Seminario de Resolución de Problemas: Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Introducción

Seguimos con las entradas de temas de desigualdades. Con anterioridad ya hablamos de desigualdades básicas y de desigualdades con medias. En esta ocasión estudiaremos una desigualdad muy versátil: la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

En su versión más simple, lo que dice la desigualdad de Cauchy-Schwarz es lo siguiente.

Desigualdad (de Cauchy-Schwarz). Para cualesquiera números reales a_1,\ldots,a_n y b_1,\ldots,b_n se tiene que

    \[|a_1b_1+\ldots+a_nb_n| \leq \sqrt{a_1^2+\ldots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\ldots+b_n^2}.\]

Primero, veremos cómo se demuestra esta desigualdad. Luego, veremos varios problemas en los que se puede aplicar. Finalmente, hablaremos un poco de sus extensiones a espacios vectoriales.

La demostración polinomial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Una forma de demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es usando inducción sobre n. Hay otra demostración usando polinomios. Veamos esa demostración, pues tiene la idea útil de usar argumentos polinomiales para demostrar igualdades.

Consideremos la expresión

    \[p(t)=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2.\]

Como es una suma de cuadrados, esta expresión es no negativa. Haciendo los cuadrados, y desarrollando la suma, podemos escribirla de la siguiente forma, que nos dice que es un polinomio cuadrático en t:

    \begin{align*}\sum_{i=1}^n (a_i+b_i t)^2&=\sum_{i=1}^n \left(a_i^2 + 2a_ib_i t + b_i^2 t^2\right)\\&=\sum_{i=1}^n a_i^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)t + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)t^2.\end{align*}

De esta forma p(t) es un polinomio cuadrático y siempre toma valores no negativos. Así, a lo más puede tener una raíz t, por lo que su discriminante es menor o igual a 0:

    \[\left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2-4\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)\leq 0\]

Al pasar el segundo término sumando al otro lado y dividir entre 4 queda

    \[\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).\]

Al sacar raíz cuadrada de ambos lados hay que tener cuidado de poner un valor absoluto al lado izquierdo. Al hacer esto, se obtiene el resultado deseado:

    \[\left|\sum_{i=1}^n a_ib_i \right|\leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.\]

Observa que la igualdad se da si y sólo si el discriminante es 0, lo cual sucede si y sólo si el polinomio tiene una raíz t. Cuando esto pasa, cada uno de los sumandos al cuadrado de p(t) debe ser 0. Así, existe un real t tal que a_i=-tb_i para todo i=1,\ldots,n. Esto lo podemos decir en términos vectoriales como que “la igualdad se da si y sólo si el vector (a_1,\ldots,a_n) es un múltiplo escalar del vector (b_1,\ldots,b_n) ” .

Un problema sobre acotar el valor de una variable

Problema. Sean a,b,c,d números reales tales que

    \begin{align*}a+b+c+d&=6\\a^2+b^2+c^2+d^2&=12.\end{align*}


¿Cuál es el máximo valor que puede tener d?

Sugerencia. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las ternas (a,b,c) y (1,1,1).

Solución. Aplicando la desigualdad a las ternas (a,b,c) y (1,1,1) obtenemos que

    \[|a+b+c|\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot{\sqrt{3}}.\]

Usando las hipótesis sobre a,b,c,d, tenemos que esta desigualdad es equivalente a |6-d|\leq \sqrt{3}\cdot {\sqrt{12-d^2}. Elevando al cuadrado de ambos lados, obtenemos las desigualdades equivalentes

    \begin{align*}36-12d+d^2&\leq 3(12-d^2)\\36-12d+d^2&\leq 36-3d^2\\4d^2-12d&\leq 0\\4d(d-3)\&leq 0.\end{align*}

Para que se satisfaga esta desigualdad, tiene que pasar o bien que simultáneamente d\leq 0 y d\geq 3 (lo cual es imposible), o bien que simultáneamente d\geq 0 y d\leq 3. En conclusión, esto acota el máximo valor posible de d con 3.

En efecto, existe una solución con d=3. De acuerdo al caso de igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, debe pasar cuando (a,b,c) es un múltiplo escalar de (1,1,1), es decir, cuando a=b=c. Como a+b+c+d=6 y queremos d=3, esto forza a que a=b=c=1. Y en efecto, tenemos que con esta elección

    \[a^2+b^2+c^2+d^2=1+1+1+9=12.\]

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Aplicando Cauchy-Schwarz en un problema con el circunradio

A veces podemos aprovechar información implícita en un problema geométrico y combinarla con la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Veamos un problema en el que sucede esto.

Problema. Sea P un punto en el interior del triángulo ABC y p,q,r las distancias de P a los lados BC, CA, AB respectivamente, que tienen longitudes a,b,c, respectivamente. Sea R el circunradio de ABC. Muestra que

    \[\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}.\]

Sugerencia pre-solución. Necesitarás aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz más de una vez. Haz una figura para entender la expresión ap+bq+cr. Necesitarás también la fórmula que dice que se puede calcular el área T de un triángulo mediante la fórmula

    \[T=\frac{abc}{R}.\]

Solución. Lo primero que haremos es aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en las ternas (\sqrt{ap},\sqrt{bq},\sqrt{cr}) y (1/\sqrt{a},1/\sqrt{b},1/\sqrt{c}) para obtener

    \[\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}\leq \sqrt{ap+bq+cr}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\]

Observa que ap es dos veces el área de \triangle BCP. De manera similar, tenemos que bq y cr son las áreas de \triangle CAP y \triangle ABP respectivamente. Así, si llamamos T al área de \triangle ABC tenemos que ap+bq+cr=2T. Otra expresión para el área de \triangle ABC en términos de su circunradio R es

    \[T=\frac{abc}{4R}.\]

En otras palabras, ap+bq+cr=\frac{abc}{2R}.

Esto nos permite continuar con la desigualdad como sigue:

    \begin{align*}\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} &\leq \sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\&=\sqrt{\frac{abc}{2R}}\cdot\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{abc}}\\&=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}.\end{align*}

Esto es casi la desigualdad que queremos. Para terminar, basta mostrar que

    \[ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2.\]

Esto se puede hacer de varias formas (intenta hacerlo usando la desigualdad MA-MG). Pero para continuar viendo la versatilidad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, observa que se puede deducir de ella aplicándola a las ternas (a,b,c) y (b,c,a).

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En el problema anterior, ¿para qué puntos P se alcanza la igualdad?

Cauchy-Schwarz más allá de los números reales

Lo que está detrás de la desiguadad de Cauchy-Schwarz es en realidad la noción de producto interior en álgebra lineal. En cualquier espacio vectorial sobre los reales que tenga un producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle se satisface una desigualdad del tipo de la de Cauchy-Schwarz. No entraremos en los detalles de la teoría que se necesita desarrollar, pues eso se estudia en un curso de álgebra lineal. Sin embargo, enunciaremos el teorema y veremos una forma de aplicarlo.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si V es un espacio vectorial con producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle entonces para cualesquiera dos vectores u y v se satisface que

    \[|\langle u , v\rangle|\leq \sqrt{\langle u , u\rangle}\cdot \sqrt{\langle v , v\rangle}.\]

Se puede mostrar que bajo las hipótesis del teorema la función \norm{u}:=\langle u , u\rangle es una norma. Como platicamos con anterioridad, una norma satisface la desigualdad del triángulo, que en espacios vectoriales tiene un nombre especial.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Si V es un espacio vectorial con producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle y \norm{u}:=\langle u , u\rangle, entonces para cualesquiera dos vectores u y v se satisface que

    \[\norm{u}+\norm{v}\geq \norm{u+v}.\]

Es relativamente sencillo ver que las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski son “equivalentes”, en el sentido de que se puede mostrar una fácilmente suponiendo la otra y viceversa.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz que usamos en las secciones anteriores es para el producto interior en \mathbb{R}^n dado por

    \[\langle (a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n) \rangle = a_1b_1+\ldots + a_nb_n,\]

al cual le llamamos el producto punto.

Si tenemos a V el espacio vectorial de las funciones continuas reales en el intervalo [0,1], entonces

    \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx\]

es un producto interior para V. Esto nos puede ayudar a resolver algunos problemas.

Problema. Sea f:[0,1]\to \mathbb{R}^+ una función continua. Muestra que

    \[\left ( \int_0^1 f(x)\, dx \right) \left (\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dt \right) \geq 1.\]

Sugerencia pre-solución. Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz con el producto interior que discutimos antes de esta entrada.

Solución. Tomemos el producto interior

    \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, dx\]

en el espacio vectorial de funciones reales y continuas en [0,1]. Como la imagen de f está en los reales positivos, podemos definir la función h:[0,1]\to \mathbb{R}^+ dada por h(x)=\sqrt{f(x)}.

Tenemos que

    \begin{align*}\left \langle h, \frac{1}{h}\right \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\&=\int_0^1 1\, dx\\&=1.\end{align*}

Por otro lado,

    \begin{align*}\langle h, h \rangle &= \int_0^1 h(x)\cdot h(x)\, dx\\&=\int_0^1 f(x)\, dx.\end{align*}

y

    \begin{align*}\left\langle \frac{1}{h}, \frac{1}{h} \right\rangle&= \int_0^1 \frac{1}{h(x)}\cdot \frac{1}{h(x)}\, dx\\&=\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dx\end{align*}

La conclusión se sigue entonces de manera inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para \langle \cdot, \cdot \rangle.

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Más problemas

Puedes encontrar más problemas que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la sección 7.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. También puedes consultar más técnicas y problemas en el libro Desigualdades de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

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