Introducción
En las entradas anteriores de teoría de números hemos hablado acerca de divisibilidad, de aritmética modular y de factorización única en primos. En esta entrada vamos a hablar de propiedades que podemos deducir de ciertos números a partir de su dígitos.
Usualmente escribimos a los números en base , usando los dígitos de
a
. En realidad, esto es relativamente arbitrario. Podemos usar bases distintas de
para expresar cualquier número de manera (casi) única. Conocer la expresión de un número en cierta base nos permite deducir propiedades algebraicas y de divisibilidad que nos ayuden a resolver problemas.
Expresión en una base arbitraria
Para cualquier base entera que elijamos, cualquier número real se puede expresar de manera (casi) única en base
. La afirmación precisa es el siguiente resultado.
Teorema. Sea un número real y
un entero. Entonces, existen únicos enteros
en
tales que


Para estos y
escribimos
La condición de para una infinidad de
está ahí para garantizar que la expresión sea única pues, por ejemplo,
, pero esa condición descarta la expresión de la derecha.
Si , a esta expresión le llamamos la expresión binaria de
.
Ejemplo. La expresión binaria de es
. ¿Por qué?
Multiplicar y dividir entre cuando tenemos números en base
es sencillo: simplemente recorremos el punto decimal. Lo mismo sucede en cualquier base
.
Proposición. Cuando tenemos un número en base y multiplicamos por
, el «punto decimal» se recorre a la derecha. Cuando dividimos entre
se recorre a la izquierda.
Problema. Determina si existe un real tal que
Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás suponiendo que la ecuación sí tiene una solución para determinar cómo tiene que verse . Usa la expresión binaria de
.
Solución. Tenemos que para todo real
, de modo que si dicho número
existe, se cumple



De aquí, .
Esto nos dice que es un real entre
y
. Escribámoslo como
más una parte fraccional en base
, es decir, de la forma
. Multiplicar por
simplemente recorre el punto decimal en base
un lugar hacia la derecha, de modo que
Concluimos entonces que la suma buscada es igual a . Si existe el número que queremos, la ecuación








Bases y números racionales
Una sucesión infinita es preperiódica si existen enteros positivos
y
tales que
para todo entero
. A
se le llama un periodo de la sucesión, y decimos que
es periódica a partir de
.
Teorema. Sea un número real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
es racional
- Para toda base
la sucesión de dígitos después del punto
es preperiódica.
- Para alguna base
la sucesión de dígitos después del punto
es preperiódica.
Problema. Considera el número en binario




Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que es racional.
Solución. Si fuera racional, la sucesión
sería preperiódica, de modo que existirían
y
tales que
para todo
. Consideremos el bloque de
dígitos
. Como el periodo de la sucesión es
, a partir de
este bloque de dígitos se repite.
Los números ,
,
,
son
números consecutivos mayores a
y tales que ninguno de ellos es primo, pues el primero es divisible entre
, el segundo entre
, …, y el último entre
. Esto muestra que el bloque de
dígitos debe consistir de puros
‘s, pues uno de los bloques del ciclo queda contenido en el bloque de
dígitos
. Así, a partir de
todos los dígitos son iguales a
.
Pero esto es imposible, pues quiere decir que todos los enteros mayores o iguales a no son primos. Esto contradice que hay una infinidad de números primos.
Criterios de divisibilidad
Si sabemos cómo es la expresión de un número en una base, entonces a veces podemos decir cosas acerca de su divisibilidad o residuo al dividirse entre algunos enteros relacionados con la base. Cuando estamos trabajando módulo tenemos el siguiente resultado.
Proposición (criterios de divisibilidad base 10). Sea un entero positivo. En base
,
es congruente con el número formado por sus últimos
dígitos módulo
, y por lo tanto también módulo
y módulo
.
es congruente con la suma de sus dígitos módulo
, y por lo tanto también módulo
.
- Agrupemos los dígitos de
de derecha a izquierda en grupos de
elementos, donde el último puede tener menos de
. Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo
.
Demostrar estos criterios es sencillo. Por ejemplo, un número en base
es igual a



Como ejemplo del último criterio, considera el siguiente problema:
Problema. ¿Cuál es el residuo que queda al dividir entre
?
Sugerencia pre-solución. Usa el tercer criterio de divisibilidad base para
. Factoriza
.
Solución. Vamos a estudiar al número módulo . Para esto, agrupamos los dígitos de tres en tres, de derecha a izquierda






En general, tenemos lo siguiente.
Proposición (criterios de divisibilidad base ). Sea
un entero positivo. En base
:
es congruente con el número formado por sus últimos
dígitos módulo
, y por lo tanto también módulo
para cualquier divisor
de
.
-
es congruente con la suma de sus dígitos módulo
(y por lo tanto también módulo cualquier divisor de
)
- Agrupemos los dígitos de
de derecha a izquierda en grupos de
elementos, donde el último puede tener menos de
. Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo
.
Problema. Considera los números del al
(inclusive). ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de
‘s en su expresión en base
? ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de
‘s en su expresión en binario?
Sugerencia pre-solución. Haz casos pequeños para encontrar un patrón que te diga cuántos números del al
tienen una cantidad impar de
‘s en su expresión en base
y
. Para demostrar el resultado para base
, usa criterios de divisibilidad generalizados. Para base
usa paridad y aprovecha la simetría.
Solución. Un número en base es congruente con la suma de sus dígitos módulo
. En base
el único dígito impar es el
. Así, un número en base
es congruente a su cantidad de dígitos
módulo
. De esta forma,
tiene una cantidad impar de
‘s si y sólo si es impar. Por lo tanto, hay
números entre
y
que tienen una cantidad impar de
‘s en su expresión en base
.
En base el patrón no es tan claro. Los primeros números son
,
,
,
,
,
,
. A veces cuando se cambia de cantidad de dígitos se cambia la paridad de
‘s (como de
a
) y a veces no (como de
a
). Haremos entonces un argumento de emparejamiento.
Notemos que cualquier número par termina en
en binario y que
tiene la misma expansión salvo el último dígito, que ahora es
.Así, a los números del
al
los podemos agrupar en parejas en donde en cada pareja los números tienen distinta paridad de
‘s. De esta forma, aquí hay
números con una cantidad impar de
‘s. El
tiene una cantidad impar de
‘s. El
en binario es
, que tiene una cantidad par de
‘s. Así, hay
números entre
y
con una cantidad impar de
‘s en binario.
Más ejemplos
Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.