Introducción
En entradas anteriores definimos qué quiere decir que un real sea una raíz de un polinomio. Luego, vimos que mediante el teorema del factor se puede definir una relación entre las raíces de un polinomio y los polinomios lineales que lo dividen. Sin embargo, es posible que un real sea una raíz de un polinomio «más de una vez», que fue un concepto que formalizamos en la entrada de desigualdades de polinomios. En esta entrada veremos que a través de las derivadas de polinomios, podemos determinar la multiplicidad de sus raíces.
Como recordatorio, la multiplicidad de una raíz de un polinomio
en
es el mayor entero
tal que
divide a
en
. También, en esta entrada haremos uso de la regla del producto para derivadas.
El teorema de derivadas y multiplicidad
El siguiente resultado es fundamental para la detección de raíces múltiples. Su demostración es sencilla pues usamos varios de los resultados que hemos obtenido anteriormente.
Teorema (derivadas y multiplicidad). Sea una raíz del polinomio
en
de multiplicidad
. Si
, entonces
es una raíz de la derivada
, y es de multiplicidad
. Si
, entonces
no es raíz de
.
Demostración. Como es una raíz de
de multiplicidad
, entonces se puede escribir
, en donde
es un polinomio que ya no es divisible entre
. Derivando, por regla del producto tenemos que
Afirmamos que no divide a
. Si lo dividiera, como divide a
entonces también tendría que dividir a
y por lo tanto a
. Pero esto sería una contradicción con la elección de
.
De esta forma, si entonces
no divide a
y por el teorema del factor entonces
no es raíz de
. Y si
, entonces
divide a
por la expresión que encontramos de la derivada, pero
no pues
no divide al segundo factor. Esto termina la prueba.
Ejemplo. Consideremos al polinomio . Tanto
como
son raíces de
. La multiplicidad de la raíz
es tres y la multiplicidad de la raíz
es uno. Si derivamos a
usando la regla del producto, tenemos que
Observa que en efecto tiene a
como raíz de multiplicidad dos y ya no tiene a
como raíz.
Es muy importante respetar la hipótesis de que sea raíz de
. Por ejemplo, en el ejemplo anterior
es raíz de
de multiplicidad
, pero
no es raíz de
(y mucho menos de multiplicidad
).
El teorema de derivadas y multiplicidad es interesante, pero todavía no es útil en aplicaciones prácticas. Sin embargo, tiene dos consecuencias que sí se pueden usar para estudiar polinomios concretos.
Encontrar la multiplicidad de una raíz
El teorema de derivadas y multiplicidad nos dice que la multiplicidad de una raíz «baja en uno» al pasar de un polinomio a su derivada, pero aún no nos dice cuál es esa multiplicidad. Sin embargo, lo podemos aplicar repetidamente para obtener esta información. Recuerda que para un entero no negativo y
en
, usamos
para denotar
-ésima derivada de un polinomio. Aquí
es simplemente
.
Proposición. Sea una raíz del polinomio
en
de multiplicidad
. Si
el mayor entero positivo tal que
es raíz de

Demostración. Usando el teorema anterior de manera inductiva, tenemos que para cada entero , se tiene que
es raíz de multiplicidad
de
En particular, es raíz de todas estas derivadas. Además, por el mismo teorema, se tiene que
ya no es raíz de
. De esta forma, tenemos que
, de donde se obtiene el resultado deseado.
La proposición anterior ahora sí nos da una manera de encontrar la multiplicidad de una raíz de un polinomio.
Ejemplo. Sabiendo que es una raíz del polinomio
Para esto, vamos a calcular sus derivadas:
Tenemos que
Hasta aquí, sabemos que es raíz de multiplicidad al menos dos. Tenemos también que
Hasta aquí, sabemos que es raíz de multiplicidad al menos tres. Siguiendo,
Como la tercera derivada ya no se anuló en , la multiplicidad de
como raíz es exactamente tres.
Es importante que revisemos todas las derivadas, y que sea una por una. En el ejemplo anterior, , pero eso no quiere decir que
sea raíz de multiplicidad
, pues la evaluación falla desde la tercera derivada.
Simplificar un polinomio para encontrarle sus raíces
Hay otra consecuencia práctica del teorema de multiplicidades y derivadas, que puede ser de utilidad en algunos problemas. Recuerda que para polinomios y
en
usamos
para denotar al máximo común divisor de dos polinomios. En particular, divide a
en
, de modo que
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Proposición. Sea un polinomio en
y
su derivada. El polinomio
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Demostración. Factoricemos a todas las raíces reales de con sus multiplicidades correspondientes para escribir




A partir de esto, concluimos que
De aquí se ve que son raíces de multiplicidad
de
. No hay más raíces reales en
, pues si hubiera una raíz
, entonces por el teorema del factor
dividiría a este polinomio, y por lo tanto a
, de donde
sería raíz de
, una contradicción.
La proposición anterior se puede usar de manera práctica como sigue:
- Para empezar, tomamos un polinomio arbitrario
.
- Luego, lo derivamos para obtener
.
- Después, usando el algoritmo de Euclides, encontramos al polinomio
.
- Ya con el máximo común divisor, hacemos división polinomial para encontrar
.
- Si
tenía raíces repetidas, entonces ahora
será de grado menor, y quizás más fácil de estudiar. Encontramos las raíces de
. Estas son las raíces de
.
- Finalmente, usamos el teorema de la sección anterior para encontrar la multiplicidad de cada raíz.
Veamos un problema interesante en el que se conjuntan varias ideas de esta entrada.
Problema. Factoriza en al polinomio
Solución. Este es un polinomio de grado cinco, para el cual hasta antes de ahora no teníamos muchas herramientas para estudiarlo. Vamos a aplicar el método explicado arriba. Lo primero que haremos es factorizar un para volver este polinomio mónico. Recordaremos poner este signo al final. Tomemos entonces
Se puede verificar, y queda como tarea moral, que el máximo común divisor de y
es el polinomio




Usando la proposición para multiplicidades de raíces (que también queda como tarea moral), se puede verificar que es raíz de multiplicidad dos y que
es raíz de multiplicidad
. Como
es un polinomio de grado
y es mónico, entonces se debe de dar la igualdad
Al regresar al polinomio original, debemos agregar un signo menos. Concluimos que la factorización del polinomio del problema es
Esta proposición nos da una manera de encontrar raíces. En las siguientes dos entradas veremos otras dos formas de encontrarlas. Para cuando los polinomios son de grado y
, podemos encontrar las raíces de manera explícita. Para cuando los polinomios tienen coeficientes enteros, podemos encontrar una cantidad finita de candidatos a ser raíces racionales.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que
es raíz del polinomio
- En la demostración de la última proposición, muestra la igualdad
- En el último ejemplo, aplica el algoritmo de Euclides a
y
para mostrar que el máximo común divisor es el que se afirma.
- Aplica la proposición de multiplicidad de raíces en el último ejemplo para verificar que en efecto las multiplicidades de
y
son las que se afirman.
- Aplica el mismo método que en la última sección para factorizar el polinomio