Técnicas de dígitos y bases numéricas

Introducción

En las entradas anteriores de teoría de números hemos hablado acerca de divisibilidad, de aritmética modular y de factorización única en primos. En esta entrada vamos a hablar de propiedades que podemos deducir de ciertos números a partir de su dígitos.

Usualmente escribimos a los números en base $10$ , usando los dígitos de $1$ a $9$ . En realidad, esto es relativamente arbitrario. Podemos usar bases distintas de $10$ para expresar cualquier número de manera (casi) única. Conocer la expresión de un número en cierta base nos permite deducir propiedades algebraicas y de divisibilidad que nos ayuden a resolver problemas.

Expresión en una base arbitraria

Para cualquier base entera $b\geq 2$ que elijamos, cualquier número real se puede expresar de manera (casi) única en base $b$ . La afirmación precisa es el siguiente resultado.

Teorema. Sea $r$ un número real y $b\geq 2$ un entero. Entonces, existen únicos enteros $A_0,A_1,\ldots, a_1,a_2,\ldots$ en $\{0,1,\ldots,b-1\}$ tales que

$r=\sum_{i=0}^\infty A_i b^i + \sum_{i=0}^{\infty} a_i 10^{-i}$

y $a_i\neq b-1$ para una infinidad de $i$ ‘s.

Para estos $a_i$ y $A_i$ escribimos

$r=(\ldots A_2A_1A_0.a_1a_2\ldots)_b,$

en donde el subíndice indica la base que se está usando.

La condición de $a_i\neq b-1$ para una infinidad de $i's$ está ahí para garantizar que la expresión sea única pues, por ejemplo, $1=\sum_{i=0}^\infty 9\cdot 10^{-i}=0.9999\ldots$ , pero esa condición descarta la expresión de la derecha.

Si $b=2$ , a esta expresión le llamamos la expresión binaria de $r$ .

Ejemplo. La expresión binaria de $4/3$ es $(1.010101\ldots)_2$ . ¿Por qué?

Multiplicar y dividir entre $10$ cuando tenemos números en base $10$ es sencillo: simplemente recorremos el punto decimal. Lo mismo sucede en cualquier base $b$ .

Proposición. Cuando tenemos un número en base $b$ y multiplicamos por $b$ , el «punto decimal» se recorre a la derecha. Cuando dividimos entre $b$ se recorre a la izquierda.

Problema. Determina si existe un real $x$ tal que

$\floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x}= 2222.$

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás suponiendo que la ecuación sí tiene una solución para determinar cómo tiene que verse $x$ . Usa la expresión binaria de $x$ .

Solución. Tenemos que $r\geq \floor{r}$ para todo real $r$ , de modo que si dicho número $x$ existe, se cumple

$17x\geq \floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x} = 2222.$

De aquí, $x\geq 2222/17 = 130.705\ldots\geq 130$ . También, $r\leq \floor{r}+1$ , de modo que si $x$ existe necesitamos

$17x\leq \floor{x}+\floor{2x}+\floor{4x}+\floor{8x} + 4 = 2226.$

De aquí, $x\leq 2226/17 =130.94\leq 131$ .

Esto nos dice que $x$ es un real entre $130$ y $131$ . Escribámoslo como $130$ más una parte fraccional en base $2$ , es decir, de la forma $x=130+(abcde\ldots)_2$ . Multiplicar por $2$ simplemente recorre el punto decimal en base $2$ un lugar hacia la derecha, de modo que

$\begin{align*}2x&=260+(a.bcde\ldots)_2\\4x&=520+(ab.cde\ldots)_2\\8x&=1040+(abc.de\ldots)_2,\end{align*}$

y por lo tanto

$\begin{align*}\floor{x}&=130\\\floor{2x}&=260+(a)_2=260+a\\\floor{4x}&=520+(ab)_2=520+2a+b\\\floor{8x}&=1040+(abc)_2=1040+4a+2b+c.\end{align*}$

Concluimos entonces que la suma buscada es igual a $1950+7a+3b+c$ . Si existe el número que queremos, la ecuación

$1950+7a+3b+c=2222$

debe tener una solución con $a$ , $b$ y $c$ iguales a $0$ o a $1$ . Pero esto es imposible, pues incluso aunque los tres sean iguales a $1$ , tenemos a lo más $1950+11=1961$ . De esta forma, no existe la $x$ que buscamos.

$\square$

Bases y números racionales

Una sucesión infinita $\{a_1,a_2,\ldots,\}$ es preperiódica si existen enteros positivos $n$ y $d$ tales que $a_m=a_{m+d}$ para todo entero $m\geq n$ . A $d$ se le llama un periodo de la sucesión, y decimos que $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es periódica a partir de $a_n$ .

Teorema. Sea $r$ un número real. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

$r$ es racional
Para toda base $b$ la sucesión de dígitos después del punto $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es preperiódica.
Para alguna base $b$ la sucesión de dígitos después del punto $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es preperiódica.

Problema. Considera el número en binario

$r=(0.a_1a_2a_3\ldots)_2$

en donde $a_i=0$ si $i$ es primo y $a_i=1$ si no. Determina si $r$ es un número racional o irracional.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que $r$ es racional.

Solución. Si $r$ fuera racional, la sucesión $\{a_1,a_2,\ldots\}$ sería preperiódica, de modo que existirían $n$ y $d$ tales que $a_{m+d}=a_m$ para todo $m\geq n$ . Consideremos el bloque de $d$ dígitos $(a_na_{n+1}\ldots a_{n+d-1})_2$ . Como el periodo de la sucesión es $d$ , a partir de $a_n$ este bloque de dígitos se repite.

Los números $M=n(2d+1)!+2$ , $M+1=n(2d+1)!+3$ , $\ldots$ , $M+(2d-1)=n(2d+1)!+(2d+1)$ son $2d$ números consecutivos mayores a $n$ y tales que ninguno de ellos es primo, pues el primero es divisible entre $2$ , el segundo entre $3$ , …, y el último entre $2d+1$ . Esto muestra que el bloque de $d$ dígitos debe consistir de puros $1$ ‘s, pues uno de los bloques del ciclo queda contenido en el bloque de $2d$ dígitos $(a_Ma_{M+1}\ldots a_{M+2d-1})_2$ . Así, a partir de $a_n$ todos los dígitos son iguales a $1$ .

Pero esto es imposible, pues quiere decir que todos los enteros mayores o iguales a $n$ no son primos. Esto contradice que hay una infinidad de números primos.

$\square$

Criterios de divisibilidad

Si sabemos cómo es la expresión de un número en una base, entonces a veces podemos decir cosas acerca de su divisibilidad o residuo al dividirse entre algunos enteros relacionados con la base. Cuando estamos trabajando módulo $10$ tenemos el siguiente resultado.

Proposición (criterios de divisibilidad base 10). Sea $n$ un entero positivo. En base $10$ ,

$n$ es congruente con el número formado por sus últimos $k$ dígitos módulo $10^k$ , y por lo tanto también módulo $2^k$ y módulo $5^k$ .
$n$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $9$ , y por lo tanto también módulo $3$ .
Agrupemos los dígitos de $n$ de derecha a izquierda en grupos de $j$ elementos, donde el último puede tener menos de $j$ . Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo $10^{j}+1$ .

Demostrar estos criterios es sencillo. Por ejemplo, un número $(A_nA_{n-1}\ldots A_0)_{10}$ en base $10$ es igual a

$10^{n}A_n+10^{n-1}A_{n-1}+\ldots+10 A_1+ A_0.$

Trabajando módulo $9$ , todos los $10$ son $1$ , así que

$n=10^nA_n+\ldots+A_0\equiv A_n + A_{n-1}+\ldots+A_0.$

Como ejemplo del último criterio, considera el siguiente problema:

Problema. ¿Cuál es el residuo que queda al dividir $n=1512513514515$ entre $13$ ?

Sugerencia pre-solución. Usa el tercer criterio de divisibilidad base $10$ para $j=3$ . Factoriza $1001$ .

Solución. Vamos a estudiar al número módulo $1001$ . Para esto, agrupamos los dígitos de tres en tres, de derecha a izquierda

$515, 514, 513, 512, 1$

y hacemos la suma alternada

$515-514+513-512+1=3.$

Por el tercer criterio de divisibilidad, tenemos que $n\equiv 3 \pmod{1001}$ . Notemos que $1001=7\cdot 11 \cdot 13$ , de modo que $n\equiv 3 \pmod{13}$ . Así, el residuo al dividir $n$ entre $13$ es $3$ .

$\square$

En general, tenemos lo siguiente.

Proposición (criterios de divisibilidad base $b$ ). Sea $n$ un entero positivo. En base $b$ :

$n$ es congruente con el número formado por sus últimos $k$ dígitos módulo $b^k$ , y por lo tanto también módulo $d^k$ para cualquier divisor $d$ de $b$ .
$n$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $b-1$ (y por lo tanto también módulo cualquier divisor de $b-1$ )
Agrupemos los dígitos de $n$ de derecha a izquierda en grupos de $j$ elementos, donde el último puede tener menos de $j$ . Un número es congruente con la suma alternada (más, menos, más, etc) de estos grupos módulo $b^{j}+1$ .

Problema. Considera los números del $1$ al $500$ (inclusive). ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de $1$ ‘s en su expresión en base $3$ ? ¿Cuántos de estos números tienen una cantidad impar de $1$ ‘s en su expresión en binario?

Sugerencia pre-solución. Haz casos pequeños para encontrar un patrón que te diga cuántos números del $1$ al $n$ tienen una cantidad impar de $1$ ‘s en su expresión en base $2$ y $3$ . Para demostrar el resultado para base $3$ , usa criterios de divisibilidad generalizados. Para base $2$ usa paridad y aprovecha la simetría.

Solución. Un número en base $3$ es congruente con la suma de sus dígitos módulo $2$ . En base $3$ el único dígito impar es el $1$ . Así, un número en base $3$ es congruente a su cantidad de dígitos $1$ módulo $2$ . De esta forma, $n$ tiene una cantidad impar de $1$ ‘s si y sólo si es impar. Por lo tanto, hay $250$ números entre $1$ y $500$ que tienen una cantidad impar de $1$ ‘s en su expresión en base $3$ .

En base $1$ el patrón no es tan claro. Los primeros números son $1$ , $10$ , $11$ , $100$ , $101$ , $110$ , $111$ . A veces cuando se cambia de cantidad de dígitos se cambia la paridad de $1$ ‘s (como de $11$ a $100$ ) y a veces no (como de $111$ a $1000$ ). Haremos entonces un argumento de emparejamiento.

Notemos que cualquier número par $2n$ termina en $0$ en binario y que $2n+1$ tiene la misma expansión salvo el último dígito, que ahora es $1$ .Así, a los números del $2$ al $499$ los podemos agrupar en parejas en donde en cada pareja los números tienen distinta paridad de $1$ ‘s. De esta forma, aquí hay $498/2=249$ números con una cantidad impar de $1$ ‘s. El $1$ tiene una cantidad impar de $1$ ‘s. El $500$ en binario es $(111110100)_2$ , que tiene una cantidad par de $1$ ‘s. Así, hay $250$ números entre $1$ y $500$ con una cantidad impar de $1$ ‘s en binario.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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