Seminario de Resolución de Problemas: Cálculo de determinantes

Introducción

Una de las habilidades fundamentales que hay que desarrollar para resolver problemas de álgebra lineal es el cálculo de determinantes. Como vimos en la entrada anterior, conocer el determinante de una matriz nos permite saber si es invertible. Así mismo, los determinantes permiten encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales, y más adelante veremos que están relacionados con el rango. Además, los determinantes juegan un papel muy importante en otras áreas de las matemáticas, como cálculo y teoría de gráficas.

Todo parte de la siguiente definición:

Definición. Para una matriz A de n \times n con entradas reales A=[a_{ij}], el determinante de A es

    \[\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},\]

donde la suma se hace sobre todas las permutaciones (funciones biyectivas) \sigma de \{1,\ldots,n\} a sí mismo y \text{sign}(\sigma) es el signo de la permutación.

A \det A también lo escribimos a veces en notación de “matriz con barras verticales” como sigue:

    \begin{align*}\det A = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}.\end{vmatrix}.\end{align*}

La definición permite mostrar de maneras muy elegantes las propiedades que cumplen los determinantes, pero no es nada práctica para cuando se quieren hacer las cuentas. Como la suma se hace sobre todas las permutaciones \sigma de un conjunto de n elementos, si quisiéramos calcular determinantes por definición se tendrían que hacer n! productos, y luego sumar todos estos resultados.

Por esta razón, es muy importante encontrar otras formas de evaluar determinantes. Para empezar, esta entrada hará referencia a dos enlaces del blog en los que se discuten las propiedades básicas de determinantes. Luego, se hablará de dos tipos especiales de determinantes: los de Vandermonde y los de matrices circulantes.

Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Lo primero y más importante es que conozcas las teoría básica para cálculo de determinantes. Aquí en el blog hay una entrada que sirve justo para conocer las propiedades y técnicas principales para encontrar determinantes.

Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Además, es también muy importante que sepas calcular determinantes usando la expansión de Laplace. En la siguiente entrada puedes ver el enunciado de la técnica, y cómo se usa en varios ejemplos:

Problemas de cálculo de determinantes

Para fines de este curso, es importante que revises esas entradas. Puedes saltarte las demostraciones de los resultados principales, pero presta atención a cómo se usan en cada uno de los problemas.

Las siguientes secciones presentan técnicas avanzadas que a veces resultan útiles. Sin embargo, tómalas como temas optativos, dando prioridad a primero dominar los básicos.

Determinantes de Vandermonde

Teorema (determinante de Vandermonde). Sean a_1,\ldots,a_n números reales. El determinante de la matriz de Vandermonde

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1&a_1 & a_1^2 & \ldots & a_1^{n-1}\\1 & a_2 & a_2^2 & \ldots & a_2^{n-1}\\1&a_3 & a_3^2 & \ldots & a_3^{n-1}\\\vdots& & & \ddots & \vdots\\1& a_n & a_n^2 & \ldots & a_n^{n-1}\\\end{pmatrix}\end{align*}

es igual a

    \[\prod_{1\leq i < j \leq n} (a_j-a_i).\]

Ejemplo. La matriz

    \[\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{pmatrix}\]

es una matriz de Vandermonde, así que su determinante es

    \[(b-a)(c-a)(c-b).\]

\square

Veamos un problema en el que aparece una matriz de Vandermonde.

Problema. Sean a, b y c reales distintos de 0. Muestra que el determinante de

    \[\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix}\]

es

    \[(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab).\]

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente usando propiedades de determinantes para que quede un determinante del tipo de Vandermonde. Aprovecha la simetría para ahorrar algunas cuentas.

Solución. Como el determinante es homogéneo en cada columna, podemos factorizar a^2 de la primera, b^2 de la segunda y c^2 de la tercera para obtener que

    \begin{align*}\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix} &= (abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \end{vmatrix}\\&=-(abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \end{vmatrix}.\end{align*}

Aquí también usamos que al intercambiar dos filas (o columnas), el determinante de una matriz cambia de signo.

Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta, y la transpuesta de esta última matriz es de Vandermonde, de modo que

    \[-(abc)^2 \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ \frac{c}{a} & \frac{a}{b} & \frac{b}{c} \\ \frac{c^2}{a^2}& \frac{a^2}{b^2} & \frac{b^2}{c^2} \end{vmatrix} = -(abc)^2 \left(\frac{a}{b}-\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{c}-\frac{a}{b}\right).\]

Vamos a partir esta última expresión en factores simétricos. Tenemos que

    \[ab\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{a}\right)=a^2-bc.\]

De manera similar, tenemos también

    \[-ca\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)=c^2-ab\]

y

    \[bc\left(\frac{b}{c}-\frac{a}{b}\right)=b^2-ac.\]

Así, concluimos que

    \[\begin{vmatrix}a^2 & b^2 & c^2\\ c^2& a^2 & b^2 \\ ca & ab & bc \end{vmatrix}= (a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab).\]

\square

Determinantes de matrices circulantes

Teorema (determinantes circulantes) Sean a_1,\ldots, a_n números reales. El determinante de la matriz circulante

    \begin{align*}\begin{pmatrix}a_1& a_n & a_{n-1} & \ldots & a_2\\a_2&a_1& a_{n}& \ldots & a_3\\a_3 & a_2& a_1& \ldots & a_4\\\vdots& & & \ddots & \vdots\\a_n& a_{n-1} & a_{n-2} &\ldots & a_1.\end{pmatrix}\end{align*}

es

    \[\prod_{j=0}^{n-1} (a_1 + a_n \omega_j + a_{n-1} \omega_j^2 + \ldots + a_2 \omega_j^{n-1}),\]

en donde \omega_j es la n-ésima raíz de la unidad dada por \omega_j:= e^{j \cdot \frac{2\pi i}{n}}.

Ejemplo. La matriz

    \[\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}\]

es una matriz circulante, así que su determinante es

    \[(a+b+c)(a+\omega b + \omega^2 c)(a+\omega^2 b+ \omega c),\]

donde \omega es la raíz cúbica de la unidad de argumento positivo mínimo.

\square

El siguiente problema apareció en la tercera edición de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática Universitaria. El enunciado en esa ocasión fue un poco distinto, pero lo adaptamos a la notación de esta entrada.

Problema. Sea n\geq 3 un entero Muestra que el determinante de la matriz circulante en donde a_1=a_n=a_{n-1}=1 y a_2=\ldots=a_{n-1}=0 es 3 si n no es un múltiplo de 3 y es 0 si n es un múltiplo de 3.

Sugerencia pre-solución. Para empezar, aplica el teorema de determinantes de matrices circulantes. Luego, necesitarás además un argumento de polinomios y de números complejos.

Solución. Para empezar, llamemos A_n a la matriz del problema. Como A_n es una matriz circulante, su determinante es

    \[\det(A_n) = \prod_{j=0}^{n-1} (1 + \omega_j + \omega_j^2).\]

El polinomio 1+x+x^2 se factoriza como (\eta-x)(\eta^2-x), donde \eta es la raíz cúbica de la unidad de argumento positivo mínimo. De esta forma, podemos reescribir al determinante de A_n como

    \[\det(A_n) = \prod_{j=0}^{n-1} (\eta-\omega_j)(\eta^2-\omega_j).\]

El polinomio h(x)=x^n-1 se factoriza como

    \[h(x)=(x-\omega_0)(x-\omega_1)\ldots(x-\omega_{n-1}),\]

así que \det(A_n) es precisamente el producto de h(\eta) con h(\eta^2). En otras palabras,

    \begin{align*}\det(A_n)&= (\eta^n-1)(\eta^{2n}-1)\\&=\eta^{3n}+1-(\eta^n+\eta^{2n})\\&=2-(\eta^n+\eta^{2n})\end{align*}

Finalmente, hacemos un análisis de casos:

  • Si n es múltiplo de 3, entonces \eta^n = \eta^{2n} = 1 y entonces \det(A_n)=0.
  • Si n no es múltiplo de 3, entonces n y 2n no son congruentes módulo 3, y entonces \eta^n y \eta^{2n} son \eta y \eta^2 en algún orden. Así,

        \[(\eta^n+\eta^{2n})=\eta+\eta^2=-1,\]

    y por lo tanto \det(A_n)=3.

\square

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de cálculo de determinantes en la Sección 7.4 y la Sección 7.5 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

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