El Seminario de Resolución de Problemas es un curso acerca de cómo resolver problemas de matemáticas. Se creó en 2011 con el fin de ofrecer a los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la UNAM una vía institucional para aprender técnicas de resolución de problemas que puedan usar en su vida profesional, ya sea dentro de la iniciativa privada, como docentes o como investigadores.

Heurísticas

Muchas de las clases en la carrera de matemáticas tienen la estructura definición-lema-teorema-corolario, la cuál es muy útil para aprender las herramientas teóricas principales y sus comportamientos básicos. Al llevar un curso de este tipo un estudiante aprende de manera ordenada los contenidos de un curso. Los ejercicios al final de una sección o de un parcial se pueden resolver mediante el uso de las herramientas que se vieron inmediatamente.

Sin embargo, en el quehacer matemático no siempre es inmediato cómo comenzar a resolver un problema que no se ha visto antes. Las heurísticas son técnicas generales que se pueden usar para comenzar a resolver un problema sin importar de qué area de las matemáticas venga. Algunos ejemplos son dividir el problema en casos, generalizar el problema o usar una notación adecuada. Durante el curso presentaremos de manera ordenada las técnicas mediante diversos ejemplos.

Organización del curso

El curso está basado principalmente en el libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Se divide en las siguientes partes.

• Heurísticas
• Principio de inducción y principio de las casillas
• Enteros, divisibilidad y aritmética
• Cálculo y análisis real
• Álgebra básica, polinomios y álgebra abstracta
• Sucesiones y series
• Desigualdades
• Geometría
• Álgebra Lineal

Videos y notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Hay unas pocas entradas que faltan. Los enlaces se irán agregando conforme se tenga disponible el material.

Videos de heurísticas

• Introducción y temario – 1 video
• Buscar un patrón – 3 videos
• Formular un problema equivalente – 3 videos
• Modificar el problema – 3 videos
• Hacer una figura – 3 videos
• Notación efectiva – 4 videos
• Aprovecha la simetría – 5 videos
• Generalizar – 3 videos
• Trabajar hacia atrás – 4 videos
• Dividir en casos – 4 videos
• Casos extremos – 4 videos
• Paridad – 4 videos
• Contradicción – 5 videos

Principio de inducción y principio de las casillas

• Introducción a principio de inducción
• Principio de inducción combinado con heurísticas
• Variantes del principio de inducción
• Principio de las casillas
• Principio de las casillas, parte 2

Enteros, divisibilidad y aritmética

• Máximo común divisor
• Aritmética modular
• Primos y factorización única
• Bases numéricas y dígitos
• Aritmética de números complejos

Cálculo y análisis real

• Funciones continuas
• El teorema del valor intermedio
• Funciones diferenciables y la derivada
• El teorema del valor extremo
• El teorema de Rolle
• El teorema del valor medio
• La regla de L’Hôpital
• La integral
• El teorema fundamental del cálculo
• Problemas de cálculo variados

Álgebra básica, polinomios y álgebra abstracta

• Identidades algebraicas y binomio de Newton
• Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos
• Factorización de polinomios
• El teorema de la identidad
• Grupos, anillos y campos

Sucesiones y series

• Sucesiones aritméticas y geométricas
• Sucesiones periódicas y pre-periódicas
• Sucesiones monótonas y acotadas
• Sucesiones recursivas y recursiones lineales
• Sucesiones convergentes
• Coeficientes binomiales
• Series geométricas
• Series telescópicas
• Series de potencias, parte 1
• Series de potencias, parte 2

Desigualdades

• Desigualdades básicas
• Desigualdades de medias
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Técnicas de cálculo en desigualdades

Geometría

• Geometría euclideana
• Geometría analítica
• Vectores en geometría
• Números complejos en geometría
• Geometría discreta

Álgebra Lineal

• Sistemas de ecuaciones lineales
• Cálculo de determinantes
• El teorema espectral y matrices positivas
• Rango y el teorema $PJQ$
• El teorema de Cayley-Hamilton y polinomios asociados a matrices

Moodle del curso

Además de las notas y videos del curso, se encuentra en preparación un curso en Moodle en donde habrá mucho más material:

• Foros de discusión divididos por cada unidad temática
• Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
• Tareas y exámenes de versiones anteriores del curso

Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.

Evaluación

La forma principal de evaluar es a través de tareas entregadas semanalmente. En ocasiones, se pide a los estudiantes que hagan presentaciones de los temas. Sin embargo, los porcentajes y detalles dependen de cada vez que se imparte el curso.

Lista de tareas

Las tareas del seminario son la parte más importante del curso. «La única forma de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas». Las tareas son listas de 12 problemas que se entregan semanalmente, pero para las cuales basta resolver 4 ejercicios de cada una para tener la puntuación completa. Cada problema se califica con 0, 1/2 ó 1.

Un alumno del seminario puede resolver la tarea como quiera. Puede consultar las páginas de internet que necesite, consultar libros, consultar a profesores y, sobre todo, está fuertemente recomendado que comente los problemas con sus compañeros. Adicionalmente, cada tarea viene acompañada de una lista de sugerencias para saber por dónde se puede intentar resolver cada problema. La única regla fundamental es que la solución tiene que estar redactada con sus propias palabras.

Las tareas que se llevan en el seminario son las siguientes. Si tiene un 2014 al final, es la versión más reciente. Si no tiene el 2014, puede que aún tenga algunos cuantos detalles o errores de dedo (¡y entonces está padre que me avises si encuentras alguno!):

• Lista 1 (2014) – Hints Tarea 1
• Lista 2 (2014) – Hints Tarea 2
• Lista 3 (2014) – Hints Tarea 3
• Lista 4 (2014) – Hints Tarea 4
• Lista 5 (2014)- Hints Tarea 5
• Lista 6 (2014)- Hints Tarea 6
• Lista 7 – Hints Tarea 7
• Lista 8 (Números enteros) – Hints Tarea 8
• Lista 9 (Cálculo) – Hints Tarea 9
• Lista 10 (Álgebra) – Hints Tarea 10
• Lista 11 (Sucesiones) – Hints Tarea 11
• Lista 12 (Series) – Hints Tarea 12
• Lista 13 (Desigualdades) – Hints Tarea 13
• Lista 14 (Geometría y Lineal) – Hints Tarea 14

Bibliografía

En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en el libro Problem Solving through Problems de Loren C. Larson.

Créditos

Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

• Semestre 2020-2: Fabián Ferrari Pardiño