Geometría Moderna I: Circunferencia de Apolonio

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada veremos dos lugares geométricos importantes, uno es la caracterización de arco de circunferencia y el otro la circunferencia de Apolonio.

Arco de circunferencia

Teorema 1. Dados un segmento BC y un ángulo α<π el lugar geométrico de los puntos A que están sobre un mismo lado de la recta BC y tal que el ángulo BAC=α, es un arco de circunferencia que pasa por B y C.

Demostración. Sea A un punto tal que BAC=α, consideremos el circuncírculo Γ(O) de ABC.

Todos los puntos A en el arco CB  cumplen que BAC=α pues BAC y BAC abarcan el mismo arco BC.

Figura 1

Por lo tanto, el arco CB es parte del lugar geométrico.

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Ahora tomemos A del mismo lado que A respecto de BC  pero ACB y consideremos B=ABCB y C=ACCB.

Si A está dentro del circuncírculo de ABC (izquierda figura 2), entonces los teoremas de la medida del ángulo interior y el ángulo inscrito nos dicen que
BAC=BOC+BOC2>BOC2=BAC.

Por tanto, A no está en el lugar geométrico.

Figura 2

Si A esta fuera del circuncírculo de ABC (derecha figura 2) , entonces la medida del ángulo exterior es
BAC=BOCCOB2<BOC2=BAC.

En consecuencia no existe A en el lugar geométrico fuera del arco CB y así queda demostrado el teorema.

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Observación. Si quitamos la condición de que los puntos A estén de un mismo lado respecto de BC entonces obtendremos dos arcos de circunferencia que son simétricos respecto de BC.

Corolario. Dados un segmento BC  el lugar geométrico de los puntos A tal que el ángulo BAC=π2, es una circunferencia de diámetro BC.

Demostración. Por el teorema 1 y la observación, el lugar geométrico son dos arcos de circunferencia simétricos respecto de BC, además, por el teorema de Tales, BC es diámetro de cada uno de estos arcos, por tanto los dos arcos forman una misma circunferencia.

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Circunferencia de Apolonio

Teorema 2. El lugar geométrico de los puntos A tales que la razón de las distancias a dos puntos fijos B y C es igual a una razón dada pq, es una circunferencia llamada circunferencia de Apolonio.

Demostración. Sea BC=a, construimos un triángulo de lados p, q y a, si p+q<a entonces tomamos un múltiplo mp y mq tal que m(p+q)>a.

Figura 3

Sea A el vértice construido tal que AB=p y AC=q, por el teorema de la bisectriz, las bisectrices interna AD y externa AE de A dividen al segmento CB en la razón dada
pq=ABAC=BDDC=BECE.

De esta manera, hemos encontrado dos putos D y E en la recta BC del lugar geométrico.

Sea A cualquier punto en el lugar geométrico, entonces ABAC=pq=BDDC=BECE.

Por el reciproco del teorema de la bisectriz esto implica que las cevianas AD y AE son las bisectrices interna y externa del ángulo BAC.

Figura 4

Como las bisectrices interna y externa de todo ángulo son perpendiculares entre si tenemos que DAC=π2.

Por el corolario anterior, AΓ, la circunferencia cuyo diámetro es DE.

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Ahora, sea AΓ, entonces ADAE ya que DE es diámetro.

Figura 5

Por C trazamos las paralelas a AE y AD las cuales intersecan a AB en P y en Q respectivamente, como ADAE entonces PCCQ.

Aplicando el teorema de Tales a BQC y BAE tenemos
(1)ABAQ=BDDC
(2)ABAP=BECE.

Por construcción BDDC=BECE
ABAQ=ABAPAP=AQ.

Es decir, A es el punto medio de la hipotenusa en el triángulo rectángulo CPQ, por tanto, equidista a los tres vértices del triangulo
AP=AQ=AC

Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2) obtenemos
ABAC=BDDC=BECE=pq.

Por tanto, A está en el lugar geométrico.

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Observación 1. Notemos que, si la razón dada es 1, el lugar geométrico son los puntos que equidistan a los puntos dados, esto es la mediatriz del segmento que une los puntos dados.

Observación 2. Si B, C son los puntos fijos y pq es la razón dada, los puntos A tales que ABAC=pq, describen una circunferencia de Apolonio, pero los puntos A tales que ACAB=pq también describen una circunferencia de Apolonio, estos dos lugares no coinciden a menos que pq=1.

En consecuencia, para un segmento dado y una razón dada tenemos dos circunferencias de Apolonio.

Construcción de un triangulo (a, ha, cb)

Problema. Construye un triángulo ABC dados la base, la altura trazada por el vértice opuesto y la razón entre los lados restantes (BC=a, AD=ha, ABAC=cb).

Solución. Construimos un segmento BC de longitud a y trazamos la circunferencia de Apolonio Γ de los puntos P tales que la razón de las distancias a B y a C es la razón dada, PBPC=cb.

Figura 6

Luego trazamos una recta l paralela a BC y a una distancia ha. Una de las intersecciones de l con Γ es el tercer vértice del triángulo ABC.

Sea D el pie de la perpendicular a BC trazado desde A, entonces por construcción BC=a, AD=ha y ABAC=cb.

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Círculos de Apolonio de un triángulo

Definición 1. Consideremos un triángulo ABC, el lugar geométrico de los puntos P tales que PBPC=ABAC, es la A-circunferencia de Apolonio de ABC. De esta manera todo triangulo tiene tres circunferencias de Apolonio asociadas a él, una que pasa por cada vértice.

Definición 2. Decimos que dos circunferencias son ortogonales si se intersecan y los radios trazados desde el punto de intersección son perpendiculares.

Proposición. Cada circunferencia de Apolonio asociada a un triángulo es ortogonal con el circuncírculo del triángulo.

Demostración. Sean ABC, D y E los pies de la bisectriz interior y exterior respectivamente de A, consideremos M el punto medio de DE.

La circunferencia con centro M y radio AM, (M,AM) es la A-circunferencia de Apolonio de ABC.

Figura 7

Tenemos lo siguiente
π2=DAE=DAC+CAM+MAE=BAC2+CAM+AMB2.

π=BAC+2CAM+AMB=BAM+AMB+CAM
CBA=π(BAM+AMB)
(3)=CAM.

Ahora consideremos el circuncírculo (O,AO) de ABC, y supongamos que AM es secante a (O,AO) en A y F, tenemos dos casos:

  • F esta entre A y M,
Figura 8

CBA=COA2>COF2=CAF=CAM.

  • A esta entre F y M,
Figura 9

CAM>CFA=CBA.

Ninguno de los dos casos anteriores es posible, puesto que por la ecuación (3), CBA=CAM, por lo tanto, A es tangente a (O,AO) y así (O,AO) y (M,AM) son ortogonales.

La prueba para las otras dos circunferencias de Apolonio de ABC es análoga.

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Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos un par de métodos generales que nos pueden ayudar a resolver problemas de construcciones geométricas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Dada una circunferencia, muestra que el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que pasan por un punto dado es una circunferencia, si el punto esta dentro o en la circunferencia. Analiza el caso cuando el punto se encuentra fuera de la circunferencia.
  2. Dados dos segmentos consecutivos AB y BC sobre una misma recta encuentra el lugar geométrico de los puntos P tales que APB=BPC.
  3. Dados tres puntos A, B, C y un ángulo α, construye una circunferencia que pase por A y B y tal que el ángulo entre las tangentes trazadas desde C a la circunferencia sea igual a α.
Figura 10
  1. Construye un triangulo, dados:
    i) la base, la mediana trazada desde el vértice opuesto y la razón entre los lados restantes,
    ii) la base, la bisectriz del ángulo opuesto y la razón entre los lados restantes.
  2. Muestra que las tres circunferencias de Apolonio de un triangulo concurren en dos puntos.
Figura 11

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 11-16.
  • Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 275-276.
  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 135-137.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 38-39.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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