Álgebra Lineal II: Matrices y transformaciones nilpotentes

Introducción

Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes. Nos hemos encontrado con estas matrices ocasionalmente a lo largo del primer curso de álgebra lineal y de este. Ahora las trataremos de manera más sistemática.

Matrices y transformaciones nilpotentes

En la última unidad estuvimos trabajando únicamente en $\mathbb{R}$ o en $\mathbb{C}$. Los resultados que presentaremos a continuación son válidos para espacios vectoriales sobre cualquier campo $F$.

Definición. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Diremos que $A$ es nilpotente si $A^m = O_n$ para algún entero positivo $m$. Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $A$.

Ejemplo. La matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & -9\\ 1 & -3\end{pmatrix}$ es nilpotente. En efecto, tenemos que $A^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Como $A^1\neq 0$, entonces el índice de $A$ es igual a dos.

$\square$

Tenemos una definición correspondiente para transformaciones lineales.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y sea $T: V \to V$ una transformación lineal. Diremos que que $T$ es nilpotente si $T^m$ es la transformación lineal cero para algún entero positivo $m$. Al menor entero positivo $m$ para el cual suceda esto le llamamos el índice de $T$.

Recuerda que por definición $T^m$ es la transformación $T$ compuesta consigo misma $m$ veces.

Ejemplo. Si estamos trabajando en el espacio $V=\mathbb{R}_n[x]$ de polinomios reales de grado a lo más $n$, entonces la transformación derivada $D:V\to V$ para la cual $D(p)=p’$ es una transformación lineal nilpotente. En efecto, tras aplicarla $n+1$ veces a cualquier polinomio de grado a lo más $n$ obtenemos al polinomio $0$. Su índice es exactamente $n+1$ pues derivar $n$ veces no anula al polinomio $x^n$ de $V$.

Si estuviéramos trabajando en el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ de todos los polinomios reales, entonces la transformación derivada ya no sería nilpotente. En efecto, para cualquier $m$ siempre existe un polinomio tal que al derivarlo $m$ veces no se anula.

$\square$

Bloques de Jordan de eigenvalor cero

Hay una familia importante de matrices nilpotentes.

Definición. Sea $F$ un campo. El bloque de Jordan de eigenvalor $0$ y tamaño $n$ es la matriz $J_{0,n}$ en $M_n(F)$ cuyas entradas son todas cero, a excepción de las que están inmediatamente arriba de la diagonal superior, las cuales son unos. En símbolos, $J_{0,n}=[a_{ij}]$ con $$a_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{si $j=i+1$}\\ 0 & \text{en otro caso.} \end{cases}$$

También podemos expresarlo de la siguiente manera:

$$J_{0,k}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix},$$ en donde estamos pensando que la matriz es de $n\times n$.

Ejemplo. A continuación tenemos la matriz $J_{0,3}$:

\begin{align*}
J_{0,3}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Esta es una matriz nilpotente. En efecto, haciendo las cuentas de matrices correspondientes tenemos que:

\begin{align*}
J_{0,3}^2&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Luego que

\begin{align*}
J_{0,3} ^3&= J_{0,3} J_{0,3}^2\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

Y finalmente que

\begin{align*}
J_{0,3}^4&= J_{0,3} J_{0,3}^3\\
&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}

De esta manera, hay una potencia de $ J_{0,3}$ que se hace igual a cero. Como la mínima potencia es $4$, entonces $ J_{0,3} $ es nilpotente de índice $4$. Observa cómo la diagonal de unos «se va recorriendo hacia arriba a la derecha».

$\square$

En general, es sencillo demostrar lo siguiente.

Proposición. La matriz $J_{0,n}$ es nilpotente de índice $n$.

Propiedades de matrices nilpotentes

Las matrices nilpotentes tienen buenas propiedades en términos de eigenvalores, polinomio característico, polinomio mínimo, etc. Algunas de estas propiedades están enunciadas en el siguiente resultado. Su demostración se deja en los ejercicios.

Proposición. Sea $A$ una matriz nilpotente de índice $k$ en $M_n(F)$. Entonces todo lo siguiente es cierto:

  • Todos los eigenvalores de $A$ son iguales a cero.
  • El determinante de $A$ es igual a cero.
  • La traza de $A$ es igual a cero.
  • El polinomio característico de $A$ es $\chi_A(x)=x^n$.
  • El polinomio mínimo de $A$ es $\mu_A(x)=x^k$.

Más adelante…

En esta entrada definimos a las matrices y transformaciones nilpotentes. También enunciamos algunas de sus propiedades. En la siguiente entrada enunciaremos nuestra primer versión del teorema de Jordan, en donde nos enfocaremos únicamente en lo que nos dice para las matrices nilpotentes. Esto servirá más adelante como uno de los peldaños que usaremos para demostrar el teorema de Jordan en general.

Tarea moral

  1. Encuentra una matriz nilpotente de índice $2$ en $M_7(\mathbb{R})$. En general, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier entero $k$ con $1\leq k \leq n$, da una forma de construir una matriz nilpotente de índice $n$ en $M_n(\mathbb{R})$.
  2. Encuentra una matriz con determinante cero y que no sea una matriz nilpotente.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
    1. Una transformación $T:V\to V$ es nilpotente de índice $k$.
    2. Alguna forma matricial de $T$ es nilpotente de índice $k$.
    3. Todas las formas matriciales de $T$ son nilpotentes de índice $k$.
    4. $T^n$ es la transformación lineal $0$.
  4. Demuestra la proposición de propiedades de matrices nilpotentes. Enuncia un resultado análogo para transformaciones nilpotentes.
  5. Prueba que la única matriz nilpotente diagonalizable en $M_n(F)$ es $O_n$.

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