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Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Por Claudia Silva

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces $n$ -ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada ${(\sqrt{3} (\cos 25^{\circ} + i \sin 25^{\circ})}^{6} .$

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de $(\sqrt{3} - i)^{12}$ .

Problemas de raíces $n$ -ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces $n$ -ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente $n$ raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo $3 + 4 i$ .

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo $16 \sqrt{2} (- 1 + i)$ .

Ojo. En algún momento del siguiente video se encuentra que el ángulo es $360^{\circ} - 45^{\circ}$ . Sin embargo, debe decir $180^{\circ} - 45^{\circ}$ , pues se debe estar en el cuadrante 2, ya que la parte real es negativa y la compleja es positiva.

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los vídeos, para quienes tengan dificultades para ver los vídeos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el vídeo.

Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Más adelante…

Tarea moral

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Gracias a las entradas anteriores ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces $n$ -ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de $C$ . Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que, para un real $y$ , definimos $cis (y) = \cos y + i \sin y$ . La función $cis$ y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función $\exp : C \to C$ como $\exp (x + y i) = e^{x} cis (y) .$

Ejemplo 1. Se tiene que $\exp (1 + \frac{π}{2} i) = e^{1} cis (\frac{π}{2}) = e i .$

$△$

Ejemplo 2. Se tiene que $\exp (π i) = e^{0} cis (π) = (1) (- 1) = - 1.$ Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler $e^{π i} + 1 = 0.$

$△$

Ejemplo 3. Se tiene que $\exp (2 + 3 i) = e^{2} cis (3) .$ Como $\cos (3)$ y $\sin (3)$ no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

$△$

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si $y = 0$ , entonces la definición coincide con la definición en los reales: $\exp (x) = e^{x} cis (0) = e^{x} .$ Si $x = 0$ , tenemos que $\exp (i y) = cis (y)$ , de modo que si $w$ tiene norma $r$ y argumento $θ$ , podemos reescribir su forma polar como $w = r \exp (θ i),$ y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es $w^{n} = r^{n} \exp (n θ i) .$

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos se tiene que $E (w + z) = E (w) E (z) .$

Demostración. Escribamos $w = a + b i$ y $z = c + d i$ con $a, b, c$ y $d$ reales. Tenemos que
$\begin{aligned} \exp (w + z) & = \exp ((a + c) + (b + d) i) \\ = e^{a + c} cis (b + d) . \end{aligned}$

Por propiedades de la exponencial en $R$ tenemos que $e^{a + c} = e^{a} e^{c}$ . Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que $cis (b + d) = cis (b) cis (d)$ . Usando estas observaciones podemos continuar con la cadena de igualdades,

$\begin{aligned} = e^{a} e^{c} cis (b) cis (d) \\ = (e^{a} cis (b)) (e^{c} cis (d)) \\ = \exp (a + b i) \exp (c + d i) \\ = \exp (w) \exp (z) . \end{aligned}$

Como $\exp$ extiende a la exponencial real y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación $e^{x + y i}$ en vez de $\exp (x + y i)$ . Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir «elevar a una potencia». Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación $e^{x + y i}$ sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural $\ln$ en $R$ y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a $C$ .

Definición. Definimos la función $L : C ∖ {0} \to C$ como $L (z) = \ln ‖ z ‖ + \arg (z) i .$

Hay que ser un poco más precisos, pues $\arg (z)$ es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo $(- π, π]$ . En cursos posteriores hablarás de «otras» funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de $i$ y de $- 1$ son, respectivamente,
$\begin{aligned} L (i) & = \ln ‖ i ‖ + \arg (i) i = \ln (1) + \frac{π}{2} i = \frac{π}{2} i \\ L (- 1) & = \ln ‖ - 1 ‖ + \arg (- 1) i = \ln (1) + π i = π i . \end{aligned}$

$△$

Propiedades del logaritmo complejo

La función $\exp$ restringida a los números con parte imaginaria en $(- π, π]$ es invertible y su inversa es $L$ . Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función $L$ restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para $z = x + 0 i = x$ , con $x > 0$ se tiene que $\arg (x) = 0$ y entonces $L (z) = L (x) = ‖ x ‖ + \arg (x) i = x .$

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos no $0$ , se tiene que $L (w z)$ y $L (w) + L (z)$ difieren en un múltiplo entero de $2 π i$ .

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para $w, z$ en $C$ con $w \neq 0$ , definimos $w^{z} = \exp (z L (w)) .$

Ejemplo. En particular, podemos tomar $w = e$ , de donde $\begin{aligned} e^{z} & = \exp (z L (e)) \\ = \exp (z \ln (e)) \\ = \exp (z), \end{aligned}$ de donde ahora sí podemos justificar usar la notación $e^{x + y i}$ en vez de $\exp (x + y i)$ .

Esta definición de exponenciación en $C$ es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para $w, z_{1}, z_{2}$ en $C$ , con $w \neq 0$ , se cumple que $z^{w_{1} + w_{2}} = z^{w_{1}} z^{w_{2}}$ y que $(z^{w_{1}})^{w_{2}} = z^{w_{1} w_{2}} .$

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en $C$ . Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para $z$ cualquier complejo, definimos $\cos (z) = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}$ y $\sin (z) = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2} .$

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si $z = x + 0 i = x$ es real, entonces $\cos (z)$ es $\begin{aligned} \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} & = \frac{cis (x) + cis (- x)}{2} \\ = \frac{2 \cos (x)}{2} \\ = \cos (x), \end{aligned}$ y de manera similar para $\sin (z)$ .

Las funciones trigonométricas en $C$ siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en $R$ .

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos, se tiene que
$\begin{array}{r} \cos (w + z) = \cos (w) \cos (z) - \sin (w) \sin (z) \\ \sin (w + z) = \sin (w) \cos (z) + \sin (z) \cos (w) . \end{array}$

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que
$\begin{aligned} 4 & \cos (w) \cos (z) \\ = (e^{i w} + e^{- i w}) (e^{i z} + e^{- i z}) \\ = (e^{i (w + z)} + e^{i (w - z)} + e^{i (z - w)} + e^{i (- z - w)}) \end{aligned}$

y que
$\begin{aligned} 4 & \sin (w) \sin (z) \\ = (e^{i w} - e^{- i w}) (e^{i z} - e^{- i z}) \\ = (e^{i (w + z)} - e^{i (w - z)} - e^{i (z - w)} + e^{i (- z - w)}), \end{aligned}$

de modo que
$\begin{aligned} 4 (\cos (w) & \cos (z) - \sin (w) \sin (z)) \\ = 2 (e^{i (w + z)} + e^{- i (w + z)}) \\ = 4 \cos (w + z) . \end{aligned}$

Dividiendo entre $4$ ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Determina los valores de $\exp (3 + \frac{3 π}{4} i)$ y de $L (- i)$ .
Muestra que para $z$ con parte imaginaria en $(- π, π]$ se tiene que $L (\exp (z)) = z$ .
Determina el valor de $(1 + i)^{1 + i}$ .
Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en $C$ .
Determina el valor de $\sin (i)$ y de $\cos (1 + i)$ .
Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en $C$ .
Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Raíces en los complejos y raíces de la unidad.

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En esta entrada veremos cómo resolver, en $C$ , la ecuación $w^{n} = z$ , en donde $z$ es un complejo y $n$ es un entero positivo. Puedes pensar esto como que aprenderemos a obtener raíces en los complejos, pero sólo para $n$ entero. Más adelante hablaremos de la función exponencial compleja que nos permitirá elevar a otro tipo de exponentes.

Nuestra herramienta principal será la fórmula de De Moivre, que ya demostramos en una entrada anterior. Encontrar raíces $n$ -ésimas es una herramienta más en nuestra caja para trabajar con números complejos, que hasta el momento ya incluye resolver ecuaciones cuadráticas complejas y sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Introducción a raíces en los complejos

Pensemos en un ejemplo sencillo. ¿Cuáles son los complejos $w$ tales que $w^{4} = 1$ ? En $R$ tenemos dos de ellos: $1$ y $- 1$ . Como $(- i)^{4} = i^{4} = (- 1)^{2} = 1,$ en $C$ tenemos otras dos soluciones: $i$ y $- i$ . Así que tenemos $4$ soluciones en $C$ : $1$ , $- 1$ , $i$ y $- i$ .

Para mostrar que son las únicas en este sencillo caso, podemos hacer lo siguiente. Expresamos $1$ en forma polar $1 = cis (0)$ y también, en forma polar, una solución $w = s cis (α)$ , con $θ$ en $[0, 2 π)$ . Por el teorema de De Moivre, tenemos que $1 = w^{4} = s^{4} cis (4 α) .$

Así, la norma $s$ de $w$ debe satisfacer $s^{4} = 1$ , y además $cis (4 α)$ debe ser $1$ , por lo que $4 α$ debe ser un múltiplo entero de $2 π$ . La norma es un real positivo, así que la única solución para $s$ es $1$ . Ahora, ¿cuántos argumentos $α$ en $[0, 2 π)$ hacen que $4 α$ sea un múltiplo entero de $2 π$ ?

Para determinar esto, notemos que $4 α$ está en $[0, 8 π)$ , y ahí hay exactamente cuatro múltiplos enteros de $2 π$ , que son $0, 2 π, 4 π, 6 π .$ Esto es justo lo que limita las soluciones a que sean a lo más $4$ .

Podemos continuar para verificar que en efecto son las soluciones que ya encontramos. Las soluciones para $α$ en cada caso son $0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2} .$ Concluimos entonces que las soluciones complejas de $w^{4} = 1$ son, en forma polar,
$\begin{aligned} w_{1} & = cis (0) \\ w_{2} & = cis (\frac{π}{2}) \\ w_{3} & = cis (π) \\ w_{4} & = cis (\frac{3 π}{2}), \end{aligned}$

que son exactamente $1, i, - 1, - i$ .

$△$

El teorema de raíces en los complejos

La discusión anterior funciona en general para cualquier entero positivo $n$ y para cualquier complejo $C$ . Siempre tenemos exactamente $n$ soluciones y sabemos cómo se ven en forma polar.

Teorema. Sea $z = r cis (θ)$ un número complejo, distinto de cero, dado en forma polar y $n$ un entero positivo. Existen exactamente $n$ elementos distintos de $C$ tales que $w^{n} = z$ . Están dados en forma polar por $w_{j} = r^{1 / n} cis (\frac{θ}{n} + j \frac{2 π}{n})$ para $j = 0, 1, 2 \dots, n - 1$ .

Demostración. Tomemos una solución $w$ y la escribimos en forma polar $w = s cis (α)$ , con $α$ en $[0, 2 π)$ . Usando que $w$ es solución y la fórmula de De Moivre, obtenemos que $r cis (θ) = s^{n} cis (n α) .$ Como $s$ tiene que ser real positivo, obtenemos que $s = r^{1 / n}$ (aquí estamos usando la raíz $n$ -ésima en los reales).

El ángulo $n α$ está en el intervalo $[0, 2 n π)$ , y debe diferir en un múltiplo entero de $2 π$ del ángulo $θ$ . Como $θ$ está en $[0, 2 π)$ , las únicas posibilidades para $n α$ pueden ser los $n$ valores $θ, θ + 2 π, \dots, θ + 2 (n - 1) π,$ de donde las soluciones para $α$ son $\frac{θ}{n}, \frac{θ}{n} + \frac{2 π}{n}, \dots, \frac{θ}{n} + (n - 1) \frac{2 π}{n},$ respectivamente. Como son ángulos distintos en $[0, 2 π)$ , obtenemos las posibles soluciones distintas $r^{1 / n} cis (\frac{θ}{n} + j \frac{2 π}{n}) para j = 0, \dots, n - 1 .$

Verificar que en efecto son soluciones es sencillo, ya sea revirtiendo los pasos que hicimos, o usando directamente la fórmula de De Moivre. Esta verificación queda como tarea moral.

Observa que el teorema dice que para obtener una raíz podemos empezar del complejo de norma $r^{1 / n}$ y argumento $\frac{θ}{n}$ , y de ahí obtener el resto de las raíces en los complejos «rotando repetidamente $\frac{2 π}{n}$ en el plano complejo». Esto muestra que las raíces forman los vértices de un $n$ -ágono regular.

Nos costó un poco de trabajo mostrar que teníamos a lo más $n$ soluciones. En realidad, cualquier ecuación polinomial de grado $n$ , es decir, de la forma $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ tiene a lo más $n$ soluciones. Esto lo veremos con toda generalidad en la última unidad, cuando hablemos de polinomios.

Ejemplos de obtener raíces en los complejos

Ejemplo. Encontremos todas las raíces séptimas del complejo $128 cis (\frac{14 π}{13})$ . Para empezar, notemos que $128^{1 / 7} = 2$ , de modo que todas las raíces tienen norma $2$ .

Una de las raíces tiene argumento $\frac{14 π}{7 \cdot 13} = \frac{2 π}{13}$ y el argumento del resto difiere en múltiplos enteros de $\frac{2 π}{7}$ . De esta forma, las raíces son

$\begin{aligned} w_{1} & = 2 cis (\frac{2 π}{13}) \\ w_{2} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{2 π}{7}) = 2 cis (\frac{40 π}{91}) \\ w_{3} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{4 π}{7}) = 2 cis (\frac{66 π}{91}) \\ w_{4} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{6 π}{7}) = 2 cis (\frac{92 π}{91}) \\ w_{5} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{8 π}{7}) = 2 cis (\frac{118 π}{91}) \\ w_{6} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{10 π}{7}) = 2 cis (\frac{144 π}{91}) \\ w_{7} & = 2 cis (\frac{2 π}{13} + \frac{12 π}{7}) = 2 cis (\frac{170 π}{91}) . \end{aligned}$

$△$

Problema. Sabemos que $(2 - 3 i)^{4} = - 119 + 120 i$ . Encuentra las otras raíces cuartas de $- 119 + 120 i$ .

Solución. Podríamos pasar $- 119 + 120 i$ a forma polar y usar el método anterior. Esto funciona y dará una solución. Pero veamos una solución alternativa más corta, que nos ayuda a entender mejor el teorema de raíces en los complejos.

De acuerdo con lo que probamos, las raíces varían únicamente en argumento, al que se le va sumando $\frac{π}{2}$ . Es decir, si tenemos una raíz en el plano complejo, las demás se obtienen de ir rotando $\frac{π}{2}$ (recuerda que esto es $90^{\circ}$ ) desde el origen. Al ir rotando el punto $(2, - 3)$ en el plano complejo en este ángulo, obtenemos los puntos $(- 3, - 2)$ , $(- 2, 3)$ y $(3, 2)$ , de modo que las otras tres raíces son $- 3 - 2 i$ , $- 2 + 3 i$ y $3 + 2 i$ .

Otra forma más de pensarlo es la siguiente. Si ya tenemos una raíz cuarta $w$ de un complejo $z$ , entonces todas las raíces se obtienen multplicando por $1, i, - 1, - i$ . En efecto, por ejemplo, $(i w)^{4} = i^{4} w^{4} = w^{4} = 1.$ Así, para el problema que nos interesa, las soluciones son

$\begin{aligned} w_{1} & = 2 - 3 i \\ w_{2} & = i (2 - 3 i) = 3 + 2 i \\ w_{3} & = - (2 - 3 i) = - 2 + 3 i \\ w_{4} & = - i (2 - 3 i) = - 3 - 2 i, \end{aligned}$
lo cual coincide con lo que habíamos encontrado antes.

$△$

Raíces $n$ -ésimas de la unidad

Un caso particular importante de la teoría desarrollada en la sección anterior es cuando $z$ es $1$ . Sea $n$ un entero positivo y $w$ un complejo tal que $w^{n} = 1$ . A $w$ se le conoce como una raíz $n$ -ésima de la unidad.

Teorema (de las raíces $n$ -ésimas de la unidad). Sea $n$ un entero positivo. Existen exactamente $n$ raíces $n$ -ésimas de la unidad distintas. Si $ω$ es la que tiene el menor argumento positivo, entonces dichas raíces son $1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1} .$

La demostración se sigue fácilmente del teorema de raíces $n$ -ésimas y queda como tarea moral. Cualquier raíz $n$ -ésima $ω$ tal que sus primeras potencias generen todas las raíces $n$ -ésimas de la unidad se le conoce como una raíz primitiva.

Las raíces $n$ -ésimas de la unidad tienen una interpretación geométrica bonita. Forman los vértices del $n$ -ágono regular con $n$ vértices, sobre la circunferencia unitaria, donde uno de los vértices es $1$ .

Ejemplo. Obtengamos las raíces quintas de la unidad. Primero, obtengamos la de menor argumento positivo, que por el teorema de raíces en los complejos, es $ω = cis (\frac{2 π}{5}) .$ El resto de las raíces son entonces $ω^{2}$ , $ω^{3}$ , $ω^{4}$ y $1$ . Las podemos encontrar en el plano complejo como vértices del siguiente pentágono regular:

Ejemplo de raíces en los complejos: raíces quintas de la unidad — Raíces quintas de la unidad

Cualquiera de $ω$ , $ω^{2}$ , $ω^{3}$ y $ω^{4}$ son raíces primitivas, pero $1$ no es raíz primitiva pues sus potencias sólo son él mismo.

$△$

Las raíces $n$ -ésimas de la unidad se utilizan en muchos contextos. Aunque se puede trabajar con ellas de forma explícita, muchas veces se utilizan sólo las propiedades algebraicas que cumplen. A continuación enunciamos algunas.

Teorema. Sea $ω$ una raíz primitiva $n$ -ésima de la unidad. Las raíces $n$ -ésimas de la unidad $ω_{i} = ω^{i}$ para $i = 0, \dots, n - 1$ satisfacen las siguientes propiedades:

Para $n > 1$ , se tiene que $ω_{0} + \dots + ω_{n - 1} = 0$ .
Para $k = 0, 1, \dots, n - 1$ , se tiene que $(ω_{k})^{- 1} = \overset{―}{ω_{k}} = ω_{n - k} .$
Se tiene que $ω_{0} \cdot \dots \cdot ω_{n - 1} = (- 1)^{n + 1}$ .

Demostración. Empezamos con el primer inciso. Si $n > 1$ , tenemos que $1$ no es raíz primitiva, así que para el primer inciso sabemos que $ω \neq 1$ . Usamos la fórmula para suma de términos en una progresión geométrica:
$\begin{aligned} ω_{0} + ω_{1} & + \dots + ω_{n - 1} \\ = 1 + ω + \dots + ω^{n - 1} \\ = \frac{1 - ω^{n}}{1 - ω} \\ = \frac{1 - 1}{1 - ω} \\ = 0. \end{aligned}$

Para la segunda parte, notemos que $ω_{k} ω_{n - k} = ω^{k} ω^{n - k} = ω^{n} = 1,$ lo cual prueba una de las igualdades. La otra igualdad se sigue del hecho general que el inverso de un complejo de norma $1$ es su conjugado, cuya demostración queda como tarea moral.

La tercera parte se sigue de la propiedad anterior. Al multiplicar todas las raíces de la unidad, podemos emparejar a cada raíz con su conjugado para obtener producto $1$ . Las únicas excepciones es cuando emparejamos a un complejo consigo mismo, es decir, para cuando $ω_{k} = \overset{―}{ω_{k}}$ , lo cual sucede sólo cuando $ω_{k}$ es real. Las únicas posibilidades son $1$ ó $- 1$ . El $1$ no tiene problema pues colabora con un factor $1$ . Si $n$ es impar, $- 1$ no es raíz $n$ -ésima, así que no contribuye al producto. Si $n$ es par sí. Esto muestra lo que queremos pues $(- 1)^{n + 1}$ es $1$ si $n$ es impar y $- 1$ si es par.

Para un entero positivo $n$ , llamemos $(U_{n}, \cdot)$ al conjunto de raíces $n$ -ésimas de la unidad equipadas con el producto complejo.

Teorema. Para cada entero positivo $n$ , se tiene que $(U_{n}, \cdot)$ es un grupo y es isomorfo a $(Z_{n}, +)$ .

Demostración. El producto de cualesquiera dos raíces $n$ -ésimas es también una raíz $n$ -ésima. Por el teorema anterior, los inversos multiplicativos de las raíces $n$ -ésimas también son raíces $n$ -ésimas. Esto basta para mostrar que se forma un grupo.

Para la segunda parte, notamos que ambos grupos son el grupo cíclico de $n$ elementos. Una correspondencia entre ellos está dada por mandar $[1]_{n}$ a cualquier raíz primitiva.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Encuentra las raíces cúbicas de $8 - 8 i$ y dibújalas en el plano complejo.
Verifica que las soluciones obtenidas en el teorema de raíces $n$ -ésimas en efecto son soluciones.
Muestra el teorema de las raíces $n$ -ésimas de la unidad.
Prueba que si $z$ es un complejo de norma $1$ , entonces su inverso es su conjugado.
Sea $ω$ una raíz $n$ -ésima primitiva de la unidad. Muestra que $w^{k}$ es una raíz primitiva si y sólo si $n$ y $k$ son primos relativos, es decir, $MCD (n, k) = 1$ . Sugerencia: Usa lo que sabemos de soluciones a ecuaciones diofantinas lineales.
Encuentra de manera explícita la parte real y la parte imaginaria de todas las raíces quintas de la unidad.
Sugerencia: La ecuación $w^{5} - 1 = 0$ se puede factorizar como $(w - 1) (w^{4} + w^{3} + w^{2} + w + 1)$ y $w^{4} + w^{3} + w^{2} + w + 1$ se puede factorizar como $(w^{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} w + 1) (w^{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} w + 1) .$ Usa lo que sabemos de resolver ecuaciones cuadráticas cojmplejas.

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Álgebra Superior II: Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior hablamos de las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo. También, definimos la forma polar de un número complejo. En esta entrada hablaremos de cómo con la forma polar, de los elementos de $C$ , podemos entender fácilmente su multiplicación. Además, usaremos esto para demostrar la fórmula de De Moivre, que nos dice cómo encontrar las potencias de un complejo.

Como pequeño recordatorio, la forma polar del complejo $z = x + i y$ es $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ , en donde $r$ es la norma de $z$ y $θ$ es el ángulo que hace con el eje real positivo, pensándolo como el punto $(x, y)$ . Esto queda resumido por la siguiente figura:

Forma polar, multiplicación y recordatorio trigonométrico

Para ver cómo la forma polar de los complejos nos ayuda a entender la multiplicación en $C$ , necesitamos recordar las siguientes fórmulas trigonométricas
$\begin{array}{r} \sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α \\ \cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin β \sin α . \end{array}$

Si tenemos dos números complejos en forma polar
$\begin{aligned} w & = r (\cos α + i \sin α) \\ z & = s (\cos β + i \sin β) \end{aligned}$

y los multiplicamos con la definición, su producto tendría parte real $r s (\cos α \cos β - \sin α \sin β) = r s \cos (α + β)$ y parte imaginaria $r s (\sin α \cos β + \sin β \cos α) = r s \sin (α + β) .$

Además, como la norma es multiplicativa, tenemos que la norma de $w z$ es $r s$ . Con esto mostramos que la forma polar de $w z$ es exactamente $w z = (r s) (\cos (α + β) + i \sin (α + β)) .$ Esto queda resumido en el siguiente resultado

Proposición. Si tenemos dos números complejos en forma polar
$\begin{aligned} w & = r cis (α) \\ z & = s cis (β), \end{aligned}$ entonces la forma polar del producto es $w z = r s cis (α + β) .$

Otra forma de decirlo es que «al multiplicar complejos, multiplicamos normas y sumamos argumentos». Podemos también ver el resultado de forma geométrica mediante la siguiente figura, en donde marcamos con rojo y azul los factores, y con negro al producto.

Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos

Ejemplo. Vamos a encontrar la forma rectangular del producto de los complejos
$\begin{aligned} w & = 7 cis (\frac{2 π}{5}) y \\ z & = 2 cis (\frac{3 π}{5}) . \end{aligned}$

Por la proposición anterior, el producto es exactamente el complejo
$\begin{array}{r} 14 cis (\frac{2 + 3}{5} π) = 14 cis (π) . \end{array}$

Esta es la forma polar del producto. Por un problema anterior, sabemos que $cis (π) = - 1$ , de modo que la forma rectangular del producto es $- 14$ .

Si tenemos un complejo no nulo en forma polar, podemos entender fácilmente su inverso multiplicativo. Esto está dado por la siguiente proposición, cuya demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Proposición. Sea $w \neq 0$ un complejo con forma polar $w = r cis (θ)$ . Su inverso multiplicativo es el complejo $r^{- 1} cis (- θ)$ .

Ejemplo. Determinemos el inverso multiplicativo del complejo $w = \sqrt{3} cis (\frac{3 π}{7}) .$ Para ello, basta usar la proposición anterior, de donde $w^{- 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} cis (- \frac{3 π}{7}) = \frac{\sqrt{3}}{3} cis \frac{11 π}{7} .$

$△$

Fórmula de De Moivre

La proposición para multiplicación de complejos se vuelve todavía más útil si la usamos iteradamente para hacer potencias de complejos.

Teorema (fórmula de De Moivre). Si $z$ es un complejo de norma $r$ y argumento $θ$ y $n$ es un entero positivo, entonces $z^{n}$ es el complejo de norma $r^{n}$ y argumento $n θ$ . En otras palabras, si $z = r (\cos θ + i \sin θ) = r cis (θ)$ , entonces $z^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ)) = r^{n} cis (n θ) .$

Demostración. Procedemos por inducción sobre $n$ . El caso $n = 1$ es inmediato. Supongamos que el resultado es cierto para $n$ , es decir, que $z^{n} = r^{n} cis (n θ) .$

Por hipótesis inductiva, tenemos entonces que la norma de $z^{n}$ es $r^{n}$ , de modo que $z^{n + 1} = z^{n} z$ tiene norma $r^{n} r = r^{n + 1}$ .

También por hipótesis inductiva, $z^{n}$ tiene argumento $n θ$ . Por cómo funciona la multiplicación compleja, el argumento de $z^{n + 1} = z^{n} z$ es la suma de los argumentos de $z^{n}$ y $z$ , es decir, $n θ + θ = (n + 1) θ$ . Esto muestra que $z^{n + 1} = r^{n + 1} cis ((n + 1) θ),$ y con esto acabamos el paso inductivo.

Ejemplos de aplicación de fórmula de De Moivre

Ejemplo. Veremos quién es la décima potencia del complejo $z = \sqrt{3} cis (\frac{4 π}{5}) .$ Como este número ya está escrito en forma polar, podemos aplicarle directamente la fórmula de De Moivre:
$\begin{aligned} z^{10} & = 3^{10 / 2} cis (\frac{40 π}{5}) \\ = 3^{5} cis (8 π) \\ = 3^{5} \\ = 243. \end{aligned}$

$△$

El ejemplo anterior nos dice que $z^{10} = 243$ . En otras palabras, $z$ es una raíz $10$ -ésima de $243$ . Pero existen otras raíces $10$ -ésimas de 243, por ejemplo, tiene dos raíces reales $\sqrt[10]{243}$ y $- \sqrt[10]{243}$ . ¿Cuántas raíces tiene entonces en total? ¿Quiénes son? Esto lo veremos en la siguiente entrada.

Veamos otro ejemplo en el que se aplica la fórmula de De Moivre.

Problema. Evalúa la expresión $(1 + i)^{30}$ , expresando el resultado final en forma rectangular.

Solución. Comenzamos expresando a $(1 + i)$ en forma polar. Para ello, notamos que $‖ 1 + i ‖ = \sqrt{2}$ , y que $1 + i$ hace un ángulo de $\frac{π}{4}$ con el eje real positivo. Por el teorema de De Moivre, tenemos que

$\begin{aligned} z^{30} & = {\sqrt{2}}^{30} cis (\frac{30 π}{4}) \\ = 2^{15} cis (\frac{6 π}{4}) \\ = 2^{15} cis (\frac{3 π}{2}) \\ = 2^{15} (- i) \\ = - 2^{15} i . \end{aligned}$

En la segunda igualdad usamos que $\frac{30 π}{4}$ y $\frac{6 π}{4}$ difieren en un múltiplo entero de $2 π$ . En la cuarta usamos la forma polar de $- i$ .

$△$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que para un complejo $z \neq 0$ escrito en forma polar $z = r cis (θ)$ , su inverso multiplicativo tiene forma polar $r^{- 1} cis (- θ)$ .
Evalúa la multiplicación $w z$ , donde $w = 2 cis (\frac{5 π}{7})$ y $z = - 5 cis (\frac{7 π}{5})$ . Expresa la respuesta forma polar.
Haz la multiplicación $w z$ , donde $w = 3 cis (\frac{π}{2})$ y $z = 4 cis (\frac{π}{3})$ . Expresa la respuesta en forma rectangular.
Sea $z = 7 cis (\frac{5 π}{7})$ . Expresa $z^{3}$ en forma polar.
Sea $z = \sqrt[3]{5} cis (\frac{π}{3})$ . Expresa $z^{9}$ en forma rectangular.
Toma el complejo $z = - 2 + 2 i$ . Evalúa la expresión $1 + z + \dots + z^{29} .$ Sugerencia: Usa primero la fórmula de suma de términos de una sucesión geométrica, y después la fórmula de De Moivre.

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética de números complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En entradas anteriores de esta sección hablamos de propiedades aritméticas de números enteros. En esta entrada veremos varias de las propiedades aritméticas de los números complejos y cómo se pueden usar para resolver problemas, incluso aquellos en los que los números complejos no están mencionados de manera explícita en el enunciado.

Distintas formas de los números complejos

La forma más común en la que pensamos en números complejos es en su forma rectangular, en donde un complejo se escribe de la forma $z = a + b i$ , en donde $a$ y $b$ son números reales y pensamos a $i$ como un número tal que $i^{2} = - 1$ . A $a$ le llamamos la parte real y a $b$ la parte imaginaria.

Podemos colocar al complejo $z = a + i b$ en el plano cartesiano, identificándolo con el punto $(a, b)$ . De aquí, la forma polar del complejo es $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ , en donde $r$ es la norma $| z | := \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y si $z \neq 0$ , $θ$ es el argumento, que es el ángulo en el sentido antihorario desde el origen entre el eje horizontal y el punto $(a, b)$ . Si $z = 0 + i 0 = 0$ , no definimos el argumento.

Forma polar y rectangular de un complejo.

Así como le hacíamos en el caso de trabajar con módulos, a veces conviene pensar que el argumento es el único ángulo en $[0, 2 π)$ que cumple lo anterior. En otras ocasiones, conviene pensar al argumento como a veces que es la clase de todos los ángulos módulo $2 π$ .

Cuando tenemos a complejos $w = a + i b$ y $z = c + i d$ en forma rectangular, su suma $w + z = (a + c) + i (b + d)$ corresponde geométricamente a encontrar la diagonal del paralelogramo definido por $(a, b)$ , $(c, d)$ y el origen, pues corresponde justo al punto $(a + c, b + d)$ .

Su multiplicación $w z$ en forma rectangular es $(a c - b d) + (a d + b c) i$ , que geométricamente no es tan claro que sea.

La forma exponencial $z = r e^{i θ}$ es simplemente una forma de abreviar a la forma polar, pues por definición $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ . En forma exponencial, el producto es más sencillo de entender.

Ejercicio. Demuestra lo siguiente:

Muestra que la norma es multiplicativa, es decir, que para complejos $r$ y $s$ se tiene que $| r s | = | r | | s |$ .
Muestra que $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$ .

Sugerencia. Para el primer punto, haz las cuentas usando la forma rectangular. Para el segundo punto, escribe las definiciones de todos los términos en forma polar. Haz las multiplicaciones en el lado izquierdo y usa las fórmulas trigonométricas para sumas de ángulos.

Por el ejercicio anterior, si tenemos a los complejos en forma polar $w = r e^{i α}$ , $z = s e^{i β}$ , entonces el producto es $w z = r s e^{i (α + β)}$ , de modo que el producto corresponde al complejo con el producto de normas y suma de argumentos. En ocasiones esto nos permite plantear algunos problemas geométricos en términos de números complejos.

Producto de números complejos. — Multiplicación de números complejos.

Aplicaciones de aritmética de complejos

Veamos dos aplicaciones de la teoría anterior a problemas que no mencionan en el enunciado a los números complejos.

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros. Muestra que el número $(a^{2} + b^{2})^{n}$ se puede expresar como la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Podría ser tentador usar el binomio de Newton para elevar el binomio a la $n$ -ésima potencia. Sugerimos que intentes esto para darte cuenta de las dificultades que presenta.

Sugerencia pre-solución. Escribe a $a^{2} + b^{2}$ como el cuadrado de la norma de un complejo y usa que es multiplicativa.

Solución. El número $r = a^{2} + b^{2}$ es la norma al cuadrado del número complejo $z = a + i b$ . Entonces, el número $r^{n} = (a^{2} + b^{2})^{n}$ es la norma al cuadrado del número complejo $z^{n} = (a + i b)^{n}$ . Pero al desarrollar $(a + i b)^{n}$ obtenemos únicamente a $i$ , potencias de $a$ y de $b$ , y coeficientes binomiales. De modo que $z^{n} = (a + i b)^{n} = c + i d$ con $c$ y $d$ enteros (aquí estamos usando notación adecuada: no es necesario saber quienes son, sólo que son enteros). Así, $r^{n} = c^{2} + d^{2}$ con $c$ y $d$ enteros.

Veamos ahora un ejemplo de geometría. Este problema es posible resolverlo de muchas formas, pero notemos que los números complejos nos dan una forma de hacerlo de manera algebraica de manera inmediata.

Problema. En la siguiente figura hay tres cuadrados de lado $1$ pegados uno tras otro. Determina la suma de los ángulos marcados con $α$ y $β$ .

Problema de suma de ángulos — Determinar el valor de la suma $α + β$ .

Sugerencia pre-solución. El problema pide determinar una suma de ángulos, así que conviene pensar esta suma de ángulos como el ángulo del producto de dos complejos. Haz tu propia figura, pero ahora sobre el plano complejo.

Solución. El ángulo $α$ es igual al argumento del complejo $2 + i$ y el ángulo $β$ es igual al argumento del complejo $3 + i$ . De esta forma, $α + β$ es igual al argumento del complejo $(2 + i) (3 + i) = (6 - 1) + (2 + 3) i = 5 + 5 i$ . Este complejo cae sobre la recta $Re (z) = Im (z)$ , de modo que su argumento es $π / 4$ .

Este problema también se puede resolver de (numerosas) maneras geométricas, que puedes consultar en este video.

Fórmula de De Moivre

El siguiente teorema se puede demostrar por inducción sobre $n$ .

Teorema (fórmula de De Moivre). Para cualquier entero $n$ y ángulo $θ$ se tiene que $(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) + i \sin (n θ) .$ Dicho de otra forma, en términos de la forma exponencial, se vale usar la siguiente ley de los exponentes $(e^{θ i})^{n} = e^{(n θ) i} .$

La fórmula de De Moivre es otra herramienta que ayuda a resolver problemas de números reales enunciándolos en términos trigonométricos. El truco consiste en:

Tomar una expresión real que queramos entender.
Identificarla como la parte real o imaginaria de una expresión compleja.
Usar la aritmética de números complejos para entender la expresión compleja.
Regresar lo que entendamos a los reales.

Veamos un par de ejemplos, relacionados con funciones trigonométricas. Comenzamos con una fórma de encontrar la fórmula para el coseno de cinco veces un ángulo.

Problema. Sea $θ \in [0, 2 π)$ . Expresa a $\cos 5 θ$ en términos de $\cos θ$ .

Sugerencia pre-solución. Identifica a $\cos 5 θ$ como la parte real de un número complejo. Inspírate en la fórmula de De Moivre. Usa binomio de Newton.

Solución. Por la fórmula de De Moivre, $\cos 5 θ$ es la parte real del complejo $(\cos θ + i \sin θ)^{5}$ , así que calculemos quién es exactamente este número usando binomio de Newton. Para simplificar la notación, definimos $a = \cos θ$ y $b = \sin θ$ . Tenemos que

$\begin{aligned} (a + i b)^{5} & = a^{5} + 5 a^{4} (b i) + 10 a^{3} (i b)^{2} + 10 a^{2} (i b)^{3} + 5 a (i b)^{4} + (i b)^{5} \\ = (a^{5} - 10 a^{3} b^{2} + 5 a b^{4}) + (5 a^{4} b - 10 a^{2} b^{3} + b^{5}) i . \end{aligned}$

Además, por la identidad pitagórica recordemos que $a^{2} + b^{2} = 1$ , de donde $b^{2} = 1 - a^{2}$ , de modo que la parte real de la expresión anterior es $a^{5} - 10 a^{3} (1 - a^{2}) + 5 a (1 - 2 a^{2} + a^{4}),$ que agrupando es $16 a^{5} - 20 a^{3} + 5 a .$ Recordando que $a$ es $\cos θ$ , obtenemos la fórmula final $\cos 5 θ = 16 \cos^{5} θ - 20 \cos^{3} θ + 5 \cos θ .$

Raíces de la unidad

En muchos problemas se utilizan las raíces de la ecuación $x^{n} = 1$ .

Teorema. Sea $n \geq 1$ un entero. Las ecuación $x^{n} = 1$ tiene $n$ soluciones complejas, que en el plano complejo forman los vértices del $n$ -ágono regular con centro en $0$ y tal que uno de sus vértices es $1$ . Si $ω$ es la raíz de menor argumento positivo, entonces estas soluciones son $1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}$ .

Raíces de la unidad en los números complejos — Raíces $n$ -ésimas de la unidad para $n = 5$ .

A estas soluciones les llamamos las raíces $n$ -ésimas de la unidad. Notemos que $ω^{n} = 1$ , y que en general si escribimos a un entero $m$ usando el algoritmo de la división como $m = q n + r$ , entonces $ω^{m} = ω^{r}$ . ¡Los productos de raíces de la unidad se comportan como los elementos de $Z_{n}$ bajo suma módulo $n$ !

Proposición. Sea $n \geq 2$ un entero. La suma de las $n$ raíces $n$ -ésimas de la unidad es $0$ y su producto es $1$ .

La proposición anterior nos permite, en ocasiones, «filtrar» ciertas expresiones algebraicas. A continuación presentamos un ejemplo, que retomamos de los primeros ejemplos que vimos, cuando estábamos aprendiendo la heurística de encontrar un patrón.

Problema. Determina el valor de la suma $(\binom{100}{0}) + (\binom{100}{3}) + (\binom{100}{6}) + \dots + (\binom{100}{99}) .$

Sugerencia pre-solución. Si no recuerdas lo que debería salir, vuelve a experimentar con los primeros valores, para cuando en vez de usar $100$ se usan números más chiquitos. Para entender mejor el patron, generaliza el problema, y en vez de sólo tener múltiplos de $3$ abajo, explora también qué sucede cuando tienes los números que dejan residuo $0$ , $1$ o $2$ módulo $3$ .

Ya que recuerdes la fórmula que queremos, considera una raíz cúbica $ω$ de la unidad distinta de $1$ . Calcula $(1 + 1)^{100}$ , $(1 + ω)^{100}$ y $(1 + ω^{2})^{100}$ usando el binomio de Newton y aprovechando que toda potencia de $ω$ es $1$ , $ω$ u $ω^{2}$ para simplificar la notación.

Solución. Sea $ω$ una raíz cúbica de la unidad distinta de $1$ . Tenemos que $ω^{3} = 1$ y que $1 + ω + ω^{2} = 0$ . De este modo, podemos usar $ω$ y el binomio de Newton para calcular las siguientes expresiones

$\begin{aligned} (1 + 1)^{100} & = (\binom{100}{0}) + (\binom{100}{1}) + (\binom{100}{2}) + (\binom{100}{3}) + \dots \\ (1 + ω)^{100} & = (\binom{100}{0}) + (\binom{100}{1}) ω + (\binom{100}{2}) ω^{2} + (\binom{100}{3}) + \dots \\ (1 + ω^{2})^{100} & = (\binom{100}{0}) + (\binom{100}{1}) ω^{2} + (\binom{100}{2}) ω + (\binom{100}{3}) + \dots \end{aligned}$

¿Qué sucede al sumar las tres expresiones? En el lado derecho, cada vez que $m$ es un múltiplo de $3$ , tenemos $3 (\binom{100}{m})$ , y cada vez que $m$ no es un múltiplo de $3$ , tenemos $(1 + ω + ω^{2}) (\binom{100}{m}) = 0.$ ¡Se filtran exactamente los coeficientes binomiales con parte inferior múltiplo de $3$ ! Así, tres veces la suma que buscamos es igual a $2^{100} + (1 + ω)^{100} + (1 + ω^{2})^{100} .$

Esta ya es una expresión suficientemente cerrada, pero podemos simplificar todavía más:

$\begin{aligned} (1 + ω)^{100} & = (- ω^{2})^{100} = ω^{200} = ω^{2} \\ (1 + ω^{2})^{100} & = (- ω)^{100} = ω \\ (1 + ω)^{100} + (1 + ω^{2})^{100} & = ω^{2} + ω = - 1. \end{aligned}$

Así, la expresión que queremos es $\frac{2^{100} - 1}{3}$ .

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.5 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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