemente como $[a,b]$.

Ejemplo. Retomemos el ejemplo de la introducción. Si queremos calcular, por definición, al mínimo común múltiplo de los enteros $6$ y $8$, debemos considerar a los ideales $6\mathbb{Z}$ y $8\mathbb{Z}$, que respectivamente son:

$$6 \mathbb{Z} = \{\ldots, -12, -6, 0, 6, 12 ,18, 24, \ldots \}$$

$$8 \mathbb{Z}= \{\ldots, -16, -8, 0 ,8, 16, 24, 32, \ldots \}$$

Si hacemos la intersección de ambos ideales, notemos que obtenemos lo siguiente:

$$6 \mathbb{Z} \cap 8 \mathbb{Z} = \{\ldots, -24, 0, 24, 48, 72, \ldots\},$$

que es el ideal generado por el $24$. Así, tenemos, por definición, que el mínimo común múltiplo de $6$ y $8$ es igual a $24$.

$\square$

Propiedad fundamental del Mínimo Común Múltiplo

Lo que nos gustaría hacer ahora es demostrar que el mínimo común múltiplo que obtuvimos de nuestra definición es, en efecto, el número que cumple con las propiedades que esperamos. Escribimos esto en la siguiente proposición.

Proposición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Se cumple que:

  • $a\mid [a,b]$ y $b\mid [a,b]$
  • Si $a\mid m$ y $b\mid m$, entonces $[a,b]\mid m$.

Demostración. La primera parte es sencilla. Como $[a,b]$ genera a $a\mathbb{Z} \cap b \mathbb{Z}$, en particular está en este conjunto. Como $[a,b]\in a\mathbb{Z}$, entonces $a|[a,b]$ y como $[a,b]\in b\mathbb{Z}$, entonces $b|[a,b]$.

Para la segunda parte, si $a\mid m$ y $b\mid m$, entonces $m\in a\mathbb{Z}$ y $m\in b\mathbb{Z}$, pero entonces $m\in a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = [a,b]\mathbb{Z}$. De este modo, $[a,b]|m$.

$\square$

Así, el primer punto dice que $[a,b]$ es en efecto un múltiplo en común. El segundo punto es el que dice que «es el mínimo», pues a partir de la divisibilidad ahí escrita se deduce que $|[a,b]|\leq |m|$. Si pedimos que $m$ sea positivo, tenemos entonces que, en efecto, $[a,b]\leq m$. En resumen.

Corolario. Sean $a$ y $b$ enteros y $m$ un entero positivo múltiplo tanto de $a$ como de $b$. Entonces $m\geq [a,b]$.

Otra propiedad del Mínimo Común Múltiplo

Tanto el mínimo común múltiplo, como el máximo común divisor, tienen muchas propiedades que se pueden demostrar. Hay dos caminos que usualmente funcionan: o bien usar la definición a partir de ideales, o bien usar las propiedades fundamentales de cada uno de los conceptos. Veamos algunos ejemplos para el mínimo común múltiplo.

La siguiente propiedad dice que ahora mostraremos que el mínimo común múltiplo «saca constantes» en cierto sentido. Veremos una demostración usando ideales.

Proposición. Sea $k$ un entero positivo, y $b,c$ enteros cualesquiera. Se cumple que $ [kb, kc] = k[b,c]. $

Demostración. Por definición, $[kb,kc]$ es el entero no negativo que genera al ideal $(kb)\mathbb{Z} \cap (kc)\mathbb{Z}$. Nos gustaría ver que dicho entero es $k[b,c]$, en otras palabras, hay que verificar la siguiente igualdad de conjuntos:

$$(kb)\mathbb{Z} \cap (kc)\mathbb{Z} = k[b,c]\mathbb{Z}.$$

Veamos que el lado izquierdo está contenido en el derecho. Tomemos un entero $m$ del lado izquierdo. Como es múltiplo de $kb$, lo podemos escribir como $m=kbr$ para $r \in \mathbb{Z}$. Como es múltiplo de $kc$, lo podemos escribir como $m=kcs$ para $s\in \mathbb{Z}$. Tenemos entonces $kbr=m=kcs$, de donde $br=cs$ (usando $k>0$). Así, $n=br=cs$ es simultánteamente múltiplo de $b$ y $c$, así que debe ser múltiplo de $[b,c]$, digamos $n=t[b,c]$. De este modo, tenemos que $m=kbr=kn=kt[b,c]$. Esto muestra que $m$ está en $k[b,c]\mathbb{Z}$.

Ahora veamos que el lado derecho está contenido en el izquierdo. Un entero $m$ en $k[b,c]\mathbb{Z}$ es de la forma $m=k[b,c]t$ para $t$ un entero. Como $[b,c]$ es múltiplo de $b$ y $c$, podemos escribir $[b,c]=rb$ y $[b,c]=sc$ para algunos enteros $r$ y $s$. Tenemos entonces que

$$m=k[b,c]t=krbt=(kb)(rt),$$

lo cual muestra que $m$ está en $(kb)\mathbb{Z}$ y que

$$m=k[b,c]t=ksct=(kc)(st),$$

lo cual muestra que $m$ está en $(kc)\mathbb{Z}$. Esto muestra que $m$ está en la intersección buscada.

$\square$

Mínimo común múltiplo y primos relativos

Cuando dos números positivos son primos relativos, es sencillo encontrar su mínimo común múltiplo: simplemente se multiplican. De hecho, esto es una caracterización para los números primos relativos.

Proposición. Sean $a$ y $b$ dos números enteros positivos. Se tiene que $(a,b)=1$ si y sólo si $[a,b]=ab$.

Demostración. Supongamos primero que $(a,b)=1$. Tenemos que $a|[a,b]$ y que $b|[a,b]$ Por una propiedad de primos relativos de la entrada anterior, podemos deducir que $ab|[a,b]$. A la vez, sabemos que $[a,b]$ divide a cualquier múltiplo en común de $a$ y $b$, en particular, a $ab$, así, $[a,b]|ab$. Por cómo interactúa la divisibilidad con los valores absolutos, obtenemos entonces que $[a,b]=|[a,b]|=ab$, como queríamos.

Ahora supongamos que $[a,b]=ab$. Tomemos un número $d$ que divida tanto a $a$ como a $b$. Veremos que ese número debe ser $1$ ó $-1$. Escribamos $a=dr$ y $b=ds$. Tomemos el número $n=drs$. Notemos que $n=as=br$, así que $n$ es un múltiplo común de $a$ y $b$. Por ello, debe ser múltiplo del mínimo común múltiplo de ambos, que estamos suponiendo que es $ab$. Así, existe un entero $k$ con $drs=kab$ y por lo tanto $$drs=kab=kdrds.$$ De aquí deducimos que $1=kd$, por lo que $d$ debe de dividir a $1$ y por lo tanto es $1$ ó $-1$, como queríamos.

$\square$

En realidad esta proposición tiene una versión más general. Siempre se cumple, para cualesquiera dos enteros $a$ y $b$, que $|ab|=[a,b]\cdot (a,b)$. Este es un problema clásico que estudiaremos más adelante.

Más adelante…

El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son dos conceptos que se utilizan mucho en la teoría de números enteros. En estas últimas dos entradas hemos platicado un poco acerca de ellos. Más adelante veremos que estas mismas nociones se pueden generalizar para otras estructuras algebraicas, como la de los polinomios.

Por ahora continuaremos estudiando teoría de la divisibiliad dentro de los números enteros. Es el momento de introducir otro de los conceptos estelares: el de números primos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Encuentra el mínimo común múltiplo de los números $24$ y $36$. Luego, encuentra su máximo común divisor.
  2. Demuestra que, para $a,b\in \mathbb{Z}$ se cumple: $[a,b] = [-a,b] = [a,-b] = [-a, -b].$
  3. Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que $[a^2,b^2]=[a,b]^2$ y que, en general, para un entero $k\geq 1$ se cumple que $[a^n,b^n]=[a,b]^n$.
  4. ¿Cómo definirías el mínimo común múltiplo de tres números? ¿Y el máximo común divisor de tres números?
  5. Sean $a$, $b$, $c$ enteros. ¿Cómo están relacionados entre sí $[a,c]$, $[b,c]$ y $[a+b,c]$? ¿Será alguno de ellos la suma de los otros dos? Demuéstralo o da un contraejemplo.

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Álgebra Superior II: Máximo Común Divisor

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

La entrada anterior fue un poco técnica y habló acerca de ideales en los números enteros. Podemos apoyarnos de los ideales para construir otras nociones conocidas de la teoría de números enteros. En esta entrada hablaremos de una de ellas: la de máximo común divisor.

Quizás recuerdes la idea general del máximo común divisor a partir de lo que aprendiste en la educación básica. Por ejemplo, si tenemos a los números $14$ y $35$,y queremos encontrar su máximo común divisor, lo que se hacía es escribir los divisores de ambos:

  • Divisores de $14$: $1,2,7,14$.
  • Divisores de $35$: $1,5,7,35$.

Ya teniendo ambas listas, se elige número más grande que estén en ambas: el $7$.

Con lo que platicaremos en esta entrada vamos a recuperar esta misma noción, sin embargo lo haremos desde un punto de vista un poco más teórico, el cual nos permitirá entender más aspectos de divisibilidad de los máximos comunes divisores.

Definición de máximo común divisor

Recordemos, que en la entrada pasada vimos cómo encontrar al «ideal más pequeño» que tuviera a dos números $a$ y $b$ enteros dados.

Proposición. Si $a$ y $b$ son enteros, entonces:

  • El conjunto $M=\{ra+sb:r,s\in \mathbb{Z}\}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ que tiene a $a$ y a $b$.
  • Si $I$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ que tiene a $a$ y a $b$, entonces $M\subseteq I$.

Como $M$ es el ideal más pequeño que tiene a $a$ y a $b$, le llamamos el ideal generado por $a$ y $b$, y lo escribimos como $\langle a,b\rangle$.

Además, en la entrada anterior también vimos que cualquier ideal de $\mathbb{Z}$ forzosamente es de la forma $k\mathbb{Z}$ para algún entero no negativo $k$, es decir, que consiste justo de los múltiplos de algún entero no negativo $k$. Esto nos permite plantear la siguiente definición.

Definición. Si $a$ y $b$ son enteros, definimos a su máximo común divisor como el entero no negativo $k$ tal que $$k\mathbb{Z}=\langle a,b\rangle.$$ A este número $k$ a veces se le denota por $\text{MCD}(a,b)$, o bien simplemente $(a,b)$.

Esta es una definición muy distinta de la que nos dan en la educación básica, sin embargo, pronto recuperaremos las propiedades familiares: veremos que en efecto es un divisor de $a$, es un divisor de $b$, y que de entre los divisores en común, es el más grande de ellos. Antes de pasar a las propiedades, veamos un ejemplo.

Ejemplo. Tomemos a los enteros $6$ y $14$. ¿Qué ideal $I$ generan? Es decir, ¿quién es $\langle 6,8\rangle$? Bueno, dicho ideal $I$ debe tener a $6$ y $14$, así que por cerradura de la resta tiene también a $14-6-8$, y similarmente debe tener a $8-6=2$. Pero recordemos que los ideales también son cerrados bajo producto por cualquier entero, así que al estar $2$ en $I$, debe pasar que todos los números pares están en $I$. Y en efecto, los números pares son un ideal de $\mathbb{Z}$ que tienen a $6$ y $14$. Con esto acabamos de demostrar que $\langle 6,14 \rangle = 2\mathbb{Z}$. De este modo, por definición, el máximo común divisor de $6$ y $14$ es igual a $2$.

$\square$

Propiedades del máximo común divisor

En esta sección veremos dos propiedades muy importantes del máximo común divisor. Por un lado, veremos que siempre se puede escribir «como combinación» de los números originales, en un sentido muy específico. Por otro lado, recuperaremos las «propiedades usuales» que queremos que se cumplan por lo que aprendimos en educación básica.

Proposición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Entonces, existen enteros $r$ y $s$ tales que $$(a,b)=ra+sb.$$

Demostración. Por definición, $(a,b)$ es el entero tal que $\langle a,b \rangle =(a,b)\mathbb{Z}$, en particular, $(a,b)$ está en $\langle a,b\rangle$. Pero también ya sabemos que $$\langle a,b \rangle = \{ra+sb:r,s\in \mathbb{Z}\}.$$ Como $(a,b)$ está en $\langle a,b \rangle$, entonces se puede escribir de la forma de los elementos del conjunto de la derecha también, es decir, existen enteros $r$ y $s$ tales que $$(a,b)=ra+sb.$$

$\square$

Como estamos poniendo a $(a,b)$ de la forma $ra+sb$, en donde los coeficientes de $a$ y $b$ son los números enteros $r$ y $s$, decimos que $(a,b)$ se puede escribir como una combinación lineal entera de $a$ y $b$. La proposición anterior nos demuestra la existencia de dicha combinación lineal, sin embargo no nos dice exactamente cómo encontrarla. Más adelante veremos el algoritmo de Euclides, el cual nos da una forma práctica de encontrar al máximo común divisor de dos números como combinación lineal de ellos.

Veamos ahora el resultado que nos dice que, en efecto, el máximo común divisor divide a cada número, y que es «el más grande» que hace esto.

Proposición. Sean $a$ y $b$ números enteros. Entonces, se cumple lo siguiente:

  • $(a,b)|a$ y $(a,b)|b$.
  • Si $d$ es algún otro número tal que $d|a$ y $d|b$, entonces $d|(a,b)$.

Demostración. Notemos que $a\in \langle a, b\rangle$, y que por definición $\langle a,b \rangle = (a,b) \mathbb{Z}$. De este modo, $a$ es múltiplo de $(a,b)$. Análogamente, $b$ es múltiplo de $(a,b)$. Esto muestra el primer inciso.

Ahora supongamos que $d$ es otro número tal que $d|a$ y $d|b$. Por la proposición anterior, existen enteros $r$ y $s$ tales que $(a,b)=ra+sb$. Como $d|a$, entonces $d|ra$. Como $d|b$, entonces $d|sb$. Así, $d|ra+sb=(a,b)$, como queríamos.

$\square$

La proposición anterior sí dice que el máximo común divisor divide a ambos, sin embargo no es totalmente directo por qué es el «máximo» en tamaño. La segunda parte habla más bien de una divisibilidad. Pero esto se traduce rápidamente a una desigualdad con la ayuda de las propiedades de la divisibilidad. Observa que si $d$ es un número tal que $d|a$ y $d|b$, entonces $d|(a,b)$. Tenemos entonces que $|d|\leq |(a,b)|$. Pero $(a,b)$ siempre es no negativo por definición, así que $|d|\leq (a,b)$. En resumen, tenemos el siguiente resultado.

Corolario. Si $a$ y $b$ son enteros y $d$ es un entero tal que $d|a$ y $d|b$, entonces $|d|\leq (a,b)$.

Números primos relativos (de máximo común divisor igual a uno)

Una situación muy especial en la teoría de los números ocurre cuando el máximo común divisor de dos números es igual a $1$.

Definición. Decimos que dos números enteros $a$ y $b$ son primos relativos si su máximo común divisor es igual a $1$. En símbolos, son primos relativos si $(m,n)=1$.

Por lo que hemos discutido hasta ahora, algunas de las consecuencias de que dos números $a$ y $b$ sean primos relativos son las siguientes:

  • Si $d$ es un número que divide a $a$ y a $b$, entonces $|d|\leq (a,b)=1$, es decir, $d=1$ o $d=-1$. De este modo, los únicos divisores que tienen en común son el $1$ y el $-1$.
  • El ideal generado por $a$ y $b$ es $1\cdot \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$, es decir, consiste de todos los enteros.
  • Por esa misma razón, se tiene que $\{ra+sb: r,s \in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}$, en otras palabras, cualquier entero es combinación lineal entera de $a$ y de $b$.
  • En particular, el $1$ es combinación lineal entera de $a$ y de $b$, es decir, existen enteros $r,s$ tales que $ra+sb=1$.

Estas consecuencias son prácticamente inmediatas de la definición, y es recomendable que intentes deducirlas por tu cuenta.

Veamos algunas otras propiedades que relacionan a los números primos relativos, con divisibilidad de algunas expresiones.

Proposición. Sean $a,b,c$ números enteros . Si $a\mid bc$ y $(a,b) = 1$, entonces $a\mid c.$

Demostración. Como $a$ divide a $bc$, existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $ax = bc$. Como $a$ y $b$ son primos relativos, sabemos que existen enteros $r$ y $s$ tales que $1 = ra+sb$. Multipliquemos esta última igualdad por $c$. Tenemos entonces que:
$$ c = rac + sbc = rac+ sax = a (rc+sx).$$

De aquí obtenemos la divisibilidad $a\mid c$ que buscábamos.

$\square$

En la proposición anterior es crucial la hipótesis de que $a$ y $b$ sean primos relativos. Por ejemplo, $7|28=14\cdot 2$, pero no pasa que $7|2$. Es decir, usualmente si dividimos a un producto, no se cumple que dividamos a cualquiera de sus factores.

A continuación tenemos otro resultado con un estilo similar.

Proposición. Sean $a,b,c \in \mathbb{Z}.$ Si $a\mid c$, $b\mid c$ y $(a,b) =1,$ entonces $ab \mid c$.

Demostración. Ya que $a,b$ son primos relativos, existen $m,n \in \mathbb{Z}$ tales que $1=am + bn $. Multipliquemos dicha ecuación por $c$: $$c=cam + cbn.$$

Como $a\mid c$ y $b\mid c$, existen $q,r \in \mathbb{Z}$ tales que $aq = c$ y $br = c$. Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos que: $$c=cam + cbn = bram + aqbn = ab(rm+qn).$$

Esta igualdad justo nos dice que $ab\mid c$, como queríamos.

$\square$

Intenta encontrar un contraejemplo cuando no se cumple la hipótesis de que $a$ y $b$ son números primos relativos.

Más adelante…

Dejaremos el estudio del máximo común divisor hasta aquí por el momento. En la siguiente entrada hablaremos de un concepto muy cercano: el de mínimo común múltiplo. Así como en el caso de esta entrada, introduciremos la noción a partir de un contexto de ideales, para luego ver ejemplos y algunas propiedades clave.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Demuestra todas las consecuencias de ser primos relativos de la lista enunciada en la entrada.
  2. Prueba que dos enteros consecutivos siempre son primos relativos. Usa esto para demostrar que siempre que se eligen $51$ números distintos entre $1$ y $100$, forzosamente debes tener dos de ellos que sean primos relativos.
  3. Sea $m$ un entero positivo. Demuestra que $(a,b)=1$ si y sólo si $(a^m, b^m) =1.$
  4. De acuerdo a la entrada, al tomar dos números $a$ y $b$ podemos encontrar enteros $r$ y $s$ tales que $(a,b)=ra+sb$. Demuestra que siempre sucede que $(r,s)=1$.
  5. Encuentra el máximo común divisor de $91$ y $70$ e intenta escribirlo como combinación lineal entera de ellos.

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Álgebra Superior II: Irreducibilidad y factorización en polinomios reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Los números enteros tiene un teorema de factorización en primos: el teorema fundamental de la aritmética. Los polinomios en $\mathbb{R}[x]$ también. En esta entrada hablaremos de la irreducibilidad y factorización en polinomios reales. Lo primero lo haremos para decir «quiénes son los primos» en $\mathbb{R}[x]$. Para lo segundo usaremos el teorema del factor, que demostramos con anterioridad.

Resulta que el teorema de factorización en polinomios reales depende de un resultado importante de polinomios en $\mathbb{C}[x]$, es decir, los de coeficientes complejos. Esto es algo que sucede con frecuencia: a veces para resolver un problema en los números reales, hay que dar un paso hacia los complejos y luego regresar. Por esa razón, para esta entrada es importante que tengas en mente varias propiedades en los complejos, sobre todo cómo se realizan las operaciones y cuales son las propiedades de la conjugación compleja. Esto nos dará la oportunidad de enunciar (sin demostración) el teorema fundamental del álgebra.

Como recordatorio, un polinomio es irreducible en $\mathbb{R}[x]$ si no es un polinomio constante y no se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes en $\mathbb{R}[x]$. Además, el teorema del factor nos dice que si $a$ es raíz de un polinomio $p(x)$, entonces $x-a$ divide a $p(x)$. Diremos que un polinomio es lineal si es de grado $1$ y cuadrático si es de grado $2$.

El teorema fundamental del álgebra

Así como construimos a $\mathbb{R}[x]$, se puede hacer algo análogo para construir a $\mathbb{C}[x]$, los polinomios de coeficientes complejos. Puedes practicar todo lo que hemos visto haciendo la construcción formal. Por el momento, para fines prácticos, puedes pensarlos como expresiones de la forma $$a_0+a_1 x + \ldots + a_n x^n$$ con $a_i$ complejos, digamos, $$(1+i)+2i x -3x^3+(5+2i)x^4.$$

Los polinomios en $\mathbb{C}[x]$ cumplen todo lo que hemos dicho de $\mathbb{R}[x]$: se vale el lema de Bézout, el algoritmo de Euclides, el teorema del factor, el teorema del residuo, etc. Una copia de $\mathbb{R}[x]$, con su estructura algebraica, «vive» dentro de $\mathbb{C}[x]$, es decir, todo polinomio con coeficientes reales se puede pensar como uno con coeficientes complejos.

Sin embargo, los polinomios en $\mathbb{R}[x]$ y en $\mathbb{C}[x]$ son muy diferentes en términos de raíces. Esto se nota, pir ejemplo, en el hecho de que el polinomio $x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{R}$, pero sí en $\mathbb{C}$, donde la raíz es $i$. Resulta que esta $i$ hace toda la diferencia. Al agregarla no solamente hacemos que $x^2+1$ tenga una raíz, sino que ya todo polinomio tiene raíz. Esto está enunciado formalmente por el teorema fundamental del álgebra.

Teorema (teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio no constante en $\mathbb{C}[x]$ tiene al menos una raíz en $\mathbb{C}$.

No vamos a demostrar este teorema durante el curso. Hay desde demostraciones elementales (como la que aparece en el bello libro Proofs from the book), hasta algunas muy cortas, pero que usan teoría un poco más avanzada (como las que se hacen en cursos de análisis complejo). Sin embargo, lo usaremos aquí para obtener algunas de sus consecuencias y, al final de esta entrada, demostrar los teoremas de irreducibilidad y factorización en polinomios reales.

Teorema de factorización en $\mathbb{C}[x]$

En la entrada anterior ya demostramos que los polinomios lineales son irreducibles. Veremos ahora que en $\mathbb{C}[x]$ no hay ningún otro polinomio irreducible.

Proposición. Los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{C}[x]$ son los de grado $1$.

Demostración. Tomemos cualquier polinomio $p(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ de grado al menos $2$. Por el teorema fundamental del álgebra, $p(x)$ tiene al menos una raíz $z$ en $\mathbb{C}$. Por el teorema del factor, $$x-z \mid p(x),$$ así que podemos escribir $p(x)=(x-z)q(x)$ con $q(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ de grado $\deg(p(x))-1\geq 1$.

De esta forma, pudimos factorizar al polinomio $p(x)$ en dos factores no constantes, y por lo tanto no es irreducible.

$\square$

Con esto podemos mostrar que en $\mathbb{C}[x]$ todo polinomio es factorizable como producto de términos lineales.

Teorema (de factorización única en $\mathbb{C}[x]$). Todo polinomio $p(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como $$p(x)=a(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)$$ en donde $a$ es un complejo no cero, $n$ es el grado de $p(x)$ y $z_1,\ldots,z_n$ son complejos que son raíces de $p(x)$.

Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Procedemos por inducción en el grado de $p(x)$. Si $p(x)$ es de grado cero, entonces es de la forma $p(x)=a$ con $a$ un complejo, y ya está en la forma que queremos.

Tomemos ahora un entero $n\geq 1$. Supongamos que el resultado es cierto para los polinomios de grado $n-1$ y consideremos un polinomio $p(x)$ de grado $n$. Por el teorema fundamental del álgebra, $p(x)$ tiene al menos una raíz, digamos $z_n$. Usando el teorema del factor, existe un polinomio $q(x)$, que debe de ser de grado $n-1$, tal que $$p(x)=q(x)(x-z_n).$$ Aplicando la hipótesis inductiva a $q(x)$, podemos factorizarlo de la forma $$q(x)=a(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_{n-1}),$$ con $z_1,\ldots,z_{n-1}$ raíces de $q(x)$ (y por lo tanto también raíces de $p(x)$). De esta forma, $$p(x)=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_{n-1})(x-z_n)$$ es una factorización que cumple lo que queremos. Esto termina la hipótesis inductiva, y por lo tanto la parte de existencia de la demostración.

$\square$

Ejemplo. Consideremos al polinomio $$p(x)=x^4+5x^2+4$$ en $\mathbb{R}[x]$. Este polinomio no tiene raíces reales, pues sus evaluaciones siempre son positivas. Sin embargo, lo podemos pensar como un polinomio en $\mathbb{C}[x]$. Por el teorema fundamental del álgebra, este polinomio debe tener una raíz en $\mathbb{C}$.

Afortunadamente, podemos encontrarla por inspección. Una de estas raíces es $i$, pues $$i^4+5i^2+4=1-5+4=0.$$ Por el teorema del factor, $x-i$ divide a $p(x)$. Al realizar la división, obtenemos $$p(x)=(x-i)(x^3+ix^2+4x+4i).$$ De aquí, por inspección, obtenemos que $-i$ es una raíz de $x^3+ix^2+4x+4i$, y realizando la división entre $x+i$, tenemos que $$p(x)=(x-i)(x+i)(x^2+4).$$

El polinomio $x^2+4$ claramente tiene como raíces a $2i$ y $-2i$. A partir de todo esto concluimos que $$p(x)=(x-i)(x+i)(x-2i)(x+2i)$$ es la factorización de $p(x)$ en polinomios lineales en $\mathbb{C}[x]$.

$\square$

En el ejemplo anterior podemos agrupar los factores $(x-i)$ y $(x+i)$ para obtener el polinomio $x^2+1$. De aquí obtenemos la factorización alternativa $$p(x)=(x^2+1)(x^2+2).$$ Esta factorización tiene puros coeficientes reales. Aquí hay que hacer una observación importante: esta no es una factorización en irreducibles en $\mathbb{C}[x]$, pero sí es una factorización en irreducibles en $\mathbb{R}[x]$. Retomaremos varias de estas ideas más en general en las siguientes secciones.

Raíces complejas de polinomios en $\mathbb{R}[x]$

En el ejemplo de la sección anterior sucedió que $i$ era una raíz de $p(x)$, y que $-i$ también. Cuando tenemos un polinomio de coeficientes reales y $z$ es un complejo que es raíz, entonces su conjugado también.

Proposición. Tomemos $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y $z$ un número en $\mathbb{C}$. Si $p(z)=0$, entonces $p(\overline{z})=0$.

Demostración. Si $p(x)$ es el polinomio cero, la afirmación es cierta. En otro caso, sea $n$ el grado de $p(x)$ y escribamos a $p(x)$ como $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n,$$ donde $a_i$ son números en $\mathbb{R}$ para $i=0,\ldots,n$. Por lo que sabemos de la conjugación compleja, $\overline{a_i}=a_i$, y además abre sumas y productos. Así,
\begin{align*}
\overline{p(z)}&=\overline{a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n}\\
&=\overline{a_0}+\overline{a_1z}+\ldots +\overline{a_nz^n}\\
&=\overline{a_0} + \overline{a_1}\, \overline{z} + \ldots +\overline{a_n}\, \overline{z}^n\\
&=a_0 + a_1 \overline{z} + \ldots + a_n \overline{z}^n\\
&=p(\overline{z}).
\end{align*}

Como $p(z)=0$, concluimos que $$p(\overline{z})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0.$$

$\square$

El resultado anterior no es cierto en general para polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}[x]$. Esto debe ser muy claro pues, por ejemplo, $i$ es raíz de $x-i$, pero $-i$ no.

Proposición. Tomemos $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y una raíz $z$ de $p(x)$ en $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$. Entonces el polinomio $$q(x)=x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}$$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ que divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$.

Demostración. Observa que $q(x)=(x-z)(x-\overline{z})$. Recordemos que
\begin{align*}
z+\overline{z}&=2\Rea{(z)} \\
z\overline{z}&=\norm{z}^2 .
\end{align*}

Esto muestra que los coeficientes de $q(x)$ son reales. Usemos el algoritmo de la división en $\mathbb{R}[x]$ para escribir $$p(x)=q(x)h(x)+r(x),$$ con $r(x)$ el polinomio cero, o de grado a lo más $1$.

Evaluando en $z$ y en $\overline{z}$, se obtiene que $r(z)=r(\overline{z})=0$. Como $z$ no es real, entonces $z$ y $\overline{z}$ son distintos. De este modo, $r(x)$ es el polinomio cero. Así, $p(x)=q(x)h(x)$ es una factorización de $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ que usa a $q(x)$.

$\square$

Nuevamente, hay que tener cuidado con las hipótesis del resultado anterior. Es muy importante que usemos que $z$ es una raíz compleja y no real de un polinomio con coeficientes reales. En la tarea moral puedes encontrar un contraejemplo si no se satisfacen las hipótesis.

Ejemplo. Consideremos el polinomio $$p(x)=2x^3-16x^2+44x-40.$$ Una de sus raíces complejas es $3+i$, como puedes verificar. Como es un polinomio con coeficientes reales, el conjugado $3-i$ también es una raíz. Tal como lo menciona la proposición anterior, el polinomio
\begin{align*}
q(x):&=(x-(3+i))(x-(3-i))\\
&=x^2-(3+i+3-i)x+(3+i)(3-i)\\
&=x^2-6x+10
\end{align*}

es un polinomio de coeficientes reales. Además, divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ pues haciendo la división polinomial, tenemos que $$2x^3-16x^2+44x-40=(2x-4)(x^2-6x+10).$$

$\square$

Irreducibilidad y factorización en polinomios reales

Con todo lo que hemos hecho hasta ahora, estamos listos para probar los resultados que queremos en $\mathbb{R}[x]$. Observa que los enunciados de las secciones anteriores involucran a $\mathbb{C}$, pero los de esta sección ya no. Sin embargo, para hacer las demostraciones tenemos que dar un «brinco momentáneo a los complejos».

Recuerda que para un polinomio cuadrático $q(x)=ax^2+bx+c$ su discriminante es $b^2-4ac$.

Teorema (irreducibilidad en polinomios reales). Los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.

Demostración. Ya mostramos antes que los polinomios lineales son irreducibles. Si $q(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático y $r$ es una raíz real, tenemos que
\begin{align*}
ar^2+br+c&=0\\
r^2+\frac{b}{a}r+\frac{c}{a}&=0\\
r^2+\frac{b}{a}r+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0\\
\left(r+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.
\end{align*}

De esta igualdad, obtenemos que $\frac{b^2-4ac}{4a^2}\geq 0$ y por lo tanto que $b^2-4ac \geq 0$. Dicho de otra forma, si $b^2-4ac<0$, entonces $q(x)$ no tiene raíces reales. De esta misma equivalencia de igualdades se puede ver que si $b^2-4ac\geq 0$, entonces $q(x)$ sí tiene por lo menos una raíz real.

Supongamos que $q(x)$ es un polinomio cuadrático con discriminante negativo. Si existiera una factorización en $\mathbb{R}[x]$ de la forma $q(x)=a(x)b(x)$, con ninguno de ellos constante, entonces ambos deben tener grado $1$. Podemos suponer que $a$ es mónico. Pero entonces $a(x)=x-r$ para $r$ un real, y por el teorema del factor tendríamos que $r$ sería raíz de $q(x)$, una contradicción a la discusión anterior. Esto muestra que $q(x)$ es irreducible.

Falta ver que no hay ningún otro polinomio irreducible en $\mathbb{R}[x]$. Cuando $p(x)$ es cuadrático de discriminante no negativo, entonces por la fórmula cuadrática tiene al menos una raíz real $r$ y por lo tanto $x-r$ divide a $p(x)$, mostrando que no es irreducible.

Si $p(x)$ es de grado mayor o igual a $3$ y tiene una raíz real $r$, sucede lo mismo. En otro caso, es de grado mayor o igual a $3$ y no tiene raíces reales. Pero de cualquier forma tiene al menos una raíz compleja $z$. Usando la proposición de la sección anterior, tenemos que $x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}$ es un polinomio de coeficientes reales que divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$, lo cual muestra que no es irreducible.

Concluimos entonces que los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.

$\square$

Ahora sí podemos enunciar el resultado estelar de esta entrada.

Teorema (factorización en polinomios reales). Todo polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como $$a(x-r_1)\cdots(x-r_m)(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$$ en donde:

  • $a$ es un real distinto de cero,
  • $m$ y $n$ son enteros tales que $m+2n$ es igual al grado de $p(x)$,
  • para cada $i$ en $\{1,\ldots,m\}$ se tiene que $r_i$ es raíz real de $p(x)$ y
  • para cada $j$ en $ \{1,\ldots,n\}$ se tiene que $b_j,c_j$ son reales tales que $b_j^2-4c_j<0$.

Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Si $p(x)$ es irreducible, entonces al factorizar su coeficiente principal $a$ obtenemos la factorización deseada. Si $p(x)$ no es irreducible, procedemos por inducción fuerte sobre el grado $d$ de $p(x)$. El menor grado que debe tener es $2$ para no ser irreducible.

Si $d=2$ y es no irreducible, el resultado es cierto pues se puede factorizar como dos factores lineales y luego factorizar al término $a$ los coeficientes principales de cada factor para que queden mónicos.

Sea $d\geq 3$ y supongamos el resultado cierto para todo polinomio de grado menor a $d$. Tomemos un polinomio $p(x)$ de grado $d$. Por el teorema de irreducibilidad de polinomios reales, $p(x)$ no es irreducible, así que se puede factorizar como $p(x)=r(x)s(x)$ con $r(x)$ y $s(x)$ no constantes, y por lo tanto de grado menor al de $p(x)$. Por hipótesis inductiva, tienen una factorización como la del teorema. La factorización de $p(x)$ se obtiene multiplicando ambas. Esto termina la inducción.

$\square$

Veamos cómo podemos usar todas estas ideas en un problema en concreto de factorización en polinomios reales.

Problema. Factoriza al polinomio $x^{12}-1$ en polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$.

Solución. Usando identidades de factorización, podemos avanzar bastante:
\begin{align*}
x^{12}-1&=(x^6-1)(x^6+1)\\
&=(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)\\
&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1).
\end{align*}

Hasta aquí, $x+1$ y $x-1$ son factores lineales. Además, $x^2+x+1$, $x^2-x+1$ y $x^2+1$ son factores cuadráticos irreducibles pues sus discriminantes son, respectivamente, $-3,-3,-4$.

Aún queda un factor $x^4-x^2+1$ que por ser de grado $4$ no es irreducible. Sumando y restando $2x^2$, y luego factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos:
\begin{align*}
x^4-x^2+1 &= x^4+2x^2+1-3x^2\\
&=(x^2+1)^2-3x^2\\
&=(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x).
\end{align*}

Cada uno de estos factores cuadráticos tiene discriminante $-1$, y por lo tanto es irreducible. Concluimos entonces que la factorización en irreducibles de $x^{12}-1$ en $\mathbb{R}[x]$ es
\begin{align*}
(x-1)(x&+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\\
&(x^2-x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1).
\end{align*}

$\square$

Más adelante…

El teorema fundamental del álgebra y sus consecuencias en $\mathbb{R}$ son los resultados algebraicos más importantes que obtendremos en el estudio de polinomios, ya que nos permite caracterizar, al menos en teoría a todos los polinomios a partir de sus raíces.

En las siguientes entradas ocuparemos las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora, sin embargo cambiaremos el enfoque de estudio, usaremos también herramientas de los cursos de cálculo para poder dar un análisis más detallado del comportamiento de los polinomios, y que nos servirán para que en muchos casos podamos encontrar las raíces de un polinomio, o cuando menos tener una idea de cómo son.

Tarea moral

  • Haz la construcción formal de $\mathbb{C}[x]$ a partir de sucesiones de complejos. Muestra que se pueden expresar en la notación de $x$ y sus potencias. Prueba los teoremas que hemos visto hasta ahora. Todo debe ser análogo al caso real, por lo que te servirá mucho para repasar los conceptos vistos hasta ahora.
  • Muestra la unicidad de la factorización en $\mathbb{C}[x]$ y en $\mathbb{R}[x]$.
  • Sea $z$ un complejo no real. Muestra que que $x-z$ y $x-\overline{z}$ son polinomios primos relativos en $\mathbb{C}[x]$.
  • Hay que tener cuidado en las hipótesis de los teoremas de esta entrada. Muestra que $3$ es una raíz del polinomio $x^3-6x^2+11x-6$, pero que $x^2-6x+9$ no divide a este polinomio.
  • Argumenta por qué en el teorema de factorización en polinomios reales sucede que $m+2n$ es el grado de $p(x)$.

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