Introducción
En la entrada anterior mostramos el teorema de factorización para polinomios con coeficientes reales. Lo que haremos ahora es ver que podemos aplicarlo en la resolución de desigualdades de polinomios en . El objetivo es que, al final de la entrada, entendamos cómo se pueden resolver problemas como los siguientes:
Problema. Determina todos los números en
para los cuales
Problema. Determina todos los números en
para los cuales
Antes de hablar de resolución de desigualdades de polinomios, veremos una forma alternativa de factorizar en usando potencias.
Teorema de factorización de polinomios reales con potencias
De acuerdo al teorema de factorización en , un polinomio
se puede factorizar de manera única en factores lineales y factores cuadráticos con discriminante negativo. De ser necesario, podemos agrupar los factores lineales iguales y reordenarlos para llegar a una factorización de la forma
es un real distinto de cero,
y
son enteros positivos tales que
es igual al grado de
,
- para cada
en
se tiene que
es raíz real de
y
- para cada
en
se tiene que
son reales tales que
.
Observa que los son ahora distintos y que están ordenados como
. De aquí, obtenemos que
es la mayor potencia del factor lineal
que divide a
. Este número
se usa frecuentemente, y merece una definición por separado.
Definición. Sea un polinomio en
y
una raíz de
. La multiplicidad de
como raíz de
es el mayor entero
tal que


Ejemplo. El polinomio se factoriza como
. Así, la multiplicidad de
como raíz de
es
. Además,
es una raíz de
de multiplicidad
.
Después hablaremos de una forma práctica en la que podemos encontrar la multiplicidad de una raíz, cuando hablemos de continuidad de polinomios y sus derivadas.
Desigualdades de polinomios reales factorizados
Supongamos que tenemos un polinomio no constante en
para el cual conocemos su factorización en la forma

Daremos por cierto el siguiente resultado, que demostraremos cuando hablemos de continuidad de polinomios.
Proposición. Las evaluaciones en reales de un polinomio cuadrático y mónico en de discriminante negativo, siempre son positivas.
Lo que nos dice este resultado es que, para fines de la desigualdad que queremos resolver, podemos ignorar los factores cuadráticos en la factorización de pues
Por la miasma razón, podemos ignorar aquellos factores lineales con exponente par, y de los de exponente impar, digamos obtenemos una desigualdad equivalente si los remplazamos por exponente
, pues
es positivo y por lo tanto no cambia el signo de la desigualdad si lo ignoramos.
En resumen, cuando estamos resolviendo una desigualdad del estilo podemos, sin cambiar el conjunto solución, reducirla a una de la forma
Proposición. Tomemos un polinomio en
de la forma

Si es par:
- Para reales
en la unión de intervalos
tiene el mismo signo que
- Para reales
en la unión de intervalos
tiene signo distinto al de
.
Si es impar:
- Para reales
en la unión de intervalos
tiene el mismo signo que
- Para reales
en la unión de intervalos
tiene signo distinto al de
.
Demostración. El producto es positivo si y sólo si tiene una cantidad par de factores negativos. Si
, todos los factores son positivos, y por lo tanto
tiene el mismo signo que
cuando
está en el intervalo
.
Cada que movemos de derecha a izquierda y cruzamos un valor
, cambia el signo de exactamente uno de los factores, y por lo tanto la paridad de la cantidad de factores negativos. El resultado se sigue de hacer el análisis de casos correspondiente.
Veamos cómo podemos utilizar esta técnica para resolver desigualdades polinomiales que involucran a un polinomio que ya está factorizado en irreducibles.
Problema. Determina para qué valores reales se tiene que
Solución. Por la discusión anterior, podemos ignorar el polinomio cuadrático del final, pues es irreducible. También podemos ignorar los factores lineales con potencia par, y podemos remplazar las potencias impares por unos. Así, basta con encontrar los valores reales de para los cuales


Las tres raíces, en orden, son . Por la proposición, para
en la unión de intervalos





Puedes dar clic aquí para ver en GeoGebra las gráfica de y del polinomio original, y verificar que tienen el mismo signo en los mismos intervalos.
Si estamos resolviendo una desigualdad y el valor de en la factorización es positivo, es un poco más práctico ignorarlo desde el principio, pues no afecta a la desigualdad.
Problema. Determina para qué valores reales se tiene que
Solución. Tras las cancelaciones correspondientes, obtenemos la desigualdad equivalente
Las raíces del polinomio que aparece son y
. De acuerdo a la proposición, estamos en el caso con
par. De esta forma, la expresión es negativa en el intervalo
y es positiva en la unión de intervalos
Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas
Si tenemos otras expresiones polinomiales, también podemos resolverlas con ideas similares, solo que a veces se tienen que hacer algunas manipulaciones previas para llevar la desigualdad a una de la forma .
Problema. Determina todos los números en
para los cuales
Solución. El problema es equivalente a encontrar los reales para los cuales

Puedes ver la gráfica del polinomio
Tener cuidado al multiplicar por denominadores
Hay que tener cuidado al realizar algunas manipulaciones algebraicas, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad que estamos estudiando. Veamos un ejemplo donde sucede esto.
Problema. Determina todos los números en
para los cuales
Solución. La expresión no está definida en , pues se anula un denominador. Supongamos entonces que
, y recordémoslo al expresar la solución final. Vamos a multiplicar la desigualdad por
, pero tenemos que hacer casos.
Si , entonces el signo de desigualdad no se altera y obtenemos la desigualdad equivalente




Si , entonces el signo de la desigualdad sí se altera, y entonces obtenemos la desigualdad equivalente




Ahora sí, juntando ambos casos, tenemos que el conjunto solución final es
Puedes ver la gráfica en GeoGebra de dando clic aquí. Ahí puedes verificar que esta expresión es positiva exactamente en el conjunto que encontramos.
Reflexión final y lo que resta del curso
Como queda claro, resulta ser útil tener un polinomio en su forma factorizada para resolver desigualdades de polinomios reales. En los ejemplos que dimos en esta entrada, se dieron las factorizaciones de los polinomios involucrados. En el resto del curso veremos herramientas que nos permitirán encontrar la factorización de un polinomio o, lo que es parecido, encontrar sus raíces:
- Veremos propiedades de continuidad de polinomios para mostrar la existencia de raíces para polinomios reales en ciertos intervalos.
- El teorema del factor nos dice que si
es raíz de
, entonces
divide a
. Sin embargo, no nos dice cuál es la multiplicidad de
. Veremos que la derivada de un polinomio nos puede ayudar a determinar eso.
- También veremos el criterio de la raíz racional, que nos permite enlistar todos los cantidatos a ser raíces racionales de un polinomio
con coeficientes racionales.
- Finalmente, veremos que para los polinomios de grado
y
hay formas de obtener sus raíces de forma explícita, mediante las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Completa la solución del problema enunciado en la sección de manipulaciones algebraicas.
- Encuentra el conjunto solución de números reales
tales que
- Determina las soluciones reales a la desigualdad
.
- Realiza las gráficas de otros polinomios de la entrada en GeoGebra para verificar las soluciones dadas a las desigualdades de polinomios.
- Revisa esta entrada, en donde se hablan de aplicaciones de desigualdades polinomiales para un problema de un concurso de matemáticas.