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Introducción

En la entrada anterior mostramos el teorema de factorización para polinomios con coeficientes reales. Lo que haremos ahora es ver que podemos aplicarlo en la resolución de desigualdades de polinomios en $\mathbb{R}[x]$ . El objetivo es que, al final de la entrada, entendamos cómo se pueden resolver problemas como los siguientes:

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales

$x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.$

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales

$\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.$

Antes de hablar de resolución de desigualdades de polinomios, veremos una forma alternativa de factorizar en $\mathbb{R}[x]$ usando potencias.

Teorema de factorización de polinomios reales con potencias

De acuerdo al teorema de factorización en $\mathbb{R}[x]$ , un polinomio $p(x)$ se puede factorizar de manera única en factores lineales y factores cuadráticos con discriminante negativo. De ser necesario, podemos agrupar los factores lineales iguales y reordenarlos para llegar a una factorización de la forma

$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$

en donde:

$a$ es un real distinto de cero,
$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ y $n$ son enteros positivos tales que $2n+\sum_{i=1}^m \alpha_i$ es igual al grado de $p(x)$ ,
para cada $i$ en $\{1,\ldots,m\}$ se tiene que $r_i$ es raíz real de $p(x)$ y $r_1<r_2<\ldots<r_m$
para cada $j$ en $\{1,\ldots,n\}$ se tiene que $b_j,c_j$ son reales tales que $b_j^2-4c_j<0$ .

Observa que los $r_i$ son ahora distintos y que están ordenados como $r_1<\ldots<r_m$ . De aquí, obtenemos que $(x-r_i)^{\alpha_i}$ es la mayor potencia del factor lineal $x-r_i$ que divide a $p(x)$ . Este número $\alpha_i$ se usa frecuentemente, y merece una definición por separado.

Definición. Sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y $r$ una raíz de $p(x)$ . La multiplicidad de $r$ como raíz de $p(x)$ es el mayor entero $\alpha$ tal que

$(x-r)^\alpha \mid p(x).$

Decimos también que $r$ es una raíz de multiplicidad $\alpha$ .

Ejemplo. El polinomio $k(x)=x^4-x^3-3x^2+5x-2$ se factoriza como $(x-1)^3(x+2)$ . Así, la multiplicidad de $1$ como raíz de $k(x)$ es $3$ . Además, $-2$ es una raíz de $k(x)$ de multiplicidad $1$ .

$\square$

Después hablaremos de una forma práctica en la que podemos encontrar la multiplicidad de una raíz, cuando hablemos de continuidad de polinomios y sus derivadas.

Desigualdades de polinomios reales factorizados

Supongamos que tenemos un polinomio $p(x)$ no constante en $\mathbb{R}[x]$ para el cual conocemos su factorización en la forma

$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$

y que queremos determinar para qué valores reales $r$ se cumple que

$p(r)>0.$

Daremos por cierto el siguiente resultado, que demostraremos cuando hablemos de continuidad de polinomios.

Proposición. Las evaluaciones en reales de un polinomio cuadrático y mónico en $\mathbb{R}[x]$ de discriminante negativo, siempre son positivas.

Lo que nos dice este resultado es que, para fines de la desigualdad que queremos resolver, podemos ignorar los factores cuadráticos en la factorización de $p(x)$ pues

$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n})$

$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}$

tienen el mismo signo.

Por la miasma razón, podemos ignorar aquellos factores lineales con exponente par, y de los de exponente impar, digamos $(x-r)^{2\beta +1}$ obtenemos una desigualdad equivalente si los remplazamos por exponente $1$ , pues $(x-r)^{2\beta}$ es positivo y por lo tanto no cambia el signo de la desigualdad si lo ignoramos.

En resumen, cuando estamos resolviendo una desigualdad del estilo $p(x)>0$ podemos, sin cambiar el conjunto solución, reducirla a una de la forma

$q(x):=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)>0.$

La observación clave para resolver desigualdades de este estilo está resumida en el siguiente resultado.

Proposición. Tomemos un polinomio $q(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ de la forma

$q(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)$

con $r_1<\ldots<r_m$ reales.

Si $m$ es par:

Para reales $r$ en la unión de intervalos
$(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),$
la evaluación $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$
Para reales $r$ en la unión de intervalos
$(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),$
la evaluación $q(r)$ tiene signo distinto al de $a$ .

Si $m$ es impar:

Para reales $r$ en la unión de intervalos
$(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),$
la evaluación $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$
Para reales $r$ en la unión de intervalos
$(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),$
la evaluación $q(r)$ tiene signo distinto al de $a$ .

Demostración. El producto $(r-r_1)(r-r_2)\ldots(r-r_m)$ es positivo si y sólo si tiene una cantidad par de factores negativos. Si $r>r_m$ , todos los factores son positivos, y por lo tanto $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$ cuando $r$ está en el intervalo $(r_m,\infty)$ .

Cada que movemos $r$ de derecha a izquierda y cruzamos un valor $r_i$ , cambia el signo de exactamente uno de los factores, y por lo tanto la paridad de la cantidad de factores negativos. El resultado se sigue de hacer el análisis de casos correspondiente.

$\square$

Veamos cómo podemos utilizar esta técnica para resolver desigualdades polinomiales que involucran a un polinomio que ya está factorizado en irreducibles.

Problema. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que

$-2(x-5)^7(x+8)^4(x+2)^3(x+10)(x^2-x+2)^3$

es positivo.

Solución. Por la discusión anterior, podemos ignorar el polinomio cuadrático del final, pues es irreducible. También podemos ignorar los factores lineales con potencia par, y podemos remplazar las potencias impares por unos. Así, basta con encontrar los valores reales de $x$ para los cuales

$q(x)=-2(x-5)(x+2)(x+10)$

es positivo. Tenemos $3$ factores, así que estamos en el caso de $m$ impar en la proposición.

Las tres raíces, en orden, son $-10, -2, 5$ . Por la proposición, para $x$ en la unión de intervalos

$(-\infty,-10)\cup (-2,5)$

se tiene que $q(x)$ tiene signo distinto al de $a=-2$ y por lo tanto es positivo. Para $x$ en el conjunto

$(10,-2)\cup (5,\infty)$

se tiene que $q(x)$ tiene signo igual al de $a=-2$ , y por lo tanto es negativo. De esta forma, la respuesta es el conjunto

$(-\infty,-10)\cup (-2,5).$

Puedes dar clic aquí para ver en GeoGebra las gráfica de $q(x)$ y del polinomio original, y verificar que tienen el mismo signo en los mismos intervalos.

$\square$

Si estamos resolviendo una desigualdad y el valor de $a$ en la factorización es positivo, es un poco más práctico ignorarlo desde el principio, pues no afecta a la desigualdad.

Problema. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que

$7(x+7)^{13}(x+2)^{31}(x-5)^{18}(x^2+1)$

es positivo.

Solución. Tras las cancelaciones correspondientes, obtenemos la desigualdad equivalente

$(x+7)(x+2)>0.$

Las raíces del polinomio que aparece son $-7$ y $-2$ . De acuerdo a la proposición, estamos en el caso con $m$ par. De esta forma, la expresión es negativa en el intervalo $(-7,-2)$ y es positiva en la unión de intervalos

$(-\infty,-7)\cup (-2,\infty).$

$\square$

Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas

Si tenemos otras expresiones polinomiales, también podemos resolverlas con ideas similares, solo que a veces se tienen que hacer algunas manipulaciones previas para llevar la desigualdad a una de la forma $p(x)>0$ .

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales

$x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.$

Solución. El problema es equivalente a encontrar los reales $x$ para los cuales

$x^6-3x^5+12x^4+48x^3-29x^2+51x-36>0.$

El polinomio del lado izquierdo se puede factorizar como $(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)$ , así que obtenemos el problema equivalente

$(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)>0,$

que ya sabemos resolver. El resto de la solución queda como tarea moral.

Puedes ver la gráfica del polinomio

$(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)$

en GeoGebra si das clic aquí.

$\square$

Tener cuidado al multiplicar por denominadores

Hay que tener cuidado al realizar algunas manipulaciones algebraicas, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad que estamos estudiando. Veamos un ejemplo donde sucede esto.

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales

$\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.$

Solución. La expresión no está definida en $x=0$ , pues se anula un denominador. Supongamos entonces que $x\neq 0$ , y recordémoslo al expresar la solución final. Vamos a multiplicar la desigualdad por $x$ , pero tenemos que hacer casos.

Si $x>0$ , entonces el signo de desigualdad no se altera y obtenemos la desigualdad equivalente

$0>x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).$

El factor cuadrático es irreducible y lo podemos ignorar. Si estuviéramos trabajando en todo $\mathbb{R}$ , el conjunto solución sería el intervalo $(-1,1)$ . Sin embargo, tenemos que restringir este conjunto solución sólo al caso en el que estamos, es decir, $x>0$ . Así, para este caso sólo los reales en $(0,1)$ son solución.

Si $x<0$ , entonces el signo de la desigualdad sí se altera, y entonces obtenemos la desigualdad equivalente

$0<x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).$

De nuevo podemos ignorar el factor cuadrático. La desigualdad tiene solución en todo $\mathbb{R}$ al conjunto $(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$ , pero en este caso debemos limitarlo adicionalmente con la restricción $x<0$ . De este modo, las soluciones para este caso están en el intervalo $(-\infty,-1)$ .

Ahora sí, juntando ambos casos, tenemos que el conjunto solución final es

$(-\infty,-1)\cup(0,1).$

Puedes ver la gráfica en GeoGebra de $\frac{1}{x}-x^3+x^2-1$ dando clic aquí. Ahí puedes verificar que esta expresión es positiva exactamente en el conjunto que encontramos.

$\square$

Reflexión final y lo que resta del curso

Como queda claro, resulta ser útil tener un polinomio en su forma factorizada para resolver desigualdades de polinomios reales. En los ejemplos que dimos en esta entrada, se dieron las factorizaciones de los polinomios involucrados. En el resto del curso veremos herramientas que nos permitirán encontrar la factorización de un polinomio o, lo que es parecido, encontrar sus raíces:

Veremos propiedades de continuidad de polinomios para mostrar la existencia de raíces para polinomios reales en ciertos intervalos.
El teorema del factor nos dice que si $r$ es raíz de $p(x)$ , entonces $x-r$ divide a $p(x)$ . Sin embargo, no nos dice cuál es la multiplicidad de $r$ . Veremos que la derivada de un polinomio nos puede ayudar a determinar eso.
También veremos el criterio de la raíz racional, que nos permite enlistar todos los cantidatos a ser raíces racionales de un polinomio $p(x)$ con coeficientes racionales.
Finalmente, veremos que para los polinomios de grado $3$ y $4$ hay formas de obtener sus raíces de forma explícita, mediante las fórmulas de Cardano y de Ferrari.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Completa la solución del problema enunciado en la sección de manipulaciones algebraicas.
Encuentra el conjunto solución de números reales $x$ tales que
$(x+1)(x+2)^2(x+3)^3(x+4)^4>0.$
Determina las soluciones reales a la desigualdad
$\frac{x-1}{x+2}>\frac{x+2}{x-1}.$
Ten cuidado con los signos. Verifica tu respuesta en este enlace de GeoGebra, que muestra la gráfica de $f(x)=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}$ .
Realiza las gráficas de otros polinomios de la entrada en GeoGebra para verificar las soluciones dadas a las desigualdades de polinomios.
Revisa esta entrada, en donde se hablan de aplicaciones de desigualdades polinomiales para un problema de un concurso de matemáticas.

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Álgebra Superior II: Desigualdades de polinomios reales

Introducción

Teorema de factorización de polinomios reales con potencias

Desigualdades de polinomios reales factorizados

Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas

Tener cuidado al multiplicar por denominadores

Reflexión final y lo que resta del curso

Tarea moral