Introducción
Seguimos con las entradas de temas de desigualdades. Con anterioridad ya hablamos de desigualdades básicas y de desigualdades con medias. En esta ocasión estudiaremos una desigualdad muy versátil: la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
En su versión más simple, lo que dice la desigualdad de Cauchy-Schwarz es lo siguiente.
Desigualdad (de Cauchy-Schwarz). Para cualesquiera números reales y
se tiene que
Primero, veremos cómo se demuestra esta desigualdad. Luego, veremos varios problemas en los que se puede aplicar. Finalmente, hablaremos un poco de sus extensiones a espacios vectoriales.
La demostración polinomial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Una forma de demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usando inducción sobre . Hay otra demostración usando polinomios. Veamos esa demostración, pues tiene la idea útil de usar argumentos polinomiales para demostrar igualdades.
Consideremos la expresión

De esta forma es un polinomio cuadrático y siempre toma valores no negativos. Así, a lo más puede tener una raíz
, por lo que su discriminante es menor o igual a
:
Al pasar el segundo término sumando al otro lado y dividir entre queda
Al sacar raíz cuadrada de ambos lados hay que tener cuidado de poner un valor absoluto al lado izquierdo. Al hacer esto, se obtiene el resultado deseado:
Observa que la igualdad se da si y sólo si el discriminante es , lo cual sucede si y sólo si el polinomio tiene una raíz
. Cuando esto pasa, cada uno de los sumandos al cuadrado de
debe ser
. Así, existe un real
tal que
para todo
. Esto lo podemos decir en términos vectoriales como que «la igualdad se da si y sólo si el vector
es un múltiplo escalar del vector
» .
Un problema sobre acotar el valor de una variable
Problema. Sean números reales tales que
¿Cuál es el máximo valor que puede tener

Sugerencia. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las ternas y
.
Solución. Aplicando la desigualdad a las ternas y
obtenemos que


Para que se satisfaga esta desigualdad, tiene que pasar o bien que simultáneamente y
(lo cual es imposible), o bien que simultáneamente
y
. En conclusión, esto acota el máximo valor posible de
con
.
En efecto, existe una solución con . De acuerdo al caso de igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, debe pasar cuando
es un múltiplo escalar de
, es decir, cuando
. Como
y queremos
, esto forza a que
. Y en efecto, tenemos que con esta elección
Aplicando Cauchy-Schwarz en un problema con el circunradio
A veces podemos aprovechar información implícita en un problema geométrico y combinarla con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Veamos un problema en el que sucede esto.
Problema. Sea un punto en el interior del triángulo
y
las distancias de
a los lados
respectivamente, que tienen longitudes
, respectivamente. Sea
el circunradio de
. Muestra que
Sugerencia pre-solución. Necesitarás aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz más de una vez. Haz una figura para entender la expresión . Necesitarás también la fórmula que dice que se puede calcular el área
de un triángulo mediante la fórmula
Solución. Lo primero que haremos es aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en las ternas y
para obtener
Observa que es dos veces el área de
. De manera similar, tenemos que
y
son las áreas de
y
respectivamente. Así, si llamamos
al área de
tenemos que
. Otra expresión para el área de
en términos de su circunradio
es

Esto nos permite continuar con la desigualdad como sigue:
Esto es casi la desigualdad que queremos. Para terminar, basta mostrar que


En el problema anterior, ¿para qué puntos se alcanza la igualdad?
Cauchy-Schwarz más allá de los números reales
Lo que está detrás de la desiguadad de Cauchy-Schwarz es en realidad la noción de producto interior en álgebra lineal. En cualquier espacio vectorial sobre los reales que tenga un producto interior se satisface una desigualdad del tipo de la de Cauchy-Schwarz. No entraremos en los detalles de la teoría que se necesita desarrollar, pues eso se estudia en un curso de álgebra lineal. Sin embargo, enunciaremos el teorema y veremos una forma de aplicarlo.
Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si es un espacio vectorial con producto interior
entonces para cualesquiera dos vectores
y
se satisface que
Se puede mostrar que bajo las hipótesis del teorema la función es una norma. Como platicamos con anterioridad, una norma satisface la desigualdad del triángulo, que en espacios vectoriales tiene un nombre especial.
Teorema (desigualdad de Minkowski). Si es un espacio vectorial con producto interior
y
, entonces para cualesquiera dos vectores
y
se satisface que
Es relativamente sencillo ver que las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski son «equivalentes», en el sentido de que se puede mostrar una fácilmente suponiendo la otra y viceversa.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz que usamos en las secciones anteriores es para el producto interior en dado por
Si tenemos a el espacio vectorial de las funciones continuas reales en el intervalo
, entonces

Problema. Sea una función continua. Muestra que
Sugerencia pre-solución. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz con el producto interior que discutimos antes de esta entrada.
Solución. Tomemos el producto interior
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Tenemos que
Por otro lado,
y
La conclusión se sigue entonces de manera inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para .
Más problemas
Puedes encontrar más problemas que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la sección 7.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. También puedes consultar más técnicas y problemas en el libro Desigualdades de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Muy buena iniciativa, felicidades!
Hola Idalia. Muchas gracias por el comentario.
Hola, he estado checando su pagina y me parece muy genial, soy de prepa 5, gracias por compartir problemas para las olimpiadas
Muchas gracias por el comentario Víctor. En efecto puede servir mucho para olimpiadas. Sería genial que, si te ha servido, la pudieras compartir con más estudiantes que crees que la puedan aprovechar. Saludos.