Introducción
El algunas ocasiones es suficiente saber si una matriz es invertible o no. Sin embargo, esta es una distinción muy poco fina. Hay algunos otros problemas en los que se necesita decir más acerca de la matriz. Podemos pensar que una matriz invertible, como transformación lineal, «guarda toda la información» al pasar de un espacio vectorial a otro. Cuando esto no sucede, nos gustaría entender «qué tanta información se guarda». El rango de matrices es una forma de medir esto. Si la matriz es de , el rango es un número entero que va de cero a
. Mientras mayor sea, «más información guarda».
Por definición, el rango de una matriz de
es igual a la dimensión del subespacio vectorial de
generado por los vectores columna de
. Una matriz de
tiene rango
si y sólo si es invertible.
Si pensamos a como la transformación lineal de
a
tal que
, entonces el rango es precisamente la dimensión de la imagen de
. Esto permite extender la definición de rango a transformaciones lineales arbitrarias, y se estudia con generalidad en un curso de álgebra lineal.
En las siguientes secciones enunciaremos sin demostración algunas propiedades del rango de matrices y las usaremos para resolver problemas.
Propiedades del rango de matrices
Comenzamos enunciando algunas propiedades del rango de matrices
Teorema. Sean ,
y
enteros. Sea
una matriz de
, y
,
matrices de
. Sean además
una matriz de
cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y
una matriz de
cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:
Consideremos el siguiente problema, tomado del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.
Problema. Las matrices y
tienen entradas reales. La matriz
es de
, la matriz
es de
y además

Sugerencia pre-solución. Un paso intermedio clave es mostrar que el producto es invertible.
Solución. Para empezar, afirmamos que . Esto se puede verificar directamente haciendo el producto de matrices.
Luego, afirmamos que el rango de es
. En efecto, eso se puede hacer fácilmente por definición. Por un lado, la suma de las primeras dos columnas es igual a la tercera, así que el espacio vectorial que generan las tres es de dimensión a lo más dos. Pero es al menos dos, pues las primeras dos columnas son linealmente independientes. Esto muestra la afirmación.
Ahora, usando la propiedad (2) del teorema dos veces, tenemos que
Así, es una matriz de
de rango
y por lo tanto es invertible.
Consideremos ahora el producto . Desarrollando y usando que
, tenemos que
Como es invertible, entonces
tiene inversa. Si multiplicamos la igualdad
por esa inversa, obtenemos que
El teorema anterior nos permite acotar por arriba el rango del producto de dos matrices. También hay una desigualdad que nos permite acotar por abajo el rango de dicho producto, cuando las matrices son cuadradas.
Teorema (desigualdad de Sylvester). Para matrices y
de
, se tiene que
Problema. La matriz es de
. Muestra que:
- Si
tiene rango
, entonces la matriz
no puede ser la matriz de
de puros ceros, es decir,
.
- Si
tiene rango
, entonces la matriz
puede ser la matriz
.
Sugerencia pre-solución. Enuncia una afirmación más general relacionada con el rango que puedas probar por inducción utilizando la desigualdad de Sylvester.
Solución. Para la primer parte, probaremos primero algo más general. Afirmamos que si es una matriz de
de rango
y
es un entero positivo, entonces el rango de la matriz
es por lo menos
. Procedemos por inducción sobre
. Si
, el resultado es cierto pues
tiene rango
.
Supongamos el resultado para cierto entero . Usando la desigualdad de Sylverster y la hipótesis inductiva, tenemos que
Esto muestra la afirmación general.
Si regresamos a la primer parte del problema original y aplicamos el resultado anterior, tenemos que es una matriz de rango por lo menos


Hagamos ahora la segunda parte del problema. Para ello, debemos construir una matriz de
de rango
tal que
sea la matriz
. Para ello, consideremos la matriz
tal que sus primeras
columnas sean iguales al vector
, y que sus columnas de la
a la
sean los vectores canónicos
.
Esta matriz claramente es de rango , pues el espacio generado por sus columnas es el espacio generado por
, que es de dimensión
. Por otro lado, se puede mostrar inductivamente que para
, se tiene que
es una matriz en donde sus columnas de
a
son todas el vector
, y sus columnas de
a
son
. En particular,
, y entonces
también es la matriz de puros ceros.
Equivalencias de rango de matrices
Hay muchas formas alternativas para calcular el rango de una matriz. El siguiente teorema resume las equivalencias más usadas en resolución de problemas.
Teorema. Sea una matriz de
con entradas reales. Los siguientes números son todos iguales:
- El rango de
, es decir, la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna de
.
- La dimensión del espacio vectorial generado por los vectores fila de
. Observa que esto es, por definición, el rango de la transpuesta de
.
- La cantidad de filas no cero que tiene la forma escalonada reducida de
.
- (Teorema de rango-nulidad)
, donde
es el espacio vectorial de soluciones a
.
- El tamaño más grande de una submatriz cuadrada de
que sea invertible.
- La cantidad de eigenvalores complejos distintos de cero contando multiplicidades algebraicas.
Problema. Determina todos los posibles rangos que pueden tener las matrices con entradas reales de la forma
Sugerencia pre-solución. Comienza haciendo casos pequeños. Para dar los ejemplos y mostrar que tienen el rango deseado, usa el teorema de equivalencia de rango para simplificar algunos argumentos.
Solución. El rango de una matriz de es un entero de
a
. Debemos ver cuáles de estos valores se pueden alcanzar con matrices de la forma dada.
Tomando , obtenemos la matriz
, que tiene rango
. Si
, obtenemos la matriz de puros unos, que tiene rango
. Además, si
y
, obtenemos la matriz identidad, que tiene rango
.
Si y
, obtenemos la matriz





Veamos ahora que el rango puede ser . Para ello, damos un argumento de determinantes. Llamemos
. Sumando las tres últimas filas a la primera y factorizando
, tenemos que
Así, si tomamos y
, entonces
y por lo tanto la matriz
que obtenemos no es invertible, así que su rango es a lo más tres. Pero además es de rango al menos tres pues
tiene como submatriz a
Concluimos que los posibles rangos que pueden tener las matrices de esa forma son .
El teorema de factorización 
Existen diversos teoremas que nos permiten factorizar matrices en formas especiales. De acuerdo a lo que pida un problema, es posible que se requiera usar uno u otro resultado. El teorema de factorización más útil para cuando se están resolviendo problemas de rango es el siguiente.
Teorema (factorización ). Sea
una matriz de
y
un entero en
. El rango de
es igual a
si y sólo si existen matrices invertibles
de
y
de
tales que
, en donde
es la matriz de
cuyas primeras
entradas de su diagonal principal son
y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque,
Como evidencia de la utilidad de este teorema, sugerimos que intentes mostrar que el rango por columnas de una matriz es igual al rango por filas, usando únicamente la definición. Esto es relativamente difícil. Sin embargo, con el teorema es inmediato. Si
es de
y tiene rango
, entonces su factorización
es de la forma
Esto es de nuevo un factorización , con
la matriz de
que indica que
es de rango
.
Veamos ahora un problema clásico en el que se puede usar la factorización .
Problema. Sea una matriz de
y rango
. Muestra que:
puede ser escrita como la suma de
matrices de rango
.
no puede ser escrita como la suma de
o menos matrices de rango
.
Sugerencia pre-solución. Para la primer parte, usa el teorema . Para la segunda parte, usa desigualdades del rango.
Solución. Tomemos una factorización
de
.
Hagamos la primer parte. Para ello, para cada , consideremos la matriz
de
tal que su
-ésima entrada en la diagonal principal es
y el resto de sus entradas son iguales a
.
Por un lado, es de rango
, pues tiene sólo una columna distinta de cero. De este modo,





Por otro lado,
Esto expresa a como suma de
matrices de rango
.
Para la segunda parte del problema, usamos repetidamente que el rango es subaditivo. Si tenemos matrices matrices de
, entonces
Si cada es de rango
, entonces su suma tiene rango a lo más
.
Así, la suma de o menos matrices de rango
tiene rango a lo más
, y por lo tanto no puede ser igual a
.
Más problemas
Puedes encontrar más problemas de rango de una matriz en la Sección 5.4 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu. El teorema , así como muchos problemas ejemplo, los puedes encontrar en el Capítulo 5 del libro Mathematical Bridges de Andreescu, Mortici y Tetiva.
B6 putnam 1969.
Solo alguien como tú puede hacer ver trivial un problema de putnam.