Introducción
En esta entrada hablaremos de matrices simétricas y de matrices positivas. Nos enfocaremos en el caso en el que sus entradas sean números reales. Ambos tipos de matrices son fundamentales en la teoría de álgebra lineal. Tanto para las matrices simétricas como para las positivas hay resultados de caracterización que podemos utilizar en varios problemas matemáticos.
El teorema espectral para matrices simétricas reales
Si es una matriz de
, su transpuesta
es la matriz de
que se obtiene de reflejar a las entradas de
en su diagonal principal. Otra forma de decirlo es que si en términos de entradas tenemos
, entonces
. Una matriz y su transpuesta comparten muchas propiedades, como su determinante, su polinomio característico, su rango, sus eigenvalores, etc.
Decimos que una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta. Una matriz es ortogonal si es invertible y . Las matrices simétricas y ortogonales con entradas reales son muy importantes y cumplen propiedades bonitas.
Teorema (teorema espectral). Si es una matriz de
con entradas reales y simétrica, entonces:
- Sus eigenvalores
(contando multiplicidades), son todos reales.
- Existe una matriz ortogonal
de
y con entradas reales tal que si tomamos a
la matriz diagonal de
cuyas entradas en la diagonal principal son
, entonces
No todas las matrices se pueden diagonalizar. Cuando una matriz sí se puede diagonalizar, entonces algunas operaciones se hacen más sencillas. Por ejemplo si como en el teorema anterior, entonces
y de manera inductiva se puede probar que . Elevar la matriz
a la
-ésima potencia es sencillo, pues como es una matriz diagonal, su
-ésima potencia consiste simplemente en elevar cada una de las entradas en su diagonal a la
.
Problema. Sea una matriz de
simétrica y de entradas reales. Muestra que si
para algún entero positivo
, entonces
.
Sugerencia pre-solución. La discusión anterior te permite enunciar la hipótesis en términos de los eigenvalores de . Modifica el problema a demostrar que todos ellos son cero.
Solución. Como es simétrica y de entradas reales, entonces sus eigenvalores
son reales y es diagonalizable. Digamos que su diagonalización es
. Tenemos que





Concluimos que , y que por lo tanto
.
Veamos ahora un bello problema que motiva una fórmula para los números de Fibonacci desde la teoría del álgebra lineal.
Problema. Toma la matriz



Sugerencia pre-solución. Para empezar, haz las primeras potencias y busca un patrón. Luego, para la demostración de esa parte, procede por inducción. Hay varias formas de escribir a la sucesión de Fibonacci, usa una notación que sea cómoda.
Solución. Al calcular las primeras potencias de la matriz obtenemos:
Al parecer, en las entradas de van apareciendo los números de Fibonacci. Seamos más concretos. Definimos
,
y para
definimos

Esto se puede probar por inducción. Arriba ya hicimos el caso . Supongamos la conjetura cierta hasta un entero
dado, y consideremos la matriz
. Tenemos haciendo el producto de matrices, usando la hipótesis inductiva y la recursión de Fibonacci, que
Esto termina el argumento inductivo y prueba la conjetura.
Para encontrar una fórmula para los Fibonaccis, lo que haremos ahora es usar el teorema espectral. Esto lo podemos hacer pues la matriz es de entradas reales y simétrica. Para encontrar la matriz diagonal de la factorización, necesitamos a los eigenvalores de
. Su polinomio característico es
Usando la fórmula cuadrática, las raíces de este polinomio (y por tanto, los eigenvalores de ) son




De esta forma,
Aquí no es tan importante determinar concretamente ni realizar las cuentas, sino darnos cuenta de que tras realizarlas cada entrada será una combinación lineal de
y
y de que los coeficientes de esta combinación lineal ya no dependen de
, sino sólo de las entradas de
. En particular, la entrada superior derecha de
por un lado es
, y por otro lado es
.
¿Cómo obtenemos los valores de y
? Basta substituir
y
para obtener un sistema de ecuaciones en
y
. Aquí abajo usamos que como
y
son raíces de
, entonces
,
y
.
De aquí, obtenemos la solución
Finalmente, todo este trabajo se resume a que una fórmula para los números de Fibonacci es
Matrices positivas y positivas definidas
Por definición, una matriz simétrica de
con entradas reales es positiva si para cualquier vector (columna)
en
se tiene que


Si además la igualdad se da sólo para el vector , entonces decimos que
es positiva definida. Un ejemplo sencillo de matriz positiva es la matriz
pues para cualquier vector
se tiene que

Las matrices reales que son positivas definidas son importantes pues caracterizan todos los productos interiores en . Una vez que se tiene un producto interior en un espacio vectorial de dimensión finita, se pueden aprovechar muchas de sus propiedades o consecuencias, por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz o la existencia de bases ortogonales para hacer descomposiciones de Fourier.
Para cuando se quieren resolver problemas, es muy útil conocer varias equivalencias de que una matriz sea positiva.
Equivalencias para matrices positivas
El siguiente resultado enuncia algunas de las equivalencias para que una matriz sea positiva
Teorema. Sea una matriz simétrica. Entonces todas las siguientes afirmaciones son equivalentes:
es positiva.
- Todos los eigenvalores de
son no negativos.
para alguna matriz simétrica
en
.
para alguna matriz
en
.
Hay un resultado análogo para cuando se quiere determinar si una matriz es positiva definida. En ese caso, los eigenvalores tienen que ser todos positivos. Para los puntos
y
se necesita además que
y
sean invertibles.
Problema. Sea una matriz de
con entradas reales, simétrica y positiva. Muestra que si


Sugerencia pre-solución. Necesitarás usar que matrices similares tienen la misma traza y el mismo determinante, o una versión particular para este problema.
Solución. Las siguientes son propiedades de la traza y el determinante:
- El determinante de una matriz diagonal es el producto de las entradas en su diagonal.
- Si tenemos dos matrices similares, entonces tienen la misma traza.
En particular, las hipótesis implican, por el teorema espectral, que se puede diagonalizar con matrices
, donde
es la matriz diagonal que tiene en su diagonal principal a los eigenvalores
de
, y
es una matriz invertible. Como
y
son similares, se tiene que
Como es positiva, entonces todos sus eigenvalores son no negativos, así que satisfacen la desigualdad MA-MG:
Por la última hipótesis del problema, esta desigualdad es de hecho una igualdad. Pero la igualdad en MA-MG se alcanza si y sólo si todos los números son iguales entre sí. Tenemos entonces que todos los eigenvalores son iguales a un cierto valor , y entonces
. Como cualquier múltiplo escalar de la matriz identidad conmuta con cualquier matriz de
, tendríamos entonces que
Con esto probamos que es de hecho un múltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto conmuta con cualquier matriz de
.
Más problemas
Puedes encontrar más problemas del teorema espectral, de formas y matrices positivas en la Sección 10.2 y la Sección 10.8 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.