Introducción
En la entrada anterior estudiamos de manera un poco más sistemática las matrices y transformaciones lineales nilpotentes. Lo que haremos ahora es enunciar el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia. En la siguiente entrada hablaremos de la unicidad y de cómo encontrar la forma canónica de Jordan de matrices nilpotentes de manera práctica.
El teorema de Jordan para nilpotentes
El teorema que queremos demostrar tiene dos versiones: la de transformaciones y la matricial. La versión en transformaciones dice lo siguiente.
Teorema. Sea
La versión en forma matricial dice lo siguiente.
Teorema. Sea
A esta matriz de bloques (ya sea para una transformación, o para una matriz) le llamamos la forma canónica de Jordan de
En vista de que dos matrices son similares si y sólo si representan a la misma transformación lineal en distintas bases, entonces ambos teoremas son totalmente equivalentes. Así, basta enfocarnos en demostrar una de las versiones. Haremos esto con la versión para transformaciones lineales.
Trasnformaciones nilpotentes y unos vectores linealmente independientes
En esta sección enunciaremos un primer resultado auxiliar para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. Veremos que a partir de una transformación lineal nilpotente podemos obtener algunos vectores linealmente independientes.
Proposición. Sea
- Los vectores
, , , son linealmente independientes. - El subespacio
que generan es de dimensión y es estable bajo . - La transformación
restringida a en la base , , , , tiene como matriz al bloque de Jordan . Ojo. Aquí los vectores los escribimos en orden contrario, empezando con la mayor potencia de aplicada.
Demostración. Probemos las afirmaciones una por una. Para empezar, supongamos que para ciertos escalares
Vamos a probar inductivamente de
Aquí estamos usando en todos los sumandos, excepto el primero, que
De manera inmediata obtenemos entonces que esos
Este vector de nuevo es combinación lineal de los vectores que nos interesan, así que
La afirmación de la forma matricial es inmediata pues precisamente
El teorema anterior da otra demostración de algo que ya habíamos mostrado en la entada anterior: el índice de una matriz en
Encontrar un subespacio complementario y estable
Ahora veremos otro resultado auxiliar que necesitaremos para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan. A partir de él podemos conseguirnos un «subespacio complementario y estable» que en la prueba de la existencia nos ayudará a proceder inductivamente. Este truco ya lo hemos visto antes en la clasificación de matrices ortogonales y el la demostración del teorema espectral.
Proposición. Sea
La principal dificultad para probar esta proposición es una cuestión creativa: debemos saber de dónde sacar el espacio
Demostración. Primero, nos enfocamos en construir
Debemos mostrar que:
- En efecto
. - En efecto
es estable.
Para la primer parte, usando teoría de espacios ortogonales tenemos que
Para terminar, debemos ver que
Existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes
La idea para encontrar la forma canónica de Jordan debe ser clara a estas alturas: se procederá por inducción, el caso base será sencillo, asumiremos la hipótesis inductiva y para hacer el paso inductivo descomponeremos al espacio
Demostración (existencia de forma canónica de Jordan para nilpotentes). Estamos listos para probar la existencia de la forma canónica de Jordan para una transformación lineal nilpotente
Supongamos que existe la forma canónica de Jordan para cuando
De otra forma, el índice es un número
Más adelante…
Ya demostramos una parte fundamental del teorema que nos interesa: la existencia de la forma canónica de Jordan para transformaciones (y matrices) nilpotentes. Nos falta otra parte muy importante: la de la unicidad. Las demostraciones de unicidad típicamente son sencillas, pero en este caso no es así. Para decir de manera explícita cuál es la forma canónica de Jordan de una transformación (o matriz) nilpotente, deberemos hacer un análisis cuidadoso del rango de las potencias de la transformación (o matriz). Veremos esto en las siguientes entradas.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Verifica que la siguiente matriz es nilpotente:
Siguiendo las ideas de la demostración de existencia de esta entrada, ¿cómo podrías dar la forma canónica de Jordan de esta matriz? Intenta hacerlo. - Sea
un espacio vectorial de dimensión finita y una transformación lineal nilpotente de índice . Demuestra que también es una transformación lineal nilpotente de índice . ¿Cuál sería el resultado análogo para matrices? - Sea
un espacio vectorial de dimensión finita y una transformación lineal tal que para cualquier en existe algún entero tal que . Estos pueden ser distintos para distintos . Muestra que es nilpotente. - Considera el subespacio
de polinomios reales con grado a lo más y la transformación lineal derivar. Da, de manera explícita, espacios y como en las proposición de encontrar el subespacio complementario estable. - Hay varios detalles que quedaron pendientes en las demostraciones de esta entrada. Revisa la entrada para encontrarlos y da las demostraciones correspondientes.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal II
- Entrada anterior del curso: Matrices y transformaciones nilpotentes
- Siguiente entrada del curso: Unicidad de la forma canónica de Jordan para nilpotentes
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»