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Definición y ejemplos con demostración de SUBESPACIO

INTRODUCCIÓN

Si tenemos un conjunto $C$ con ciertas propiedades de nuestro interés, no forzosamente todo subconjunto de $C$ va a conservar esas propiedades, pero nos interesa encontrar condiciones suficientes (y de preferencia también necesarias) para saber si un subconjunto $D$ de $C$ dado tiene o no las propiedades que queremos.

Si C es un conjunto que contiene a hombres y a mujeres, podemos definir un subconjunto que no contenga hombres y un subconjunto que no tenga mujeres, con lo cual ya no preservan la propiedad deseada.

En esta entrada analizaremos qué se requiere para que un subconjunto de un espacio vectorial, tenga también estructura de espacio vectorial. Veremos que aunque aparentemente se requiere pedir muchas condiciones, en realidad éstas se pueden reducir sólo a unas cuantas.

SUBESPACIO

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial y $W$ un subconjunto de $V$. Decimos que $W$ es un subespacio de $V$, y se le denota como $W\leqslant V$ si:

i) $W$ contiene al neutro del espacio $V$,
i.e. $\theta_V\in W$

ii) La suma es cerrada en $W,$
i.e. $\forall u,v\in W:$
$u+v\in W$

iii) El producto por escalar es cerrado en $W$,
i.e. $\lambda\in K$, $w\in W:$
$\lambda w\in W$

Veamos una equivalencia a esta definición que nos facilitará demostrar si un subconjunto dado de un espacio vectorial es por sí mismo un espacio vectorial.

Proposición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $W$ un subconjunto de $V$. Se cumple que $W\leqslant V$ si y sólo si $W$ con las operaciones restringidas de $V$ es un $K$ – espacio vectorial.

Demostración: Veamos que se cumplen ambas implicaciones.

$\Longrightarrow )$ Sup. que $W\leqslant V$.
Por ii) y iii) la suma y el producto por escalar son cerrados en $W$, entonces las operaciones restringidas de $V$ dan una suma y un producto por escalar en $W$.
Propiedades $1$, $2$, $5$, $6$, $7.1$ y $7.2$ de espacio vectorial: Como $u+v=v+u$ para cualesquiera $u,v\in V$, en particular $u+v=v+u$ para toda $u,v\in W$. Por lo tanto, la suma en $W$ es conmutativa.
Nota: Decimos en este caso que la conmutatividad de la suma se hereda de $V$.
Análogamente se heredan la asociatividad de la suma en $W$ y las propiedades $5$, $6$, $7.1$ y $7.2$ de espacio vectorial.
Propiedad $4$ de espacio vectorial: Para cada $w\in W$ se cumple que $-w=(-1_K)w\in W$ ya que el producto es cerrado en $W$.
Propiedad $5$ de espacio vectorial: Por hipótesis $\theta_V\in W$ y como es el neutro en $V$, $\theta_V+v=v+\theta_V=v$ para todo $v\in V$, en particular $\theta_V+w=w+\theta_V=w$ para todo $w\in W$, así $\theta_V$ funciona como neutro en $W$.
$\therefore W$ con las operaciones restringidas de $V$ es un $K$ – espacio vectorial.

$\Longleftarrow )$ Sup. que $W$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones restringidas de $V$.
Entonces la suma y el producto por escalar son cerrados en $W$, es decir, se cumplen ii. y iii.
Además $W$ tiene un neutro, digamos $\theta_W\in W$.
Por un lado $\theta_V+\theta_W=\theta_W$ en $V$, pues $\theta_V$ es neutro en $V$.
Por otro lado $\theta_W+\theta_W=\theta_W$ en $W$, pues $\theta_W$ es neutro en $W$.
Así, $\theta_V+\theta_W=\theta_W+\theta_W$ en $V$ y por cancelación en $V$, $\theta_V=\theta_W$.
De donde $\theta_V\in W$
$\therefore W\leqslant V$ .

Obs. Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $W$ un subconjunto de $V$. Resulta que
$W\leqslant V$ si y sólo si se cumple que: a) $W\not=\emptyset$ y b) $\forall u,v\in W$ $\forall\lambda\in K(\lambda u+v\in W)$.

La implicación de ida es muy directa y queda como ejercicio. Para justificar el regreso sup. que se cumplen a) y b). Dados $u,v\in W$ se tiene que $u+v=1_Ku+v$ y gracias a b) sabemos que $1_Ku+v\in W$, así se cumple la propiedad ii). Por otro lado, como se cumple a) podemos asegurar que existe $v \in W$, y por la propiedad b) $\theta_V=-v+v=(-1_K)v+v\in W$, por lo que $\theta_V\in W$ y se cumple i). Finalmente dados $u\in W, \lambda \in K$ como $\theta_V\in W$, usando b) se tiene que $\lambda u=\lambda u+\theta_V\in W$ por lo que se cumple la propiedad iii).

Ejemplos:

  • $\{ (x,y,0)|x,y\in\mathbb{R}\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3.$
  • $\{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}|a,b\in\mathbb{R}\}$ es un subespacio de $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
  • $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ (el conjunto de polinomios de grado $n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$) es un subespacio de $\mathbb{R}[x]$
  • $\{ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}| f$ es continua$\}$ es un subespacio de $\{ f|f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\}.$
  • $\{(x,y,z)|x=y=z\in \mathbb{R}\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3.$

EJEMPLO SISTEMA HOMOGÉNEO

Sean $V=\mathcal{M}{n\times 1}(K)$ y $A\in\mathcal{M}{m\times n}(K)$.
$W={X\in V|AX=0}$$\leqslant V$.

Recordemos que si tenemos el sistema de ecuaciones homogéneo de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas:

\begin{align*}
\begin{matrix}a_{11}x_1 & +a_{12}x_2 & \cdots & +a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1 & +a_{22}x_2 & \cdots & +a_{2n}x_n=0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} x_1& +a_{m2}x_2 & \cdots & +a_{mn}x_n=0, \end{matrix} \end{align*}
entonces su forma matricial es:
\begin{align*}
AX=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix} = 0 \end{align*}
Recordemos que estamos usando al $0$ para denotar a la matriz $n\times 1$ con todas sus entradas iguales al cero del campo. Veamos que las soluciones del sistema homogéneo dado por $A$ es un subespacio del espacio vectorial de matrices de $n\times 1$ con entradas en el campo $K$.

DEMOSTRACIÓN

Vamos a ver que $W$ cumple las tres condiciones suficientes y necesarias (por definición) para ser subespacio de $V$:

Sean $X,Y\in W$, $\lambda\in K$.

  1. P.D. $W$ tiene al neutro de $V$
    $i.e.$ $\theta_V\in W.$

Sabemos que $A\theta_V=A0=0$.
$\therefore\theta_V\in W.$

  1. P.D. La suma es cerrada en $W$
    $i.e.$ $X+Y\in W$.

Como $X,Y\in W$, $AX=AY=0$ y por lo tanto, $AX+AY=0+0=0$.
Basta recordar que por distributividad en las matrices $A(X+Y)=AX+AY$ para obtener que $A(X+Y)=0$.
$\therefore X+Y\in W.$

  1. P.D. El producto por escalar es cerrado en $W$
    $i.e.$ $\lambda X\in W$.

Como $X\in W$, $AX=0$ y por lo tanto, $\lambda (AX)=0$.
Basta recordar que por propiedad del producto por escalar en matrices $A(\lambda X)=\lambda(AX)$ para obtener que $A(\lambda X)=0$
$\therefore\lambda X\in W.$

Así, concluimos que $W=\{X\in V|AX=0\}$, donde $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$, es un subespacio de $V=\mathcal{M}_{n\times 1}(K)$.

Proposición: La intersección de una familia no vacía de subespacios es un subespacio.

Demostración: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $W=\{W_i|i\in I\}$ una familia no vacía de subespacios de $V$.

Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $W=\{W_i|i\in I\}$ una familia no vacía de subespacios de $V$. Vamos a ver que $W$ cumple las tres condiciones suficientes y necesarias (por definición) para ser subespacio de $V$:

Sean $u,v\in W$, $\lambda\in K$.

  1. P.D. $W$ contiene al neutro de $V$
    $i.e.$ $\theta_V\in W.$

Sabemos que $\forall i\in I(\theta_V\in W_i)$ porque todos los $W_i$ son subespacios de $V$.
$\displaystyle\therefore\theta_V\in\bigcap_{i\in I}W_i.$

  1. P.D. La suma es cerrada en $W$
    $i.e.$ $u+v\in W$.

Dado que $u,v\in W$, $\forall i\in I(u,v\in W_i)$ y como todos los $W_i$ son subespacios de $V$, entonces $\forall i\in I(u+v\in W_i)$.
$\displaystyle\therefore u+v\in\bigcap_{i\in I}W_i.$

  1. P.D. El producto por escalar es cerrado en $W$
    $i.e.$ $\lambda u\in W$.

Dado que $u\in W$, $\forall i\in I(u\in W_i)$ y como todos los $W_i$ son subespacios de $V$, entonces $\forall i\in I(\lambda u\in W_i)$.
$\displaystyle\therefore\lambda u\in\bigcap_{i\in I}W_i.$

Concluimos así que $W\leqslant V.$

Tarea Moral

  1. Dado $V$ un $K$ – espacio vectorial. Sean $W_1, W_2\leqslant V$. Demuestra que si $W_1\bigcup W_2\leqslant V$, entonces $W_1\subseteq W_2$, o bien, $W_2\subseteq W_1$.
    Para lograrlo se te sugiere lo siguiente:
    • Sup. que $W_1 \nsubseteq W_2$.
    • Observamos que para cualesquiera $w_1\in W_1\backslash W_2$ y $w_2\in W_2$, tenemos que $w_1,w_2\in W_1\bigcup W_2$. Y como $W_1\bigcup W_2\leqslant V$, entonces $w_1+w_2\in W_1\bigcup W_2$. Además, gracias a la primera proposición de esta entrada, sabemos que $W_1$ y $W_2$ son $K$ – espacios vectoriales, de modo que los inversos aditivos de $w_1$ y $w_2$ son elementos de $W_1$ y $W_2$ respectivamente.
    • Ahora argumenta por qué $w_1+w_2\notin W_2$ para concluir que $w_1+w_2\in W_1$.
    • Por último argumenta por qué gracias a que $w_1+w_2\in W_1$, obtenemos que $w_2\in W_1$ para concluir que $W_2\subseteq W_1$.
  1. Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\{a+bx+cx^2+dx^3\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$.
    Determina si $U=\{p(x)\in V|p(1)=0\}$ y $T=\{p(x)\in V|p'(1)=0\}$ son subespacios de $V$ y encuentra $U\cap T$.

MÁS ADELANTE…

Definiremos y analizaremos un nuevo concepto que dará lugar a un nuevo subespacio muy peculiar y central en el Álgebra Lineal.

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Inversas de matrices de 2×2 con reducción gaussiana

Introducción

Es posible que sepas que una matriz $$A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$de $2\times 2$ es invertible si y sólo si $ad-bc=0$, y que en ese caso la inversa está dada por $$B=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}.$$ De hecho, una vez que se propone a $B$ como esta matriz, es sencillo hacer la multiplicación de matrices y verificar que en efecto tanto $AB$ como $BA$ son la matriz identidad de $2\times 2$.

Sin embargo, la idea de esta entrada es deducir que $ad-bc$ tiene que ser distinto de $0$ para que $A$ sea invertible y que, en ese caso, la inversa tiene que ser de la forma que dijimos. En esta deducción no usaremos nunca la definición ni propiedades de determinantes.

El procedimiento

Lo que haremos es aplicar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar inversas, es decir, le haremos reducción gaussiana a la matriz $A’=\begin{pmatrix}
a & b & 1 & 0\\
c & d & 0 & 1
\end{pmatrix}$ obtenida de «pegar» a la matriz $A$ una matriz identidad a su derecha. Es un resultado conocido que si $A$ es invertible, entonces al terminar la reducción gaussiana de $A’$ la matriz de $2\times 2$ que queda a la izquierda será la identidad y la que quede a la derecha será la inversa de $A$.

Empecemos con una matriz $A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ de $2\times 2$ cualquiera. Si ambos $a$ y $c$ son iguales a $0$, entonces la primer columna de $BA$ es $0$ para toda $B$, y por lo tanto $A$ no puede tener inversa. Así, una primera condición para que $A$ tenga inversa es que $a$ o $c$ sean distintos de cero. Si $a$ fuera $0$, el primer paso de reducción gaussiana sería intercambiar las filas, así que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a$ no es $0$. De este modo, el primer paso de reducción gaussiana es multiplicar la primer fila por $1/a$ para que el pivote sea $1$: $$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
c & d & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

El siguiente paso es hacer al resto de las entradas en la columna de ese primer pivote iguales a $0$. Para eso basta restar a la segunda fila $c$ veces la primera:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & d – \frac{bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & \frac{ad-bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1
\end{pmatrix}.$$

Si $ad-bc=0$, entonces el pivote de la segunda fila ya no quedaría en la segunda columna, y la forma escalonada reducida no tendría a la identidad a la izquierda. Así que una segunda condición para que $A$ sea invertible es que $ad-bc$ no sea cero. Notemos que si $ad-bc$ no es cero, entonces tampoco $a$ y $c$ son simultaneamente $0$, así que nuestra condición anterior ya está capturada con pedir que $ad-bc$ no sea cero.

Sabiendo que $ad-bc$ no es cero, el siguiente paso en la reducción gaussiana es multiplicar la segunda fila por $a/(ad-bc)$ para hacer el pivote igual a $1$:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.$$

Finalmente, para que el pivote de la segunda columna sea la única entrada no cero, tenemos que restar a la primera fila la segunda multiplicada por $-b/a$:

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{a}+\frac{bc}{a(ad-bc)} & -\frac{b}{ad-bc}\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.$$

Así, basta pedir $ad-bc$ para que la reducción gaussiana deje a la identidad en la matriz de $2\times 2$ de la izquierda y, al terminar el procedimiento, tenemos a la derecha a la inversa de $A$ que es la matriz:

$$\begin{pmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\
-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}.$$

Esto es a lo que queríamos llegar. Por supuesto, el camino fue largo y hay formas de llegar al mismo resultado de manera más corta, pero usando más teoría.

¿Ahora qué?

Si te gustó esta entrada, puedes compartirla o revisar otras relacionadas con matemáticas a nivel universitario:

Seis herramientas fundamentales para concursos matemáticos en tiempos de pandemia

La Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM) se organiza en varios niveles: estatal, nacional y participación en concursos internacionales. Los estudiantes comienzan con la etapa estatal, en donde realizan varios exámenes y además se les prepara mediante entrenamientos. Después de repetir esto algunas veces, algunos estudiantes son elegidos para ir al Concurso Nacional de la OMM, para el cual se preparan adicionalmente.

A grandes rasgos, la forma en la que se organiza una olimpiada estatal se ve así:

En la parte de arriba se ve el flujo de los estudiantes. En la parte de abajo se ven varias actividades que realizan los comités estatales.

En esta época de la pandemia de COVID19, es muy importante encontrar alternativas para realizar muchas de estas actividades de manera digital. La idea de esta entrada de blog es ser un mini-curso introductorio a material y tecnologías de educación a distancia que pueden ser usadas para realizar estas actividades. Si bien está pensada originalmente como una entrada para ayudar a la organización de los concursos estatales de la OMM, el contenido puede:

  • Ser de utilidad incluso cuando salgamos de la pandemia, para tener más alcance.
  • Apoyar a otros concursos de otras ciencias, y otros países, a encontrar alternativas.

Para cada tecnología también hay un video, para ver cada uno de los recursos más en acción. El video introductorio es el siguiente.

Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas

La página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es uno de los mejores lugares para encontrar material de entrenamiento gratuito, de calidad, de acceso libre y con soluciones. Además, en esta página están disponibles en versión digital todos los números de la revista Tzaloa, que tiene otro tanto de material.

Otras cosas que se pueden encontrar en la página son los datos de contacto de los organizadores, resultados históricos de México en las olimpiadas internacionales y un sistema para pedir libros de la serie Cuadernos de Olimpiada.

La página de la OMM es http://www.ommenlinea.org. En el siguiente video se exploran con más detalle las distintas secciones.

El blog de Leo

El blog de Leo es precisamente esta página, en donde está esta entrada de blog. Forma parte de los recursos que propongo pues aquí en el blog hay también bastante material para preparar a olímpicos y entrenadores de la Olimpiada. Algunas secciones que pueden ser de utilidad son:

En el siguiente video se explora el blog más a detalle.

Facebook

La red social más popular es Facebook, y una de sus misiones es conectar a las personas. Se puede aprovechar todo el potencial que tienen sus herramientas para dar difusión a los concursos de matemáticas, para estar en contacto con los concursantes y para entrar en contacto con otras comunidades.

Dentro de Facebook, los dos lugares más indicados para ir y estar cerca de la comunidad olímpica matemática de México son:

  • La página de FB de la OMM: Página oficial, manejada por el Comité. Ahí se sube información de eventos, se publican resultados a nivel nacional y se informa de la participación de México en concursos internacionales.
  • El grupo Insommnia: El ambiente es más relajado. Es un grupo extraoficial, pero con una comunidad enorme de olímpicos y ex-olímpicos. Hay chistes, problemas propuestos, videos, discusiones de mejora del proyecto, mini-exámenes, etc.

Cada Comité Estatal puede aprovechar que en Facebook se pueden hacer grupos privados para estar en contacto con organizadores, papás o concursantes.

Hablo más de Facebook y su papel en concursos matemáticos en el siguiente video.

Overleaf

LaTeX es un lenguaje para escribir matemáticas y que se produzca un documento en el cual las matemáticas se vean bonito. Con él se pueden hacer exámenes selectivos, notas de entrenamiento e incluso libros.

Típicamente, para usar LaTeX en una computadora es necesario instalar una distribución y un editor. Overleaf es una página de internet en la cual se puede escribir y compliar LaTeX sin necesidad de instalar nada adicional.

Una ventaja de Overleaf es que lo que se trabaja se queda en la nube, así que se puede acceder a los documentos desde cualqueir computadora con internet. Esto tiene la desventaja de que se necesita tener internet, pero es fácilmente arreglable ya que, de ser necesario, se pueden bajar a una computadora todos los archivos fuente.

Otra ventaja de Overleaf es que se puede hacer colaboración simultánea en un mismo documento. Esto es muy útil para cuando se tiene que escribir matemáticas con otras personas: al hacer notas, escribir artículos de investigación y textos más grandes como libros o tesis.

En el siguiente video hablo más acerca de Overleaf.

Moodle

Un LMS es una plataforma que tiene todo lo que necesita un curso a distancia: herramientas para hacer exámenes, definir actividades, calendarizar, contactar a estudiantes, etc. Uno de los LMS más importantes y de más uso en la docencia a distancia es Moodle.

La principal dificultad con usar Moodle reside en que es necesario descargar un software e instalarlo en un servidor. Esto puede ser muy difícil para alguien que no conoce del tema. Sin embargo, una vez que Moodle queda instalado, es muy facil de usar para profesores y estudiantes (o en este contexto, delegados, entrenadores y concursantes).

El tipo de cosas que se pueden hacer en Moodle incluyen:

  • Tener un sistema de registro de nuevos concursantes
  • Subir notas
  • Subir mini-libros
  • Crear exámenes con límites de tiempo
  • Crear actividades de aprendizaje
  • Hacer cuestionarios
  • Tener foros personalizados

En el siguiente video hablo más a detalle de algunas de estas cosas.

Zoom, Hangouts y otras plataformas de videollamada

Finalmente, me gustaría platicar un poco acerca de opciones para tener videollamadas hoy en día. Sobre todo, me gustaría enfocarme en Zoom y en Hangouts. Ambas son buenas opciones para tener llamadas con grupos de varias personas.

Zoom agarró mucha popularidad en esta época de pandemia, y tiene sentido. Es una herramienta fácil de usar y de instalar que permite:

  • Armar reuniones con muchas personas
  • Compartir la pantalla con los asistentes (por ejemplo, puede servir para dar entrenamientos)
  • Programar reuniones y avisar a los participantes
  • Tener mecanismos de participación por chat, reacciones de «levantar la mano» o «aplaudir»

La versión gratuita de Zoom tiene algunas limitaciones, como que sólo se puede usar por 40 minutos de manera simultánea. La versión de paga permite hacer varias cosas como dividir a un grupo en sub-grupos.

Google Hangouts es una herramienta muy similar. También permite reuniones con muchas personas y compartir la pantalla. Se integra mejor con todo el ecosistema de Google y puede ser muy útil para quienes ya tengan una cuenta ahí.

En el siguiente video hablo de estas y un par de opciones más.

Reflexión final

Esta entrada fue un mini-curso al material y las tecnologías que se pueden usar para seguir organizando concursos matemáticos a distancia. El material que se presentó toma en mente el flujo de participantes en un modelo básico del concurso. También toma en cuenta el tipo de tecnología que podría necesitar un comité organizador local para hacer todas las actividades que se necesitan.

Hay una hipótesis muy fuerte que estamos haciendo: que los organizadores y participantes tienen acceso estable y bueno a internet. Al realizar actividades que aprovechen la tecnología hay que tener en cuenta que esta hipótesis es posible que no se cumpla. Puede suceder que:

  • Haya personas sin acceso a internet
  • Haya personas con acceso sólo con datos, para quienes ver videos es impermisiblemente caro
  • Haya personas con computadora y acceso a internet en su casa, pero de los cuales no puedan disponer
  • Haya personas con todos los recursos tecnológicos, pero viviendo muchas dificultades debido a la pandemia.

Así como muchos otros aspectos de la docencia, es importante tener empatía en el aspecto digital.

Seminario de Resolución de Problemas: La regla de L’Hôpital

Introducción

Como hemos visto en entradas anteriores, la noción de límite es fundamental en cálculo y ayuda a definir funciones continuas y funciones diferenciables. Un tipo de límite que aparece frecuentemente en problemas de cálculo involucra el cociente de dos expresiones cuyo límite no está determinado. La regla de L’Hôpital ayuda a trabajar con límites de este estilo.

Estamos familiarizados con esta regla debido a cursos de cálculo. De hecho, este resultado es una consecuencia directa del teorema del valor medio.

Como mencionamos arriba, esta regla resulta de utilidad para determinar límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. En un primer acercamiento, si tenemos una función racional de la forma $\frac{f(x)}{g(x)}$ cuyo límite conforme $x\to c$ resulta en una indeterminación con las formas ya mencionadas, y además $f$ y $g$ son diferenciables cerca de $c$, entonces para determinar el valor del límite basta con derivar por separado las funciones $f(x)$ y $g(x)$ y determinar el límite de $\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}$, si este existe, entonces es igual al límite de $\frac{f(x)}{g(x)}$ .

Por ejemplo, supongamos que queremos determinar $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ para $f$ y $g$ diferenciables cerca de $c$ y que tenemos

\begin{align*}
\lim_{x\to c} f(x)=0\\
\lim_{x\to c} g(x)=0.
\end{align*}

Entonces, si

$\lim_{x \to c}\frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)}=L,$

tenemos que

$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L.$

Tenemos algo similar si $\lim_{x\to c} f(x)= \pm \infty$ y $ \lim_{x\to c} g(x)= \pm \infty $.

Aplicar la regla de L’Hôpital múltiples veces

En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez.

Problema. Determinar el $\lim_{x \to 0 }\frac{\cos^2(x)-1}{x^2}$.

Sugerencia pre-solución. Intenta aplicar la regla de L’Hôpital de manera directa y verifica que tienes que aplicarla nuevamente.

Solución. Tenemos que al sustituir $x=0$ en la función $\frac{\cos^2(x)-1}{x^2}$, nos resulta la indeterminación $\frac{0}{0}$.

El numerados y denominador son diferenciables, así que aplicando la regla de L’Hôpital, el límite original es equivalente al siguiente límite

$\lim_{x \to 0 }\frac{(\cos^2(x)-1)^\prime}{(x^2)^\prime}= \lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(x)\sin(x)}{2x}$,

en donde de nuevo, al evaluar en $0$, tenemos $0$ en el numerador y en el denominador.

Como volvemos a tener una indeterminación, volvemos a aplicar la regla. Sin embargo, antes de derivar, resulta conveniente modificar el límite aplicando la identidad trigonométrica

$\sin(2\theta)=2\sin\theta \cos\theta$

Así,

$\lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(x)\sin(x)}{2x}=\lim_{x \to 0 }\frac{-\sin(2x)}{2x}$

Aplicando la regla de L´Hôpital una vez más, tenemos que:

\begin{align*}
\lim_{x \to 0 }\frac{-\sin(2x)}{2x}&=\lim_{x \to 0 }\frac{(-\sin(2x))^\prime}{(2x)^\prime}\\
&=\lim_{x \to 0 }\frac{-2\cos(2x)}{2}\\
&=\frac{-2cos(0)}{2}\\
&=-1
\end{align*}

$\square$

Aplicar la regla de L’Hôpital con exponentes

Otro tipo de limites que son de interés son aquellos cuyas indeterminaciones son $0^0$, $\infty^0$ y $1^\infty$, las cuales se obtienen de determinar el límite de funciones del estilo

$[f(x)]^{g(x)}$

Para resolver limites de funciones exponenciales, hay que hacer uso de las propiedades del logaritmo, para encontrar encontrar un problema equivalente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema.

Problema. Determinar el siguiente límite

$\lim_{x \to 0} (cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}.$

Sugerencia pre-solución. Aplica logaritmo a la expresión para encontrar una que puedas estudiar usando la regla de L’Hôpital.

Solución. Al evaluar $x=0$ en la función $(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}$, nos resulta la indeterminación $1^\infty$. Para transformar esta expresión en una que podamos estudiar con la regla de L’Hôpital, consideramos $$y=(\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}},$$ y tenemos que

$\ln(y)=\ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x)).$

Con lo que tendríamos la siguiente expresión para $y$

$y=e^{\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}.$

Así, usando la continuidad de la función exponencial, tenemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to 0}y&=\lim_{x \to 0}e^{\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}\\
&=e^{\lim_{x \to 0}\frac{3}{x^2}\ln(\cos(2x))}.
\end{align*}

De modo que nuestro problema se ha convertido en determinar el siguiente límite

$$\lim_{x \to 0} \ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=\lim_{x \to 0}\frac{3\ln(\cos(2x))}{x^2}.$$

Notemos que el numerador y denominador evaluados en $0$ son cero. Con esto, tenemos una indeterminación como las que vimos al principio. Así que aplicando la regla de L’Hôpital, tenemos lo siguiente.

\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\frac{3\ln(\cos(2x))}{x^2}&=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{-6\sin(2x)}{\cos(2x)}}{2x}\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{-3\tan(2x)}{x}\\
&=\frac{0}{0}.
\end{align*}

La última igualdad se debe entender como que «tenemos una determinación de la forma $0/0$ «. Como volvemos a tener la indeterminación, aplicamos nuevamente la regla

\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\frac{-3\tan(2x)}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{-6\sec^2(2x)}{1}\\
&=\frac{-6\sec^2(2(0))}{1}\\
&=-6\sec^2(0)=-6.
\end{align*}

Por lo tanto tenemos que

$\lim_{x \to 0} \ln((\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}})=-6.$

Así,

$\lim_{x \to 0} (\cos(2x))^{\frac{3}{x^2}}=e^{-6}.$

$\square$

Dos ejemplos más

Problema. Determina el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Solución. Tenemos que el límite nos resulta en la indeterminación $1^\infty$

Así que resulta conveniente considerar

$y=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Con lo que tendríamos que

\begin{align*}
\ln(y)&=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\\
&=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
\end{align*}

Así que podemos reescribir a $y$ como

$y=e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Entonces, por la continuidad de la función exponencial, tenemos que

$\lim_{x \to \infty}y=e^{\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Ahora para calcular el límite $\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$, hacemos un cambio de variable $n\mapsto 1/n$, de donde tenemos que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)&=\lim_{n \to 0} \frac{\ln\left(1+n\right)}{n}\\
&=\frac{0}{0}.
\end{align*}

Como nos resulta en una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$, aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(n+1\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{1}{n+1}}{1}=\frac{1}{1}=1.$

Por lo tanto

$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e.$

$\square$

En la siguiente solución ya no seremos tan explícitos con cada uno de los argumentos, sin embargo, hay que tener cuidado con que al usar la regla de L’Hôpital se satisfagan todas las hipótesis que se necesitan, y que los cambios de variable que hagamos se puedan hacer por continuidad.

Problema. Determina el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n.$$

Solución. Tenemos que este límite llega a una indeterminación, así que nos conviene expresar a la función como

$y=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^n.$

Así,

$\ln(y)=\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n,$

$y=e^{n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}.$

Entonces,

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{\lim_{x \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)},$

por lo que nos enfocamos en encontrar el límite en el exponente. Fijándonos en el $\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$, tenemos que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\\
&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1-\frac{1}{n+2}\right)
\end{align*}

lo cual es equivalente al límite mediante el cambio de variable $n\mapsto 1/n$ a

$\lim_{n \to 0}\frac{1}{n}\ln\left(1-\frac{1}{\frac{1}{n}+2}\right)=\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(1-\frac{n}{2n+1}\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)}{n}$

Además. tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\ln(n+1)-\ln(2n+1)}{n}$

que tiene una indeterminación de la forma $0/0$. Aplicando la regla de L’Hôpital tenemos que

$\lim_{n \to 0}\frac{\ln(n+1)-\ln(2n+1)}{n}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{2}{2n+1}}{1}=\lim_{n \to 0}\frac{\frac{-1}{(n+1)(2n+1)}}{1}=-1$

Por lo tanto

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación de la regla de L’Hôpital en la Sección 6.7 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Teorema de navidad de Fermat: primos suma de dos cuadrados

Comentario de Leo: Esta es una escrita en conjunto con por Alexandher Vergara, estudiante en ESFM. En ella hablamos del teorema de navidad de Fermat, una idea de la prueba y de las consecuencias. Si quieres contribuir con algún tema de matemáticas, puedes contactarme por correo electrónico, o dejando un comentario aquí en el blog.

Introducción

En entradas anteriores hemos visto temas de teoría de números, como divisibilidad y teoría de congruencias. También hablamos acerca de números primos y del teorema fundamental de la aritmética. A continuación probaremos una parte del famoso «teorema de navidad de Fermat», el cual dice cuáles primos impares son la suma de dos cuadrados.

Teorema (teorema de Navidad de Fermat). Un número primo $p>2$ es la suma del cuadrado de dos enteros si y sólo si $p\equiv 1 \pmod 4$.

Enunciado del teorema de Navidad de Fermat

El teorema recibe este nombre pues Fermat escribió una carta con muchos detalles acerca del resultado para Mersenne, cuya fecha fue el 25 de diciembre de 1640.

Este resultado nos lleva un paso más adelante en teoría de números. Por un lado, tiene «el mismo sabor» que el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange.

Teorema (teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange). Todo entero no negativo puede ser escrito como suma de los cuadrados de cuatro números enteros.

Por otro lado, el teorema de Navidad de Fermat también nos ayuda a demostrar un caso particular del teorema de Dirichlet para primos sobre progresiones aritméticas.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma $4k+1$ e infinitos números de la forma $4k+3$.

El teorema de Dirichlet es una generalización de este resultado.

Teorema (teorema de Dirichlet). Si $a$ y $b$ son primos relativos, entonces existe una infinidad de primos $p$ tales que $p\equiv a \pmod b$.

Las demostraciones de los teoremas de Lagrange y de Dirichlet requieren de varios argumentos para los cuales aún no hemos desarrollado teoría suficiente. La idea de esta entrada de blog es demostrar el teorema de Navidad de Fermat y usarlo para demostrar el Teorema 1.

El teorema de Navidad de Fermat

En la demostración del teorema de navidad de Fermat usaremos el siguiente resultado.

Teorema 2. Si $p$ es un número primo y la ecuación $a^2+1 \equiv 0 \pmod p$ tiene solución para algún $a$, entonces $p$ se puede representar como una suma de dos cuadrados.

Por el momento, no nos enfocaremos en demostrar este resultado auxiliar. Existen muchas pruebas en la literatura, por ejemplo, una por J.H. Grace usando latices de enteros (The four square theorem).

Demostración del teorema de Navidad de Fermat. Supongamos primero que $p=x^2+y^2$ para enteros no negativos $x,y$. El hecho de que $p \equiv 1 \pmod 4$ se desprende de dos propiedades del anillo $\mathbb{Z}_4$. Notemos primero que cualquier entero impar es congruente con $1 \pmod 4$ o con $3\pmod 4$. Además, cualquier cuadrado es congruente con $0 \pmod 4$ o $1\pmod 4$, pues si $x$ es congruente con $0,1,2,3 \pmod 4$ entonces $x^2$ es congruente con $0,1,0,1 \pmod 4$, respectivamente. Como $p=x^2+y^2$, sabemos entonces que $$p\equiv x^2+y^2=0,1 \text{ \’o } 2 \pmod 4.$$ Pero $p$ es un primo mayor que $2$, entonces $p$ es impar. Así, $p\equiv 1 \pmod 4$.

Observación. En esta parte de la prueba en realidad es un poco más general, pues muestra que si $n$ es un entero impar que se puede representar como suma de dos cuadrados, entonces $n\equiv 1 \pmod 4$.

Supongamos ahora que $p\equiv 1 \pmod 4$. Lo primero que haremos es mostrar que $a^2+1\equiv 0 \pmod p$ tiene solución para alguna $a$, y después usaremos el Teorema 2 para obtener que $p$ es suma de dos cuadrados.

Primero, examinaremos los factores en $$(p-1)!=1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2}\cdot \ldots \cdot (p-2) \cdot (p-1).$$ A los últimos $(p-1)/2$ factores los pensamos como sigue: $p-1\equiv -1 \pmod p$, $p-2\equiv -2\pmod p$, …, $\frac{p+1}{2}\equiv -\frac{p-1}{2} \pmod p$. El factorial se convierte entonces en
\begin{align*}
(p-1)!&\equiv 1\cdot \ldots \cdot \left(\frac{p-1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot (-1)\\
&\equiv (-1)^{(p-1)/2} \left(1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}\right)^2 \pmod p.
\end{align*}

Definiendo $a= 1\cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2}$, lo anterior se puede escribir como $$(p-1)!\equiv (-1)^{(p-1)/2} a^2 \pmod p.$$

Por el teorema de Wilson, $(p-1)!\equiv -1 \pmod p$. Como $p\equiv 1 \pmod 4$, tenemos $p=4k+1$ para algún entero $k$. Entonces, $(p-1)/2=2k$, que es par, de modo que $(-1)^{(p-1)/2}=1$. De esta forma, tenemos que $$-1\equiv a^2 \pmod p.$$ Sumando $1$ de ambos lados, tenemos que $a^2+1\equiv 0 \pmod p$. Aplicando el Teorema 2, concluimos que $p$ es suma de dos cuadrados.

$\square$

Infinidad de primos de las formas $4k+1$ y $4k+3$

Todos los primos mayores que $2$ son impares, así que son o bien de la forma $4k+1$, o bien de la forma $4k+3$. Sabemos además que hay una infinidad de números primos. ¿Será cierto que hay una infinidad de ellos de la forma $4k+1$ y una infinidad de ellos de la forma $4k+3$?

Por el principio de las casillas, tiene que suceder por lo menos alguna de estas dos opciones. Si hubiera una cantidad finita de la forma $4k+1$ y de la forma $4k+3$, entonces por el párrafo anterior habría sólo una cantidad finita de primos, lo cual es una contradicción.

Lo que dice el Teorema 1 es más fuerte. Lo volvemos a poner aquí por conveniencia para el lector.

Teorema 1. Hay infinitos números primos de la forma $4k+1$ e infinitos números de la forma $4k+3$.

Es decir, el Teorema 1 afirma que para cada uno de los tipos hay una infinidad de primos. Veamos que en efecto esto sucede.

La primera parte del Teorema 1 no necesita que usemos el teorema de Navidad de Fermat.

Proposición 1. Hay una infinidad de primos de la forma $4k+3$.

Demostración. Supongamos que existiera únicamente una cantidad finita $n$ de primos de la forma $4k+3$ y supongamos que ellos son $p_1<\ldots<p_n$, en donde $p_1=3$. Consideremos el número $N=4p_2p_3\ldots p_n +3$ (ojo: no estamos incluyendo al $3$ en la multiplicación). Este número no puede ser primo pues es mayor que $p_n$ y $N\equiv 3\pmod 4$. De esta forma, debe tener al menos un divisor primo.

Tenemos que $N$ es impar, así que $2$ no divide a $N$. Si todos los divisores primos de $N$ fueran $1\pmod 4$, entonces $N$ sería $1\pmod 4$, pero esto no es cierto. De este modo, algún divisor primo $p$ de $N$ debe satisfacer $p\equiv 3 \pmod 4$. Notemos que $p$ no puede ser $3$, pues si $3\mid N$, tendríamos $3\mid 4p_1 \ldots p_n$, pero esto es imposible pues el número de la derecha no tiene ningún factor $3$. Con esto concluimos que $p=p_i$ para algún entero $i=2,\ldots,n$. Sin embargo, si $p_i\mid N$, entonces $p_i\mid N-(p_2\ldots p_n)=3$. Esto también es imposible pues $p_i\neq 3$. Así, es inevitable llegar a una contradicción, por lo que hay una infinidad de primos de la forma $4k+3$.

$\square$

La demostración anterior no funciona directamente para los primos de la forma $4k+1$, pues si hubiera una cantidad finita $n$ de ellos $p_1<\ldots < p_n$ y consideramos al número $4p_1\ldots p_n+1$, este número es congruente con $1\pmod 4$, pero nada garantiza que sus factores primos deban ser de la forma $1\pmod 4$ pues, por ejemplo, $3\equiv 3\pmod 4$, $7\equiv 3\pmod 4$, pero $3\cdot 7 \equiv 21 \equiv 1\pmod 4$. Tenemos que hacer algo distinto.

Proposición 2. Hay una infinidad de primos de la forma $4k+1$.

Demostración. Supongamos que existe una cantidad finita $n$ de primos de la forma $4k+1$ y que son $p_1<\ldots<p_n$. Consideremos al número $N=4(p_1p_2\ldots p_n)^2 +1$. Este número es de la forma $4k+1$. Por esta razón, es imposible que $N$ sea primo, pues es mayor que todo $p_i$.

Sea $p$ un divisor primo de $N$. Como $N$ es impar, $p\neq 2$. Como $p$ divide a $N$, tenemos que $(2p_1\ldots p_n)^2+1\equiv 0 \pmod p$, de modo que $x^2+1\equiv 0 \pmod p$ tiene solución y por el Teorema 2, $p$ se puede escribir como suma de dos cuadrados. Por el teorema de Navidad de Fermat, $p\equiv 1\pmod 4$. De esta forma, $p=p_i$ para alguna $i$. Pero entonces, $p$ divide a $N$ y a $4(p_1\ldots p_n)^2$, de modo que divide a su resta, que es $1$. Esto es imposible. Esta contradicción muestra que hay una cantidad infinita de primos de la forma $4k+1$.

$\square$

El Teorema 1 se sigue de las proposiciones 1 y 2.

¿Dónde seguir?

Aquí en el blog hay otras entradas en donde hablamos acerca de teoría de números. Puedes revisar las siguientes: