El teorema de Cayley-Hamilton y polinomios de matrices

Introducción

Para terminar esta serie de entradas de álgebra lineal, y con ello el curso de resolución de problemas, hablaremos de polinomios especiales asociados a una matriz: el polinomio mínimo y el polinomio característico. Después, hablaremos del teorema de Cayley-Hamilton, que a grandes rasgos dice que una matriz se anula en su polinomio característico.

Estos resultados forman parte fundamental de la teoría que se aprende en un curso de álgebra lineal. En resolución de problemas, ayudan mucho para entender a los eigenvalores de una matriz, y expresiones polinomiales de matrices.

Polinomio mínimo de una matriz

Podemos evaluar un polinomio en una matriz cuadrada de acuerdo a la siguiente definición.

Definición. Si $A$ es una matriz de $n\times n$ con entradas reales y $p(x)$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ de la forma

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,$

definimos a la matriz $p(A)$ como la matriz

$a_0I_n+a_1A+a_2A^2+\ldots+a_nA^n.$

De manera análoga se puede dar una definición cuando las entradas de la matriz, o los coeficientes del polinomio, son números complejos.

Cuando una matriz está diagonalizada, digamos $A=P^{-1}DP$ con $P$ invertible y $D$ diagonal, entonces evaluar polinomios en $A$ es sencillo. Se tiene que $p(A)=P^{-1} p(D) P$ , y si las entradas en la diagonal principal de $D$ son $d_1,\ldots,d_n$ , entonces $p(D)$ es diagonal con entradas en la diagonal principal iguales a $p(d_1),\ldots,p(d_n)$ .

Dada una matriz $A$ , habrá algunos polinomios $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ para los cuales $p(A)=0$ . Si $p(x)$ es uno de estos, entonces cualquier eigenvalor de $A$ debe ser raíz de $p(x)$ . Veamos un problema de la International Mathematics Competition de 2011 que usa esto. Es el Problema 2 del día 1.

Problema. Determina si existe una matriz $A$ de $3\times 3$ con entradas reales tal que su traza es cero y $A^2+ {^tA} = I_3$ .

Sugerencia pre-solución. Busca un polinomio $p(x)$ tal que $p(A)=0$ .

Solución. La respuesta es que no existe dicha matriz. Procedamos por contradicción. Si existiera, podríamos transponer la identidad dada para obtener que

$\begin{align*}A&=I _3- {^t(A^2)}\\&=I_3-({^tA})^2\\&=I_3-(I_3 - A^2)^2\\&=2A^2 - A^4.\end{align*}$

De aquí, tendríamos que $A^4-2A^2+A = 0$ , de modo que cualquier eigenvalor de $A$ debe ser una raíz del polinomio

$p(x)=x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1),$

es decir, debe ser alguno de los números

$0,1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$

Los eigenvalores de $A^2$ son los cuadrados de los eigenvalores de $A$ , así que son algunos de los números

$0,1,\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}.$

Como la traza de $A$ es $0$ , la suma de sus tres eigenvalores (con multiplicidades), debe ser $0$ . Como la traza de $A^2$ es la de $I_3-{ ^tA}$ , que es $3$ , entonces la suma de los eigenvalores de $A$ al cuadrado (con multiplicidades), debe ser $0$ . Un sencillo análisis de casos muestra que esto no es posible.

$\square$

De entre los polinomios que se anulan en $A$ , hay uno especial. El polinomio mínimo de una matriz $A$ con entradas reales es el polinomio mónico $\mu_A(x)$ de menor grado tal que $\mu_A(A)=O_n$ , donde $O_n$ es la matriz de $n\times n$ con puros ceros. Este polinomio siempre es de grado menor o igual a $n$ .

Una propiedad fundamental del polinomio mínimo de una matriz es que es mínimo no sólo en un sentido de grado, sino también de divisibilidad.

Teorema. Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con entradas reales. Entonces para cualquier polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ tal que $p(A)=O_n$ , se tiene que $\mu_A(x)$ divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ .

Veamos cómo se puede usar este resultado.

Problema. La matriz $A$ de $2\times 2$ con entradas reales cumple que

$A^3-A^2+A=O_2.$

Determina los posibles valores que puede tener $A^2-A$ .

Sugerencia pre-solución. Encuentra las posibles opciones que puede tener el polinomio mínimo de $A$ y haz un análisis de casos con respecto a esto.

Solución. La matriz $A$ se anula en el polinomio

$p(x)=x^3-x^2+x=x(x^2-x+1),$

en donde $x^2-x+1$ tiene discriminante negativo y por lo tanto es irreducible.

El polinomio mínimo $\mu_A(x)$ debe ser un divisor de $p(x)$ . Además, es de grado a lo más $2$ . Esto nos deja con las siguientes opciones:

$\mu_A(x)=x$ , de donde $A=O_2$ , y por lo tanto $A^2=O_2$ . De aquí, $A^2-A=O_2$ .
$\mu_A(x)=x^2-x+1$ . En este caso, tenemos que $A^2-A+I_2=0$ . Así, $A^2-A=-I_2$ .

Para mostrar que ambas opciones son posibles, en el primer caso usamos $A=O_2$ y en el segundo caso usamos

$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

$\square$

Polinomio característico de una matriz

El polinomio característico de una matriz $A$ de $n\times n$ se define como

$\chi_A(x)=\det(xI_n - A).$

Teorema. El polinomio característico de una matriz $A$ cumple que:

Es un polinomio mónico en $x$ de grado $n$ .
El coeficiente del término de grado $n-1$ es la traza de $A$ .
El coeficiente libre es $\chi_A(0)=(-1)^n\det(A)$ .
Es igual al polinomio característico de cualquier matriz similar a $A$ .

Para ver ejemplos de cómo obtener el polinomio característico y cómo usar sus propiedades, hacemos referencia a la siguiente entrada:

Propiedades del polinomio característico

En particular, para fines de este curso, es importante leer los ejemplos y problemas resueltos de esa entrada.

El teorema de Cayley-Hamilton y una demostración con densidad

Finalmente, hablaremos de uno de los resultados fundamentales en álgebra lineal.

Teorema (Cayley-Hamilton). Si $A$ es una matriz de $n\times n$ con entradas en $\mathbb{C}$ y $\chi_A(x)$ es su polinomio característico, entonces

$\chi_A(A)=O_n.$

En realidad el teorema de Cayley-Hamilton es válido para matrices más generales. Daremos un esbozo de demostración sólo para matrices con entradas complejas pues eso nos permite introducir una técnica de perturbaciones.

Esbozo de demostración. Vamos a hacer la técnica de la bola de nieve, construyendo familias poco a poco más grandes de matrices que satisfacen el teorema.

Si $A$ es una matriz diagonal, las entradas en su diagonal son sus eigenvalores $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ . Por la discusión al inicio de esta entrada, $\chi_A(A)$ es diagonal con entradas $\chi_A(\lambda_1),\ldots,\chi_A(\lambda_n)$ , y como los eigenvalores son raíces del polinomio característico, entonces todos estos valores son $0$ , y por lo tanto $\chi_A(A)=0$ .

Si $A$ es diagonalizable, digamos, de la forma $A=P^{-1} D P$ , entonces $A$ y $D$ tienen el mismo polinomio característico. Por la discusión al inicio de la entrada, y por el caso anterior:

$\begin{align*}\chi_A(A) &= \chi_D(A)\\&= \chi_D(P^{-1} D P)\\&=P^{-1}\chi_D(D) P\\&=P^{-1}O_n P \\&=O_n.\end{align*}$

Si $A$ tiene todos sus eigenvalores distintos, se puede mostrar que $A$ es diagonalizable. Ahora viene la idea clave del argumento de continuidad.

Pensemos al espacio métrico de matrices de $n\times n$ . Afirmamos que las matrices con eigenvalores todos distintos son densas en este espacio métrico. Para ello, tomemos una matriz $A$ . En efecto, como estamos trabajando en $\mathbb{C}$ , existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}A P$ es triangular. Como $P$ es invertible, define una transformación continua. Los eigenvalores de $P^{-1} A P$ son sus entradas en la diagonal, y podemos perturbarlos tan poquito como queramos para hacer que todos sean distintos.

De esta forma, existe una sucesión de matrices $A_k$ , todas ellas diagonalizables, tales que $A_k \to A$ conforme $k\to \infty$ . El resultado se sigue entonces de las siguientes observaciones:

Los coeficientes del polinomio característico de una matriz dependen continuamente de sus entradas.
Las entradas de potencias de una matriz dependen continuamente de sus entradas.
Así, la función $\chi_{M}(M)$ es continua en la matriz variable $M$ .

Concluimos como sigue $\chi_{A_k}(A_k)=0$ , por ser cada una de las matrices $A_k$ diagonalizables. Por la continuidad de $\chi_{M}(M)$ , tenemos que

$\begin{align*}\chi_A(A)&=\lim_{k\to \infty} \chi_{A_k}(A_k)\\&= \lim_{k\to \infty} O_n \\&= O_n.\end{align*}$

$\square$

Terminamos esta entrada con un problema que usa el teorema de Cayley-Hamilton.

Problema. Muestra que para cualesquiera matrices $X,Y,Z$ de $2\times 2$ con entradas reales se cumple que

$\begin{align*} &ZXYXY + ZYXYX + XYYXZ + YXXYZ\\= &XYXYZ + YXYXZ + ZXYYX + ZYXXY.\end{align*}$

Sugerencia pre-solución. Muestra que las matrices reales de $2\times 2$ de traza cero conmutan con cualquier matriz de $2\times 2$ .

Solución. Si $A$ es una matriz de $2\times 2$ de traza cero, su polinomio característico es

$\begin{align*}\chi_A(x)&=x^2 - \text{tr}(A) x + \det(A)\\&=x^2 + \det(A).\end{align*}$

Por el teorema de Cayley-Hamilton, se satisface entonces que $A^2=-\det(A) I_2$ , así que $A^2$ es un múltiplo de la identidad, y por lo tanto conmuta con cualquier matriz de $2\times 2$ .

La identidad que queremos mostrar se puede reescribir como

$Z(XY-YX)^2 = (XY-YX)^2Z.$

La traza de $XY$ es igual a la traza de $YX$ , y como la traza es una transformación lineal, tenemos que

$\text{tr}(XY-YX)= \text{tr}(XY)-\text{tr}(YX)=0.$

El problema se termina aplicando la discusión de arriba a la matriz

$A=XY-YX.$

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas relacionados con el polinomio mínimo, el polinomio característico y el teorema de Cayley-Hamilton en la Sección 8.2, 8.4 y 8.5 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu. También hay más problemas relacionados con el teorema de Cayley-Hamilton en el Capítulo 4 del libro Mathematical Bridges de Andreescu, Mortici y Tetiva.

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Seminario de Resolución de Problemas: Polinomios asociados a matrices y el teorema de Cayley-Hamilton

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