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Geometría Analítica I: Clasificación afín y por semejanzas de curvas cuadráticas

Introducción

En entradas anteriores, mencionamos la clasificación afín de curvas cuadráticas, en las siguientes líneas, continuaremos con este análisis, convirtiendo los parámetros $\alpha, \beta$ y $\gamma$ o $a$ y $b$ que ya vimos anteriormente, en $1$ o $-1$, lo que nos va a permitir concluir con esta clasificación.

Clasificación

Para poder convertir los parámetros $a$ y $b$ de las cónicas y transformarlos en $1$ o $-1$, se debe alargar o encoger en los ejes.

Por ejemplo, para la parábola que está dada por el polinomio $P(x,y)=x^2+ay$ con $a\neq 0$, podemos lograr esto si hacemos:

\begin{equation}P\left(x, -\frac{y}{a}\right)=x^2-y\end{equation}

Lo que nos da el polinomio de la parábola canónica.

Observa que, en $(1)$, ya no tenemos los términos $a$ o $b$ con los que escribimos la ecuación de las cónicas en la Unidad 2.

Con lo anterior, puedes darte cuenta de que, para cualquier polinomio en el que los valores estén en la parte lineal, podemos dividir o multiplicar por $a$ o $b$ para hacerlo $1$ o $-1$.

Pero, ¿cómo podemos eliminar estos términos cuando los valores están en la parte cuadrática?

Considerando la matriz de la parte cuadrática que está dada por una matriz de la forma:

\begin{equation} B^TAB=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2 \alpha & 0 \\ 0 & b^2 \beta \end{pmatrix}\end{equation}

De la matriz anterior, como queremos tener una matriz de la forma:

\begin{equation}\begin{pmatrix} \pm 1& 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}\end{equation}

Entonces, debemos tomar los valores $a=\left(\sqrt{|\alpha|} \right)^{-1}$ y $b=\left(\sqrt{|\beta|} \right)^{-1}$

Tarea moral

  1. ¿Cuál es la matriz de una homotecia que lleve a la parábola dada por $x^2+ay$ con $a\neq 0$, en la canónica dada por $x^2-y$?
  2. Del ejercicio anterior, concluye que hay solo una clase de parábolas módulo semejanzas.

Más adelante…

Eso es todo por el momento para la materia de Geometría analítica I, en las siguientes entradas, empezaremos con nuevos temas, correspondientes al curso de Geometría analítica II.

Geometría Analítica I: Clasificación isométrica de curvas cuadráticas

Introducción

Ya vimos cómo afectan las traslaciones y las transformaciones ortogonales a los polinomios cuadráticos, en esta entrada, usaremos todo lo que hemos aprendido de las entradas anteriores, para dar la clasificación isométrica de las curvas.

Clasificación

Vamos a demostrar, por medio de los siguientes teoremas, que cualquier polinomio cuadrado es isométricamente equivalente a alguna de las nueve posibles familias canónicas que mencionamos en entradas anteriores, cuando clasificamos las curvas.

Debido a que vimos que el polinomio cuadrático $P(x)=x*Ax+2b*x+c$ con $A=A^T\neq 0$, lo podemos componer con una isometría de la forma $g(x)=Bx+h$ con $B\in O(2)$ y obtener una ecuación de la forma:

\begin{equation}(P\circ g)(x)=x*(B^TAB)x+2B^T(Ah+b)*x+P(h)\end{equation}

Entonces, observa que el análisis para esta clasificación, puede partirse en dos grandes casos que dependen del determinante de la matriz, es decir, cuando $det(A)\neq 0$ y cuando $det(A)=0$.

Antes de analizar cada uno de estos casos, veamos un Lema que nos va a ayudar.

Lema 4.14: Si A es una matriz simétrica con valores propios $\alpha$ y $\beta$, entonces $det(A)=\alpha \beta$

Demostración

Sea $B$ una rotación que diagonaliza a $A$, entonces:

\begin{equation} \alpha \beta=det\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}=det(B^TAB)\end{equation}

Y recuerda que el determinante es una función lineal, lo que nos permite realizar la siguiente igualdad:

\begin{equation} \alpha \beta=det(B^TAB)=det(B^T)det(A)det(B)=1*det(A)*1=det(A)\end{equation}

Date cuenta que, con las igualdades anteriores, ya podemos dar por concluida la demostración.

Ahora sí podemos analizar cada uno de los casos que mencionamos al inicio.

Caso 1: $det(A)\neq 0$

De aquí, vamos a separar en varios casos, pero empecemos realizando un análisis general. Nombremos como el centro a $h=-A^{-1}b$ y a $B$ como una rotación que diagonalice a $A$. Entonces, observa que $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la siguiente forma:

\begin{equation} P_1(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2+\gamma\end{equation}

A continuación, vamos a encontrar estas equivalencias usando el Lema 4.14.

Caso 1.1 $det(A)>0$

Hay $3$ posibilidades:

  • $\gamma =0$, entonces la única solución es $(x,y)=(0,0)$
  • $\gamma$ del mismo signo que $\alpha$ y $\beta$, entonces la curva es vacía porque no hay soluciones reales.
  • $\gamma$ de signo opuesto que $\alpha$ y $\beta$, entonces, los ceros de $P_1$ coinciden con las soluciones canónicas de la elipse con $a=\sqrt{\frac{-\gamma}{\alpha}}, b=\sqrt{\frac{-\gamma}{\beta}}$ dada por:

\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation}

Caso 1.2 $det(A)<0$

Hay $2$ posibilidades:

  • $\gamma=0$, entonces $P_1$ es una diferencia de cuadrados que, como $\alpha>0$, entonces $a=sqrt{\alpha}, b=\sqrt{-\beta}$ y puede factorizarse como se muestra a continuación. Además, esto implica que se trata de dos rectas cuya intersección es el centro.

\begin{equation}(ax+by)(ax-by)\end{equation}

  • $\gamma\neq 0$, entonces, podemos elegir el primer vector propio correspondiente a $x$, de manera que su valor propio $\alpha$ tenga signo contrario a $\gamma$, lo que implica que los ceros de $P_1$ corresponden a las soluciones de la ecuación canónica de la hipérbola que tiene a $a=\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}$ y $b=\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$, cuya ecuación se puede expresar como:

\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation}

Caso 2: $det(A)= 0$

Observa que, en este caso, no tenemos la seguridad de eliminar la parte lineal y que nos conviene simplificar la parte cuadrática. Por el Lema 4.14, uno de los valores propios es cero y el otro es distinto de cero.

Entonces, $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la forma:

\begin{equation}(x+\alpha )^2+\beta y+(\gamma – \alpha^2)\end{equation}

Comprueba que, si hacemos el cambio de variable dado por $x’=x+\alpha$, podemos simplificar el polinomio anterior como:

\begin{equation}P_2(x,y)=x^2+ay+b\end{equation}

Y de nuevo tenemos dos subcasos.

Caso 2.1 $a=0$

  • $b<0$, entonces, $P_2$ define dos rectas paralelas.
  • $b=0$, entonces $P_2$ es una recta doble.
  • $b>0$, entonces $P_2$ consiste en dos rectas imaginarias.

Caso 2.2 $a\neq 0$

SI hacemos el cambio de variable $y’=y+\frac{b}{a}$, tenemos que $P$ es isométricamente equivalente al polinomio:

\begin{equation}x^2+ay\end{equation}

Que define una parábola.

Tarea moral

  1. Encuentra un polinomio que defina las siguientes curvas cuadráticas:
    • La hipérbola con semieje principal $4$ en la dirección $(2,1)$, semieje secundario $1$ y centro en $(2,3)$.
    • La elipse con semieje mayor $3$ en la dirección $(3,4)$, semieje menor $2$ y centro en $(-1,2)$.
  2. Describe geométricamente las siguientes curvas cuadráticas que están definidas por los siguientes polinomios, además, da su centro la dirección de los ejes y los parámetros o la ecuación canónica correspondiente:
    • $9x^2-4xy+6y^2-58x+24y+59$
    • $66x^2-24xy+59y^2-108x-94y+1$
    • $-7x^2+48xy+7y^2+158x-6y-88$
    • $32x^2+48xy+18y^2+31x-8y-88$

Más adelante…

En la última sección de esta unidad, veremos otra forma de clasificar las curvas, que es mediante la semejanza de curvas cuadráticas.

Geometría Analítica I: Valores y vectores propios

Introducción

Mucho hemos hablado, a lo largo de las entradas anteriores, sobre las soluciones de las ecuaciones resultantes de la forma $det(A-I\lambda)=0$ con $A$ matriz y $x$ vector; sin embargo, aún no nos hemos dedicado a resolver este tipo de ecuaciones. En esta entrada, hablaremos de las soluciones de estas ecuaciones que se llaman valores propios y que tienen un vector propio asociado.

¿Qué son?

Si tienes una matriz cuadrada $A$, vamos a decir que un vector $v$ es vector propio de $A$ con valor propio $\lambda \in \mathbb R$, si $v\neq 0$ y $Av=\lambda v$. A la pareja $\lambda , v$, la vamos a llamar pareja propia de A y el principal problema de estudio de esta entrada será encontrar a estas parejas.

Implicaciones importantes

Lema 4.7: Si $u$ y $v$ son vectores propios de $A$ con el mismo valor $\lambda \in \mathbb R$, entonces cualquier combinación lineal no trivial de ellos también es vector propio de $A$.

Demostración

Si tenemos dos parejas de $A$, $u$, $v$ que cumplen $Au=\lambda u$ y $Av=\lambda v$, entonces, para cualquier par de coeficientes $\alpha, \beta \in \mathbb R$ se tiene que, la combinación lineal de $u$ y $v$ con estos vectores, se cumple:

\begin{equation} A(\alpha u+\beta v)=\alpha (Au)+ \beta(Av)=\alpha (\lambda u)+\beta (\lambda v)=\lambda (\alpha u+\beta v)\end{equation}

Lo que significa que, si $\alpha u+ \beta v\neq 0$, entonces es vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$.

Con lo que hemos terminado la demostración.

El siguiente lema es muy importante para realizar los cálculos.

Lema 4.8: Para cualquier matriz A cuadrada, se cumple: $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si, $det(A-\lambda I)=0$

Demostración

Sabemos que, como $\lambda$ es valor propio de $A$, entonces tiene a su vector propio $v$ correspondiente que cumple que: $Av=\lambda v$.

$\Longleftrightarrow Av-\lambda v=0$

$\Longleftrightarrow (A-\lambda I)v=0$

Y, como $v\neq 0$, entonces:

$\Longleftrightarrow det(A-\lambda I)=0$

Fin de la demostración.

Observa que, con los conocimientos que tenemos hasta el momento, ya puedes demostrar fácilmente el siguiente Lema y Corolario.

Lema 4.9: Si A es una matriz simétrica de $2×2$, entonces $A$ tiene dos valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ en $\mathbb R$.

Corolario 4.10: Sea $A$ una matriz simétrica de $2×2$, con valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$. Entonces, sus valores propios coinciden ($\lambda_1 =\lambda_2$) si y solo si, $A= \lambda_1 I$. En este caso, cualquier vector $v\neq 0$ es vector propio.

Corolario 4.11: Considera una matriz simétrica $A$ de $2×2$. Entonces, existe una base $u, v \in \mathbb R^2$, donde $u$ y $v$ son vectores propios de $A$.

Demostración

Por el Lema 4.9, sabemos que $A$ tiene dos valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$.

Caso 1, $\lambda_1=\lambda_2$

Por el Corolario 4.10, cualquier base $u,v \in \mathbb R^2$ funciona.

Caso 2, $\lambda_1\neq \lambda_2$

Por la definición de valor propio, existen $u,v$, vectores distintos de $0$ que corresponden a los valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente.

Estos vectores no pueden ser paralelos porque por el Lema 4.8, esto implicaría que $\lambda_1=\lambda_2$.

Entonces, $u$ y $v$ forman una base de $\mathbb R^2$.

Terminamos la demostración.

Ejemplo

Calculemos los valores y vectores propios de la siguiente matriz simétrica:

\begin{equation}A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\end{equation}

Valores propios

Recordemos que, para encontrar los valores propios, debemos resolver su polinomio característico que está dado por $det(A-\lambda I)$:

\begin{equation}det(A-\lambda I)=det\left(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda\end{pmatrix}\right)\end{equation}

Si continuamos con el desarrollo de la expresión anterior, comprueba que llegamos al siguiente polinomio característico:

\begin{equation}det(A-\lambda I)= \lambda^2-\lambda -6\end{equation}

Para resolver el polinomio anterior, debemos igualarlo a $0$, de donde vamos a obtener que, las raíces del polinomio son: $\lambda_1=\frac{1+\sqrt{1+24}}{2}=3$ y $\lambda_2=\frac{1-5}{2}=-2$

Vectores propios

Para encontrar los vectores propios correspondientes a $\lambda_1$ y $\lambda_2$, debemos encontrar una solución no trivial para los sistemas $(A-\lambda_i I)x=0$ con $i=1,2$

Para $\lambda_1=3$

\begin{equation}(A-3I)x=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x+2y\\ 2x-4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\end{equation}

De donde obtenemos el siguiente sistema:

\begin{equation}\begin{matrix}-x+2y=0\\2x-4y=0\end{matrix}\end{equation}

Donde, una de sus soluciones no triviales es $u^T=(2,1)$

Para $\lambda_2=-2$

\begin{equation}(A-(-2)I)x=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4x+2y\\ 2x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\end{equation}

De donde obtenemos el siguiente sistema:

\begin{equation}\begin{matrix}4x+2y=0\\2x+y=0\end{matrix}\end{equation}

Donde, una de sus soluciones no triviales es $v^T=(-1,2)$

Observa que estos vectores $u$ y $v$ son ortogonales, ¿será coincidencia? Lo veremos más adelante.

Tarea moral

  1. Comprueba que, para los vectores propios obtenidos en los sistemas de ecuaciones $(6)$ y $(7)$, se cumple que $Au=3u$ y que $Av=-2v$.
  2. Demuestra, con un argumento algebraico y uno geométrico, que la matriz \begin{equation}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\end{equation} no tiene vectores propios.
  3. Demuestra que la matriz \begin{equation}\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\end{equation} no tiene vectores propios para $b\neq0$.
  4. Usa el Lema 4.9 para demostrar el Corolario 4.10.
  5. Demuestra el Lema 4.9. Hint: usa que, al ser $A$ matriz simétrica, entonces $A=A^T$, después, expresa a $A$ de la siguiente forma y desarrolla:

\begin{equation}A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c\end{pmatrix} \end{equation}

Más adelante…

En la siguiente entrada, concluiremos nuestro estudio de los valores y vectores propios, analizando la diagonalización ortogonal de matrices simétricas.

Geometría Analítica I: Rotaciones y traslaciones

Introducción

En este apartado, vamos a continuar con el estudio de las isometrías que se empezaron a analizar en la unidad anterior, las rotaciones y traslaciones.

Encontrando un punto fijo

Recuerda que ya definimos la rotación de un ángulo $\theta$ con centro en $c$ ($\rho_{\theta,c}$), en función de la traslación de $c$ al origen $\tau_c$ y la rotación de $\theta$ en el origen $\rho_\theta$, como: $\rho_{\theta,c}=\tau_c\circ \rho_\theta \circ \tau_{-c}$. Usando matrices, esta expresión se convierte en:

\begin{equation}\rho_{\theta,c}(x)= R_\theta (x-c)+c=R_\theta x+(c-R_\theta c)\end{equation}

Observa que esta expresión es de la forma $Ax+b$ con $b$ constante, por lo que $\rho_{\theta,c} \in Iso^+ (2).

Por otro lado, si el problema se invierte y ahora queremos ver que una función $f(x)=Ax+b \in Iso^+ (2)$ es la rotación de una función en algún centro, debemos encontrar un punto fijo $c$ para el que $f(c)=c$. Es decir:

\begin{equation}c=Ac+b\end{equation}

\begin{equation}c-Ac=b\end{equation}

Esto quiere decir, que debemos encontrar una solución a la ecuación $x-Ax=b$, que se puede reescribir como:

\begin{equation}(I-A)x=b\end{equation}

Por lo que has visto en los capítulos anteriores, esperamos que, al ver esta expresión, hayas recordado que este sistema tiene solución única si y solo si su determinante es distinto de cero, donde su determinante es:

\begin{equation}det(I-R_\theta)=det\begin{pmatrix} 1-\cos(\theta) & \sin(\theta) \\
-\sin(\theta) & 1-\cos(\theta)\end{pmatrix}\end{equation}

Donde puedes comprobar que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.

Lo anterior implica que, si $\theta\neq 0$, entonces $det(I-R_\theta)\neq 0)$, lo que resulta en una solución única para el sistema resultante que es $A=R_\theta$ el punto fijo que estábamos buscando. Finalmente, podemos concluir que $f$ es una rotación.

Centro de rotación para composición de rotaciones

Lo anterior implica el siguiente corolario:

Corolario A: La composición de rotaciones es una nueva rotación.

La nueva pregunta que surge es, ¿cuál es el centro de rotación de la composición de rotaciones? Las siguientes líneas, las dedicaremos a encontrar este nuevo centro de rotación.

Considera $\rho_{\alpha,a}$ y $\rho_{\beta,b}$ las rotaciones de ángulos $\alpha$ y $beta$ y centros en $a$ y $b$ respectivamente. La composición de estas dos rotaciones tiene un ángulo $\alpha + \beta$, pero su centro depende del orden de composición.

Para encontrar el centro de rotación, de forma geométrica, para $\rho_{\beta,b} \circ \rho_{\alpha,a}$, se trazan las líneas que van de $a$ a $b$, después, midiendo los ángulos a partir de esta recta, la línea que pasa por $a$ con ángulo $-\frac{\alpha}{2}$ y la que pasa por $b$ con ángulo $\frac{\beta}{2}$. La intersección de las últimas dos líneas es el nuevo centro de rotación $c$.

Observa que, para la composición $\rho_{\alpha,a} \circ \rho_{\beta,b}$, su nuevo centro de rotación es el reflejado de $c$ respecto de la línea que pasa por $a$ y $b$.

Tarea moral

  1. Verifica que, efectivamente, se cumple que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.
  2. Demuestra el Corolario A.
  3. Como veremos más delante, las homotecias, son transformaciones de la forma $f(x)=kx+b$ donde $k\neq 0$ se conoce como el factor de expansión. Demuestra que las homotecias con $k\neq 1$ tienen un punto fijo (este punto fijo se llama centro de expansión).

Más adelante…

En la siguiente entrada de esta unidad, hablaremos sobre otro tipo de isometrías que ya estudiamos en la unidad anterior, las reflexiones.