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Seminario de Resolución de Problemas: Factorización de polinomios

Por Fabian Ferrari

Introducción

En la entradas anteriores se trataron algunos temas de identidades algebraicas y se profundizó en el binomio de Newton y la identidad de Gauss. En esta y la siguiente entrada hablaremos de polinomios. Por ahora, comenzaremos recordando las nociones básicas de la aritmética de polinomios y hablando un poco de la factorización de polinomios. Más adelante hablaremos del poderoso teorema de la identidad.

Recordatorio de polinomios

Tenemos que un polinomio de grado $n$ , donde $n$ es un número entero no negativo, es una expresión algebraica de la forma

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Dicha expresión también podemos denotarla como

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},$

en donde $a_{n}$ es distinto de $0$ .

Los elementos ${a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}}$ se conocen como coeficientes. Si $a_{n} = 1$ , decimos que el polinomio es mónico.

Nota: El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros, se le conoce como el polinomio cero y no tiene grado.

Si dos polinomios son idénticos coeficiente por coeficiente, decimos que dichos polinomios son iguales. Esta noción será de utilidad más adelante en la entrada del teorema de la identidad.

Si todos los coeficientes de un polinomio son enteros, decimos que es un polinomio sobre los enteros. Si los coeficientes son números reales, entonces es un polinomio sobre los reales. De manera similar definimos a los polinomios sobre los racionales, los complejos o incluso sobre $Z_{n}$ . Aunque parezca irrelevante, conocer las características de los coeficientes de un polinomio, nos da mucha información sobre su constitución. Hay resultados que, por ejemplo, se valen para los polinomios sobre los complejos, pero no para los polinomios sobre los reales.

Otra cosa que es de nuestro interés son las operaciones en los polinomios, y es que al igual que los números enteros, podemos sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Algoritmo de la división para polinomios

Para los polinomios, al igual que en los números enteros, existe un algoritmo de la división. Este nos ayudará posteriormente para cuando queramos hacer factorización en polinomios.

Teorema. Sean los polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ definidos sobre un campo $K$ con $Q (x)$ distinto de cero. Entonces existen dos únicos polinomios $C (x)$ y $R (x)$ tales que

$P (x) = C (x) Q (x) + R (x),$

donde $C (x)$ y $R (x)$ son el coeficiente y el residuo respectivamente, resultado de dividir $P (x)$ entre $Q (x)$ , y se tiene que $R (x)$ es el polinomio $0$ o bien tiene grado menor o igual al grado de $C (x)$ .

Ejemplo. Dados los polinomios $P (x) = x^{2} - 3 x - 28$ y $Q (x) = x - 5$ , tenemos que $C (x) = x + 2$ y $R (x) = - 18$ .

En efecto,

$x^{2} - 3 x - 28 = (x + 2) (x - 5) - 18.$

Algoritmo de Euclides para polinomios

Al igual que en los enteros, el algoritmo de la división es de ayuda para determinar el máximo común divisor entre dos polinomios: simplemente seguimos los pasos del algoritmo de Euclides. Es por ello que tenemos el siguiente resultado.

Teorema. Si tenemos dos polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ sobre un campo $K$ , tenemos que existen polinomios $S (x)$ y $T (x)$ tales que

$MCD (P, Q) = P S + Q T .$

Aquí $MCD (P, Q)$ es el máximo común divisor de $P (x)$ y $Q (x)$ .

Otra forma de ver o de entender el máximo común divisor entre dos polinomios es como el producto de todos aquellos factores que tienen en común.

Problema: Encuentra polinomios $F (x)$ y $G (x)$ tales que

$(x^{8} - 1) F (x) + (x^{5} - 1) G (x) = x - 1.$

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo encontrar el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides. Además, usa una factorización para cancelar el factor $x - 1$ de la derecha.

Solución. Definamos

$\begin{aligned} A (x) & = x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \\ B (x) & = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1. \end{aligned}$

Notemos que la ecuación es equivalente a

$A (x) F (x) + B (x) G (x) = 1.$

Tendría que suceder entonces que $A (x)$ y $B (x)$ sean primos relativos.

Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:

$\begin{aligned} A (x) & = x^{3} B (x) + (x^{2} + x + 1) \\ B (x) & = x^{2} (x^{2} + x + 1) + (x + 1) \\ x^{2} + x + 1 & = x (x + 1) + 1. \end{aligned}$

Esto muestra que $A (x)$ y $B (x)$ son primos relativos, así que la combinación lineal que buscamos debe existir. Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos. Trabajando hacia atrás, tenemos que

$\begin{aligned} 1 & = (x^{2} + x + 1) - x (x + 1) \\ = (x^{2} + x + 1) - x (B (x) - x^{2} (x^{2} + x + 1)) \\ = (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 1) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) (A (x) - x^{3} (B (x)) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) - x^{3} (x^{3} + 1) B (x) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) + (- x^{6} - x^{3} - x) B (x) \end{aligned}$

Así que podemos tomar a $F (x) = x^{3} + 1$ y $G (x) = - x^{6} - x^{3} - x$ .

El teorema del factor

Sea $P (x)$ un polinomio sobre un dominio entero $D$ . Decimos que un elemento $a$ de $D$ es raíz del polinomio $P (x)$ si $P (a) = 0$ . Si aplicamos el algoritmo de la división en los polinomios $P (x)$ y $x - a$ obtenemos el siguiente teorema, que es fundamental en la factorización de polinomios.

Teorema El elemento $a$ es raíz de $P (x)$ si y solo si $(x - a)$ es factor de $P (x)$ .

Veamos cómo aplicar este teorema en un ejemplo concreto.

Problema. Dado $ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n})$ , prueba que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Sugerencia pre-solución. Recuerda los resultados básicos de aritmética de los números complejos.

Solución. Por De Moivre tenemos que si

$ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n}) = e^{\frac{2 π i}{n}}$

entonces ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1 = 0$ . Además, como $e^{π i} = - 1$ , tenemos que $ω^{n} = 1$ .

Así, tenemos que $ω^{n + 1} = ω$ y de manera general $ω^{n + k} = ω^{k}$ .

Por otro lado,

$x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$

Y como ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1$ , tenemos entonces que ${ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ deben de ser las raíces de $x^{n - 1} + \dots + x + 1.$

Aplicando repetidamente el teorema del factor, tenemos que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Un problema para números algebraicos

Un número real es algebraico si es raíz de un polinomio sobre los números enteros.

Problema. Prueba que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Sugerencia pre-solución. Realiza operaciones de suma, resta y producto con $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ y con enteros. Ve si puedes encontrar un patrón de cómo se comportan.

Solución. Tenemos que encontrar un polinomio $P (x)$ sobre los número enteros de tal forma que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ .

Si consideramos $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ , entonces $x^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$

Para $P (x) = x^{2} - 5$ , tenemos que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{6}$

Así,

$(P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} = (2 \sqrt{6})^{2} = 144.$

Ahora, si consideramos el polinomio

$Q (x) = (P (x))^{2} - 144.$

Tenemos que

$Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} - 144 = 0.$

Por lo tanto como el polinomio $Q (x) = x^{4} - 10 x^{2} - 119$ es un polinomio sobre los enteros, y como $Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ concluimos que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de aritmética y factorización de polinomios en la Sección 4.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ . Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a, b, c, d$ números reales se cumple que $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,
$\begin{array}{r} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} . \end{array}$

Por otro lado, $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$ es
$\begin{aligned} a^{2} c^{2} - 2 a b c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2} \\ = & a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} . \end{aligned}$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^{2} + y^{2} = (x + y i) (x - y i)$ .

Usando esa identidad:
$\begin{aligned} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \\ = & (a + b i) (a - b i) (c + d i) (c - d i) \\ = & (a + b i) (c + d i) (a - b i) (c - d i) \\ = & ((a c - b d) + (a d + b c) i) ((a c - b d) - (a d + b c) i) \\ = & (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} . \end{aligned}$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^{2} + 7 s^{2}$ , con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que $x = r^{2} + 7 s^{2} = (r + \sqrt{7} s i) (r - \sqrt{7} s i)$ Tomemos otro número de esa forma, digamos $y = t^{2} + 7 u^{2} = (t + \sqrt{7} u i) (t - \sqrt{7} u i) .$ Al hacer el producto de $x$ y $y$ , aparecerá un factor $(r + \sqrt{7} s i) (t + \sqrt{7} u i) = ((r t - 7 s u) + (r u + s t) \sqrt{7} i)$ y un factor $(r - \sqrt{7} s i) (t - \sqrt{7} u i) = ((r t - 7 s u) - (r u + s t) \sqrt{7} i),$ que multiplicados son iguales a $(r t - 7 s u)^{2} + 7 (r u + s t)^{2} .$ Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^{2}$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^{n}$ es de la forma buscada para todo entero $n \geq 1$ . En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

Identidad para $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Proposición. Para $a, b, c$ números reales, se tiene que $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ es igual a $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) .$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^{3}$ y por simétría aparecen $b^{3}$ y $c^{3}$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $- a b c$ . Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» $x^{3}$ y $x y z$ , así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^{2} y$ . Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $- x y$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^{2}$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3 \cdot 6 = 18$ monomios. Hay tres de la forma $x^{3}$ , tres de la forma $x y z$ y cada uno de los seis la forma $x^{2} y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3 + 3 + 6 \cdot 3 = 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz $(\begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix})$ de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así, $D = | \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$ De aquí, podemos factorizar $a + b + c$ pues está en cada entrada del primer renglón $D = (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que
$\begin{aligned} D & = (a + b + c) ((a^{2} - b c) - (c a - b^{2}) + (c^{2} - a b)) \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) . \end{aligned}$

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3 \times 3$ por diagonales,
$\begin{aligned} D & = a^{3} + b^{3} + c^{3} - a b c - a b c - a b c \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c . \end{aligned}$

Igualando ambas expresiones para $D$ , obtenemos la identidad deseada.

Problema ejemplo de factorización de $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Problema. Sean $a, b, c$ números reales. Muestra que $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si $a + b + c = 0$ o $a = b = c$ .

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = 0.$

Notemos que $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{2},$ que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a - b = b - c = c - a = 0$ , si y sólo si $a = b = c$ .

Así, $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a + b + c = 0$ o $a = b = c$ .

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Identidades algebraicas y binomio de Newton

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción a entradas de álgebra

Cuando en matemáticas hablamos de álgebra, se abarca una gran cantidad de ideas, que van desde el álgebra de secundaria, en la cual factorizamos, despejamos y usamos identidades algebraicas, hasta el álgebra abstracta, que estudia estructuras algebraicas más generales como grupos, anillos y campos. Todas estas ideas tienen amplias aplicaciones en la resolución de problemas. En esta entrada, y las que vendrán a continuación, veremos numerosos ejemplos de esto

Para empezar, hablaremos de álgebra en el sentido de secundaria y preparatoria. Veremos que estas ideas, aunque sencillas, son muy versátiles. Después hablaremos de polinomios y de dos resultados fundamentales en su teoría: el teorema de factorización única y el teorema de la identidad. Los polinomios abundan en las matemáticas, y un correcto entendimiento de ellos abre muchas puertas en la resolución de problemas. En una entrada final daremos algunas ideas de otras estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.

Más adelante en el curso hablaremos con detalle de otros dos temas relacionados con álgebra: desigualdades y álgebra lineal.

Como lo hemos hecho hasta ahora, la idea no es profundizar demasiado en el desarrollo de la teoría algebraica. Para eso, es más recomendable llevar buenos cursos de distintos tipos de álgebra a nivel superior. Aquí en el blog hay material de los cursos Álgebra Superior II y Álgebra Lineal I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Identidades algebraicas

Comenzaremos hablando de identidades algebraicas. Una identidad algebraica es una igualdad que se satisface para ciertas variables, independientemente del valor que tomen. Algunos ejemplos son las igualdades que se aprenden a nivel secundaria y bachillerato:

$\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b), \\ a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}, \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a = (a + b + c)^{2}, \\ a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) . \end{matrix}$

Varias de las identidades algebraicas nos permiten desarrollar o factorizar una expresión. Factorizarla es bastante útil en problemas de teoría de números, en donde es importante conocer qué números dividen a la expresión. Desarrollarla a veces nos permite trabajar con una suma de términos simétricos, que podemos estudiar con técnicas de polinomios o con desigualdades.

Veamos algunos ejemplos.

Problema. Muestra que si $n$ es un entero, entonces $n^{4} - 20 n^{2} + 4$ no es un número primo.

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente al factorizar la expresión. Hay más de un camino por el que puedes proceder para factorizar, pero no todos te llevan a una solución. Intenta completar cuadrados de distintas formas y ve si encuentras un patrón.

Solución. Reescribimos la expresión como sigue:
$\begin{aligned} n^{4} - 20 n^{2} + 4 & = n^{4} - 4 n^{2} + 4 - 16 n^{2} \\ = (n^{2} - 2)^{2} - (4 n)^{2} \\ = (n^{2} - 4 n - 2) (n^{2} + 4 n - 2) . \end{aligned}$

Para ver que la expresión no es un primo, basta con ver que ninguno de estos factores puede ser igual a $1$ o $- 1$ . Si $n^{2} - 4 n - 2 = 1$ o $n^{2} + 4 n - 2 = 1$ , entonces $n^{2} = \pm 4 n + 3$ . Trabajando módulo $4$ , tendríamos $n^{2} \equiv 3 (\mod 4)$ , lo cual es imposible.

Si $n^{2} - 4 n - 2 = - 1$ o $n^{2} + 4 n - 2 = - 1$ , entonces sumando $6$ de ambos lados tenemos $(n \pm 2)^{2} = n^{2} \pm 4 n + 4 = 5.$ Esto es imposible pues $5$ no es el cuadrado de un entero. Así, $n^{4} - 20 n^{2} + 4$ se puede factorizar en factores distintos de $1$ y $- 1$ y por lo tanto no es primo.

El siguiente problema fue parte de la 1a Olimpiada Mexicana de Teoría de Números. Veremos dos soluciones. Ambas usan ideas algebraicas, pero son distintas entre sí.

Problema. Sean $a, b, c, d$ enteros tales que

$\begin{aligned} a b + b c + c a & = 1 \\ a d + d c + c a & = 1 \\ a b + b d + d a & = 1. \end{aligned}$

Determina todos los valores posibles que puede tomar $b c + c d + d b$ .

Sugerencia pre-solución 1. Hay varias formas de aprovechar la simetría del problema. Intenta manipular las ecuaciones para obtener información y recuerda que es importante usar que $a$ , $b$ , $c$ son enteros.

Solución 1. A partir de la primera y segunda ecuación, tenemos que $a b + b c + c a = a d + d c + c a,$

de donde $0 = a d + d c - a b - b c = (a + c) (d - b)$ . De aquí tenemos dos opciones: $a = - c$ o $b = d$ . Si $a = - c$ , de la segunda ecuación obtenemos $1 = a d + d c + c a = - c^{2},$ lo cual es imposible. Así, concluimos que $b = d$ .

Por simetría, concluimos que $c = b$ , así que $b = c = d$ . Tras esto, las tres ecuaciones se reducen a una sola $1 = 2 a b + b^{2} = b (2 a + b) .$ Las únicas factorizaciones de $1$ en enteros son $1 = 1 \cdot 1$ o $1 = (- 1) (- 1)$ , de modo que $b = 2 a + b$ , de donde $a = 0$ y $b = \pm 1$ . De cualquier forma, la expresión que buscamos es $b c + c d + d b = 3 b^{2} = 3$ .

Sugerencia pre-solución 2. Formula un problema equivalente sumando $a^{2}$ en ambos lados en cada una de las ecuaciones.

Solución 2. Sumando $a^{2}$ en ambos lados de la primer ecuación obtenemos $a^{2} + 1 = a^{2} + a b + b c + c a = (a + b) (a + c) .$ Las otras dos ecuaciones dan expresiones simétricas. Multiplicando las tres, tenemos $(a^{2} + 1) (a^{2} + 1)^{2} = (a + b)^{2} (b + c)^{2} (c + a)^{2} .$

El lado derecho es el cuadrado de un entero, así que el izquierdo también debe serlo, de modo que $a^{2} + 1$ debe ser el cuadrado de un entero. Pero los únicos cuadrados a distancia $1$ son $0$ y $1$ , de donde $a^{2} + 1 = 1$ , y así $a = 0$ . Las ecuaciones se convierten entonces en $b c = d c = b d = 1$ , de donde la suma de las tres es $3$ .

Demostraciones del binomio de Newton

La siguiente es una de las identidades algebraicas más importantes.

Teorema (binomio de Newton). Para $a$ y $b$ números reales y $n$ un entero no negativo, se tiene que
$\begin{array}{r} (a + b)^{n} = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) a^{n - j} b^{j} \end{array}$

El término de la derecha es $a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + b^{n} .$

Veamos algunas demostraciones del teorema de binomio de Newton, que usan ideas un poco distintas. La primera usa ideas combinatorias. La segunda, ideas más algebraicas. La tercera es menos general, pero usa ideas geométricas.

Demostración combinatoria

Demostración 1. Pensemos al lado izquierdo como el producto $(a + b) (a + b) \dots (a + b) (a + b) .$ ¿Cómo se obtienen factores al desarrollar esta expresión? En cada uno de los $n$ paréntesis hay que elegir o un $a$ , o un $b$ . Así, cada sumando es producto de $n$ letras.

Si elegimos $j$ veces $b$ , entonces elegimos $n - j$ veces $a$ . ¿De cuántas formas podemos elegir $j$ veces $b$ ? Tantas como subconjuntos de tamaño $j$ de un conjunto de $n$ elementos, es decir, $(\binom{n}{j})$ .Así, el término $a^{n - j} b^{j}$ aparece $(\binom{n}{j})$ veces.

Para terminar, notemos que $j$ puede ir desde $0$ (no elegir ningún $b$ ), hasta $n$ (no elegir ningún $a$ ).

La demostración anterior es combinatoria, pues está usando argumentos de conteo. Está contando de dos formas distintas los términos que aparecen en el producto desarrollado. Además, está usando la interpretación combinatoria de los coeficientes binomiales.

Demostración algebraica

Demostración 2. Si $b = 0$ , entonces en ambos lados tenemos $a^{n}$ , ya que el único sumando en el que no aparece $b$ es el primero. Tenemos algo análogo si $a = 0$ . De otra forma, podemos asumir que $a$ y $b$ no son cero y dividir ambos lados de la igualdad que queremos entre $b^{n}$ . Definiendo $x = a / b$ , tenemos que mostrar que:

$(x + 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{n - j} .$

Esta igualdad es claramente cierta para $n = 0$ , pues en ambos lados obtenemos $1$ , y para $n = 1$ , pues en ambos lados obtenemos $x + 1$ . Procediendo por inducción (explicamos cada paso con un poco de detalles más abajo):

$\begin{aligned} (x + 1)^{n + 1} & = (x + 1) (x + 1)^{n} \\ = (x + 1) \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{n - j} \\ = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{n - j + 1} + \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) x^{n - j} \\ = \sum_{j = 0}^{n + 1} (\binom{n}{j - 1}) x^{n - j} + \sum_{j = 0}^{n + 1} (\binom{n}{j}) x^{n - j} \\ = \sum_{j = 0}^{n + 1} ((\binom{n}{j - 1}) + (\binom{n}{j})) x^{n - j} \\ = \sum_{j = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{j}) x^{n - j} . \end{aligned}$

El primer paso es claro. En el segundo usamos hipótesis inductiva. Luego, hacemos la multiplicación por $x + 1$ . El siguiente paso puede ser un poco confuso, pues parece que «agregamos términos», pero en la segunda suma sólo agregamos $(\binom{n}{n + 1}) x^{- 1} = 0$ . En la primer suma hicimos un shift o desfase: los términos que estaban antes para $j$ de $0$ a $n$ , ahora están para $j$ de $1$ a $n + 1$ . Además, agregamos el término $(\binom{n}{- 1}) x^{n} = 0$ . En el siguiente paso usamos la identidad de Pascal: $(\binom{n}{j - 1}) + (\binom{n}{j}) = (\binom{n + 1}{j}),$ que se puede demostrar combinatoriamente, o directamente de manera algebraica a partir de la fórmula para coeficientes binomiales.

Con esto termina la demostración por inducción.

Esta segunda demostración es mucho más algebraica, es decir, usa ideas de cómo se manipulan las expresiones con variables. El primer paso, en el que reducimos el problema a cuando un término es $1$ , se llama homogenización. En realidad no era estrictamente necesario hacerlo, pero simplifica la notación. En las sumas hicimos un shift, que es otra técnica que se usa al estudiar sumas y series.

Demostración geométrica

Daremos una última demostración del teorema del binomio de Newton, pero sólo para el caso $n = 2$ . Lo que tenemos que demostrar es simplemente la identidad $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$ Para este caso, hay una bonita «demostración sin palabras»:

Binomio al cuadrado mostrado geométricamente — Demostración visual del binomio al cuadrado

Esta demostración es geométrica, pues estamos interpretando a la igualdad como una igualdad de áreas. Estamos usando una fórmula de área para cuadrados y rectángulos. Además, estamos usando que el área de una figura es aditiva, es decir, que es igual a la suma de áreas de figuras en las que queda subdividida.

Puedes elegir tu demostración favorita del binomio de Newton. Sin embargo, en resolución de problemas es importante saber proceder con varios acercamientos. Hay problemas en los que el acercamiento combinatorio, el algebraico o el geométrico es ventajoso, y por ello es mejor tener buena práctica en todos ellos.

Una aplicación del binomio de Newton en teoría de números

En entradas anteriores ya hemos usado el teorema del binomio de Newton en repetidas ocasiones, por ejemplo, en la entrada de aritmética de números complejos. Veamos un ejemplo más.

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros primos relativos. Muestra que para todo entero positivo $n$ , se tiene que $a^{n}$ y $b^{n}$ son primos relativos.

Sugerencia pre-problema. Hay varias formas de dar una solución de esto. Una es analizando a los enteros primo por primo. Sin embargo, existe una solución usando binomio de Newton y la caracterización en términos de combinaciones lineales enteras para primos relativos.

Solución. Como $a$ y $b$ son primos relativos, existe una combinación lineal entera de ellos que da $1$ , digamos $a x + b y = 1.$ Elevando esta igualdad a la $2 n - 1$ tenemos $1 = 1^{2 n - 1} = (a x + b y)^{2 n - 1} .$ Abriendo el último término con binomio de Newton queda
$\sum_{j = 0}^{n - 1} (\binom{2 n - 1}{j}) a^{2 n - 1 - j} b^{j} + \sum_{j = n}^{2 n - 1} (\binom{2 n - 1}{j}) a^{2 n - 1 - j} b^{j},$ y factorizando $a^{n}$ del primer sumando y $b^{n}$ del segundo,
$a^{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} (\binom{2 n - 1}{j}) a^{n - 1 - j} b^{j} + b^{n} \sum_{j = n}^{2 n - 1} (\binom{2 n - 1}{j}) a^{2 n - 1 - j} b^{j - n} .$

Lo que queda a la derecha es una combinación lineal entera de $a^{n}$ y $b^{n}$ igual a $1$ , y por lo tanto son primos relativos.

Más problemas

En la siguiente entrada hablaremos de la identidad de Gauss para suma de cuadrados y de la identidad para $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z$ , las cuales se usan frecuentemente en resolución de problemas. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: La regla de L’Hôpital

Por Fabian Ferrari

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Introducción

Como hemos visto en entradas anteriores, la noción de límite es fundamental en cálculo y ayuda a definir funciones continuas y funciones diferenciables. Un tipo de límite que aparece frecuentemente en problemas de cálculo involucra el cociente de dos expresiones cuyo límite no está determinado. La regla de L’Hôpital ayuda a trabajar con límites de este estilo.

Estamos familiarizados con esta regla debido a cursos de cálculo. De hecho, este resultado es una consecuencia directa del teorema del valor medio.

Como mencionamos arriba, esta regla resulta de utilidad para determinar límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ . En un primer acercamiento, si tenemos una función racional de la forma $\frac{f (x)}{g (x)}$ cuyo límite conforme $x \to c$ resulta en una indeterminación con las formas ya mencionadas, y además $f$ y $g$ son diferenciables cerca de $c$ , entonces para determinar el valor del límite basta con derivar por separado las funciones $f (x)$ y $g (x)$ y determinar el límite de $\frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ , si este existe, entonces es igual al límite de $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

Por ejemplo, supongamos que queremos determinar $lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)}$ para $f$ y $g$ diferenciables cerca de $c$ y que tenemos

$\begin{array}{r} lim_{x \to c} f (x) = 0 \\ lim_{x \to c} g (x) = 0. \end{array}$

Entonces, si

$lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = L,$

tenemos que

$lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = L .$

Tenemos algo similar si $lim_{x \to c} f (x) = \pm \infty$ y $lim_{x \to c} g (x) = \pm \infty$ .

Aplicar la regla de L’Hôpital múltiples veces

En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez.

Problema. Determinar el $lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - 1}{x^{2}}$ .

Sugerencia pre-solución. Intenta aplicar la regla de L’Hôpital de manera directa y verifica que tienes que aplicarla nuevamente.

Solución. Tenemos que al sustituir $x = 0$ en la función $\frac{\cos^{2} (x) - 1}{x^{2}}$ , nos resulta la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

El numerados y denominador son diferenciables, así que aplicando la regla de L’Hôpital, el límite original es equivalente al siguiente límite

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos^{2} (x) - 1)^{'}}{(x^{2})^{'}} = lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{2 x}$ ,

en donde de nuevo, al evaluar en $0$ , tenemos $0$ en el numerador y en el denominador.

Como volvemos a tener una indeterminación, volvemos a aplicar la regla. Sin embargo, antes de derivar, resulta conveniente modificar el límite aplicando la identidad trigonométrica

$\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$

Así,

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x)}{2 x}$

Aplicando la regla de L´Hôpital una vez más, tenemos que:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (2 x)}{2 x} & = lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (2 x))^{'}}{(2 x)^{'}} \\ = lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (2 x)}{2} \\ = \frac{- 2 c o s (0)}{2} \\ = - 1 \end{aligned}$

Aplicar la regla de L’Hôpital con exponentes

Otro tipo de limites que son de interés son aquellos cuyas indeterminaciones son $0^{0}$ , $\infty^{0}$ y $1^{\infty}$ , las cuales se obtienen de determinar el límite de funciones del estilo

$[f (x)]^{g (x)}$

Para resolver limites de funciones exponenciales, hay que hacer uso de las propiedades del logaritmo, para encontrar encontrar un problema equivalente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema.

Problema. Determinar el siguiente límite

$lim_{x \to 0} (c o s (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}} .$

Sugerencia pre-solución. Aplica logaritmo a la expresión para encontrar una que puedas estudiar usando la regla de L’Hôpital.

Solución. Al evaluar $x = 0$ en la función $(\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}}$ , nos resulta la indeterminación $1^{\infty}$ . Para transformar esta expresión en una que podamos estudiar con la regla de L’Hôpital, consideramos $y = (\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}},$ y tenemos que

$\ln (y) = \ln ((\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}}) = \frac{3}{x^{2}} \ln (\cos (2 x)) .$

Con lo que tendríamos la siguiente expresión para $y$

$y = e^{\frac{3}{x^{2}} \ln (\cos (2 x))} .$

Así, usando la continuidad de la función exponencial, tenemos que

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} y & = lim_{x \to 0} e^{\frac{3}{x^{2}} \ln (\cos (2 x))} \\ = e^{lim_{x \to 0} \frac{3}{x^{2}} \ln (\cos (2 x))} . \end{aligned}$

De modo que nuestro problema se ha convertido en determinar el siguiente límite

$lim_{x \to 0} \ln ((\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}}) = lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (\cos (2 x))}{x^{2}} .$

Notemos que el numerador y denominador evaluados en $0$ son cero. Con esto, tenemos una indeterminación como las que vimos al principio. Así que aplicando la regla de L’Hôpital, tenemos lo siguiente.

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (\cos (2 x))}{x^{2}} & = lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 6 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{2 x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{- 3 \tan (2 x)}{x} \\ = \frac{0}{0} . \end{aligned}$

La última igualdad se debe entender como que «tenemos una determinación de la forma $0 / 0$ «. Como volvemos a tener la indeterminación, aplicamos nuevamente la regla

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \tan (2 x)}{x} & = lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sec^{2} (2 x)}{1} \\ = \frac{- 6 \sec^{2} (2 (0))}{1} \\ = - 6 \sec^{2} (0) = - 6. \end{aligned}$

Por lo tanto tenemos que

$lim_{x \to 0} \ln ((\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}}) = - 6.$

Así,

$lim_{x \to 0} (\cos (2 x))^{\frac{3}{x^{2}}} = e^{- 6} .$

Dos ejemplos más

Problema. Determina el siguiente límite $lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$

Solución. Tenemos que el límite nos resulta en la indeterminación $1^{\infty}$

Así que resulta conveniente considerar

$y = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$

Con lo que tendríamos que

$\begin{aligned} \ln (y) & = \ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n}) \\ = n \ln (1 + \frac{1}{n}) . \end{aligned}$

Así que podemos reescribir a $y$ como

$y = e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} .$

Entonces, por la continuidad de la función exponencial, tenemos que

$lim_{x \to \infty} y = e^{lim_{n \to \infty} n \ln (1 + \frac{1}{n})} .$

Ahora para calcular el límite $lim_{n \to \infty} n \ln (1 + \frac{1}{n})$ , hacemos un cambio de variable $n \mapsto 1 / n$ , de donde tenemos que

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} n \ln (1 + \frac{1}{n}) & = lim_{n \to 0} \frac{\ln (1 + n)}{n} \\ = \frac{0}{0} . \end{aligned}$

Como nos resulta en una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ , aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$lim_{n \to 0} \frac{\ln (n + 1)}{n} = lim_{n \to 0} \frac{\frac{1}{n + 1}}{1} = \frac{1}{1} = 1.$

Por lo tanto

$lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e .$

En la siguiente solución ya no seremos tan explícitos con cada uno de los argumentos, sin embargo, hay que tener cuidado con que al usar la regla de L’Hôpital se satisfagan todas las hipótesis que se necesitan, y que los cambios de variable que hagamos se puedan hacer por continuidad.

Problema. Determina el siguiente límite $lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n} .$

Solución. Tenemos que este límite llega a una indeterminación, así que nos conviene expresar a la función como

$y = {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n} = {(1 - \frac{1}{n + 2})}^{n} .$

Así,

$\ln (y) = \ln {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n},$

$y = e^{n \ln (\frac{n + 1}{n + 2})} .$

Entonces,

$lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n} = e^{lim_{x \to \infty} n \ln (\frac{n + 1}{n + 2})},$

por lo que nos enfocamos en encontrar el límite en el exponente. Fijándonos en el $lim_{n \to \infty} n \ln (\frac{n + 1}{n + 2})$ , tenemos que

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} n \ln (\frac{n + 1}{n + 2}) & = lim_{n \to \infty} n \ln (\frac{n + 1}{n + 2}) \\ = lim_{n \to \infty} n \ln (1 - \frac{1}{n + 2}) \end{aligned}$

lo cual es equivalente al límite mediante el cambio de variable $n \mapsto 1 / n$ a

$lim_{n \to 0} \frac{1}{n} \ln (1 - \frac{1}{\frac{1}{n} + 2}) = lim_{n \to 0} \frac{\ln (1 - \frac{n}{2 n + 1})}{n} = lim_{n \to 0} \frac{\ln (\frac{n + 1}{2 n + 1})}{n}$

Además. tenemos que

$lim_{n \to 0} \frac{\ln (\frac{n + 1}{2 n + 1})}{n} = lim_{n \to 0} \frac{\ln (n + 1) - \ln (2 n + 1)}{n}$

que tiene una indeterminación de la forma $0 / 0$ . Aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$lim_{n \to 0} \frac{\ln (n + 1) - \ln (2 n + 1)}{n} = lim_{n \to 0} \frac{\frac{1}{n + 1} - \frac{2}{2 n + 1}}{1} = lim_{n \to 0} \frac{\frac{- 1}{(n + 1) (2 n + 1)}}{1} = - 1$

Por lo tanto

$lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n + 2})}^{n} = e^{- 1} = \frac{1}{e}$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación de la regla de L’Hôpital en la Sección 6.7 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor extremo

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En una entrada anterior, acerca de funciones continuas, mencionamos dos teoremas fundamentales que estas funciones satisfacen: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Ya hablamos acerca del teorema del valor intermedio en una entrada anterior. El objetivo de esta entrada es mencionar aplicaciones del teorema del valor extremo.

Como recordatorio, el teorema del valor extremo o teorema de los valores extremos nos dice que si una función $f (x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ , entonces existen valores $c$ y $d$ en $[a, b]$ tales que $f (c) \leq f (x) \leq f (d)$ para toda $x$ en el intervalo $[a, b]$ .

En otras palabras, lo que nos dice el teorema es que si una función es continua en un intervalo cerrado, tenemos que la función debe alcanzar un valor máximo y un valor mínimo dentro del intervalo.

Dos teoremas para funciones derivables

Aprovecharemos para mencionar dos teoremas importantes que se ocuparán más adelante. Las demostraciones de dichos teoremas tienen que ver con la aplicación del teorema del valor extremo, estos teoremas son el teorema de Rolle y el teorema del valor medio (no confundir con el teorema del valor intermedio).

Teorema de Rolle. Sean $a < b$ reales y $f : [a, b] \to R$ una función continua en el intervalo $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$ . Se tiene que si $f (a) = f (b)$ , entonces existe $c$ en $(a, b)$ tal que $f^{'} (c) = 0$ .

Sugerencia pre-demostración. Por el teorema del valor extremo, la función debe alcanzar un máximo y un mínimo en el intervalo. Divide en casos de acuerdo a dónde están estos valores, si en los extremos o no.

Demostración: Como $f (x)$ es una función continua en $[a, b]$ , por el teorema del valor extremo tenemos que $f (x)$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo $[a, b]$ . Tenemos entonces los siguientes casos.

Caso i: Si el valor máximo y mínimo se encuentran en los extremos del intervalo, tenemos que la función $f (x)$ tiene que ser constante dado que $f (a) = f (b)$ . y se tiene que $f^{'} (c) = 0$ para todo $c$ en $[a, b]$ .

Caso ii: Si el valor mínimo o máximo no están en los extremos. Sean $c_{1}$ y $c_{2}$ en $(a, b)$ , los valores en los que la función alcanza su mínimo y máximo respectivamente. Alguno de estos no está en los extremos. Como $f (x)$ es derivable en $(a, b)$ , tenemos que también va a ser derivable en alguno de los puntos $c_{1}$ y $c_{2}$ , teniendo que $f^{'} (c_{1}) = 0$ o $f^{'} (c_{2}) = 0$ , así que basta con tomar $c = c_{1}$ o $c = c_{2}$ .

Teorema del valor medio. Sean $a < b$ reales y $f : [a, b] \to R$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ . Entonces existe un número $c$ en $(a, b)$ tal que

$\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (c)$ .

Demostración: Consideremos la siguiente función auxiliar:

$g (x) = (f (b) - f (a)) x - (b - a) f (x)$

Tenemos que $g (x)$ es continua en $[a, b]$ y además es derivable en $(a, b)$ . La derivada de $g (x)$ está dada por

$g^{'} (x) = f (b) - f (a) - (b - a) f^{'} (x)$

Como $g (x)$ es continua en $[a, b]$ , tenemos que por el teorema del valor extremo, la función alcanza un máximo y un mínimo en el intervalo $[a, b]$ . Haciendo las cuentas, $g (a) = g (b)$ , de modo que si el máximo y mínimo ocurren en los extremos, entonces $g$ es constante y toda $c \in (a, b)$ satisface $g^{'} (c) = 0$

En otro caso, sea $c \in (a, b)$ el valor en donde $g (x)$ alcanza su mínimo o su máximo. Tenemos que $g^{'} (c) = 0$ .

Así, como $g^{'} (c) = f (b) - f (a) - (b - a) f^{'} (c)$ , tenemos que:

$0 = f (b) - f (a) - (b - a) f^{'} (c)$

$(b - a) f^{'} (c) = f (b) - f (a)$

$f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Alternativamente, en la función anterior pudimos haber aplicado el teorema de Rolle directamente a la función $g$ . En las siguientes entradas veremos aplicaciones de estos resultados a problemas concretos.

Aplicación del teorema del valor extremo a un problema

Problema. Se tiene un circulo de radio $r$ , y una tangente $L$ que pasa por un punto $P$ de la circunferencia. De un punto cualquiera $R$ en la circunferencia se traza una paralela a $L$ que corta a la circunferencia en $Q$ . Determina el área máxima que puede tener el triángulo $P Q R$ .

Sugerencia pre-solución. Antes que nada, haz una figura. Usa el teorema del valor extremo para asegurar la existencia del valor máximo. Para ello, necesitarás construir una función continua cuyo valor sea el área buscada. Puedes usar argumentos de simetría para conjeturar cuándo se alcanza el valor máximo.

Solución. Hacemos el siguiente diagrama para entender mejor el problema.

Fijémonos que las condiciones de la altura y la base del triángulo $P Q R$ se pueden describir mediante la siguiente figura:

Condiciones para la altura y base del triángulo

Notemos que la altura del triángulo está dada por $r + h$ , donde $h$ puede variar entre $- r$ y $r$ . Este dibujo también nos es de ayuda para determinar el valor de la base. Por el teorema de Pitágoras y sabiendo que la distancia del centro $C$ a los puntos $R$ y $Q$ es igual a $r$ , tenemos que la base del triángulo es igual a $2 \sqrt{r^{2} - h^{2}}$ .

Así, el área del triángulo está dada por $(\sqrt{r^{2} - h^{2}}) (r + h)$ , pero como $h$ varía, nos conviene ver el área en función de $h$ .

$A (h) = \sqrt{r^{2} - h^{2}} (r + h),$

La función $A (h)$ es una función continua en el intervalo $[- r, r]$ .

Notemos que cuando $h$ toma los valores de $- r$ y $r$ , el valor del área es nulo, es decir que en estos valores alcanza el mínimo, lo cual quiere decir que por el teorema del valor extremo, el valor máximo lo alcanza en algún valor en $(- r, r)$ .

Si derivamos la función $A (h)$ , tenemos

$A^{'} (h) = \frac{r^{2} - r h - 2 h^{2}}{\sqrt{r^{2} - h^{2}}} .$

Como sabemos que hay un máximo en el intervalo $(- r, r)$ y la derivada en este punto máximo debe ser igual a cero, hacemos $A^{'} (h) = 0$ .

Así,

$\frac{r^{2} - r h - 2 h^{2}}{\sqrt{r^{2} - h^{2}}} = 0.$

Resolviendo la ecuación tenemos que

$h = \frac{r}{2} .$

Así, el área máxima del triángulo $P Q R$ es $A = \sqrt{r^{2} - {(\frac{r}{2})}^{2}} (r + \frac{r}{2}) = \frac{3 \sqrt{3} r^{2}}{4} .$

Más ejemplos

Se pueden encontrar más problemas de aplicación del teorema del vaalor extremo en la Sección 6.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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