Introducción
En esta entrada veremos dos lugares geométricos importantes, uno es la caracterización de arco de circunferencia y el otro la circunferencia de Apolonio.
Arco de circunferencia
Teorema 1. Dados un segmento
Demostración. Sea
Todos los puntos
Por lo tanto, el arco
Ahora tomemos
Si
Por tanto,

Si
En consecuencia no existe
Observación. Si quitamos la condición de que los puntos
Corolario. Dados un segmento
Demostración. Por el teorema 1 y la observación, el lugar geométrico son dos arcos de circunferencia simétricos respecto de
Circunferencia de Apolonio
Teorema 2. El lugar geométrico de los puntos
Demostración. Sea
Sea
De esta manera, hemos encontrado dos putos
Sea
Por el reciproco del teorema de la bisectriz esto implica que las cevianas
Como las bisectrices interna y externa de todo ángulo son perpendiculares entre si tenemos que
Por el corolario anterior,
Ahora, sea
Por
Aplicando el teorema de Tales a
Por construcción
Es decir,
Reemplazando en las ecuaciones
Por tanto,
Observación 1. Notemos que, si la razón dada es
Observación 2. Si
En consecuencia, para un segmento dado y una razón dada tenemos dos circunferencias de Apolonio.
Construcción de un triangulo ( , , )
Problema. Construye un triángulo
Solución. Construimos un segmento
Luego trazamos una recta
Sea
Círculos de Apolonio de un triángulo
Definición 1. Consideremos un triángulo
Definición 2. Decimos que dos circunferencias son ortogonales si se intersecan y los radios trazados desde el punto de intersección son perpendiculares.
Proposición. Cada circunferencia de Apolonio asociada a un triángulo es ortogonal con el circuncírculo del triángulo.
Demostración. Sean
La circunferencia con centro
Tenemos lo siguiente
Ahora consideremos el circuncírculo
esta entre y ,
esta entre y ,
Ninguno de los dos casos anteriores es posible, puesto que por la ecuación
La prueba para las otras dos circunferencias de Apolonio de
Más adelante…
En la siguiente entrada estudiaremos un par de métodos generales que nos pueden ayudar a resolver problemas de construcciones geométricas.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Dada una circunferencia, muestra que el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas que pasan por un punto dado es una circunferencia, si el punto esta dentro o en la circunferencia. Analiza el caso cuando el punto se encuentra fuera de la circunferencia.
- Dados dos segmentos consecutivos
y sobre una misma recta encuentra el lugar geométrico de los puntos tales que . - Dados tres puntos
, , y un ángulo , construye una circunferencia que pase por y y tal que el ángulo entre las tangentes trazadas desde a la circunferencia sea igual a .

- Construye un triangulo, dados:
la base, la mediana trazada desde el vértice opuesto y la razón entre los lados restantes, la base, la bisectriz del ángulo opuesto y la razón entre los lados restantes. - Muestra que las tres circunferencias de Apolonio de un triangulo concurren en dos puntos.
Entradas relacionadas
- Ir a Geometría Moderna I.
- Entrada anterior del curso: Ángulos en la circunferencia.
- Siguiente entrada del curso: Construcciones geométricas.
- Otros cursos.
Fuentes
- Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 11-16.
- Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 275-276.
- Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 135-137.
- Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 38-39.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»